Módulo N1 PS1

1. MA-1005
Elementos de EDO’S de orden uno
Métodos de resolución (I)
Mario De León1
1Docente Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica
h
M. De León MA–1005 IC–2021

2. Introducción
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tienen la
forma
F(x, y, y0
) = 0
o, si fuera posible, despejando y0,
y0
= f (x, y)
En general, las ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden tienen la
forma
F(x, y, y0
, y00
, ..., y(n)
) = 0
o, despejando y(n),
y(n)
= f (x, y, y0
, y00
, ..., y(n−1)
)
M. De León MA–1005 IC–2021

3. Introducción
Solución de una EDO
Una función y = φ(x) que satisface la EDO se llama solución de
dicha ecuación.
Solución general: una solución que involucra n constantes
arbitrarias (parámetros). Se tiene una familia de funciones que
depende de dichos parámetros. A veces, dependiendo del
orden de la ED, se tienen tantos parámetros como el orden de
la ED.
Solución particular: es la que se obtiene de una solución
general al sustituir las constantes por valores especı́ficos.
Solución singular: son soluciones que no se pueden obtener a
partir de la solución general.
M. De León MA–1005 IC–2021

4. Problema de valores iniciales de Cauchy
Teorema (PVI de Cauchy)
Si en la ecuación y(n) = f (x, y, y0, y00, ..., y(n−1)) la función f
cumple las siguientes condiciones:
1 es continua respecto de sus argumentos x, y, y0, y00, ..., y(n−1),
en un recinto D de variación de los mismos;
2 tiene derivadas parciales continuas
∂f
∂y
,
∂f
∂y0
, ...,
∂f
∂y(n−1)
en el
recinto D,
entonces, existe y es única a solución y = φ(x) de la ED que
verifique las siguientes condiciones inicialesa
y(x0) = y0, y0
(x0) = y0
0, ..., y(n−1)
(x0) = y
(n−1)
0
a
y
(k)
0 significa constante k−ésima, no derivada, para el lado derecho de las
igualdades.
M. De León MA–1005 IC–2021

5. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Se presentan a continuación algunos métodos, que también pueden
servir para las EDO’s de primer orden.
Método de separación de variables
La ecuación diferencial de la forma g(y) dy = f (x) dx se llama
ecuación de variables separables. También podrı́amos tener la
forma
f1(x)g1(y) dx = f2(x)g2(y) dy
por lo cual,
f1(x)
f2(x)
dx =
g2(y)
g1(y)
dy =⇒
Z
f1(x)
f2(x)
dx−
Z
g2(y)
g1(y)
dy = C constante.
Obsérvese que al dividir por g1(y)f2(x) puede hacer que se pierdan
las soluciones particulares que anulan dicho producto.
M. De León MA–1005 IC–2021

6. EDO de variables separables
Ejemplo
Resuelva la ecuación
y0
=
x2
y(1 + x3)
Solución:
dy
dx
=
x2
y(1 + x3)
⇒ y dy =
x2
1 + x3
dx. Integrando a
ambos lados, Z
y dy =
Z
x2
1 + x3
dx
Ejercicio
Compruebe que lo último es equivalente a
y2
2
=
1
3
ln(1 + x3
) + C, C ∈ R
M. De León MA–1005 IC–2021

7. EDO de variables separables
Ejemplo
Resuelva el problema de valor inicial
x dx + ye−x
dy = 0, y(0) = 1
Solución: Separando variables se tiene que y dy = −xex
dx.
Integrando se tiene que,
y2
2
= ex
(1 − x) + C. Como y(0) = 1,
esto es que x = 0, y = 1. Sustituyendo en la solución general,
1
2
= 1 + C ⇒ C =
−1
2
Por lo tanto, la solución particular buscada es
y2
= 2ex
(1 − x) − 1
M. De León MA–1005 IC–2021

8. EDO variables separables
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1 csc y dx + sec2
x dy = 0
2 (xy − 2x − y + 2) dy = (xy + 3x + y + 3) dx
3 y0
+ y tan x = 0
M. De León MA–1005 IC–2021

9. Función homogénea y ED homogénea
Función homogénea
Una función f (x, y) es homogénea de grado n en sus argumentos
si se cumple la identidad
f (tx, ty) = tn
f (x, y).
M. De León MA–1005 IC–2021

10. Función homogénea
Ejemplo
La función f (x, y) = x2 + y2 es homogénea de grado 2 pues,
f (tx, ty) = (tx)2
+(ty)2
= t2
x2
+t2
y2
= t2
(x2
+y2
) = t2
f (x, y)
La función f (x, y) =
2x + y
y
es homogénea de grado 0, pues
f (tx, ty) =
2tx + ty
ty
=
t(2x + y)
ty
= t0
·
2x + y
y
= f (x, y)
Ejercicio
Verifique que la función f (x, y) =
1
√
x + y
es homogénea de grado
−1
2 .
M. De León MA–1005 IC–2021

11. EDO Homogénea
Ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= f (x, y) se llama
homogénea si f (x, y) es una función homogénea de grado 0. Si
la ecuación diferencial viene expresada en la forma
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
será homogénea si M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas de
un mismo grado.
Método
La ecuación homogénea se puede reducir a variables separables
haciendo y(x) = u(x) · x, con lo cual x
du
dx
= φ(u) − u.
M. De León MA–1005 IC–2021

12. EDO Homogénea
Ejemplo
Resuelva la ecuación y0
=
x2 + 3y2
2xy
.
Solución: La función
dy
dx
= f (x, y) =
x2 + 3y2
2xy
es homogénea de
grado 0. Haciendo y = ux ⇒ dy
dx = du
dx · x + u. Sustituyendo (la
idea es dejar todo en “términos” de x y de u:
du
dx
· x + u =
x2 + 3(ux)2
2x · ux
=
1 + 3u2
2u
⇒
du
dx
· x =
1 + 3u2
2u
− u ⇒
Z
2u du
1 + u2
=
Z
dx
x
⇒ ln |1 + u2
| = ln |x| + C ⇒ 1 +
y2
x2
= Cx, C = eC
M. De León MA–1005 IC–2021

13. EDO Homogénea
Ejemplo
Resuelva la ecuación (x2
+ 3xy + y2
) dx − x2
dy = 0.
Solución: Cuando M(x, y) y N(x, y) son polinomios de dos
variables basta ver que ambos tengan el mismo grado para que la
ED sea homogénea. En este caso el grado global de esos
polinomios es 2. Por tanto, Haciendo
y = ux ⇒ dy
dx = du
dx · x + u ⇒ dy = x du + u dx, se tiene que
(x2
+ 3x2
u + u2
x2
) dx − x2
(x du + u dx) = 0
⇒
du
1 + 2u + u2
=
dx
x
Ejercicio
Termine el ejemplo anterior y compruebe que la solución general es
−x
x+y = ln x + C, C ∈ R.
M. De León MA–1005 IC–2021

14. ED exactas
Ecuación diferencial exacta
La ED de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 se llama ecuación
diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de
una función F(x, y) :
Mdx + Ndy = dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 sea una ED exacta es que se cumplaa
∂M
∂y
=
∂N
∂x
que llamaremos criterio de exactitud.
a
También se escribe My = Nx .
M. De León MA–1005 IC–2021

15. ED exacta
Método
Si M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 cumple el criterio de exactitud, se
tiene que
F(x, y) =
Z
M dx + g(y)
y como
∂F
∂y
= N esto implica que g0
(y) = N −
∂
∂y
Z
Mdx
.
Luego se integra con respecto a y.
M. De León MA–1005 IC–2021

16. ED exacta
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial
3x2
tan(y) −
2y3
x3
dx +
x3
sec2
(y) + 4y3
+
3y2
x2
dy = 0
Solución:
Sean M = 3x2 tan(y) − 2y3
x3 y N = x3 sec2(y) + 4y3 + 3y2
x2 ,
entonces: F(x, y) =
R
M dx = x3 tan y + y3
x2 + h(y) =⇒ ∂F
∂y =
x3 sec2 y + 3y2
x2 + h0(y) = N =⇒ h0(y) = 4y3 =⇒ h(y) = y4.
Por lo tanto, la solución general es x3
tan y +
y3
x2
+ y4
= C
Ejercicio
Compruebe que My = Nx .
M. De León MA–1005 IC–2021

17. ED exacta
Ejercicio
Dada la ecuación diferencial
y0
=
−5x4 + 9x2y2 − 5y4
2xy(10y2 − 3x2)
1 Muestre que es exacta,
2 Determine la solución general.
M. De León MA–1005 IC–2021

18. Reducción a una EDO exacta: factor integrante
En caso de que la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 no sea
exacta, podrı́a convertirse a exacta si existiera µ = µ(x, y) no nula
tal que1 µM(x, y)dx + µN(x, y)dy = 0 sea exacta. En tal caso µ
se denomina factor integrante.
Si ϕ =
My − Nx
N
solo es función de x entonces un factor
integrante para la ecuación diferencial es µ(x) = e
R
ϕ(x)dx
Si ψ =
Nx − My
M
solo es función de y entonces un factor
integrante para la ecuación diferencial es µ(y) = e
R
ψ(y)dy
1
Suele ponerse que P(x, y) = µM(x, y) y Q(x, y) = µN(x, y). Ası́ la nueva
ecuación exacta es P dx + Q dy = 0.
M. De León MA–1005 IC–2021

19. Factor integrante
Ejemplo
Determine la solución de la ecuación diferencial
1 + y2
x
dx − 2y dy = 0
Solución: Sean M = 1 + y2
x y N = −2y. Tenemos que
My = 2y
x 6= 0 = Nx . Calculamos
My −Nx
N = −1
x . Esto implica que
µ(x) = e
R
−1/x dx = 1
x . Multiplicamos la ED por µ(x) para hacerla
exacta:
1
x + y2
x2
dx − 2y
x dy = 0. Sean P = 1
x + y2
x2 y Q = −2y
x ,
entonces:
F(x, y) =
Z
Pdx = ln x −
y2
x
+ g(y)
=⇒
∂F
∂y
=
−2y
x
+ g0
(y) = Q =⇒ g0
(y) = 0 =⇒ g(y) = c1 ∈ R
Por lo tanto, F(x, y) = ln x −
y2
x
= C.
M. De León MA–1005 IC–2021

20. Factor integrante
Ejercicios
Determine un factor integrante y resuelva la ecuación diferencial,
en cada caso.
1 (y ln y + yex
) dx + (x + y cos y) dy = 0
2 (x3
+ x + y) dx − x dy = 0
Ejercicio
Sabiendo que la ecuación siguiente tiene un factor integrante de la
forma µ(x, y) = xmyn, resuélvala:
(−3y4
+ x3
y) dx + (xy3
− 3x4
) dy = 0
M. De León MA–1005 IC–2021

21. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
La ecuación diferencial
y0
+ p(x)y = q(x)
con p(x), q(x) funciones continuas en un intervalo I =]a, b[ se
denomina ecuación diferencial lineal de primer orden. Si
q(x) = 0 en todo el intervalo se dice que es una ED lineal
homogénea. En caso contrario se denomina ED lineal no
homogénea.
Método
Se puede comprobar que (µy)0
= q(x)µ, y entonces la solución
general es
y =
1
µ(x)
Z
q(x)µ(x) dx + C
, C constante,
donde µ(x) = e
R
p(x) dx
es el factor integrante.
M. De León MA–1005 IC–2021

22. ED lineal de primer orden
Ejemplo
Determine la solución de la ecuación diferencial
y0 = ex (1 + x)2019 + 2019 y
x+1 .
Solución: Reescribimos la ED: y0 − 2019
x+1 y = ex (1 + x)2019. Sean
p(x) = −2019
x+1 , q(x) = ex (1 + x)2019. Calculamos el factor
integrante
µ(x) = e
R
Pdx = e(
R −2019
x+1
dx) = e−2019·ln(x+1) = (x + 1)−2019
Luego, la solución general es
y =
1
µ(x)
Z
q(x) · µ(x) dx + C
= (x + 1)2019
Z
ex
(1 + x)2019
(x + 1)2019
dx + C
= (x + 1)2019(ex + C), C ∈ R.
M. De León MA–1005 IC–2021

23. ED lineal de primer orden
Ejercicios
Determine la solución general de las ecuaciones diferenciales:
1 y0
+ xy = x3
2 y0
+ (tan x)y = x sin(2x), con x ∈
−π
2 , π
2
3 y0
= (1 − y) cos x
Ejercicio
Use la sustitución u = ln y para reducir la ecuación
xy0
− 4x2
y + 2y ln y = 0
a una ecuación diferencial lineal. Luego determine la solución
general.
M. De León MA–1005 IC–2021

24. Lectura recomendada
Del texto de Zill y Cullen, 7ma edición, las páginas siguientes:
ED en variables separables: pp. 45-48
ED homogéneas: pp. 71-72
ED exactas y reducibles a exactas: pp. 63-68
ED lineales de primer orden: pp. 53-58
M. De León MA–1005 IC–2021