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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS
AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: “A”
Ing. Oscar René Lomas Reyes
AMANDA SUAREZ
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Contenido
INTRODUCCIÓN ...............................................................................Error! Bookmark not defined.
OBJETIVOS ................................................................................................................................. 3
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES .......................................Error! Bookmark not defined.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................. 7
EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 8
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................... 10
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 11
Partes de una ecuación ........................................................................................................... 11
¡Exponente! ............................................................................................................................. 12
PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 12
FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 16
INTRODUCCIÓN
El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea
números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El
término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe
que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones,
estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este
marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división)
pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar
números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos
(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su
resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes
propiedades que poseen las operaciones aritméticas.
Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una
operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
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Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación,
por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar la información otorgada por el docente referente al cronograma de estudio
en el módulo de algebra, para tener constancia del trabajo realizado en el transcurso
de todo el semestre y que esta información nos sirva como guía de estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Construir el portafolio estudiantil.
Comprender la información obtenida para adquirir nuevos conocimientos referentes a
cada uno de los temas.
Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea productivo.
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SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN
MISIÓN – ESCUELA
“Formar
profesionales
humanistas, emprendedores y
competentes, poseedores de
conocimientos científicos y
tecnológicos; comprometida
con la investigación y la
solución de problemas del
entorno para contribuir con el
desarrollo y la integración
fronteriza”
La
Escuela
de
Desarrollo
Integral
Agropecuario
contribuye
al
desarrollo
Provincial, Regional y Nacional, entregando
profesionales que participan en la producción,
transformación, investigación y dinamización
del sector agropecuario y agroindustrial,
vinculados con la comunidad, todo esto con
criterios de eficiencia y calidad
UPEC – VISIÓN
VISIÓN – ESCUELA
Ser
una
Universidad
Politécnica acreditada por su
calidad y posicionamiento
regional
Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido
apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que
incorpore
los
últimos
adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos naturales,
producción limpia, principios de equidad,
participación,
ancestralidad,
que
den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria
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CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así
sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el
conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como
y , que pueden
escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél
que puede escribirse como
donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto
que 2 = . De hecho todo entero es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se
conocen como números irracionales. Los números
y
son ejemplos de números
irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de
los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona
un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se
consideran positivas y las de la izquierda negativas
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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales
entre sí.
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o
multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y
multiplicarse en cualquier orden.
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación,
los números pueden agruparse en cualquier orden.
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo
número real a.
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado
poa –a
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo
resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los
productos.
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EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar
otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base.
Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un
número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.
n = índice
x = radicando
y = raíz
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=signo radical
Leyes radicales
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones
aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas en una sola expresión algebraica.
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Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio,
teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos
parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los
cocientes parciales con sus propios signos.
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:
X
+
2
=
6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en
la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
PARTES DE UNA ECUACIÓN
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes
(¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
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Una variable es un símbolo para un número que
todavía no conocemos. Normalmente es una letra
como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando
a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que
representa una operación (es decir, algo que quieres
hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o
números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los
términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo
término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor
en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz
PRODUCTOS NOTABLES
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Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el
doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el
doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo
del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el
cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
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(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno,
más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del
primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
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FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de
dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite
transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se
le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de
un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del
polinomio entre el factor común.
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:
; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con
apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del
trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este
binomio al cuadrado:
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:
Factorización de cubos perfectos de binomios.
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FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden
ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como
más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA
Comenzamos
situación:
[Escriba texto]
con
la
siguiente
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17. 17
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve
ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se
plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones,
cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos
escribir de forma tradicional así:
Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números
reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados
términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la
solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s2, ..., sn) tales que al
sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las
"m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
Dode :
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los
coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
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Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a
la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y
la denotamos por A*, es decir
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
dondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de GaussJordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los
coeficientes.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo
puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre
determinado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible
indeterminado).
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una
solución.
La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son
pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una
variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son
ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una
variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :
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Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera
la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama
incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible,
proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es
una identidad.
TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector
para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que
pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no
siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más
fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con
sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual
simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés
demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede
lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo
dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es
una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para
cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
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Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales
podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada
superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de
gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo
puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener
como resultado escalares.
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
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Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde
el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo
aparece
una
incógnita
y
que
se
expresa
en
la
forma
canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el
coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde
= 2 se conoce como ecuación cuadrática
n
Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una
vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo
miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de
segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual
es muy conveniente.
EJEMPLOS:
1.
2.
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3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos:
<
≤
[Escriba texto]
menor
que
2x − 1 <
7
menor que
o
igual
2x − 1 ≤
7
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>
≥
mayor
que
2x − 1 >
7
mayor que
o
igual
2x − 1 ≥
7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8
x<4
(-∞, 4)
DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para
incógnita:
resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconuna
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
Despejar la incógnita.
En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se
multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambiael
sentido de la misma”.
[Escriba texto]
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La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser:
Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de intervalo.
Cualquier número real.
Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que
se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;
2 · 0 + y = 3; y = 3;
(0, 3)
x = 1;
2 · 1 + y = 3; y = 1;
(1, 1)
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se
cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución
será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2·0+0≤3
[Escriba texto]
0≤3
Sí
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2x + y > 3
2·0+0>3
0>3
No
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes
formas:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0
Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una
variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella
misma, y un símbolo de desigualdad..
Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
2x2−x<2x−1
Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de las
inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de
primer grado.
[Escriba texto]
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Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una
serie de pasos a seguir.
Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de
ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:
Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la
fórmula:
x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a
Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de b2−4ac√ (para
más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).
Método a seguir para la resolución:
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados
de la inecuación, consiguiendo una expresión del tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los
valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es
un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda
la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás
términos y el orden de la desigualdad).
Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la
inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
Puede ser que tengamos tres opciones:
Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:
Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la
inecuación.
Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no tiene
solución.
Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que la
ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la gráfica se
encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene
signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si
tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0
⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1
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27. 27
Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números es
positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.
Así que la solución de la inecuación serán los x que
Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las mismas
0,
soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería tener
como región solución toda la recta real.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución
Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que sea
negativo.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ sí tendríamos una solución:
0,
justamente la solución de la ecuación x1.
Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2, haremos el siguiente
procedimiento:
(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)
Si ax2+bx+c>0:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0
⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2
Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.
Si ax2+bx+c<0:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0
⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2
[Escriba texto]
Página 27

28. 28
y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.
Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos
terminado.
Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades estrictas
(menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para desigualdades del tipo
mayor o igual que y menor o igual que.
A continuación veremos un ejemplo de cada tipo:
x2+x+2>−1−x
Resolución:
x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir, todos los
puntos menos −1.
x2+2<−1−2x
Resolución:
x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.
−x(x−1)−x<−1
Resolución:
−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1
[Escriba texto]
Página 28

29. 29
Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones)
es x<−1 y x>1.
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución
de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre
asuntos en los que interviene un gran número de variables.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador,
sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo
para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se
considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos
matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo
Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía
en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular
recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes
fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en
1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función
objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices
de la región factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función
objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del
vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada
etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no
parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.
La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa.
En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las
funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales
en las variables de decisión
[Escriba texto]
Página 29

30. 30
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para
abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias
sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros
asociados a su utilización.
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar
funciones que
se
encuentran
sujetas
a
determinadas
limitaciones,
que
llamaremos restricciones.
Función objetivo
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo,
que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones
lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
...
...
...
anx + bny ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
[Escriba texto]
Página 30

31. 31
Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina
un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones
factibles.
Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se llama solución máxima (o
mínima según el caso).
Valor del programa lineal
[Escriba texto]
Página 31

32. 32
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del
programa lineal.
Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el
restricciones.
conjunto
de soluciones
factibles representando
gráficamente
las
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de
ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en
cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido
de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta
se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes
para que éstos consigan una venta máxima?
1Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3Restricciones
[Escriba texto]
Página 32

33. 33
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Pantalones chaquetas disponible
algodón 1
750
poliéster 2
x + 1.5y ≤ 750
1,5
1
1000
2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:
x≥0
y≥0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del
plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
[Escriba texto]
Página 33

34. 34
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO
CINE-UNESCO
Agricultura.
Agricultura, Silvicultura y Pesca.
Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la
desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema
de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
[Escriba texto]
Página 34

35. 35
CÓDIGO
DOCENTE:
PRIMERO
NIVEL
Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO:
0986054587
062-932310
e-mail:
oscar.lomas@upec.edu.ec
oscarlomasreyes@yahoo.es
CRÉDITOS T
1
CRÉDITOS P
2
TOTAL CRÉDITOS
HORAS T
16
HORAS P
32
TOTAL HORAS
PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)
3
48
CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)
CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)
PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color
Agrícola
y un nombre)
LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudi
[Escriba texto]
Página 35

36. 36
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecu
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje d
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del en
matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relaciona
al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivo
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemát
problemas del entorno.
[Escriba texto]
Página 36

37. 37
LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO
DIMENSIÓN
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
1.
2.
TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP
TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER
Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.
FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULAR
Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELA
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolve
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métod
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métod
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3.
PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR
4.
PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métod
Argumentar el planteamiento que
solución a los problemas planteados.
5.
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELA
dará
TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métod
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
Construir
expresiones
algebraicas
que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.
6.
TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR
1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABU
QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o re
2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERREL
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir E
GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del
Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
[Escriba texto]
Página 37

38. 38
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discreta
[Escriba texto]
Página 38

39. 39
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
LOGROS DE APRENDIZAJE
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS
ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
Identificar
los
términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.
COGNITIVOS
PROCEDIMENTALES
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Qué TIENEquesaber?
El estudiante será capaz de
¿Saber cómo
TIENEqueaplicar el
conocimiento?
T
P
2
4
¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?
Sistema de Números
Reales
Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe
Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales
Recta de números Reales
Potenciación y
Radicación
Propiedades
Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
DEMOSTRAR.
1.
Disposición para trabajar en equipo
Operaciones Binarias
[Escriba texto]
Estrategias, métodos y
técnicas
HOR
AS
CLA
SE
Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación
Aceptar opiniones diferentes
Hacer síntesis gráfica
Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
Potenciar el clima positivo
Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
2.
Determinación del
problema.
Dialogo mediante
preguntas.
Página 39

40. 40
fundamentales
Aplicaciones
Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento
lógico matemático.
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Repasar
los
conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico
autónoma y eficiente
3.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
Aplicar operaciones mentales
Aceptar opiniones divergentes
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
Identificar los diferentes tipos
polinomios
Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo
INDUCTIVO
Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.
Potenciar la resolución de problemas
1.Observación
Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios
2. Experimentación.
Valorar las participaciones de los
demás
3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)
Demostrar grado por lo que hacemos
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
[Escriba texto]
Página 40
2
4

41. 41
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas
para
el
desarrollo del razonamiento
lógico matemático.
Resolver ejercicios con polinomios
sencillos y complejos
Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.
Mínimo común múltiplos
de polinomios.
Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.
Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados
Sistemas lineales y
[Escriba texto]
3
6
3
6
1.
Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Plantear ecuaciones lineales.
Ecuaciones lineales,
resolución
Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
RAZONAR
Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1.
Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
EXPOSICION
PROBLEMICA.
1.
2.
3.
Determinar el
problema.
Realizar el encuadre
del problema.
Comunicar el
Página 41

42. 42
clasificación.
carrera
fuera de él.
conocimiento.
Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA
4.
Resolución de ecuaciones
lineales.
Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.
Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas
Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.
Aplicaciones
Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.
Definición y clasificación.
Resolver ejercicios sobre
expresiones cuadráticas
Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.
Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.
Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.
Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas
Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.
[Escriba texto]
Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolución de ecuaciones
cuadráticas por factoreo.
Construir
expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.
Ecuaciones reducibles a
cuadráticas
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
1.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados
2.
3.
4.
Valorar la creatividad de los demás
1.
Respetar el criterio del grupo.
2.
3
6
3
6
Determinar el
problema
Realizar el encuadre
del problema
Comunicar el
conocimiento
(conferencia ,video )
Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)
Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)
Página 42

43. 43
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
DIMENSIÓN
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)
INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción
10%
Reactivos
50%
Documento
10%
Deberes
Documento
10%
Trabajos
Documento
10%
Consultas
Documento
10%
Participación virtual
[Escriba texto]
Chat-Foro
Chat-Foro
SUPLETORI
O
10%
Portafolio
Interpretar la información.
Documento
3°
PARCIA
L
10%
Pruebas
CONCEPTUAL.
Documento
2°
PARCIA
L
10%
Participación virtual
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.
Documento
Trabajos
FACTUAL.
Deberes
Consultas
Identificar
los
términos
básicos
utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
Interpretar información.
TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1°
PARCIA
L
10%
Página 43

44. 44
Pruebas
10%
Chat-Foro
10%
Reactivos
50%
Documento
10%
Deberes
Documento
10%
Documento
10%
Documento
10%
Chat-Foro
10%
Pruebas
Reactivos
50%
Portafolio
Documento
10%
Deberes
Documento
5%
Trabajos
Documento
5%
Consultas
Documento
5%
Participación virtual
Chat-Foro
5%
Pruebas
Reactivos
25%
Portafolio
[Escriba texto]
Documento
Consultas
Desarrollar una estrategia
para el diseño.
10%
Trabajos
CONCEPTUAL
Documento
Participación virtual
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
10%
Portafolio
Analizar problemas y sistemas
complejos.
Documento
Pruebas
PROCESAL
Deberes
Participación virtual
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados
10%
Consultas
Demostrar
la
utilidad
de
las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Documento
Trabajos
Modelar, simular sistemas
complejos.
50%
Portafolio
CONCEPTUAL.
Reactivos
Documento
5%
100%
100%
Página 44

45. 45
FACTUAL.
Interpretar información.
Deberes
Documento
5%
CONCEPTUAL.
Modelar, simular sistemas
complejos.
Trabajos
Documento
5%
Consultas
Documento
5%
Participación virtual
Chat-Foro
5%
Pruebas
Reactivos
25%
Portafolio
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.
Documento
5%
PROCESAL
Analizar problemas y sistemas
complejos.
METACOGNITIVO
ESCALA DE VALORACIÓN
Nivel ponderado de aspiración y
alcance
[Escriba texto]
9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio
7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio
100%
4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
Página 45

46. 46
VI.
GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
HORAS
AUTÓNO
MAS
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
T
INSTRUCCIONES
Consulte información en el
internet
y
textos
especializados
los
conceptos de números
reales,
presentar
en
organizadores gráficos.
RECURSOS
Libros.
Copias
P
PRODUCTO
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.
2
4
Identifica los tipos de polinomios
2
4
Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales
3
6
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Prueba
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.
Consulta sobre la definición
de
un
monomio
y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento
Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Distinguir
plenamente Libros.
entre
expresiones Copias
racionales e irracionales
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
[Escriba texto]
Página 46

47. 47
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados
Dar solución a ecuaciones
de primer grado
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado
3
6
Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.
Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de
expresiones
cuadráticas.
Libros.
Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3
6
Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.
3
6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
16
32
1
2
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
TOTAL
CRÉDITOS
3
[Escriba texto]
Página 47

48. 48
VII. Bibliografía.
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Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos
Oscar Rene Lomas Reyes Ing.
ENTREGADO: febrero 2014
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