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MATEMATICAS Y EXPERIENCIA II
CARLOS FELIPE CRIOLLO A
Docente
DRA. MARTHA LUCIA BOBADILLA ALFARO
Universidad del Cauca
Facultad de ciencias naturales, exactas y de educación
Programa licenciatura en matemáticas
Popayán
Diciembre 01 de 2016
LOS NÚMEROS REALES EVOLUCIÓN TRANSPARENTE
Hasta la mitad del siglo XIX muchos resultados matemáticos se basaron en la
interpretación geométrica, es decir, la demostración gráfica de la continuidad de la
recta; sin embargo, en cada periodo histórico y por más de dos mil años, filósofos y
matemáticos fueron presentando relaciones entre la continuidad de la recta y la
completitud de los números reales, aportes que reconocen su existencia por fuera
de la geometría. Esta última ha sido el recurso actual para la enseñanza de las
matemáticas, en donde se presentan” los números reales como entes ya existentes
que cumplen propiedades algebraicas y de orden, y se les da una representación
en la recta que no trasciende el hecho de ubicar los racionales y raíz de dos sin
llegar a resaltar y analizar el trasfondo de esta correlación “la continuidad” (Heinrich
Lambert, 1756)
Así entonces, éste ensayo recorre los diferentes periodos históricos en los que el
concepto de números reales va mostrando la evolución en el pensamiento humano,
que parte de la necesidad de abordar la realidad creando nuevos modelos de
reflexión fiables que conlleven a un consenso general en la interacción humano-
mundo. Por tanto, se deja clara la idea que los filósofos interesados en despejar los
misterios del conocimiento humano, han visto en el pensamiento matemático un
campo ideal de trabajo para poner a prueba sus hipótesis y teorías. Sin embargo,
estas reflexiones muestran más recursos histórico-epistemológicos que los modelos
didácticos actuales en la academia, de la cual se desprenden vacíos desde el mismo
contexto de las matemáticas hasta la puesta en práctica en los diferentes cursos de
bachillerato y pregrado.
Para iniciar el recorrido histórico se debe hablar del periodo griego, en el cual se
aporta un desarrollo importante en la matemática elevándola al nivel de ciencia. En
ésta época las matemáticas adquieren un cuerpo, reflexión teórica, estructuras y
propiedades susceptibles a demostraciones que aún son estudiadas. El objetivo de
la ciencia, aunque mantenía su nivel de praxis para el diario vivir sumido en diversos
contextos (guerras, civilizaciones, política, entre otros), ya se permitía el
razonamiento lógico para demostrar teoremas geométricos.
En ésta época, los procedimientos Lógico-Deductivos eran la columna vertebral de
la producción matemática, es así como Euclides indica la primera idea de
continuidad de la recta en la geometría, basándose en el sentido común, en la
percepción natural y sensorial que caracteriza al pensamiento humano de aquel
entonces, para aterrizar en la representación gráfica y material de la noción de
continuidad. Lo anterior se acerca al modelo de enseñanza actual para los
conceptos de continuidad. Por ejemplo, en la construcción de un triángulo a partir
de dos círculos, la intuición es la que garantiza la existencia de los puntos de
intersección, es así como se acepta en la práctica educativa, pero se dejan de lado
métodos más elaborados que aportan un entendimiento más completo del
concepto.
Los tiempos de Pitágoras comprendieron el mundo a partir de los números, todo es
un número y la realidad estaba entendida por razones y proporciones. Las unidades
de medida permitían establecer comparaciones entre magnitudes homogéneas y a
partir de otras diferentes se entendían las razones con las proporciones, es decir, la
matemática en magnitudes conmensurables. El fenómeno que le seguía era el de
las magnitudes inconmensurables, que abre el campo de la geometría como
respuesta. Saltando en la línea de tiempo se puede citar, a manera de ejemplo, el
trabajo de Lindenman (1852-1939) matemático alemán, quien demuestra que es
imposible construir un cuadrado de área igual a un círculo dado exactamente con
regla y compás; aunque, la antigüedad griega encontró que los números no eran
necesarios. Esto conduciría a un estancamiento de la evolución de los números
reales pues el uso de las propiedades geométricas por medio de la aritmética,
permite operar esas propiedades con algoritmos rápidos y precisos.
En cuanto a la edad media, ya se hablaba de fracciones que representaban un
número como medida de cantidad, no se aceptaban soluciones que no llevaran a
una interpretación geométrica, y aparecieron los números imaginarios y las
irracionalidades; el álgebra como forma de modelar problemas dando inicio a la
geometría analítica. Hasta ese momento los números, nombrados también
magnitudes, se aceptaron por su praxis en tanto pudiesen ser representados como
magnitudes lineales y operados de acuerdo a reglas de cálculo cuyo resultado era
correcto.
En los siglos XVII y XVIII, la interpretación cada vez más rigurosa de la realidad en
los campos de la física y matemáticas, prepararon el camino para Leibniz y Newton
de los cuales nace el cálculo como método de resolución de problemas. El método
estaba impregnado de cantidades infinitesimales sin fundamento, es decir, el
cálculo de la época no era muy ordenado y consistente permitiendo lagunas en los
conceptos de función, derivada, entre otros.
A partir de lo anterior se fundamentó el análisis matemático por medio de una serie
de teoremas respecto de la noción de límite y el cálculo de desigualdades. Algunos
de estos no pudieron ser demostrados de forma rigurosa como el caso del teorema
del valor medio y el teorema de sucesiones crecientes y acotadas, los cuales
establecen la existencia de ciertos puntos y requieren de la continuidad del conjunto
de los números reales. Razón por la cual, fue necesaria una construcción de estos
números.
Dos matemáticos afrontaron el reto, por un lado Cantor aportando el concepto de
sucesión fundamental a la construcción de los límites y Dedekind el concepto de
cortadura en los conjuntos, lo cual la hace más rigurosa que la de Cantor pues el
concepto de límite se construye asumiendo la existencia de los números reales. Por
lo tanto, a partir de Dedekind los números reales se fundamentan aritméticamente
a partir de los racionales con base a la noción de cortadura ideada como análogo
del axioma que formuló sobre la continuidad de la recta. Así los números reales se
desligan de las magnitudes y como tienen una propiedad similar al axioma de
continuidad de la recta, entonces se les denomina como un conjunto continuo o
completo (Blyth, 2005)
Cantor aporta el siguiente análisis para la continuidad de números reales:
“Todo encaje de intervalos con puntos extremos reales contiene un número real”.
Entonces si se toma un encaje de intervalos real [𝑥𝑛,𝑦𝑛] cada uno contenido en el
precedente y tal que 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 sea una sucesión nula. Y sea [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] un encaje de
intervalos racionales que contiene a [𝑥𝑛,𝑦𝑛], o sea, con 𝑎𝑛 ≤ 𝑥𝑛 y 𝑏𝑛 ≤ 𝑦𝑛 para todo
n. Como cada encaje de intervalos racionales define un número real, se dice que
𝑥 = [𝑎𝑛, 𝑏𝑛]. Ahora, si 𝑥 no pertenece a todos los intervalos [𝑥𝑛, 𝑦𝑛] , por ejemplo,
𝑥 < 𝑥𝑚 para cierto intervalo [𝑥𝑚, 𝑦𝑚] ; debe existir un racional 𝑟 tal que 𝑥 < 𝑟 < 𝑥𝑚 .
Ahora teniendo en cuenta que cada encaje de intervalos racionales produce una
separación de los racionales en tres clases:
Primera clase: los racionales r tales que 𝑟 < 𝑎𝑛 para casi todo n.
Segunda clase: los racionales r tales que 𝑎𝑛 < 𝑟 < 𝑏𝑛 para casi todo n.
Tercera clase: los racionales r tales que 𝑏𝑛 < 𝑟 para casi todo n.
Entonces lo anterior integra a r en la tercera clase de [𝑎𝑛,𝑏𝑛 ] y 𝑦𝑛 ≤ 𝑏𝑛 < 𝑟 < 𝑥𝑚 ≤
𝑥𝑛 lo que conduce a una contradicción, ya que 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛. Por lo tanto, 𝑥 pertenece a
todo el encaje de intervalos real [𝑥𝑛,𝑦𝑛]. En consecuencia, el sistema de los
números reales es continuo”. (Cantor, 1871)
Por su parte Richard Dedekind al utilizar la teoría de conjuntos, le da fundamento
aritmético al cálculo infinitesimal de manera tal que se superan los diversos
problemas e inconsistencias en el proceso anterior.
Cuando el número real se define como magnitud continua o proporción, las
demostraciones caían en el mero aspecto geométrico. En el momento en que se lo
considera como fracción continua, no se podían definir los irracionales de una forma
única. Cuando se lo considera como fracción decimal, se llega al inconveniente que
los irracionales no tienen una regularidad en las décimas y posteriormente, con el
concepto de límite de sucesiones o sucesiones determinadas por encajes de
intervalos, se definían los reales a través del concepto de límites, algo contradictorio
pues la noción de límite se define a partir de los reales.
Así entonces el aporte de Dedekind respecto al concepto de continuidad es
establecerla como una propiedad que aunque indemostrable a nivel geométrico se
puede construir a nivel aritmético. Además, una vez definidos los números reales y
construida su continuidad que es equivalente a la continuidad de la recta, se puede
definir con certeza que todo punto sobre la recta corresponde exactamente a un
número real y recíprocamente.
Así, la geometría, que venía siendo la herramienta con la que se describían las
propiedades de los números reales, pasa a un segundo plano, pues el sistema de
los números reales (comúnmente llamado el continuo real) se constituye ahora
como una herramienta base para el estudio de las magnitudes en cualquier
propiedad geométrica.
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede entender la posición filosófica de los
matemáticos en cada época. Desde los griegos para los cuales “todo es un número”
hasta Dedekind para quien “los números son la libre creación de la mente humana”
se manifiestan rigurosidades y exigencias que el mismo contexto a nivel social,
cultural, tecnológico y político permiten. Es decir, el estudio de las matemáticas
siempre estará interrelacionado con el contexto y diversas realidades del entorno.
Hoy en día los alcances de los planes de estudio hacen parte de este contexto y la
posibilidad de lograr un alcance mayor en el estudio de los conceptos parece estar
relegados a las exigencias del ritmo de vida globalizada actual, la productividad,
tiempo y preparación de los guías en cada institución educativa.
A manera de conclusión, se puede establecer la real importancia del estudio
Histórico y epistemológico que fundamenta el pensamiento humano en cada época.
Los conceptos no se forjan por mera serendípia o azar, siempre hay un factor que
va preparando el camino para una nueva pregunta. Por tal razón, la construcción de
los números reales hace parte de una continua evolución social y cultural, un
proceso que ha dejado huellas perceptibles para ojos despiertos, pero que es
transparente ante la actual pedagogía normalizada.
Referencias
[1] J. E. T. Gil,«Un acercamientoal conceptoycompletitudde losnúmerosreales,» Universidad
Nacionalde Colombia - Facultad deCiencias, 2011.
[2] PAREJA,D.DavidHilbertysu Escuela.Matemática-EnseñanzaUniversitaria.No.7.Bogotá.
1978, con versiónactualizadaen:
http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/historiam.htm
Construcción de los números reales porla Universidad del cauca se distribuye bajo unaLicencia
Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional .

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Construcción de los números reales

  • 1. MATEMATICAS Y EXPERIENCIA II CARLOS FELIPE CRIOLLO A Docente DRA. MARTHA LUCIA BOBADILLA ALFARO Universidad del Cauca Facultad de ciencias naturales, exactas y de educación Programa licenciatura en matemáticas Popayán Diciembre 01 de 2016
  • 2. LOS NÚMEROS REALES EVOLUCIÓN TRANSPARENTE Hasta la mitad del siglo XIX muchos resultados matemáticos se basaron en la interpretación geométrica, es decir, la demostración gráfica de la continuidad de la recta; sin embargo, en cada periodo histórico y por más de dos mil años, filósofos y matemáticos fueron presentando relaciones entre la continuidad de la recta y la completitud de los números reales, aportes que reconocen su existencia por fuera de la geometría. Esta última ha sido el recurso actual para la enseñanza de las matemáticas, en donde se presentan” los números reales como entes ya existentes que cumplen propiedades algebraicas y de orden, y se les da una representación en la recta que no trasciende el hecho de ubicar los racionales y raíz de dos sin llegar a resaltar y analizar el trasfondo de esta correlación “la continuidad” (Heinrich Lambert, 1756) Así entonces, éste ensayo recorre los diferentes periodos históricos en los que el concepto de números reales va mostrando la evolución en el pensamiento humano, que parte de la necesidad de abordar la realidad creando nuevos modelos de reflexión fiables que conlleven a un consenso general en la interacción humano- mundo. Por tanto, se deja clara la idea que los filósofos interesados en despejar los misterios del conocimiento humano, han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo para poner a prueba sus hipótesis y teorías. Sin embargo, estas reflexiones muestran más recursos histórico-epistemológicos que los modelos didácticos actuales en la academia, de la cual se desprenden vacíos desde el mismo contexto de las matemáticas hasta la puesta en práctica en los diferentes cursos de bachillerato y pregrado. Para iniciar el recorrido histórico se debe hablar del periodo griego, en el cual se aporta un desarrollo importante en la matemática elevándola al nivel de ciencia. En ésta época las matemáticas adquieren un cuerpo, reflexión teórica, estructuras y propiedades susceptibles a demostraciones que aún son estudiadas. El objetivo de la ciencia, aunque mantenía su nivel de praxis para el diario vivir sumido en diversos contextos (guerras, civilizaciones, política, entre otros), ya se permitía el razonamiento lógico para demostrar teoremas geométricos. En ésta época, los procedimientos Lógico-Deductivos eran la columna vertebral de la producción matemática, es así como Euclides indica la primera idea de continuidad de la recta en la geometría, basándose en el sentido común, en la percepción natural y sensorial que caracteriza al pensamiento humano de aquel entonces, para aterrizar en la representación gráfica y material de la noción de continuidad. Lo anterior se acerca al modelo de enseñanza actual para los conceptos de continuidad. Por ejemplo, en la construcción de un triángulo a partir de dos círculos, la intuición es la que garantiza la existencia de los puntos de intersección, es así como se acepta en la práctica educativa, pero se dejan de lado
  • 3. métodos más elaborados que aportan un entendimiento más completo del concepto. Los tiempos de Pitágoras comprendieron el mundo a partir de los números, todo es un número y la realidad estaba entendida por razones y proporciones. Las unidades de medida permitían establecer comparaciones entre magnitudes homogéneas y a partir de otras diferentes se entendían las razones con las proporciones, es decir, la matemática en magnitudes conmensurables. El fenómeno que le seguía era el de las magnitudes inconmensurables, que abre el campo de la geometría como respuesta. Saltando en la línea de tiempo se puede citar, a manera de ejemplo, el trabajo de Lindenman (1852-1939) matemático alemán, quien demuestra que es imposible construir un cuadrado de área igual a un círculo dado exactamente con regla y compás; aunque, la antigüedad griega encontró que los números no eran necesarios. Esto conduciría a un estancamiento de la evolución de los números reales pues el uso de las propiedades geométricas por medio de la aritmética, permite operar esas propiedades con algoritmos rápidos y precisos. En cuanto a la edad media, ya se hablaba de fracciones que representaban un número como medida de cantidad, no se aceptaban soluciones que no llevaran a una interpretación geométrica, y aparecieron los números imaginarios y las irracionalidades; el álgebra como forma de modelar problemas dando inicio a la geometría analítica. Hasta ese momento los números, nombrados también magnitudes, se aceptaron por su praxis en tanto pudiesen ser representados como magnitudes lineales y operados de acuerdo a reglas de cálculo cuyo resultado era correcto. En los siglos XVII y XVIII, la interpretación cada vez más rigurosa de la realidad en los campos de la física y matemáticas, prepararon el camino para Leibniz y Newton de los cuales nace el cálculo como método de resolución de problemas. El método estaba impregnado de cantidades infinitesimales sin fundamento, es decir, el cálculo de la época no era muy ordenado y consistente permitiendo lagunas en los conceptos de función, derivada, entre otros. A partir de lo anterior se fundamentó el análisis matemático por medio de una serie de teoremas respecto de la noción de límite y el cálculo de desigualdades. Algunos de estos no pudieron ser demostrados de forma rigurosa como el caso del teorema del valor medio y el teorema de sucesiones crecientes y acotadas, los cuales establecen la existencia de ciertos puntos y requieren de la continuidad del conjunto de los números reales. Razón por la cual, fue necesaria una construcción de estos números. Dos matemáticos afrontaron el reto, por un lado Cantor aportando el concepto de sucesión fundamental a la construcción de los límites y Dedekind el concepto de cortadura en los conjuntos, lo cual la hace más rigurosa que la de Cantor pues el concepto de límite se construye asumiendo la existencia de los números reales. Por lo tanto, a partir de Dedekind los números reales se fundamentan aritméticamente
  • 4. a partir de los racionales con base a la noción de cortadura ideada como análogo del axioma que formuló sobre la continuidad de la recta. Así los números reales se desligan de las magnitudes y como tienen una propiedad similar al axioma de continuidad de la recta, entonces se les denomina como un conjunto continuo o completo (Blyth, 2005) Cantor aporta el siguiente análisis para la continuidad de números reales: “Todo encaje de intervalos con puntos extremos reales contiene un número real”. Entonces si se toma un encaje de intervalos real [𝑥𝑛,𝑦𝑛] cada uno contenido en el precedente y tal que 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 sea una sucesión nula. Y sea [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] un encaje de intervalos racionales que contiene a [𝑥𝑛,𝑦𝑛], o sea, con 𝑎𝑛 ≤ 𝑥𝑛 y 𝑏𝑛 ≤ 𝑦𝑛 para todo n. Como cada encaje de intervalos racionales define un número real, se dice que 𝑥 = [𝑎𝑛, 𝑏𝑛]. Ahora, si 𝑥 no pertenece a todos los intervalos [𝑥𝑛, 𝑦𝑛] , por ejemplo, 𝑥 < 𝑥𝑚 para cierto intervalo [𝑥𝑚, 𝑦𝑚] ; debe existir un racional 𝑟 tal que 𝑥 < 𝑟 < 𝑥𝑚 . Ahora teniendo en cuenta que cada encaje de intervalos racionales produce una separación de los racionales en tres clases: Primera clase: los racionales r tales que 𝑟 < 𝑎𝑛 para casi todo n. Segunda clase: los racionales r tales que 𝑎𝑛 < 𝑟 < 𝑏𝑛 para casi todo n. Tercera clase: los racionales r tales que 𝑏𝑛 < 𝑟 para casi todo n. Entonces lo anterior integra a r en la tercera clase de [𝑎𝑛,𝑏𝑛 ] y 𝑦𝑛 ≤ 𝑏𝑛 < 𝑟 < 𝑥𝑚 ≤ 𝑥𝑛 lo que conduce a una contradicción, ya que 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛. Por lo tanto, 𝑥 pertenece a todo el encaje de intervalos real [𝑥𝑛,𝑦𝑛]. En consecuencia, el sistema de los números reales es continuo”. (Cantor, 1871) Por su parte Richard Dedekind al utilizar la teoría de conjuntos, le da fundamento aritmético al cálculo infinitesimal de manera tal que se superan los diversos problemas e inconsistencias en el proceso anterior. Cuando el número real se define como magnitud continua o proporción, las demostraciones caían en el mero aspecto geométrico. En el momento en que se lo considera como fracción continua, no se podían definir los irracionales de una forma única. Cuando se lo considera como fracción decimal, se llega al inconveniente que los irracionales no tienen una regularidad en las décimas y posteriormente, con el concepto de límite de sucesiones o sucesiones determinadas por encajes de intervalos, se definían los reales a través del concepto de límites, algo contradictorio pues la noción de límite se define a partir de los reales. Así entonces el aporte de Dedekind respecto al concepto de continuidad es establecerla como una propiedad que aunque indemostrable a nivel geométrico se puede construir a nivel aritmético. Además, una vez definidos los números reales y construida su continuidad que es equivalente a la continuidad de la recta, se puede
  • 5. definir con certeza que todo punto sobre la recta corresponde exactamente a un número real y recíprocamente. Así, la geometría, que venía siendo la herramienta con la que se describían las propiedades de los números reales, pasa a un segundo plano, pues el sistema de los números reales (comúnmente llamado el continuo real) se constituye ahora como una herramienta base para el estudio de las magnitudes en cualquier propiedad geométrica. Teniendo en cuenta lo anterior, se puede entender la posición filosófica de los matemáticos en cada época. Desde los griegos para los cuales “todo es un número” hasta Dedekind para quien “los números son la libre creación de la mente humana” se manifiestan rigurosidades y exigencias que el mismo contexto a nivel social, cultural, tecnológico y político permiten. Es decir, el estudio de las matemáticas siempre estará interrelacionado con el contexto y diversas realidades del entorno. Hoy en día los alcances de los planes de estudio hacen parte de este contexto y la posibilidad de lograr un alcance mayor en el estudio de los conceptos parece estar relegados a las exigencias del ritmo de vida globalizada actual, la productividad, tiempo y preparación de los guías en cada institución educativa. A manera de conclusión, se puede establecer la real importancia del estudio Histórico y epistemológico que fundamenta el pensamiento humano en cada época. Los conceptos no se forjan por mera serendípia o azar, siempre hay un factor que va preparando el camino para una nueva pregunta. Por tal razón, la construcción de los números reales hace parte de una continua evolución social y cultural, un proceso que ha dejado huellas perceptibles para ojos despiertos, pero que es transparente ante la actual pedagogía normalizada.
  • 6. Referencias [1] J. E. T. Gil,«Un acercamientoal conceptoycompletitudde losnúmerosreales,» Universidad Nacionalde Colombia - Facultad deCiencias, 2011. [2] PAREJA,D.DavidHilbertysu Escuela.Matemática-EnseñanzaUniversitaria.No.7.Bogotá. 1978, con versiónactualizadaen: http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/historiam.htm Construcción de los números reales porla Universidad del cauca se distribuye bajo unaLicencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional .