Módulo Algebra: Ecuaciones y Expresiones

Módulo Algebra Página 1
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y
CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
MIGUEL FUELTALA
PARALELO: “B”
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Marzo 2013 – Agosto 2013

Contenido
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................3
OBJETIVOS................................................................................................................................4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................6
EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11
Partes de una ecuación ..........................................................................................................11
¡Exponente!............................................................................................................................12
PRODUCTOS NOTABLES .........................................................................................................13
FACTORIZACIÓN .....................................................................................................................15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16
ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16
SILABO........................................................................................................................................18

INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:
x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
 Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Elaborar el portafolio estudiantil
 Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
 Trabajar en forma grupal en la recolección de la información

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son
enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero
es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números y √ son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
( ) ( ) ( ) ( )
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
( )
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.
( ) ( )

EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
 b es el valor base y -5 es el exponente
 -2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
( )( )
( )
( )
( ) ( )
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.
√
n = índice
x = radicando
y = raíz

√ =signo radical
Leyes radicales
√
√
√ √ √
√
√
√
√ √ √
√
( √ )

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",
por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un
número que todavía no conocemos.
Normalmente es una letra como x o
y.
Un número solo se llama una
constante.
Un coeficiente es un número que
está multiplicando a una variable (4x
significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como
+, ×, etc) que representa una
operación (es decir, algo que
quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o
variable solo, o números y variables
multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de
términos (los términos están
separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el
segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente
es 4?"
¡Exponente!
El exponente (como el 2 en x2
) dice cuántas veces
usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82
= 8 × 8 = 64
y3
= y × y × y
y2
z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4
z2
es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2
= a2
+ 2 · a · b + b2
(X + 3)2
= x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2
= a2
− 2 · a · b + b2
(2x − 3)2
= (2x)2
− 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x2
− 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2
− 52
= 4x2
− 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3
= a3
+ 3 · a2
· b + 3 · a · b2
+ b3
(x + 3)3
= x 3
+ 3 · x2
· 3 + 3 · x· 32
+ 33
=
= x 3
+ 9x2
+ 27x + 27

Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3
= a3
− 3 · a2
· b + 3 · a · b2
− b3
(2x - 3)3
= (2x)3
- 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32
- 33
=
= 8x 3
- 36 x2
+ 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado
del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por
el tercero.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2
− x + 1)2
=
= (x2
)2
+ (−x)2
+ 12
+2 · x2
· (−x) + 2 x2
· 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4
+ x2
+ 1 − 2x3
+ 2x2
− 2x =
= x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Suma de cubos
a3
+ b3
= (a + b) · (a2
− ab + b2
)
8x3
+ 27 = (2x + 3) (4x2
- 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
8x3
− 27 = (2x − 3) (4x2
+ 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2
+ ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2
+ (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2
+ 5x + 6

FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
( )
( )
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: ( )( ) ; por lo tanto una diferencia de
cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.
( )( )
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:
( )( )
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que: ( )( ) ( )( )
Factorización de cubos perfectos de binomios.
( ) ( )

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,
pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización
total de la expresión.
( ) ( ) ( )( )
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA
( )( )
( )( )
ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia
(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden
representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas
es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede
serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en
el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
C . ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA
Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes,
poseedores de conocimientos
científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la
solución de problemas del entorno
para contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza
La Escuela de Desarrollo Integral
Agropecuario contribuye al desarrollo
Provincial, Regional y Nacional,
entregando profesionales que
participan en la producción,
transformación, investigación y
dinamización del sector agropecuario
y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica
acreditada por su calidad y
posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos naturales,
producción limpia, principios de equidad,
participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-
UNESCO
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-
UNESCO
Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec

oscarlomasreyes@yahoo.es
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS
48
PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)
CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)
CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
 Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
 Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
 Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
 Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

 Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
 http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.
 Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
 http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
1. TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP
Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.
FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.
CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a
INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER
dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.
4. PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados
5. TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a
6. TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.
1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a

3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a
adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN
GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento
del propio conocimiento.
Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
discretas.

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Estrategias, métodos y
técnicas
HORAS
CLASE
COGNITIVOS
¿Qué TIENE que saber?
PROCEDIMENTALES
¿Saber cómo TIENE que
aplicar el conocimiento?
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Saber qué y cómo TIENE actuar
axiológicamente?
T P
Identificar los términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.
Sistema de Números
Reales
Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe
Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación
Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico
Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales
Disposición para trabajar en equipo
Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo
Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente
DEMOSTRAR.
1. Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
2 4

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Aplicar operaciones mentales
Identificar los diferentes tipos
polinomios
Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.
Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios
Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo
Potenciar la resolución de problemas
Valorar las participaciones de los
demás
Demostrar grado por lo que hacemos
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
INDUCTIVO
1.Observación
2. Experimentación.
3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
2 4

socializar la solución.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el
desarrollo del razonamiento
Máximo común divisor de
polinomios.
Mínimo común múltiplos
de polinomios.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Resolver ejercicios con
polinomios sencillos y complejos
Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.
Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.
Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.
RAZONAR
1. Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1. Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
3 6
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados
Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.
Aplicaciones
Plantear ecuaciones lineales.
Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera
Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.
Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.
EXPOSICION
PROBLEMICA.
1. Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
3 6
Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.
Definición y clasificación.
Ecuaciones reducibles a
cuadráticas
Resolución de ecuaciones
Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas
Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA
1. Determinar el
problema
2. Realizar el encuadre
del problema
3. Comunicar el
3 6

cuadráticas por factoreo.
Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.
expresiones cuadráticas
Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.
conocimiento
(conferencia ,video )
4. Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)
Construir expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.
Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.
Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.
Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Valorar la creatividad de los demás
Respetar el criterio del grupo.
1. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
2. Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)
3 6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
DIMENSIÓN
(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)
INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción
TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1°
PARCIA
L
2°
PARCIA
L
3°
PARCIA
L
SUPLETORI
O
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
FACTUAL. Interpretar información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
10%
10%
10%
10%

Pruebas
Portafolio
Reactivos
Documento
50%
10% 100%
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados
PROCESAL Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10% 100%
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia
para el diseño.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5%
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.
FACTUAL.
CONCEPTUAL.
PROCESAL
METACOGNITIVO
Interpretar información.
Modelar, simular sistemas
complejos.
Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5% 100%
ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

Nivel ponderado de aspiración y
alcance
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
HORAS
AUTÓNO
MAS
INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO
T P
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
Consulte información en el
internet y textos
especializados los
conceptos de números
reales, presentar en
organizadores gráficos.
Prueba
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.
2 4
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
Consulta sobre la definición
de un monomio y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identifica los tipos de polinomios 2 4
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Distinguir plenamente
entre expresiones
racionales e irracionales
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales
3 6
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados
Dar solución a ecuaciones
de primer grado
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.
Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de expresiones
cuadráticas.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3 6
Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.
3 6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL
16 32
CRÉDITOS
1 2
3

VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
 Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda
edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
 Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
 Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
 Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
 Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
 Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
 http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.
 Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
 http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.
ENTREGADO: Marzo 2013

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)
3
Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es
ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma
de fracciones numéricas de igual denominador.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2.
EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es
ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador
tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya
que es signo menos afectará a todos los términos.
EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)
En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como
en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera
fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se
trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión.
No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el
mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste, el m.c.m es el produco de los
denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para
una explicación detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace:
EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)

Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones
numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el
producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con
que aparecen.
EJEMPLO 5:
EJEMPLO 6:

REACTIVOS ALGEBRA
Miguel Fueltala
Primero: “B”
1.- Una persona hace las partes de un viaje en tren, los del resto en coche y los 26
Km. que quedan en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?
Solución: x=13 kilómetros
2.- Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
3.- Un almacén distribuye computadores de dos marcas (1 y 2). Durante el mes
de diciembre uno de sus vendedores vendió 60 computadores. Por cada tres
computadores de la marca 1 vendió dos de la marca 2. Si recibió una comisión
de$10.000 por cada computador de la marca 1 y una comisión de $20.000 por
cada computador de la marca 2, la comisión total que recibió en el mes de
diciembre fue
a). $60.000
b) $120.000
c) $840.000
d) $720.000
4.- Marisa tiene 5 años más que su hermana Esther y cuando Esther tenga los
años que ahora tiene Marisa las edades de ambas sumaran 35 años ¿Qué edad
tiene cada una ahora?
Ahora
Marisa x+5 x+10
Esther x x+5
x+10+x+5=35 solución x=10
Matisa 15 años y Esther 10 años

5.- La racionalización del denominador es:
a) Fracción equivalente sin radical
b) Número igual sin radical
c) Número elevado al equivalente del radical.
REACTIVOS ECONOMIA
1.- Ud. está planeando hacer un viaje de 1.000 kilómetros al norte del país. Le da
completamente igual ir en automóvil que en autobús, con la excepción del costo. El billete de
autobús vale$260. Los costos que origina su automóvil en un año normal en el que recorra
10.000 kilómetros son los siguientes:
Seguro: 1.000
Intereses: 2.000
Gasolina y aceite: 1.200
Neumáticos: 200
Permiso y matriculación: 50
Mantenimientos: 1.100
TOTAL en $: 5.550
¿Debe ir en automóvil o en auto?
Respuesta: Hay costos hundidos (irrecuperables) que son el seguro, los intereses, el permiso y
matriculación. Los costos que sólo se incurren si se usa el auto son gasolina, aceite, neumáticos
y mantenimientos. Estos suman $2.500 por 10.000 kms. Si recorre 1.000 kms serán de 250. Por
lo tanto, si es racional, debe decidir ir en auto.
2.- Considere un país donde una firma está dispuesta a producir bufandas a través de la siguiente
curva de oferta: PX = 2X. Por otro lado la demanda de mercado estaría compuesta por: X = 90-
PX
a) Encuentre el equilibrio correspondiente.
Respuesta: Igualando oferta con demanda se tiene: Px/2= 90-Px
Px= 60 y X= 30

3.- Si la elasticidad precio de la demanda es 2 y actualmente se vende 100 unidades al precio
de $ 20, ¿Cuántas unidades se venderá al precio de $ 21? Respalde su respuesta con los
respectivos cálculos.
Solución: Sustituyendo los valores en la fórmula de la elasticidad precio de la demanda:
((x - 100) / (x + 100)) / ((21 - 20) / (21 + 20)) = -2
((x - 100) / (x+100)) / (1 / 41) = -2
41(x - 100) / (x + 100) = -2
41x - 4100 = -2(x + 100)
41x - 4100 = -2x - 200
41x + 2x = -200 + 4100
43x = 3800
x = 3800/43
x = 88.37
Se vendería la cantidad de 88.37.
4.- Considera el ejemplo siguiente
M = 400
V = 12
P = 5
a) ¿Qué nivel de producto físico es compatible con estos datos si queremos
que los datos no cambien?
b) Si la demanda de dinero es de $500.00 cuando se produce el producto de
pleno empleo y los precios son 5. ¿Cuál es la situación de desequilibrio (oferta
< ó > demanda) en los mercados de bienes y servicios y de dinero?
¿Cuál es el nivel de precios compatible con el pleno empleo?
)
( )
960 es el nivel de producción de equilibrio
)
( ) ( )
El producto de pleno empleo es de 1200 cuando los precios son $5 y la demanda de dinero es
de $500
La de creación de empleo
La de obtención del máximo beneficio para el accionista
La de producir la mayor cantidad de productos posible
La de producir los bienes y servicios necesarios para
satisfacer las necesidades humanas.

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2
+bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales
y a 0.Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de
algunos ejemplos.
1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
i.- Por factorización:
Resolver la ecuación: x2
- 12x - 28 = 0
Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es
decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números
son -14 y 2, y la factorización es:
(x - 14)(x + 2) = 0
Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2
ii.- Utilizando la fórmula de resolución:
Para resolver la ecuación cuadrática: ax2
+bx+c=0,podemos utilizar la fórmula:
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
x2
– 10x +24 = 0
Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la
fórmula:
a = 1; b = -10 y c = 24
iii.- Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x2
– 6x + 8 = 0
Solución: Con los términos x2
y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2
, pero
nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen x y
sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:

x2
– 6x + 8 = 0 /-8
x2
– 6x = -8 /+9
x2
- 6x + 9 = -8 + 9
(x – 3) 2
= 1
De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto X1 = 4 ó X2 = 2
2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de
primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a
ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1:
Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente
al cuadrado del número aumentado en 5.
Solución:
Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2
= x2
+ 5
Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:
3x2
– 4x – 4 = 0
Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4
Luego, las soluciones de la ecuación son X1 = y X2 = 2. Pero el número que estamos
buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2.
Ejemplo 2:
Un triángulo tiene un área de 24 cm2
y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente.
¿Cuánto mide la altura?
Solución: Sea x la base del triángulo y x + 2 su altura, entonces su área es:
=24 cm2
A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado.
Ahora resolvemos esta ecuación por factorización.
(x + 8) (x - 6)=0

Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución
que nos sirve es x2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces
la respuesta es
x + 2= 8cm
3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2
+bx+c=0 se pueden obtener
a través de la fórmula:
La cantidad subradical:  = b2
–4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo
de soluciones que tiene la ecuación cuadrática:
- Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un
número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;
- Si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales.
- Si es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos.
Ejemplo:
¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación:
x2
– (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales?
Solución: Como las soluciones deben ser reales e iguales el discriminante debe ser igual a
cero, entonces identificamos los coeficientes a, b y c y los reemplazamos en la fórmula de :
a = 1 ; b = -(p + 3) ; c = 9
(-(p + 3)) 2
– 4 .• 1 .• 9 = 0
p2
+ 6p – 27 = 0

(p+9) (p-3)=0
P1 = -9 ó P2 = 3
4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2
+bx+c=0. Si
, entonces:
- Suma de las raíces:

Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:
La máxima cantidad de soluciones reales o diferentes valores reales que puede asumir
la variable x en una ecuación cuadrática es dos como lo indica su grado. Hay distintos
métodos que pueden ser utilizados para hallar sus soluciones, los mismos son aplicados
de acuerdo a la composición que tenga la ecuación cuadrática que se esté trabajado.
Discutiremos tres distintos métodos: Método de la raíz, Método de Completar el cuadrado
y la Fórmula Cuadrática.
I. Método de la raíz
El método de la raíz se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadráticas que
tan sólo tengan un término con variable y sea el cuadrático, de haber varios términos
cuadráticos tienen que ser semejantes. Si al simplificar la ecuación, quedan términos
lineales entonces no es aplicable el método.
Ejemplo 1:
A cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas le podemos aplicar el Método de la
raíz.
1. 3X – 7X2
= 9
2. (X-1)2
+ 6 = 9
3. (3X+1)2
- 6 = 5 + (X- 4)2
4. (3X+1)2
= 4 - 9(3X+1)2
Respuestas:
1. No, porque tiene término con variable lineal.
2. Sí, porque tiene un sólo término con variable cuadrático (elevado a la dos).
3. No, porque los términos cuadráticos no son semejantes.
4. Sí, porque los términos cuadráticos son semejantes.
Pasos para resolver una ecuación cuadrática por el Método de la raíz
1. Rescribir la ecuación con el término cuadrático de un lado de la igualdad, del otro, las
constantes.
2. Verificar cuál de los tres siguientes casos aplica:
Caso 1: Dos soluciones complejas reales:
(X-h)2
= k, k > 0
Caso 2: Una única solución real:

(X-h)2
= k, k = 0
Caso 3: Ninguna solución real:
(X-h)2
= k, k < 0
3. Verificar que el coeficiente numérico de la variable sea 1, de no serlo divida todos los
términos de la ecuación entre tal coeficiente.*
4. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde añadir el
signo + y - del lado de las constantes).
5. Divida su resultado en dos diferentes casos, uno usando la suma (+) y el otro usando la
resta (-), si aplica, y resuelva cada ecuación hasta dejar la variable sola.
6. Verifique sus soluciones en la ecuación original y concluya su conjunto solución. (
opcional)
Veamos los siguientes ejemplos...
Verificación:

Conclusión: las dos distintas soluciones reales de la ecuación son -7 y -3.

Conjunto solución de la ecuación:
Verificación
El conjunto solución de la ecuación es único, x = -5. Verificación

El conjunto solución de la ecuación en los números complejos-reales es nulo, bajo el
conjunto de los números complejos es x = -2i y x = 2i. Verificación
II. Método de Completar el Cuadrado
Para poder utilizar el Método de Completar el Cuadrado la ecuación cuadrática debe tener
término lineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar.
Ejemplo: Determine cuál de las siguientes ecuaciones puede ser trabajada por el
Método de Completar el Cuadrado:
Este método tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un
trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). La
ecuación queda de la forma:
para luego resolver por el Método de la raíz.
Pasos para aplicar el Método de Completar el Cuadrado
1) Rescriba la ecuación con los términos con variables de un lado, simplificados y
ordenados, del otro la constante.
2) Asegúrese que a sea 1, de no serlo divida todos los términos entre a y simplifique.

3) Determine b y con el calcule y sume tal resultado en ambos lados de la
ecuación.
4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado Perfecto de la forma:
5) Resuelva la ecuación por el método de la raíz
6) Verifique y concluya su conjunto solución.
Veamos los siguientes ejemplos:
Conjunto solución de la ecuación: {-1, 5} Verificación

Conjunto solución de la ecuación
es: . Verificación.
III. Fórmula Cuadrática
La Fórmula Cuadrática puede ser aplicada a toda ecuación cuadrática.

Este es el único método que no tiene restricciones en su aplicación,
contrario a los métodos ya discutidos. Al igual que el método de
factorización este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otro
cero, para así poder determinar con
precision , los correspondientes valores de los coeficientes numérico
en cada término del polinomio para luego sustituirlos en la estructura de la Fórmula
Cuadrática:
Es importante apreciar que en la fórmula se sustituyen solo los
coeficientes numéricos (no las variables). La variable es precisamente
la desconocida que estamos buscando, que asumirá los valores
obtenidos de la sustitución y simplificación en la fórmula cuadrática.
Pasos para resolver la ecuación usando la Fórmula Cuadrática
1) Rescriba la ecuación con todos los términos de un lado de la
igualdad, simplificados y ordenados, del otro cero así:
2) Determine los valores de los coeficientes numéricos. Para facilitar
los cálculos en la sustitución en caso de estos ser fracciones o
decimales puede rescribir la ecuación por una equivalente más
simple.
3) Sustituir los valores de (sin la variable) en la
Fórmula Cuadrática:
Y simplifique (recuerde separar en dos ecuaciones, si aplica, una
usando la operación resta y otra la operación suma).

4) Verifique los valores obtenidos en la ecuación original y concluya su
conjunto solución.
Paso 4: Conjunto solución de la
ecuación: Verificación.
Cantidad soluciones reales de una ecuación cuadrática:
Para determinar la cantidad de soluciones reales o raíces que ha de tener una ecuación
cuadrática se utiliza los resultados que se obtienen de la evaluación del radicando

de la fórmula cuadrática, este se conoce
como discriminante. Depende el valor del discriminante podemos saber si tendrá raíz
cuadrada perfecta, raíces complejas imaginarias o una única solución real.
Conclusiones:
1. Si entonces la ecuación cuadrática tiene una
única solución real.
2. Si entonces la ecuación cuadrática tiene dos
soluciones reales.
3. Si entonces la ecuación cuadrática no tiene
soluciones reales.
Veamos los siguientes ejemplos:

GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS

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