1. El documento presenta fórmulas de cálculo diferencial que incluyen reglas para derivar funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas. 2. También presenta fórmulas para derivar funciones compuestas, potencias, cuocientes y productos. 3. Se proporcionan expresiones para derivar funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos y arctan.

1. Formulario de Prec´lculo.
a 5. Leyes de los logaritmos.
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)
1. Los N´ meros.
u b) loga
P
= loga (P ) − loga (Q)
Q
1. Leyes de los exponentes y radicales.
c) loga (Qn ) = n loga (Q)
m n m+n m n mn n n n
a) a a = a b) (a ) = a c) (ab) = a b
d ) aloga (x) = x
n n m
a a a 1
d) = e) = am−n f ) a−n = e) loga (ax ) = x
b bn an an
√ √ √ m f ) loga (1) = 0
g) a1/n = na h) am/n = n am i) am/n = ( n a)
√ g) aloga (a) = 1
√
n √ √n a n
a m
√ √
j) ab = n a b k) n = √ l) n
a= a
mn
b n
b h) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables. i) ln(x) = loge (x)
2 2 logb (Q)
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
j ) Cambio de base: loga (Q) =
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y 2 2 2 logb (a)
c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
2
d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2. Soluciones Exactas de ecuacio-
2
e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 nes Algebraicas
3
f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
3
g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
4 a) La Ecuaci´n Cuadr´tica: ax2 + bx + c = 0 tiene
o a
h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 soluciones: √
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 −b ± b2 − 4ac
x=
5 2a
j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 2
El n´ mero b −4ac se llama discriminante de la ecua-
u
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 ci´n.
o
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ son reales y diferentes.
ıces
ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ son reales e iguales.
ıces
n iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ son complejas conjuga-
ıces
n n−r r das.
(x + y)n = x y
r
r=0 b) Para la Ecuaci´n C´ bica: x3 + ax2 + bx + c = 0
o u
n n! sean:
Nota: = n Cr =
r r!(n − r)! 3b − a2 9ab − 27c − 2a3
Q= , R=
4. Factores Notables. 9 54
3 3
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) S= R+ Q3 + R 2 , T = R− Q3 + R 2
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) Entonces las soluciones son:
3 3
c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y ) 2 2 a
x1 =S + T −
3
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 √
2 2 S+T a (S − T ) 3
e) x − y = (x − y) (x + y) x2 = − + + i
2 3 2
3 3 2 2
f ) x − y = (x − y) x + xy + y √
S+T a (S − T ) 3
g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2 x3 = − + − i
2 3 2
4 4 2 2
h) x − y = (x − y) (x + y) x + y
i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 El n´ mero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecua-
u
ci´n.
o
j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4 i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ real y dos son com-
ız
k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 plejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ son reales y por lo me-
ıces
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
nos dos son iguales.
m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2 iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ son reales y diferentes.
ıces
1

2. 3. Funciones Trigonom´tricas.
e cos3 (A) = 3
4 cos(A) + 1
4 cos(3A)
4 3 1 1
3.1. Relaciones entre Funciones Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
nom´tricas.
e 3 1 1
cos4 (A) = 8 + 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
1 5 5 1
csc(A) = sen2 (A) + cos2 (A) = 1 sen5 (A) = 8 sen(A) − 16 sen(3A) + 16 sen(5A)
sen(A)
5 5 1
cos5 (A) = 8 cos(A) + 16 cos(3A) + 16 cos(5A)
1 2 2
sec(A) = sec (A) − tan (A) = 1
cos(A)
3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio-
sen(A) nes Trigonom´tricas.
e
tan(A) = csc2 (A) − cot2 (A) = 1 A+B A−B
cos(A) sen(A) + sen(B) = 2 sen 2 cos 2
A−B A+B
cos(A) 1 sen(A) − sen(B) = 2 sen 2 cos 2
cot(A) = =
sen(A) tan(A) A+B A−B
cos(A) + cos(B) = 2 cos 2 cos 2
A+B B−A
cos(A) − cos(B) = 2 sen 2 sen 2
3.2. Potencias de Funciones Trigonom´tricas.
e
1
sen(A) sen(B) = 2 cos(A − B) − cos(A + B)
2 1 1
sen (A) = 2 − 2 cos(2A)
1
cos(A) cos(B) = 2 cos(A − B) + cos(A + B)
1 1
cos2 (A) = 2 + 2 cos(2A)
1
sen(A) cos(B) = 2 sen(A − B) + sen(A + B)
3 1
sen3 (A) = 4 sen(A) − 4 sen(3A)
4. Funciones Hiperb´licas.
o
ex − e−x 2
Seno hiperb´lico de x = senh(x) =
o Cosecante hiperb´lica de x = csch(x) =
o
2 ex − e−x
ex + e−x 2
Coseno hiperb´lico de x = cosh(x) =
o Secante hiperb´lica de x = sech(x) =
o
2 ex + e−x
ex − e−x ex + e−x
Tangente hiperb´lica de x = tanh(x) =
o Cotangente hiperb´lica de x = coth(x) =
o
ex + e−x ex − e−x
4.1. Relaci´n entre las Funciones Hiperb´licas.
o o
senh(x) 1 cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
tanh(x) = sech(x) =
cosh(x) cosh(x)
sech2 (x) + tanh2 (x) = 1
1
1 cosh(x) csch(x) =
coth(x) = = senh(x) coth2 (x) − csch2 (x) = 1
tanh(x) senh(x)
2

3. Formulario de C´lculo.
a Funciones Trigonom´tricas:
e
Funci´n:
o Su Derivada:
Derivadas. f = sen(u) f ′ = cos(u) · u′
f = cos(u) f ′ = − sen(u) · u′
En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x),
u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. f = tan(u) f ′ = sec2 (u) · u′
f = csc(u) f ′ = − csc(u) cot(u) · u′
F´rmulas B´sicas:
o a
f = sec(u) f ′ = sec(u) tan(u) · u′
Funci´n:
o Su Derivada:
f = cot(u) f ′ = − csc2 (u) · u′
f =k f′ = 0
Linealidad de la derivada:
f =k·u f ′ = k · u′ Funciones Trigonom´tricas Inversas:
e
Funci´n:
o Su Derivada:
f =u±v f ′ = u′ ± v ′ u′
f = arc sen(u) f′ = √ ; |u| < 1
′ ′ ′ 1 − u2
f =k·u±c·v f =k·u ±c·v
u′
Regla del Producto: f = arc cos(u) f′ = −√ ; |u| < 1
1 − u2
f =u·v f ′ = u · v ′ + v · u′ u′
f = arctan(u) f′ =
1 + u2
Regla del Cociente:
u′
u v · u′ − u · v ′ f = arccsc(u) f′ = − √
f= f′ = u u2 − 1
v v2
u′
Regla de la Cadena (Composici´n de funciones)
o f = arcsec(u) f′ = √ ; |u| > 1
u u2 − 1
f = u(x) ◦ v(x) f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x) u′
f = arccot(u) f′ = − ; |u| > 1
1 + u2
Regla de la Potencia:
f = vn f ′ = n · v n−1 · v ′
f = k · vn f ′ = k · n · v n−1 · v ′ Funciones Hiperb´licas:
o
Funci´n:
o Su Derivada:
Funciones Exponenciales:
f = senh(u) f ′ = cosh(u) · u′
f = eu f ′ = eu · u ′
f = cosh(u) f ′ = senh(u) · u′
f = au f ′ = au · ln(a) · u′
f = tanh(u) f ′ = sech2 (u) · u′
Funciones Logar´
ıtmicas:
f = csch(u) f ′ = −csch(u) coth(u) · u′
′ u′
f = ln(u) f =
u f = sech(u) f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′
u′
f = loga (u) f′ = f = coth(u) f ′ = −csch2 (u) · u′
u · ln(a)
Una Funci´n elevada a otra Funci´n:
o o
v · u′
f = uv f ′ = uv v ′ · ln(u) +
u
3

4. Funciones Hiperb´licas Inversas:
o 17) tan2 udu = tan u − u
Funci´n:
o Su Derivada: 18) cot2 udu = − cot u − u
u sen 2u
u′ 19) sen2 udu = 2 − 4 = 1 [u − sen u cos u]
2
f = arcsenh(u) f′ = √
1 + u2 20) cos2 udu = u
+ sen 2u
= 1 [u + sen u cos u]
2 4 2
u′ 21) sec u tan udu = sec u
f = arccosh(u) f′ = √ ; |u| > 1
u2 − 1
22) csc u cot udu = − csc u
′
u
f = arctanh(u) f′ = ; |u| < 1
1 − u2 Hiperb´licas.
o
′
u 23) senh udu = cosh u
f = arccsch(u) f′ = − √ ; u=0
|u| 1 + u2
24) cosh udu = senh u
u′
f = arcsech(u) f′ = − √ ; 0<u<1 25) tanh udu = ln[cosh u]
u 1 − u2
26) coth udu = ln[senh u]
′ u′
f = arccoth(u) f = ; |u| > 1 27) sechudu = sen−1 [tanh u] = 2 tan−1 [eu ]
1 − u2
28) cschudu = ln tanh u = −2 coth−1 [eu ]
2
29) sech2 udu = tanh u
Integrales. 30) csch2 udu = − coth u
En este formulario: k, w, C ∈ R son constantes reales, u = u(x)
y v = v(x) son funciones que dependen de x. 31) tanh2 udu = u − tanh u
F´rmulas B´sicas.
o a 32) coth2 udu = u − coth u
1) 0dx = C 33) senh2 udu = senh 2u
− u 1
= 2 [senh u cosh u − u]
4 2
2) kdx = kx + C 34) cosh2 udu = senh 2u
+ u 1
= 2 [senh u cosh u + u]
4 2
3) (k · u ± w · v)dx = k udx + w vdx + C 35) sechu tanh udu = −sechu
un+1 36) cschu coth udu = −cschu
4) Regla de la potencia un du = n+1 para n = −1.
5) Regla exponencial eu du = eu
Integrales con au + b.
6) Regla logar´
ıtmica ln |u| du = u ln |u| − u du 1
37) au+b = a ln (au + b)
au
7) au du = +C 38) udu
= u
− b
ln (au + b)
ln(a) au+b a a2
u2 du (au+b)2 2b(au+b) b2
du 39) au+b = 2a3 − a3 + a3 ln (au + b)
8) = ln |u| + C
u
u3 du (au+b)3 3b(au+b)2 3b2 (au+b) b3
40) au+b = 3a4 − 2a4 + a4 − a4 ln (au + b)
Trigonom´tricas.
e du 1 u
41) u(au+b) = b ln au+b
9) sen udu = − cos u du 1 a au+b
42) u2 (au+b) = − bu + b2 ln u
10) cos udu = sen u du −1
43) (au+b)2 = a(au+b)
11) tan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C
udu b 1
44) (au+b)2 = a2 (au+b) + a2 ln (au + b)
12) cot udu = ln sen u
u2 du au+b b2 2b
u π
45) (au+b)2 = a3 − a3 (au+b) − a3 ln (au + b)
13) sec udu = ln[sec u + tan u] = ln tan 2 + 4
du 1 1 u
14) csc udu = ln[csc u − cot u] = ln tan u 46) u(au+b)2 = b(au+b) + b2 ln au+b
2
du −a 1 2a au+b
15) sec2 udu = tan u 47) u2 (au+b)2 = b2 (au+b) − b2 u + b3 ln u
du −1
16) csc2 udu = − cot u 48) (au+b)3 = 2(au+b)2
4

5. 49) udu
= −1
+ b 2(au+b)(m+2)/2
(au+b)3 a2 (au+b) 2a2 (au+b)2 71) (au + b)m/2 du = a(m+2)
u2 du 2b b2 1
50) = − + ln (au + b) 2(au+b)(m+4)/2 2b(au+b)(m+2)/2
(au+b)3 a3 (au+b) 2a3 (au+b)2 a3 72) u(au + b)m/2 du = a2 (m+4) − a2 (m+2)
(au+b)2
51) (au + b) du = 2a 2(au+b)(m+6)/2 4b(au+b)(m+4)/2
73) u2 (au + b)m/2 du = a3 (m+6) − a3 (m+4)
n (au+b)n+1
52) (au + b) du = (n+1)a para n = −1 2b2 (au+b)(m+2)/2
+ a3 (m+2)
n (au+b)n+2 b(au+b)n+1
53) u (au + b) du = (n+2)a2 − (n+1)a2 para n = −1, −2 (au+b)m/2 2(au+b)m/2 (au+b)(m−2)/2
74) u du = m +b u du
n (au+b)n+3 2b(au+b)n+2 b2 (au+b)n+1
54) u2 (au + b) du = (n+3)a3 − (n+2)a3 + (n+1)a3 (au+b)m/2 (m+2)/2
(au+b)m/2
75) u2 du = − (au+b)
bu + ma
2b u du
para n = −1, −2, −3
du 2 1 du
76) u(au+b)m/2
= b(m−2)(au+b)(m−2)/2
+ b u(au+b)(m−2)/2
55) um (au + b)n du =
 um+1 (au+b)n n−1
nb
+ m+n+1 um (au + b) du
m+n+1 Integrales con u2 + a2 .




 m
u (au+b)n+1 mb n
= − (m+n+1)a um−1 (au + b) du du 1 u
 (m+n+1)a
 77) u2 +a2 = a tan−1 a

 −um+1 (au+b)n+1
+ m+n+2 um (au + b)n+1 du

(n+1)b (n+1)b udu 1
78) u2 +a2 = 2 ln u2 + a2
√ u2 du u
Integrales con au + b. 79) u2 +a2 = u − a tan−1 a
√
u3 du u2 a2
56) √ du
au+b
= 2 au+b
a
80) u2 +a2 = 2 − 2 ln u2 + a2
2(au−2b) √
57) √udu = au +b 81) du
= 1
ln u2
au+b 3a2 u(u2 +a2 ) 2a2 u2 +a2
u2 2(3a2 u2 −4ab u+8b2 ) √
58) √ du = au +b 82) du 1
= − a2 u − 1
tan−1 u
au+b 15a3 u2 (u2 +a2 ) a3 a
 √ √
 1
√ ln √au+b−√b 83) du 1
= − 2a2 u2 − 1
ln u2
 b au+b+ b u3 (u2 +a2 ) 2a4 u2 +a2
59) √du =
u au+b
√2 tan−1 au+b

du u 1 u
84) = + tan−1

−b −b (u2 +a2 )2 2a2 (u2 +a2 ) 2a3 a
√
du au+b a √du udu −1
60) u2
√
au+b
=− bu − 2b u au+b 85) (u2 +a2 )2 = 2(u2 +a2 )
√ √
2 (au+b)3 u2 du −u 1 u
61) au + b du = 3a
86) (u2 +a2 )2 = 2(u2 +a2 ) + 2a tan−1 a
√ 2(3au−2b) 3 u3 du a2 1
62) u au + b du = 15a2 (au + b) 87) (u2 +a2 )2 = 2(u2 +a2 ) + 2 ln(u2 + a2 )
√ 2(15a2 u2 −12ab u+8b2 )
63) u2 au + b du = 105a3 (au + b)3 88) du
u(u2 +a2 )2 = 1
2a2 (u2 +a2 ) + 1
2a4 ln u2
(u2 +a2 )
√
au+b
√
64) du = 2 au + b + b √du du 1 u 3 u
u u au+b 89) u2 (u2 +a2 )2 = − a4 u − 2a4 (u2 +a2 ) − 2a5 tan−1 a
√ √
au+b au+b a √du
65) u2 du =− + du 1 1 1 u2
u 2 u au+b 90) u3 (u2 +a2 )2 = − 2a4 u2 − 2a4 (u2 +a2 ) − a6 ln u2 +a2
√
√u
m
2um au+b 2mb um−1
66) au+b
du = (2m+1)a − (2m+1)a
√
au+b
du
du u 2n−3 du
91) (u2 +a2 )n = 2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1 + (2n−2)a2 (u2 +a2 )n−1
√
du au+b (2m−3)a du
67) um
√
au+b
= − (m−1)bum−1 − (2m−2)b
√
um−1 au+b udu −1
92) (u2 +a2 )n = 2(n−1)(u2 +a2 )n−1
√ 2u m
68) um au + bdu = (2m+3)a (au + b)3/2
2mb
√ 93) du
= 1
+ 1 du
− (2m+3)a um−1 au + bdu u(u2 +a2 )n 2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1 a2 u(u2 +a2 )n−1
√ √
um du um−2 du um−2 du
69) au+b au+b a du 94) = − a2
um du = − (m−1)um−1 + √ (u2 +a2 )n (u2 +a2 )n−1 (u2 +a2 )n
2(m−1) um−1 au+b
√ √
au+b −(au+b)3/2 (2m−5)a au+b du 1 du 1 du
70) um du = (m−1)bum−1 − (2m−2)b um−1 du 95) um (u2 +a2 )n = a2 um (u2 +a2 )n−1 − a2 um−2 (u2 +a2 )n
5

6. Integrales con u2 − a2 . 122) du
(a2 −u2 )2 = u
2a2 (a2 −u2 ) + 1
4a3 ln a+u
a−u
udu 1
96) du
u2 −a2 = 1
2a ln u−a
u+a = − a coth−1
1 u
a
123) (a2 −u2 )2 = 2(a2 −u2 )
u2 du u 1 a+u
97) udu
= 1
ln u2 − a2 124) (a2 −u2 )2 = 2(a2 −u2 ) − 4a ln a−u
u2 −a2 2
u3 du a2 1
98) u2 du
=u+ a
ln u−a 125) (a2 −u2 )2 = 2(a2 −u2 ) + 2 ln(a2 − u2 )
u2 −a2 2 u+a
du 1 1 u2
99) u3 du
= u2
+ a2
ln u2 − a2 126) u(a2 −u2 )2 = 2a2 (a2 −u2 ) + 2a4 ln a2 −u2
u2 −a2 2 2
du 1 u 3 a+u
100) du
= 1
ln u2 −a2 127) u2 (a2 −u2 )2 = − a4 u + 2a4 (a2 −u2 ) + 4a5 ln a−u
u(u2 −a2 ) 2a2 u2
du 1 1 1 u2
du 1 1 u−a 128) u3 (a2 −u2 )2 = − 2a4 u2 + 2a4 (a2 −u2 ) + a6 ln a2 −u2
101) u2 (u2 −a2 ) = a2 u + 2a3 ln u+a
dx x 2n−3 dx
129) (a2 −x2 )n = 2(n−1)a2 (a2 −x2 )n−1
+ (2n−2)a2 (a2 −x2 )n−1
du 1 1 u2
102) u3 (u2 −a2 ) = 2a2 u2 − 2a4 ln u2 −a2
xdx 1
130) (a2 −x2 )n = 2(n−1)(a2 −x2 )n−1
du −u 1 u−a
103) (u2 −a2 )2
= 2a2 (u2 −a2 ) − 4a3 ln u+a
√
udu −1 Integrales con u2 + a2 .
104) (u2 −a2 )2 = 2(u2 −a2 )
√ √
u u2 +a2 a2
√
u2 du −u 1 u−a
131) u2 + a2 du = 2 + 2 ln u + u 2 + a2
105) (u2 −a2 )2 = 2(u2 −a2 ) + 4a ln u+a
√ (u2 +a2 )
3/2
3 132) u u2 + a2 du = 3
u du −a 1
106) (u2 −a2 )2 = 2(u2 −a2 ) + 2 ln u2 − a2
√ u(u2 +a2 )
3/2
2
√
u2 2
133) u2 u2 + a2 du = 4 − a u 8 +a
du −1 1 u2
107) u(u2 −a2 )2 = 2a2 (u2 −a2 ) + 2a4 ln u2 −a2 4 √
− a ln u + u2 + a2
8
du 1 u 3 u−a
108) u2 (u2 −a2 )2 = − a4 u − 2a4 (u2 −a2 ) − 4a5 ln u+a
√ (u2 +a2 )
5/2
a2 (u2 +a2 )
3/2
134) u3 u2 + a2 du = 5 − 3
du 1 1 1 u2 √
109) u3 (u2 −a2 )2 = − 2a4 u2 − 2a4 (u2 −a2 ) + a6 ln u2 −a2 135) √ du
u2 +a2
= ln u + u2 + a2 = senh−1 u a
√
110) du
= −u
− 2n−3 du 136) √ udu = u 2 + a2
(u2 −a2 )n 2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1 (2n−2)a2 (u2 −a2 )n−1 u2 +a2
2
√
u u2 +a2 a2
√
111) udu
= −1 137) √u du = − ln u + u 2 + a2
(u2 −a2 )n 2(n−1)(u2 −a2 )n−1 u2 +a2 2 2
3 (u2 +a2 )
3/2 √
112) du
= −1
− 1 du 138) √u du = − a2 u 2 + a2
u(u2 −a2 )n 2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1 a2 u(u2 −a2 )n−1 u2 +a2 3
√
um du um−2 du um−2 du √ du 1 a+ u2 +a2
113) (u2 −a2 )n = (u2 −a2 )n−1 + a2 (u2 −a2 )n
139) u u2 +a2
= − a ln u
√
du 1 du 1 du √du u2 +a2
114) um (u2 −a2 )n = a2 um−2 (u2 −a2 )n + a2 um (u2 −a2 )n−1
140) u2 u2 +a2
=− a2 u
√ √
√du u2 +a2 1 a+ u2 +a2
141) u3 u2 +a2
=− 2a2 u2 + 2a3 ln u
Integrales con a2 − u2 , u2 < a2 . √
u2 +a2
√ √
a+ u2 +a2
142) u du = u2 + a2 − a ln u
115) du
a2 −u2 = 1
2a ln a+u
a−u = 1
a tanh−1 u
a √
u2 +a2
√
u2 +a2
√
143) u2 du =− u + ln u + u 2 + a2
udu 1
116) a2 −u2 = − 2 ln(a2 − u2 ) √ √ √
u2 +a2 2 +a2 a+ u2 +a2
144) u3 du = − u 2
2u − 1
2a ln u
u2 du a a+u
117) a2 −u2 = −u + 2 ln a−u du √u
145) (u2 +a2 )3/2
= a2 u2 +a2
u3 du 2
a2
118) = −u − ln(a2 − u2 ) udu
a2 −u2 2 2 146) = √ −1
(u2 +a2 )3/2 u2 +a2
du 1 u2 √
119) = ln u2 du √ −u
u(a2 −u2 ) 2a2 a2 −u2 147) (u2 +a2 )3/2
= u2 +a2
+ ln u + u 2 + a2
du 1 1 a+u u3 du
√ 2
120) u2 (a2 −u2 ) = a2 u + 2a3 ln a−u 148) = u 2 + a2 + √ a
(u2 +a2 )3/2 u2 +a2
√
du 1 1 u2 du √1 1 a+ u2 +a2
121) u3 (a2 −u2 ) = − 2a2 u2 + 2a4 ln a2 −u2 149) u(u2 +a2 )3/2
= a2 u2 +a2
− a3 ln u
6

7. √ √ √
du u2 +a2 √u u2 −a2 u2 −a2 1 u
150) u2 (u2 +a2 )3/2
=− a4 u − a4 u2 +a2
171) u3 du =− 2u2 + 2a sec−1 a
du u
151) du
= −1
√ − √3 172) (u2 −a2 )3/2
= − a2 √u2 −a2
u3 (u2 +a2 )3/2 2a2 u2 u2 +a2 2a4 u2 +a2
√ udu √ −1
3 a+ u2 +a2 173) (u2 −a2 )3/2
=
+ 2a5 ln u
u2 −a2
u2 du u
√
2 3/2 √ 174) (u2 −a2 )3/2
= − √u2 −a2 + ln u + u 2 − a2
3/2 u(u +a 2
) 2
3a u u2 +a2
152) u 2 + a2 du = 4 + 8 √
√ u3 du √ a
2
3 175) = u 2 − a2 −
+ 8 a4 ln u + u2 + a2 (u2 −a2 )3/2 u2 −a2
du √−1 1 u
(u2 +a2 )5/2 176) u(u2 −a2 )3/2
= a2 u2 −a2
− a3 sec−1 a
2 2 3/2
153) u u +a du = 5 √
du u2 −a2 √u
2 5/2 2 3/2
177) u2 (u2 −a2 )3/2
=− a4 u − a4 u2 −a2
2 3/2 u(u +a ) 2
a u(u +a ) 2 2
154) u2 u2 + a du = 6 − 24 du 1 √3 3 u
4
√
2 +a2 6 √ 178) u3 (u2 −a2 )3/2
= 2a2 u2
√
u2 −a2
− 2a4 u2 −a2
− 2a5 sec−1 a
a u u
− 16 − a ln u + u2
16 + a2
u(u2 −a2 )
3/2 √
3/2 2 2 −a2
(u2 +a2 )
3/2
(u2 +a2 )
3/2 √ 179) u 2 − a2 du = 4 − 3a u 8u
155) u du = 3 + a2 u 2 + a2 √
√ + 3 a4 ln u + u2 + a2
8
a+ u2 +a2
− a3 ln u 5/2
3/2 (u2 −a2 )
180) u u 2 − a2 du = 5
√
(u2 +a2 )3/2 (u2 +a2 )3/2 2 2
156) u2 du = − u + 3u u +a
2 3/2 u(u −a2 )
2 5/2
a2 u(u2 −a2 )
3/2
√ 181) u 2 u 2 − a2 du = 6 + 24
+ 3 a2 ln u + u2 + a2
2 √ √
a4 u u2 −a2 a6
− 16 + 16 ln u + u 2 − a2
(u2 +a2 )
3/2
(u2 +a2 )
3/2
3
√
157) u3 du = − 2u2 + 2 u 2 + a2 3/2 (u2 −a2 )
7/2
a2 (u2 −a2 )
5/2
√ 182) u 3 u 2 − a2 du = 7 + 5
a+ u2 +a2
− 3 a ln
2 u
(u 2 2 3/2
−a ) (u 2
−a 2 3/2
) √ u
183) u du = 3 − a2 u2 − a2 + a3 sec−1 a
√ √
Integrales con u2 − a2 . (u2 −a2 )3/2 (u2 −a2 )3/2 2 2
184) u2 du = − u + 3u u −a
2
√ 3 2
√
158) √ du = ln u + u 2 − a2 − 2 a ln u + u 2 − a2
u2 −a2
√ (u2 −a2 )3/2 (u2 −a2 )3/2 √
159) √ udu = u 2 − a2 185) du = − + 3 u2 −a2
− 3 a sec−1 u
u2 −a2 u3 2u2 2 2 a
√ √
160)
2
√u du = u u2 −a2
2 + a2
2 ln u + u 2 − a2 √
u2 −a2 Integrales con a2 − u2 .
3 (u2 −a2 )
3/2 √
161) √u du = + a2 u 2 − a2 186) √ du = sen−1 u
u2 −a2 3 a2 −u2 a
√
162) √ du = 1
sec−1 u 187) √ udu = − a2 − u 2
u u2 −a2 a a a2 −u2
√ 2
√
a2 −u2 a2
163) √du = u2 −a2 188) √u du
a2 −u2
= −u 2 + 2 sen−1 u
a
u2 u2 −a2 a2 u
√
u2 −a2 3 (a2 −u2 )
3/2 √
164) √du = + 1
sec−1 u
189) √u du = − a2 a2 − u 2
u3 u2 −a2 2a2 u2 2a3 a a2 −u2 3
√ √ √ √
a2 √ du a2 −u2
165) u2 − a2 du = u u2 −a2
2 − 2 ln u + u 2 − a2 190) u a2 −u2
= − a ln( a+
1
u )
√
√ (u2 −a2 )3/2 191) √du =− a2 −u2
166) u u2 − a2 du = 3
u2 a2 −u2 a2 u
√ √
a2 −u2 a2 −u2
√ u(u2 −a2 )
3/2
2
√
u2 2 192) u3
√du
a2 −u2
=− 2a2 u2 − 1
2a3 ln( a+ u )
167) 2
u u2 − a2 du = 4 + a u 8 −a
√ √ √
u a2 −u2 a2 u
4
− a ln u + u2 − a2 193) a2 − u2 du = 2 + 2 sen−1 a
8
√ (a2 −u2 )3/2
√
3 (u2 −a2 )
5/2
a2 (u2 −a2 )
3/2
194) u a2 − u2 du = −
168) u u2 − a2 du = 5 + 3
3
√ √ √ u(a2 −u2 )
3/2
2
√
a2 2 4
169) u2 −a2
du = u2 − a2 − a sec−1 u 195) u2 a2 − u2 du = − 4 + a u 8 −u + a sen−1
8
u
a
u a
3
√
u2 −a2
√
u2 −a2
√ √ (a2 −u2 )
5/2
a2 (a2 −u2 ) 2
170) u2 du =− u + ln u + u 2 − a2 196) u3 a2 − u2 du = 5 − 3
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