1. LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS COMPLEJOS

2. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
loge(-2) no es un número real.
Tampoco es un número real (-2)π

3. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo α viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(α)
El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(α)

4. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2 de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
De modo que el complejo α=(a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.

5. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.

6. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se
corresponden con los puntos del eje de
ordenadas.
El módulo2del2 complejo α=(a,b) viene dado
ρ= a +b
por tgθy el /argumento por el valor
=b a
de θ tal que . Nótese que si θ es
un argumento también lo es θ+2kπ

7. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El argumento se llama principal si − π < θ ≤ π
La representación módulo argumental del
complejo α=(a,b) viene dada por ρθ
La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
La identidad entre los complejos ρθ y σζ
equivale a: ρ = σ y θ=ζ+ 2kπ

8. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
α = (a , b ) = ρ θ
a = ρ cos θ ρ= a +b2 2
 θ = arctg(b / a )
→
 signo(θ) = signo(b)
b = ρ sin θ  −π<θ≤ π

9. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La aritmética compleja viene dada por:
(a , b) + (c, d ) = (a + c, b + d )
(a , b)(c, d ) = (ac − bd, ad + bc)
Se demuestra fácilmente que:
ρθσζ=(ρσ)θ+ζ

10. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
El inverso de α=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
−1 a b
α =( 2 ,− 2 )
a +b 2
a +b 2
También se tiene que para ρθ distinto de
−1 −1
cero (ρθ ) = (ρ ) −θ

11. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
(a , b) = (a ,0) + (0, b) = (a ,0) + (0,1) * (b,0) →
(a , b) ≡ a + ib
La forma trigonométrica del complejo ρθ
viene dada por ρ(cosθ+isinθ), puesto que
ρθ = (a , b) = a + ib = (ρ cos θ) + i(ρ sin θ) =
ρ(cos θ + i sin θ)

12. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma exponencial del complejo ρθ viene
dada por
ρθ= ρ eiθ
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiθ =cosθ+ i sinθ

13. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
De otra parte: i = −i, i = 1, i = i, etc.
3 4 5
Además, si n es un número natural se tiene:
(ρθ ) n = (ρ) n ( nθ ) →
(ρ(cos θ + i sin θ)) n = (ρ) n (cos(nθ) + i sin(nθ)) →
(cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin( nθ)
(Fórmula de De Moivre)

14. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
Además: α = (α )
m/n 1/ n m
de donde basta definir α1/ n
para poder evaluar la expresión α m/n
con m y n enteros, n positivo.

15. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La expresión α
1/ n
en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
σ ς = (ρ ) θ+ 2 kπ ,
1/ n
n
k = 0,1,2,..., n - 1
Los afijos de σς son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.

16. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se justifica lo anterior como sigue:
(σ ς ) = ρ θ →
n
σ = ρ, nς = θ + 2kπ →
n
σ = ρ , ς = (θ + 2kπ) / n
1/ n
Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente

17. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea α=(a,b), entonces
α a + ib
e =e = e (e ) = e (cos b + i sin b)
a ib a
Nótese que:
α β α +β
e e =e
e =1
0

18. LOS NUMEROS COMPLEJOS
El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:
ln(ρθ ) = ln ρ + i(θ + 2kπ),
k = 0,±1,±2,±3,...

19. LOS NUMEROS COMPLEJOS
La justificación de lo anterior es como
sigue: Sea ρθ = ρ(cos θ + i sin θ)
e λ = ρθ → λ = ln(ρθ )
Si λ = u + iv se tiene :
e λ = e u +iv = e u e iv = e u (cos v + i sin v)
ρθ = ρ(cos θ + i sin θ), luego
e u = ρ, o bien, u = lnρ y
v = θ + 2kπ, en definitiva :
λ = ln(ρθ ) = u + iv = lnρ + i(θ + 2kπ)

20. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con − π < θ ≤ π
Ln(ρθ ) = ln ρ + iθ
ln( ρ θ )
Nótese que: e = ρθ
Se define µλ mediante
λ ln µ
e

21. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)
log e (−2) = ln(2 π ) = ln 2 + i(π + 2kπ) =
ln 2 + i(1 + 2k )π → Ln (−2) = ln 2 + iπ
– 2) (-2)π
π π π ln( 2 π ) π (ln 2 + i (1+ 2 k ) π )
(−2) = (2 π ) = e =e =
π ln 2 i (1+ 2 k ) π 2
e e = e π ln 2 (cos(1 + 2k )π 2 + i sin(1 + 2k )π 2 )

22. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
(−2) π = e π ln 2 (cos π 2 + i sin π 2 ) =
- 7.9662 - i 3.7974
– 3) ii
i =e
i i ln i
=e i ln(1π / 2 )
=
i (ln1+ i ( π / 2 + 2 kπ )) − ( π / 2 + 2 kπ )
e =e

23. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
i i = e − π / 2 = 0.2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.

24. LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:
– Se tiene que
(cos θ + i sin θ) = (cos 2θ + i sin 2θ) →
2
cos 2θ = cos θ − sin θ
2 2
sin 2θ = 2 sin θ cos θ