1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

2. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación x2
+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
loge(-2) no es un número real.
Tampoco es un número real (-2)π

3. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo α viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(α)
El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(α)

4. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2
de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
De modo que el complejo α=(a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.

5. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.

6. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se corresponden
con los puntos del eje de ordenadas.
El módulo del complejo α=(a,b) viene dado
por y el argumento por el valor
de θ tal que . Nótese que si θ es
un argumento también lo es θ+2kπ
22
ba +=ρ
a/btg =θ

7. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El argumento se llama principal si
La representación módulo argumental del
complejo α=(a,b) viene dada por ρθ
La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
La identidad entre los complejos ρθ y σζ
equivale a: ρ=σ y θ=ζ+ 2kπ
π≤θ<π−

8. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
π≤θ<π−
=θ
=θ
+=ρ
→





θρ=
θρ=
ρ==α θ
)b(signo)(signo
)a/b(arctg
ba
sinb
cosa
)b,a(
22

9. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La aritmética compleja viene dada por:
Se demuestra fácilmente que:
ρθσζ=(ρσ)θ+ζ
)bcad,bdac()d,c)(b,a(
)db,ca()d,c()b,a(
+−=
++=+

10. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
El inverso de α=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
También se tiene que para ρθ distinto de
cero
)
ba
b
,
ba
a
( 2222
1
+
−
+
=α−
θ−
−−
θ ρ=ρ )()( 11

11. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
La forma trigonométrica del complejo ρθ
viene dada por ρ(cosθ+isinθ), puesto que
iba)b,a(
)0,b(*)1,0()0,a()b,0()0,a()b,a(
+≡
→+=+=
)sini(cos
)sin(i)cos(iba)b,a(
θ+θρ
=θρ+θρ=+==ρθ

12. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma exponencial del complejo ρθ viene
dada por
ρθ= ρ eiθ
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiθ
=cosθ+ i sinθ

13. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Nótese que i2
= -1 y que la ecuación x2
+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
De otra parte:
Además, si n es un número natural se tiene:
(Fórmula de De Moivre)
etc.,ii,1i,ii 543
==−=
)nsin(i)ncos()sini(cos
))nsin(i)n(cos()())sini(cos(
)()(
n
nn
)n(
nn
θ+θ=θ+θ
→θ+θρ=θ+θρ
→ρ=ρ θθ

14. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
Además:
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
mn/1n/m
)(α=α
n/1
α
n/m
α

15. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La expresión en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
Los afijos de son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.
n/1
α
1-n0,1,2,...,k
,)(
n
k2
n/1
=
ρ=σ π+θς
ςσ

16. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se justifica lo anterior como sigue:
Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente
n/)k2(,
k2n,
)(
n/1
n
n
π+θ=ςρ=σ
→π+θ=ςρ=σ
→ρ=σ θς

17. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea α=(a,b), entonces
Nótese que:
)bsinib(cose)e(eee aibaiba
+=== +α
1e
eee
0
=
= β+αβα

18. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:
,...3,2,1,0k
),k2(iln)ln(
±±±=
π+θ+ρ=ρθ

19. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La justificación de lo anterior es como
sigue:
)k2(ilnivu)ln(
:definitivaen,k2v
ylnubien,o,e
luego),sini(cos
)vsiniv(coseeeee
:tieneseivuSi
)ln(e
)sini(cosSea
u
uivuivu
π+θ+ρ=+=ρ=λ
π+θ=
ρ=ρ=
θ+θρ=ρ
+===
+=λ
ρ=λ→ρ=
θ+θρ=ρ
θ
θ
+λ
θθ
λ
θ

20. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con
Nótese que:
Se define µλ
mediante
θ+ρ=ρθ iln)(Ln
π≤θ<π−
θ
ρ
ρ=θ )ln(
e
µλln
e

21. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)
– 2) (-2)π
π+=−→π++
=π+π+==− π
i2ln)2(Ln)k21(i2ln
)k2(i2ln)2ln()2(loge
))k21sin(i)k21(cos(eee
ee)2()2(
222ln)k21(i2ln
))k21(i2(ln)2ln(
2
π++π+=
====−
ππ+π
π++πππ
π
π π

22. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
– 3) ii
3.7974i-7.9662-
)sini(cose)2( 222ln
=π+π=− ππ
)k22/())k22/(i1(lni
)1ln(iilnii
ee
eei 2/
π+π−π+π+
=
=== π

23. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
– 4)Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.
2079.0ei 2/i
== π−

24. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– Se tiene que
θθ=θ
θ−θ=θ
→θ+θ=θ+θ
cossin22sin
sincos2cos
)2sini2(cos)sini(cos
22
2

25. AUTORES: SEBASTIAN MARINO
Y JUAN PABLO SORIA