Articulo investigativo de la Matematica y la Geometria a la realidad_ duvan hernan_rev_col

De la Matematica Pura.. (Duvan Hernan Alvear) (Pasante, Liemciado en
Matematica Pura)
La geometría como rama del saber por medio del fundamento e impulso
matemático y para la evolución matemática como ciencia
Autor:
Duvan Hernan Alvear
“A Dios todo lo creado”
Escuela Ciencias de la Educación
ECEDU
Octubre de 2015

Matematica Pura)
Resumen:
La actividad investigativa, nos permite crear un espacio para identificar aquellos aspectos
que han sido base tanto en el desarrollo de la geometría, como en el desarrollo y evolución
de la matemática como ciencia y en esta medida es indispensable mencionar que sentamos
una base e idea central definiendo que la matemática y la geometría son saberes, pero no
saberes distintos por el contrario totalmente fusionados producidos por innumerables
aportes. En muestra de desarrollo de la geometría realizaremos la relación de aportes en
forma ordenada, en un principio fue en Grecia donde se fundó esta rama, posteriormente
Euclides fundamento la geometría a manera de objeto plano y como análisis a ello se
encontró la no conmensurabilidad de esta por lo que surgió algo impactante de gran escala
conocida como la geometría no euclidiana con fundamento de forma esférica en relación
elíptica como representante de este desarrollo se describirá a Riemann. Todo este desarrollo
del saber apoyado en la demostración argumentada por expresiones y procedimientos,
forma complemento entre la matemática y la geometría, la geometría no podría ser sin la
matemática y la matemática no podría haber evolucionado sin los estudios dados desde la
geometría, en caracterización de ejemplos pueden estar los espacios de construcción, la
medición de longitudes mega complejas como el diámetro del mundo y muchos más. De
todo el proceso de validez encontrado en los aportes mencionados desde la fascinante
ayuda de la geometría en su desarrollo y como medio de complemento a la evolución
matemática, nos ocuparemos en este artículo, por medio de la investigación.
Abstract
The research activity, allows us to create a space for identify those aspects that have been
based both in the development of geometry, and the development and evolution of science
and mathematics as this measure is essential to mention that sat and thought a central base
defining that mathematics and geometry are knowledge, but not knowledge fused
completely different by contrast produced by many contributions. In development sample
geometry we will make the relationship contributions in an orderly manner, although at first
it was in Grecia where this branch was founded, later Euclides foundation geometry so flat
object and analyzes this non-commensurability found geometry of this came something so
shocking scale known as No-Euclidean geometry on the basis of spherical elliptical
relationship as representative of this development is described Riemann. All this
development of knowledge supported on the show argued by expressions and procedures,
shape complementarity between mathematics and geometry, geometry could not be without
mathematics and mathematical could not have evolved without the geometry given from
studies in characterization Examples might be the construction spaces, measuring lengths
mega complex as the diameter of the world and many more. This whole process of validity
found in the contributions mentioned from the fascinating geometry help in its development

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and as a means to complement mathematical developments will be discussed in this article
by means of research.
Palabras Clave:
Geometría, matemáticas, evolución de la matemática, Evolución de la geometría, teorías o
fundamentos, demostración, ciencia, investigación, estudio, conocimiento.
Keywords:
Geometry, mathematics, matemathic evolution, geometry evolution, theories or
foundations, demonstration, science, investigation, study, knowledge.
Introducción
El siguiente artículo se realiza con el fin de desarrollar la cualidad investigativa en la
identificación del desarrollo de la geometría como una rama del saber que ha contribuido
ampliamente a la evolución de la ciencia matemática con aportes y situaciones propios
que nos rodean en la identificación de cualidades y solución de problemas. Presenta un
inconveniente y es que como bien sabemos los procedimientos matemáticos son solo ideas
y hacen parte de la interpretación de la mente humana, lo cual lucharemos por aclarar
mediante la hipótesis la matemática es un pilar de la geometría como rama del saber con
su contribución de demostración exacta, a la vez la geometría fortalece la matemática
también porque hace uso de operaciones y procedimientos propios de esta como tal para
poder realizar estudios y descubrimientos, permitiendo su fortalecimiento y evolución. Si
bien esta relación es de complemento entre la matemática y la geometría.
El marco teórico apunta a explicar lo que la tesis en un principio ha propuesto, en el caso
se estará investigando acerca de los interrogantes ¿es válida la geometría como rama del
saber?, ¿cómo contribuye la geometría a la evolución matemática mediante sus
procedimientos? apoyados en las geometrías de Euclides, Riemann y Cavallieri.
Investigaremos además sobre las proposiciones principales, “el saber geométrico”, porque
este es la manera de verificar en un principio el aporte que luego estará contribuyendo “la
evolución de la matemática”. La metodología utilizada se da mediante el análisis directo de
publicaciones utilizadas en el recurso web, buscando una investigación cualitativa luego de
ese análisis para la posterior interpretación. En general hay muchas fuentes de información
acerca del tema esto debido a que el campo al que corresponde la rama que se aproxima a la
investigación está inmerso en la demostración, experimentación y deducción de resultados
que busca ante todo verificar su saber en la proximidad de carácter exacto y más aun
hablando de herramientas matemáticas. La importancia de este estudio e investigación en
las matemáticas se da porque desde la antigüedad ha tenido gran relevancia y gracias a ella
hemos podido comprender y analizar los hechos motivo de su evolución no solo como

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teoría, sino practica la hora de afrontar problemas y darles solución mediante el fundamento
de la matemática.
La geometría una rama del saber, partiendo de las contribuciones de
Euclides, Riemann y Cavalieri.
Si bien se había afirmado que las
matemáticas en general son solo un
conjunto de ideas, pero viene aquí la
interpretación de la otra forma de
conocimiento; Si le sumamos a este
planteamiento el enfoque o forma de
conocer mediante el empirismo se puede
decir que hacen parte del mundo externo
y que mediante su aplicación es posible
comprenderlas, no es particular
considerar que la geometría se encuentra
impregnada en cada estructura, en cada
fenómeno correcto y exactamente
demostrado por procesos ordenados.
Para el conjunto de áreas que hacen
parte del espacio matemático, se han
encontrado maneras de investigación y
aceptación que permiten identificar el
valor de saber y por ende calificar los
aportes que han surgido de entre sus
estudios contribuyendo ampliamente al
conocimiento, un ejemplo lo es el
método científico. Este contribuye a afianzar a
las ciencias exactas a la proximidad de ser
consideradas como verdaderas mediante su
aplicación, este método basado en el estudio
sistemático, controlado, empírico y crítico de
proposiciones hipotéticas acerca de presuntas
relaciones entre varios fenómenos. (Kerlinger,
1988, pág. 17_29)
Tenemos entonces una herramienta
que a lo largo del tiempo desde su uso,
permite la validación de la geometría
presente en el espacio por medio de
procedimientos lógicos y válidos y
representa también un motivo más para
atribuir a esta la sabiduría de
acontecimientos desde varias perspectivas
como las mostradas a continuación:
La geometría de Euclides como
contribución al saber: En la geometría
Euclidiana, Euclides su intérprete plasma
como base geométrica la línea y
considera que el espacio es plano,
aquella aproximación por consiguiente
compara y exalta la línea recta como
figura aproximada de la forma de las
cosas, como aproximación de
conocimiento esta por afirmar que la
tierra misma posee esa figura y que es
válida desde el argumento de ser
concebida además como plana. La
geometría Euclidiana posee un
fundamento claro correctamente
aceptado, pues ha servido de base para el
surgimiento de nuevos avances como el
de Newton hacia la física, no obstante
ello no ha perdido su validez1
. Este es un
espacio perfecto para citar los postulados
del genio Euclides que dan paso al
desarrollo de las geometrías y no obstante
1
Validez: es aquella cualidad que posee un proceso
mediante el cual se clarifica su valor de aceptación

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al crecimiento en la evolución de la
matemática como tal:
De los 5 Postulados de Euclides:
1. Por cualquier punto se puede trazar una
recta que pasa por otro punto cualquiera.
2. Toda recta limitada puede prolongarse
indefinidamente en la misma dirección.
3. Con un centro dado y un radio dado se
puede trazar un círculo.

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4. Todos los ángulos rectos son iguales entre
sí.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma
los ángulos internos de un mismo lado
menores que dos rectos, esas dos rectas
prolongadas indefinidamente se cortan del
lado con que están los ángulos menores que
dos rectos. (Euclides, 300 a.c, Libro1 -
WIKIPEDIA.ORG, 2015)
Este último postulado de Euclides puede
encontrar un nuevo estudio de la
geometría no euclidiana, donde se llegó a
la conclusión de que no es cierto,
llevando a diferentes contribuciones y
llegándose a una nueva exposición de
demostraciones con la negación del
quinto postulado de Euclides con ello
también abriendo la posibilidad de
generar más desarrollo y avance en la
geometría y las matemáticas.
Euclides de Alejandría:
Viviente del pueblo de Alejandría entre los años
(ca. 325-ca. 265 a. C.), conocido como el padre de
la geometría, fue un personaje solemne en la
historia de las matemáticas, más exactamente
dedica su atención al área geométrica siendo
algunos de sus aportes los siguientes: Teoría
deductiva de la Geometría en los 13 libros de
Euclides consignando (geometría plana, teoría de
los números, inconmensurables y geometrías de
sólidos. Se Divide en:
· Geometría Plana: Fundamento de su teoría,
en el espacio lo más sublime es la línea recta.
·
Hacia la Geometría No euclideana:
La geometría de Friedrich Riemann
como contribución al saber.
Con Bernhard Riemann la geometría se
convierte en adherente del espacio al
realizar estudios de gran proximidad
como la base de sus aportes en “La
geometría Esférica”, exaltadamente que
es un ejemplo de la geometría no
euclidiana. Ahora mediante este
postulado es posible calificarla como
rama del saber 2
porque cumple con
ciertos criterios de existencia, asemeja su
fundamento a la forma de la tierra con la
figura esférica y en ello niega la
prolongación infinita de la línea recta
argumentando que hay un punto en el que
la línea se vuelve curva. Este estudio y
aporte de evolución ha sido clave para
estudios posteriores como el de la
Relatividad, a partir de ello además se
atribuye en su desarrollo que haya sido
posible calcular su volumen y magnitudes
variantes.
Georg Friedrich Bernhard Riemann:
Breselenz, actual Alemania, 1826 – Selasca, Italia,
1866) Matemático alemán, Su padre era pastor
luterano, y su primera ambición fue la de seguir
sus pasos. En su corta vida contribuyó a
muchísimas ramas de las matemáticas: integrales
de Riemann, aproximación de Riemann, método
de Riemann siendo lo más importante la relación
esférica de la geométrica.
Rama del Saber: Es aquel campo de estudio que ha
contribuido ampliamente a fortalecer la búsqueda del
conocimiento propio de los aspectos que nos
rodean.

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La geometría de Cavalieri como
contribución al saber
La geometría de Cavalieri ha dado
grandes ayudas sobre todo a aplicaciones
geométricas, la más exaltada es la teoría
de los indivisibles, en la cual se trabajó
con unidades infinitas imposibles de
dividir, esto atribuye también su nombre
al tipo geométrico. Su aporte está también
en la manera de calcular el volumen a
superficies o figuras geométricas
mediante aplicación comparativa.
En el medio, el ejemplo de saber más
afianzado sin duda es la capacidad de
demostración de esta aplicación, en
diversas estructuras geométricas de
diversas secciones y magnitudes
relacionando aspectos de volumen,
longitud de radio y lados.
Bonaventura Cavalieri (Matemático italiano):
Geometría Indivisíbilus Continuorum Sus aportes
a la geometría fueron:
Teoría de los “indivisibles”: La base de este
aporte es sin lugar a duda el gran avance de poder
calcular los Volúmenes de figuras Geométricas
Las geometrías de Euclides, Riemann y
Cavallieri poseen sólidos fundamentos de
aportes al saber, con mayor profundidad
pueden ser consultados en el cuadro “Lo
más relevante de la Geometría” presente
al final de este artículo.
b. ¿Cómo ha contribuido en si la Geometría con su desarrollo a la
Evolución Matemática mediante su respaldo?
Los procedimientos que enmarcan el
“como” en todos estos procesos son pasos
guiados por el orden experimental, si bien
la geometría en primer lugar indaga,
luego bosqueja el fenómeno de estudio,
aplica sus leyes (estas leyes son derivadas
de la matemática) y somete sus resultados
a prueba. La prueba de ello es más que
demostrada, es capaz de mostrar un
resultado que posee las cualidades
impregnadas en el estudio por medio de
observación de la figura con respaldo y
argumento de resultado matemático, esto
quiere decir que la prueba de un
determinado aporte desde la geometría se
da por medio de graficacion de la
situación a estudiar para posteriormente
complementar su argumento mediante el
uso ecuacional u operacional de la
Matemática. Con todo este proceso de
desarrollo del área geométrica, la
matemática ha venido creciendo como
ciencia a lo largo del tiempo y es un
hecho que no ocurre solo con la
geometría sino con las demás áreas o
nodos de ella como la trigonometría o la
aritmética, lo común aquí es que todas
ellas utilizan siempre las herramientas
que brinda la misma matemática.

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c. Acerca del saber geométrico, como apoyo a una ciencia evolutiva por
excelencia “la matemática”
La geometría está fundamentada en el
estudio de figuras con procedimientos que
permiten calcular hasta el lado más
grande de estas. El saber geométrico ante
todo no solo se puede atribuir a ello, más
bien se puede pensar que ya desde tiempo
atrás las figuras han sido estudio pero ya
en el espacio físico que nos rodea (formas
y magnitudes para la construcción por
ejemplo). La geometría ha respaldado a la
matemática en su evolución con pasos
importantes, si bien ha permitido que esta
ciencia pase de ser solo procedimientos
en una hoja de papel a ser procedimientos
impregnados del espacio físico del que
hacemos parte, y ello si es un tema que no
lo podemos negar “La existencia de las
cosas”, pues no podemos dudar de lo que
tocamos y podemos identificar. Según la
publicación ayuda para profesores, La
geometría, a partir de la antigua geometría griega,
se ha desarrollado como un sistema deductivo,
construido a partir de axiomas, cuya validez se
obtiene por procedimientos lógicos
(Publicación web, 2015). Un ejemplo de
ello, es la deducción de Euclides a partir
de sus 5 postulados, para la consecuencia
del teorema del triángulo, “la suma interna
de los ángulos de cualquier tipo de triangulo
es igual a 180°”(Euclides, 300ª.c Libro1)
(Wikipedia.Org,2015).Pero estos
procedimientos son apoyados
directamente de la matemática en general
como ciencia, pues un ejemplo es que la
suma o multiplicación en geometría no
son diferentes a los empleados a la
matemática como tal, si fuese así sería
como perder el sentido lógico de una
ciencia totalmente ordenada y apoyada
mediante el respaldo de sus ramas o
campos derivados. El saber geométrico ya
viene siendo atribuido desde su desarrollo
como tal, algunos ejemplos pueden ser
los teoremas constituidos por axiomas
como el que se acaba de nombrar y
muchos más como los teoremas que
permiten revelar partes desconocidas de
una figura geométrica por medio de
relaciones, ellos son el Teorema del seno
y coseno3
, en los que cuya base es la
relación del lado con su correspondiente
ángulo.
3
Teorema del seno=
𝑨
𝑺𝒆𝒏 𝒂
=
𝑩
𝒔𝒆𝒏𝒃
=
𝑪
𝒔𝒆𝒏 𝒄
, este teorema
permite despejar lados u ángulos por medio del despeje
de variables en su identificación del triángulo, es una
aplicación que permite conocer y manejar el saber.
Teorema del coseno: para el caso identificaremos el
lado A en relación al coseno de su ángulo, en la
inclusión de sus lados compañeros dentro del triángulo,
aquello que dice que:
𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒂 y que también por medio
de operatividad y despeje permite conocer lados y
magnitudes desconocidas. Miramos aquí ejemplos de
saber geométrico aplicados a la diversidad de casos y
situaciones de la vida.
Imagen 1. Caricatura. Google Imágenes (2015)

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c. Fundamento Matemático para el apoyo de áreas como la geometría en
complemento para su fortalecimiento como ciencia
El fundamento matemático ante todo está
ligado a la función que cumple cada una
de sus herramientas como las operaciones
y leyes dadas para cada caso en su campo
y cree irreemplazablemente en la
exactitud de lo que plantea, sirve en gran
medida como medio de complemento y
conexión entre sus áreas y a la vez para su
avance mismo. El articulo plantea La
geometría como rama del Saber
mediante el fundamento matemático
para la evolución matemática como
ciencia, significa entonces que
claramente la geometría hace uso de estas
herramientas de la matemática para
sustentar su propósito y a la vez ayudar y
evolucionar el área matemática, estas dos
palabras habladas de ciencia y área,
Matemática y geometría, no actúan
independientemente se apoyan y
complementan entre sí. El fundamento
matemático sustentado en el aporte de
operaciones y procedimientos, sirve como
medio importante de conexión, permite
que la geometría avance gracias a la
claridad de sus estudios y a la vez esta
permite que la matemática evolucione
gracias a los aportes brindados desde la
geometría.
Miremos el ejemplo en el que se incluye
la fundamentación geométrica de
Cavalieri al usar herramientas
matemáticas para sustentar su estudio. La
función de Cavalieri en su geometría es
tratar de calcular el volumen de figuras o
espacios complejos por medio de
utilización de ecuaciones y
procedimientos ordenados de
operaciones. Entre la geometría y la
matemática como tal existe un
complemento que permite tanto el
desarrollo de esta en sus estudios, así
como la progresiva evolución de la
matemática como ciencia.
Ejemplo y Gráfico de Explicación:

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Imagen 2. Complementó entre la Geometría y la Matemática como tal. Duvan Alvear
1) CUADRO HISTORICO DE LO MAS RELEVANTE DE LA GEOMETRIA
Inicio de la Geometría
Periodo
Histórico
Cultura y
personaje
Tema de aporte Aplicación
Antiguo
(Inicio)
Tales de
Mileto
Padre de la Geometría aporta con el logro principal
e inicio geométrico “Teorema de Tales”
Aplicación en figuras geometrías, haciendo uso de longitud,
ángulos lados “todo Angulo de una circunferencia es un ángulo
recto”
Pitágoras
de Samos
Fundador de la escuela Pitagórica, a quien se le
atribuye el “Teorema de Pitágoras”.
Teoría Filosófica y Epistemológica: “Todo en el
mundo es número” ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Hoy en día se usa como aplicación en fuentes de construcción y
maneras didácticas el logro atribuido a: “El cuadrado de la
Hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”
Geometrías Euclideanas
Siglo III
a.c
Euclides Teoría deductiva de la Geometría en los 13 libros
de Euclides consignando (Geometría plana, teoría
de los números, Inconmensurables y Geometrías de
Solidos. Se Divide en:
 Geometría Plana: Fundamento de su teoría.
 Geometría del Espacio: el espacio es una
línea recta
La Geometría Euclideana daba un aspecto comparativo de la
tierra como plana. Su teoría se sostiene en dos rectas paralelas
que se pueden prolongar hacia el infinito.
Geometrías no euclidianas
Siglo
XVIII
Girolano
Sacceheri
Análisis de veracidad de lo estipulado por
Euclides.
Inicio de Contradicción de la Geometría plana.
Siglo
XIX
Carl Gauss Construcción de sistemas Geométricos diferentes. Obtuvo la no demostrabilidad del 5 postulado de Euclides
Siglo
XIX
IvanovitchL
obachevsky(
Rusia)
Modelo Geométrico No Euclideano Sistema geométrico no Euclideano, bajo la hipótesis y utilización
de ángulos curvos.
Siglo
XIX
Cavalieri
(Italia)
Geometría Indivisible Calculo de Volumen de figuras Geométricas complejas por
comparación.
Siglo
XIX
Bernhard
Riemann
(Alemania)
Aporte Geométrico de superficies curvas, expresa
la negación a Euclides mediante la negación de
que la línea recta se prolongue al infinito porque es
una curva.
Aportes en Hipótesis que sirven de fundamento a
la Geometría.
Instauración de la Geometría Esférica, mediante Hipérboles.
Superficie de una esfera y todas las formas y figuras se restringen
a esa superficie. Aproximación a la forma del mundo.
Geometría analítica
Edad
Moderna
Descartes
(Francia)
Geometría analítica mediante la utilización de
puntos dados por ecuaciones al plano.
Modelo de expresión en el plano cartesiano y la relación con el
álgebra Lineal
Aplicación Epistemológica: Poincaire es el principal personaje que investiga la validez de postulados Geométricos mediante la utilización de
ideas lógicas de manera filosófica.

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CONCLUSIONES
Buscábamos realizar un reconocimiento de aporte al conocimiento por medio del saber de
la geometría y la matemática, esta última como ciencia compleja que gracias a los aportes
de las ramas como la misma geometría se logra fortalecer. Este reconocimiento lo permitió
la investigación para lo cual se realizó el recorrido de desarrollo de la geometría desde
Grecia con Euclides de Alejandría, pasando por las geometrías no euclideanas hasta las
geometrías modernas clasificadas como analíticas por permitir la conexión de la gráfica con
el procedimiento o demostración matemática. Posteriormente por medio de la deducción de
lectura y análisis propios de la investigación, nos logró aclarar que la matemática y la
geometría si son saberes que en forma de complemento por medio de herramientas como
las operaciones y relación de variables clarifican un resultado, esto a lo que en el desarrollo
del artículo denominamos fundamento matemático. En si esta relación de geometría y
matemática es lo que nuestra tesis en un principio formulaba, el sentido y desarrollo de ello
es concreto tal como si fuesen dos variables que avanzan en medida directamente
proporcional, la geometría avanza si posee el apoyo de la matemática y la matemática en
impacto evoluciona si sus ramas para el caso la geometría y muchas más le aportan con
estudios y descubrimientos, este desarrollo del articulo permitió concretarlo aún más, pues
se muestran las maneras y aportes con que ellas funcionan. Las personas que leen el
presente artículo tienen mucho camino por seguir, a partir de este texto es posible seguir
indagando como los diferentes aportes de saber producen nuevos y fundamentados
estudios, tal es el caso de Albert Einstein quien por medio de la teoría de los indivisibles
desarrollada por Cavalieri encontró el avance y gran proceso de la relatividad que hoy en
día goza de gran aplicación en el mundo cotidiano que nos rodea. De la realización del
artículo en si quedan grandes aprendizajes guiados desde nuestro análisis e interpretación
adecuada.
Autor: Duvan Hernan Alvear
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