1. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 1
CAPÍTULO
ANÁLISIS VECTORIAL
DEFINICIÓN.- Un Vector es un ente matemático que representa a todas las
magnitudes físicas de naturaleza vectorial, físicamente un vector es una
semirrecta orientada dentro de un espacio Euclidiano en el plano o en el
espacio. Simbólicamente se representa con cualquier letra del alfabeto
acompañado con una flecha en la parte superior.
Vector
Un vector tiene como elementos a:
 Módulo. Denominado también magnitud, representa el valor numérico o
la cantidad o el tamaño del vector.
 Dirección. Es la orientación del vector con respecto a un sistema de
coordenadas cartesianas.
 Sentido. Indica el lado hacia donde se dirige el vector (línea/acción) el
sentido también se indica por la dirección de las flechas.
 Punto de Implicación. Se da por el origen del vector.
Módulo
θ
Pto. De
aplicación
Dirección
Línea de acción
A
A

2. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 2
Composición de Vectores:
Dos o más vectores son cooplanares, si están contenidos en un mismo
plano:
Dos o más vectores son concurrentes cuando sus líneas de acción se
intersecan en un solo punto.
A
B
A
B
C
.P
B
A

3. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 3
DESCOMPOSICION VECTORIAL
EN EL PLANO: sea un vector A en el sistema XY:
i = (1,0) vector unitario en dirección X
J = (0.1) Vector unitario en dirección y
Vectorialmente el vector A se denota por:
Relacionando con la dirección θ:
JAyiAA X




CosAyA
SenAxA


JSenAiCosAxA

 
X
Ay
A
YA
Ay
X
J
i
i,j Vectores
Unitarios

4. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 4
La magnitud del vector se determina por:
La dirección del vector será:
x
y
A
A
Tan 
EN EL ESPACIO
En este caso el vector se encuentra en el campo tridimensional cuya
representación grafica se indica.
ACosYAz
SenYSenAAy
CosYSenAAx





22
AyAxAA 

x
y
A
A1
tan

θ
AZ
A
Ay A sen Y Sen θ
Y
A sen y
A COSY
Ax
A sen Y cosθ
A sen Y

5. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 5
La expresión vectorial se representa por el vector
KAzJAiAlAxA yy


Donde: i = (1,0,0) J = (0,1,0) K = (0,0,1)
La magnitud será: 222
AzAyAxAA 

La dirección de un vector espacial se determina aplicando los cosenos
directores, esto es:
Donde Ax, Ay, Az son las componentes rectangulares en dirección x,y,z
respectivamente
A = A

: magnitud
 ,, Ángulos directores.
La relación que cumplen los cosenos directores es la siguiente:
β
A
z
Y
δ
X
α
A
Az
Cos
A
Ay
Cos
A
Ax
Cos






1222
  CosCosCos

6. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 6
OPERACIONES CON VECTORES
Dentro del campo vectorial las operaciones definidas, son:
SUMA DE VECTORES .- sean los vectores:
KAzJAlAxA y

 KBzJBlBxB y


La suma de estos vectores resultan otro vector cuya suma.
kBzAzJByAyiBAxBAS X

)()()( 
Gráficamente la suma de dos vectores A

y B

se puede determinar
mediante le método de paralelogramo.
A

DIFERENCIA DE DOS VECTORES.- Sean los vectores.
KAzJAlAxA y

 KBzJBlBxB y


La DIFERENCIA de estos vectores resultan otro vector:.
kBzAzJByAyiBAxBAD X

)()()( 
kSzJSyiSxS


C



7. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 7
Gráficamente:
PRODUCTO DE VECTORES.- Existen los siguientes casos :
a) Producto de un escalar por un vector.- Sea un número real kεR y un
vector ,JAyixAA

 el producto será K )( KAzJAyixAKA


Dependiendo del valor de k, el vector A puede ser aumentado o
disminuido:
Si 1K  AAK


Si 2K  AAK

2
Si
2
1K 
2
1A
AK



Si 1K  AAK


b) Producto punto de Dos vectores: Denominado también producto
escalar resulta un número escalar cuya notación matemática es la
siguiente:
Sean KAzJAlAxA y

 KBzJBlBxB y


kDzJDyiDxD


A

B

BAD



8. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 8
El producto punto también se define por la expresión:
ABCosBxA 

Donde  es el ángulo entre los vectores A y B.
En esta operación se debe tener presente los siguientes resultados.
Si ByAABBA

 .0 son paralelas
ByABA

 0.
2

 son ortogonales.
Además 1...  KKJJii

0...  iKKJJi

AzBzByAAxBxBA y 

.
c) Producto vectorial de dos vectores
Sean los vectores KAzJAlAxA y

 KBzJBlBxB y


El producto vectorial de estos vectores de denota por A

x B

y resulta
otro vector perpendicular el plano formado por los vectores A

y B

C

= A

y B


Para determinar el valor del producto vectorial se utiliza la definición
siguiente:
B

A

9. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 9
A

x B

= AB sen u


También se suele utilizar la expresión siguiente. Para fines de cálculo:
kJi

A

x B

= AzAyAx
BzByBx
A

x B

= KAyBx)-(AxBy)()(

 JAxBzAzBxiAzByAyBz
La magnitud del producto vectorial, también se puede determinar por.
)( ABsenBxA 

En esta operación se debe considerar los siguientes resultados:
KJxl

 KxJ


lKxJ

 iJxK


JlxK

 JKxl


0 KxKJxJIxI

El producto vectorial representa al área formado por los vectores A

y B

(paralelogramo).
BxA

Área del paralelogramo.
θ
B

θ
A

θ

10. Edilberto Atau Enriquez Fisica 1 Página 10
Producto triple o Mixto: Esta operación se denota por:
CBxA

).( = ).( BxAC

y se determina por::
AzAyAx
( A

x B

).C

= BzByBx
BzByBx
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX