Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden metodo de anuladores

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
(E.D.O. 2do ORDEN)
Una Ecuación Diferencial de Segundo Orden se puede escribir como:
F(x,Y,Y´Y´´) = 0 (1)
Y su solución general es de la forma:
Y = f(x,C1,C2) (2)
La ecuación (2) es resoluble respecto a Y´´ si se puede escribir en forma normal, esto
es:
Y´´ = g( x,Y,Y´) (3)
Algunas asunto importantes sobre la solución de la ecuación (3).
* Existencia: La función g(x, Y, Y´ ) debe ser continua en cierto Dominio D.
* Unicidad: Si Xo, Yo, Y´o son las condiciones iniciales del problema,
entonces estos valores deben pertenecer al Dominio D. La solución particular es
única.
* Significado Geométrico de la Solución Particular: Desde el punto de vista
geométrico, las condiciones iniciales xo, Yo, Y´o significan que por un punto dado
(Xo, Yo) del plano, pasa una sola curva solución cuya tangente tiene pendiente Y´o.
De aquí se deduce que si consideramos constantes a Xo, y Yo y damos valores
diferentes a Y´o, se obtendrán una infinidad de curvas solución con diferentes
ángulos de inclinación que pasan por el punto en cuestión.
Tipos de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden a Resolver:
1.- Ecuaciones Lineales con coeficientes constantes
1.1.- Ecuación Homogénea
1.2.- Ecuación no Homogénea

2. ECUACIONES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES:
La Ecuación Diferencial de Segundo Orden se puede escribir de la forma:
a2 d2
Y + a1 dY + ao Y = g(x) (4)
dx2
dx
lineal con respecto a Y, Y´, Y´´ se denomina Ecuación Diferencial Lineal de Segundo
Orden a Coeficientes Constantes. En general cualquier ecuación diferencial que se
pueda escribir de la forma:
an dn
Y + an-1 dn-1
Y+ …….+a2 d2
Y + a1 dY +ao Y = g(x) (5)
dxn
dn-1
dx2
dx
se denomina lineal de orden n a coeficientes constantes
.
Si g(x) = 0, la ecuación diferencial se llama Homogénea
Si g(x)≠ 0, la ecuación diferencial se llama no Homogénea.
Para poder estudiar los métodos de resolución de las ecuaciones homogéneas y no
homogéneas de segundo orden hay que definir primero el concepto de Operados
Diferencial Lineal.
OPERADOR DIFERNCIAL LINEAL
Definición: Si el símbolo Dn
se una para designar la derivada enésima de una
función, esto es:
D3
Y = d3
Y; D2
Y = d2
Y D Y = dY
dx3
dx2
dx
Se llamará operador diferencial lineal de orden dos asociado a la ecuación (4) al
polinomio:
P(D)y = (a2 D2
+ a1 D + ao)y

3. Propiedades.: Si P1(D) y P2(D) son dos operadores diferenciales se cumple
que:
.a) [ P1(D) + P2(D) ] f(x) =P1(D) f(x) + P2(D) f(x)
b) [ P1(D)* P2(D) ] f(x) =P1(D)[ P2(D) f(x)] = P2(D)[P1(D)f(x)]
c) Los Operadores Diferenciales Lineales con coeficientes constantes
satisfacen las reglas del algebra ordinaria lo que hace posible tratarlos como
polinomios, esto es por ejemplo:
P(D) Y = ( D2
+ D -2 ) Y = ( D+2) ( D-1) Y
ECUACION HOMOGÉNEA
La ecuación homogénea es de la forma:
a2 d2
Y + a1 dY + ao Y = 0 (6)
dx2
dx
Método de resolución:
Se reescribe la ecuación (6)en función del operador diferencial asociado, es
decir,
(a2 D2
+ a1 D + ao) Y = 0 (7)
Se busca las raíces del operador diferencial asociado:
(a2 D2
+ a1 D + ao) = 0 (8)
La solución general de la ecuación (6) dependerá de las raíces de la ecuación (8) y
vendrá dada según la siguiente tabla resumen :

4. Tabla T
Raíces de P(D) = a2 D2
+ a1D + ao Solución General
Raíces Reales y Distintas
R1 = λ1 R2 = λ2
Y = C1 eλ1x
+ C2eλ2x
Raíces reales e iguales
R1 = R2 = λ
Y = ( C1 +C2x) eλx
Raíces Imaginarias
R1 = α + j β
R2 = α – j β
Y =eαx
[ (C1 cos(βx) + C2 sen(βx) ]
ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA
a2 d2Y + a1 dY + ao Y = g(x) (9)
dx2 dx
La solución general de la ecuación (9) viene dada por la solución de la ecuación
homogénea g(x) =0 , mas una solución particular, esto es:
Y = Y homogénea + Y particular (10)
Si P(D) es el operador diferencial asociado a la ecuación (9), esta se puede escribir
como:
P(D) Y = (a2 D2
+ a1 D + ao ) Y = g(x) (11)
La ecuación (10) debe satisfacer la ecuación (11) de la siguiente manera:
P(D) ( Y homogénea + Y particular ) = P(D) Y homogénea + Y particular
(12)
P(D) Y homogénea = 0 P(D) Y particular = g(x)

5. Métodos de Resolución:
Se estudiarán do métodos de resolución que permitirán hallar la solución
particular, ya que la solución homogénea se puede determinar según la tabla T.
Estos métodos son:
1 ) Variación de Parámetro.
2 ) Operador Inverso
1.- Variación de Parámetro:
.a) Se resuelve la ecuación homogénea, la solución que se obtiene es de la
forma:
Y homogénea = C1 U1(x) + C2U2(x) (13)
Donde U1(x) y U2(x) se determinarán según la tabla T de acuerdo a las raíces del
operador diferencial P(D).
b) Se hace la variación de parámetro, esto es, se hace depender de x los coeficientes
C1 y C2 en la ecuación (13)
Y = C1(x) U1(x) + C2(x) U2(x) (14)
Y se propone la ecuación (14) como solución general de la ecuación (9).
c) Se deriva y se sustituye la ecuación (13) como solución general (9) a fin de
determinar los valores de C1(x) y C2(x) y se encuentra que para que se satisfaga la
ecuación diferencial se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
C´1(x) U1(x) + C´2(x) U2(x) = 0
(15)
C´1(x)U´1(x) + C´2(x) U´2(x) = 0
d) Se resuelve el sistema de ecuaciones (13) y se obtienen dos ecuaciones
diferenciales de variables separable para C1(x) y C2(x)
e) Se resuelven las ecuaciones diferenciales para C1(x) y C2(x)
f) Se sustituyen los valores de C1(x) y C2(x) en la ecuación (14) y se obtiene la
solución general de la ecuación (9).

6. Operador Inverso:
a) Se resuelve la ecuación homogénea para obtener Y homogénea.
b) De la ecuación (12) se despeja Y particular, esto es.:
P(D) Y particular =g(x) Y particular = 1 g(x)
P(D)
1/ P(D) recibe el nombre de OPERADOR INVERSO, su acción sobre g(x) esta
determinada por las siguientes propiedades:
c) Se encuentra la solución general de la ecuación:
Y = Y homogénea + Y particular

7. Propiedades del Operador Diferencial Inverso 1 / P(D)
1. 1 g(x) = eax
∫ e- ax
g(x) dx
D-a
2. 1 eax
= eax
; si P(a) ≠ 0
P(D) P(a)
3. 1 eax
g(x) = eax
1 g(x)
P(D) P(D+a)
4. 1 Xn
P(D)
Se divide convenientemente 1 entre P(D) hasta que el residuo anule a
Xn
, esto es:
1 Xn
= ( C(D) + R(D) Xn
= C(D) Xn
+ 1 R(D) Xn
= C(D) Xn
P(D) P(D) P(D)
Donde C(D) es el cociente y R(D) el residuo que al actuar sobre Xn lo anula.
5. 1 cos (ax) = Re [ 1 e jax
]
P(D) P(D)
1 sen(ax) = Im [ 1 e jax
]
P(D) P(D)
e jax
= cos (ax) + j sen (ax) Identidad de Euler.
Re = Parte Real
Im = Parte Imaginaria

8. Ejercicios:
1) Y´´ + 4Y´ + 4Y = 2x + 6 2) Y´´ -2Y´ = - 4cosx +3x
3) Y´´ - 6Y´ + 9Y = (x+1) e3x
4) Y´´ + 4Y´+ 4Y = cosx + senx
5) Y´´ +16Y = cotg x 6) Y´´ - 2Y´ +Y = ex
/ (2x)
7) Y´´ +Y = sec x 8) Y´´ - 2Y´ +Y = ex
lnx
9) Y´´ + 2Y´+Y = e3x
+ 6e-4x
+ 7 10) Y´´ + Y = = 6 cos 2x
11) Y´´ - 9Y = cos 3x 12) Y´´ + Y = senx sen2x
13) Y´´ +Y = secx tgx 14) Y´´ +4Y´+ 4Y = cos2x
15) Y´´ -7Y´+12Y = e2x
16) Y´´ -7Y´ +12 y = x
17) Y´´ + 2Y = sen2x 18) Y´´ - Y = 1/ x
19) Y´´ + 4Y = sec 2x 20) Y´´ - 4Y´+ 4Y = x2
ex
21) Y´´ + Y´- 6Y = -4ex
con Y´(0) = Y(0) = 0
22) Y´´ + Y = x con Y´(0) = Y(0) = 0
23) Y´´ + Y´-6Y = xe2x
con Y´(0) = 1; Y(0) =0
24 Y´´ + 2Y´+ 5Y = x e-x
cos x