ESTRUCTURA DISCRETA

1. Universidad Nacional Experimental de Los
Llanos Occidentales Ezequiel Zamora
(UNELLEZ)
Barinas-Barinas
BACHILLER: ESTRUCTURA
• MIRABAL ELEXON. DISCRETA.
BARINAS, NOVIEMBRE 2018.

2. l
ARITMÉTICA MODULAR
Es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas
clases de congruencia.
podemos establecer un conjunto de operaciones aritméticas, como:
Siendo a, b, c, d ∈ Z y m ∈ N, tales que a ≡ b (mod (m)) y c ≡ d (mod (m)). Entonces,
a + c ≡ b + d (mod (m)).
a · c ≡ b · c (mod (m)).
(Recordemos que el signo ≡ significa “congruente con” y no es lo mismo que el signo
= que significa “igual a”).
A partir de esto, podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de
congruencias:
*Propiedad asociativa: a + (b + c) (mod (m)) = (a + b) + c (mod (m)).
*Elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ Zm, tal que a + 0 (mod (m)) = a (mod
(m)).
*Elemento opuesto: Existe un elemento b ∈ Zm, tal que a + b = 0 (recordemos que 0
es el elemento neutro de la suma).
*Propiedad conmutativa: a + b (mod (m)) = b + a (mod (m)).

4. DIVISIBILIDAD:
Dados a, b ∈ Z se dice que a divide a b, y lo notamos a/b, si existe c ∈ Z
tal que b = a · c.
Si a/b se dice también que a es divisor de b o bien que b es múltiplo
de a.
Si a no divide a b se denota a/b.

7. ALGORITMO DE EUCLIDES
El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficiente para calcular el máximo
común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos.
Sean a, b 2 N, tales que a b > 0. Si aplicamos el teorema de división Euclidea
sucesivas veces, tomando r0 = a y r1 = b, y las divisiones sucesivas son:
entonces, se verifica que mcd(a, b) = rn
el ultimo resto no nulo de las anteriores divisiones.

8. Observaciones: La condición: a b > 0, del algoritmo de Euclides no es ninguna
restricción pues:
1)Como mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) este algoritmo puede utilizarse para enteros
cualesquiera.
2)Si en el algoritmo de Euclides se efectúa la primera división tomando como
divisor el mayor de los dos números dados se realiza una división mas que no
aporta nada significativo.
3)Es habitual disponer los términos de las divisiones en una tabla como la
siguiente:

11. CONGRUENCIAS
Las congruencias permiten clasificar a los números enteros en clases de
equivalencia, es decir, en conjuntos formados por cada número entero y todos
sus congruentes.
Definición:
Sea S un conjunto no vacío. Una relación ~ sobre S es una relación de
equivalencia sobre S si se cumplen las propiedades:
Reflexiva: x ~ x, Vx: ∈ S
Simétrica: Si x ~ y y ~ x, Vx; y ∈ S
Transitiva: Si x ~ y y y ~ z x ~ z, Vx ,y , z ∈ S

13. Criterios de divisibilidad
Un criterio de divisibilidad sirve para determinar si un número dado N es divisible
entre otro número. Veamos primeramente cómo se obtienen los criterios de
divisibilidad entre 2 y entre 5, los cuales, como ya mencionamos, quedan
excluidos de la proposición general. Esto también nos servirá para introducir la
notación que aún nos hace falta.
En nuestra notación decimal, al escribir que con a. {0,1,2, ... ,9}, i = O, 1, ... , n; en
realidad estamos abreviando el hecho de que
en particular, a° es la cifra de las unidades de N.
Proposición:
1) N es divisible entre 2 si solo si la cifra de las unidades de N es par (2,4,6,8)
2) N es divisible entre 5 si solo si la cifra de las unidades e N ES “0” O “5”

15. CONGRUENCIAS DE ENTEROS.
Dado un numero natural m ∈ N{0} sabemos (por el Teorema del Resto) que para
cualquier entero a ∈ Z existe un único resto r de modo que
a = qm + r con r ∈ {0, 1, 2, ....., m − 1}.
DEFINICION:
Sea m ∈ N{0} se dice que a, b ∈ Z son congruentes moduló m si a = q1m + r y b =
q2m + r para algunos q1, q2 ∈ Z y donde 0 ≤ r < m.
(Notación: escribimos a ≡ b modo. m o también a Rmb ). La relación definida entre
dos enteros por la definición anterior tiene otra formulación equivalente.
Así respecto de m todos los números enteros son de m ” tipos” distintos (o m
clases de congruencia). Este hecho va a permitir definir cuerpos de cardinal
finito, mucho más fáciles de manejar computacionalmente que los cuerpos de
números tradicionales: Q, R y C (todos ellos infinitos).