.

1. CONGRUENCIAS
Definición
Consideramos +
∈∈ ZmyZb,a . Decimos que a es congruente con b
módulo m si y solo si su diferencia es múltiplo de m. (Anotamos )( mba ≡ )
•
=−⇔≡ mba)m(ba
Teoremas
I) La relación de congruencia es de equivalencia
II) Dos números son congruentes módulo m cuando el resto de dividirlos
entre m es igual
Nota
Este último teorema justifica que a restos distintos corresponden clases distintas y
por lo tanto existirán tantas clases como restos. Si consideramos módulo m se
tendrán m clases ya que los restos posibles al dividir entre m son los naturales
desde 0 a m-1.
Es por esto que a las clases de equivalencia que esta relación determina se las
denomina clases residuales.
Por ejemplo en la relación de congruencia modulo 2 , se tienen 2 clases la del 0 y
la del 1 , existen varias maneras de notarlas usaremos la mas simple las
llamaremos 0y 1.A este conjunto se lo denomina usualmente 2Z
Si definimos las operaciones de suma y producto entre clases del modo siguiente
baba CCC +=⊕ y baba CCC =⊗
Pueden construirse las tablas operatorias de suma y producto en 2Z , que
corresponden a la suma y el producto en el conocido sistema binario.
Ejercicios
• Realizar las tablas operatorias de suma y producto para 3Z y 4Z
• Observe si se cumple la propiedad cancelativa
• Justifique en que casos se cumple esta propiedad
• ¿Qué puede decirse de las estructuras ( )⊗⊕,,3Z y de ( )⊗⊕,,4Z
• Sean los polinomios p( x) = 12 23
++ xx y q ( x ) = 12
−x definidos en 3Z ,
O sea con coeficientes en 3Z y los valores que toma la variable también en
3Z
I) Realizar la división entra de p(x) entre q(x)
II) Hallar las raíces de ambos polinomios

2. III) Hallar el valor numérico de p(x ) para x = 19054
Propiedades
Sean +
∈∈ ZmyZ'b,'a,b,a
)mh(bhah
Zh
)m(ba)1
≡⇒




∈
≡
+
⇒


≡
sientreprimosmya
)m(ba)2
b y m primos entre si
)m('b'aba
)m('bb
)m('aa)3
+≡+⇒



≡
≡
)m(hbha
Zh
)m(ba)4
+≡+⇒



∈
≡
)m('b'aab
)m('bb
)m('aa)5
≡⇒



≡
≡
)m(bhah
Zh
)m(ba)6
≡⇒



∈
≡
7) Si Nn)m(ba)m(ba nn
∈∀≡⇒≡
8) Sea 01
1n
1n
n
n cxc........xcxc)x(f;ZZ:f +++=→ −
−
Si )m()b(f)a(f)m(ba ≡⇒≡
)m(ba
sientreprimosmyh
)m(bhah)9
≡⇒


≡
)m('bh'ah
D'mm'Dhh
myhde.D.C.MD
)m(bhah)10
≡⇒





==
≡

3. Ecuaciones en congruencias – Resolución en (Z,+,·,≤≤≤≤) de ax ≡≡≡≡ b (m)
Dados 0,, >∈ mZmba , pretendemos hallar { })m(bax;ZxS ≡∈= .
1) Si el M.C.D. de a y m no divide al número b ⇒ S=∅
2) Si a y m son primos entre sí, alcanza con encontrar una solución
particular x0, es decir un número entero que verifique la ecuación y a
partir de éste el conjunto solución es S = {x∈Z; x = x0 + mt, con t ∈Z}
3) Si a y m no son primos entre sí pero el M.C.D. de a y m divide a b,
utilizamos la propiedad 1 y trabajamos como en el caso anterior
Si D = M.C.D.(a, m) '''' myasiendoDmmDaa ==⇒ primos entre sí.
Por otra parte como D/b 'Dbb =⇒
Ahora )'('')'('')( mbxaDmDbxDambax ≡⇔≡⇔≡ con a’ y m’ primos
entre sí. Por lo tanto se trabaja como en el caso anterior
Ejemplo 1
Resolver en (Z,+,·) )182(14x35 ≡
Observemos que D(35,182)=7 y 7/14 por lo tanto la ecuación tiene
solución no vacía. Primero que nada comenzamos por simplificar entre 7
quedándonos )26(2x5 ≡
Posible resolución
)26(1025 ≡x y considerando que por definición )26(026 ≡x
Ahora usando la propiedad 3 obtengo
txx 2610)26(10 +−=⇒−≡
{ }Zt;t2610x;ZxS ∈+−=∈=⇒

4. Ejercicio
I) La cedula de identidad uruguaya tiene un número de siete cifras seguido
de un dígito de una cifra , este es un dígito de control que se calcula
tomando como base el número 2.987.634 al que llamaremos módulo
verificador e indicaremos con la letra m .
Ejemplo : consideremos el número de cedula 1514533 , se toma la cifra
de las unidades , se la multiplica por 4 y se conserva solo las unidades
resulta entonces 3x4 = 12 conservamos el 2 se reitera el
procedimiento con las cifras restantes , planteemos los resultados en un
cuadro
c m productos unidades
1 2 2 2
5 9 45 5
1 8 8 8
4 7 28 8
5 6 30 0
3 3 9 9
3 4 12 2
1) Hallar los dígitos de control de los siguiente números de cédula :
1.074.512 , 1.073.512 y 1.074.012 que conclusión te permite sacar lo
realizado
2) ¿Si encontramos un cedula con un digito ilegibles podremos hallarlo?
considera los siguientes : 2.512.1__ 3-2 y 2.5 __5.555-3
3) Escribe una ecuación de congruencia cuya solución sea el digito de
control de la cédula ¿Será necesario plantear alguna restricción ?
4) Mostrar que el dígito de control de la cédula permite detectar cualquier
trabucazo o sea trasposición de dígitos consecutivos.
5) ¿ Podría suceder que si se intercambiaran dos cifras no consecutivas
no se detectara el error ?
II) El documento de identidad (DNI) español consta de ocho cifras , para formar el
NIF correspondiente se le añade una letra al final .Para elegir esa letra se procede
del modo siguiente :
Sea n el número de ocho cifras se determina r tal que n ≡ r ( 23 ) con r ∈ N ,
220 ≤≤ r con el valor de r se asigna una letra utilizando la tabla siguiente .
Para completar el cálculo se
suman las cifras en la columna de
unidades y nuevamente se
conservan solo las unidades : 2
+5+8+8+0+9+2 = 34 conservo el
4 por último le restamos a 10 la
cifra obtenida y conservamos solo
la unidad del resultado : 10 –4 = 6
este es el dígito de control.

5. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E
La letra así obtenida se añade al final del DNI para formar el NIF .
1) Hallar la letra final del NIF para el DNI 11809375
2) Determinar que errores pueden detectarse con este carácter de control
Ecuaciones diofánticas
Consideramos Zc,b,a ∈ ; queremos resolver en Z la ecuación ax + by = c, es decir,
hallar los pares de números enteros que verifican esta ecuación.
La ecuación ax + by = c puede expresarse del modo siguiente ax –c = -by
O sea )(bcax ≡ por lo tanto la resolvemos como ecuación de congruencia para
hallar x y luego se deduce y .
Ejemplo
I) Resolver en Z, 126 x + 105y = 63
MCD (126, 105) = 21, simplificamos entre 21
35663105126 =+⇔=+ yxyx
)5(36536536 ≡⇔=−⇔−=−⇔
•
xxyx
txx
xcomo
x
53)5(3
)5(05
)5(36
+=⇒≡⇒



≡
≡
Sustituyendo en la ecuación original
nos queda:
⇒=++ 35)53(6 yt tytyyt 6330155353018 −−=⇒−−=⇒=++
II
)Resolver el siguiente sistema:



≡
≡
)3(12
)5(23
x
x
(1) txx
x
x
x 54)5(4
)5(05
)5(46
)5(23 +=⇒≡⇒



≡
≡
⇒≡

6. (2) kxx
x
x
31)3(1
)3(03
)3(12
+−=⇒−≡⇒



≡
≡
tktkkt 5535533154 =−⇔=−⇔+−=+ )5(5k355k3 ≡⇔=−⇔
•
⇔



≡
≡
⇔
)5(105
)5(106
k
k
⇔≡⇔ )5(0k hk 5= como hxkx 15131 +−=⇒+−=
{ }ZhconhxZxS ∈+−=∈= 151;
Probar
• si D = M.C.D. (a , b) y D no divide a c ⇒ S=∅
• Si a y b son primos entre si ⇒ S≠ ∅
• Dada una solución particular (x0, y0) ⇒
⇒ { }atyybtxxZyxS −=∧+=∈= 00
2
;),(
En caso de que a y b no sean primos entre sí pero D/c (D es M.C.D. de a y
MCD (126, 105) = 21, simplificamos entre 21
Ejercicios
I) Resolver :
i) 6x ≡ 12 <15 ii) 6x ≡ 4 <15 iii) 81x ≡ 18 <24 iv) 240x ≡ 35
<847
II) Resolver :
i) 16x +21y = 8 ii) 348x + 132 y = 72 iii) 4x + 25y = 88 iv) 46x –22 y = 6
III) Jorge llega hoy temprano al trabajo y descubre que debido a un corto circuito
se le quemaron todas las luces del negocio. Decidido a reponer todas las
lamparillas quemadas Jorge se dirige a la ferretería y solicita lamparillas
comunes que tienen un valor de 15 pesos y lamparillas de bajo consumo que
tienen un valor de 18 pesos.
i) Jorge manifiesta además que desea gastar exactamente 1235 pesos y el
ferretero le dice que es imposible. ¿Es cierto esto?

7. ii) Finalmente Jorge acepta gastar 1233 pesos y llevarse dos pesos de vuelto.
¿Cuántas lamparillas comunes y cuántas de bajo consumo compra si
desea adquirir a lo sumo 40 lamparillas de cada clase?
III) Resolver :
i)



〈≡
≡ 〈
218116
11624 23
x
x
ii) 4x 7
2
36〈≡ iii)



≡
=+
〈218116
18949
x
yx
iv) 4x 6
2
3x5 〈≡−
IV) Sea A = ( ){ }yxZyx 5163/, 2
=−∈
i) Determinar B = ( )






=−∈
•
61x7/Ay,x
ii) Determinar ( 00 y,x ) ∈ B tal que Ny,Nx 00 ∈∈ de cuatro cifras
menores que 5000
0y 7 y 0y 11
2 q 3 q´
iii) Hallar n y h naturales tal que x 0 5n
n 2
-3 h