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Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 135).f(x) = x4- 6x2+ 2 (polinomio de cuarto orden)Nombre de la función f(x) = x4-6 x2+2...
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 146) f(x)= ( x2+ 5x + 4 )( x2- 4x + 3 )Nombre de la función f(x) = ( x2+ 5x + 4) * (x2-...
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Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 16Con un zoom acercando los valores en un intervalo pequeños vemos
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 177) f(x) = x4- 4x +2Nombre de la función f(x) = x4-4x+2 Función Polinomial:Y = x^4-4x+...
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 188) 24)( xxf −= =2/12)4( x− (semi- circunfencia)Nombre de la función f(x) = (4-x2)1/2F...
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 19En la grafica adjunta puedesver la en rojo la rectatangente y como muestra supendient...
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 209)3)(+=xxxfNombre de la función f(x) = x/( x+3 ) Función Racional: f:R → RDefinida as...
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 21En rojo podemos ver la asíntota vertical (el valor que se excluye del dominio)
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Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 23En azul la función5.2)(−−=xxxf y en verde su derivada f´(x)= 2)5(3−−x
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 2411)2.2)(−+=xxxfNombre de la función f(x) = (x+2) / ( x-2 ) Función Racional: f:R → RD...
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Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

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Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

  1. 1. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 1Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas ArmadasNúcleo BarinasAsignatura Matemática I código 21214 –Primera Versión 14-06-08Facilitador: Licdo Eliezer Montoya Sección(es) C y HAplicaciones de la Derivada: Representación Gráfica de Funciones)usando el criterio de la primera y segunda derivada RepresentaciónGráfica de Funciones)Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen lossiguientes pasos:1) Determinar el dominio y el rango de la función2) Calcular los puntos de corte:a) Con el eje x (se hace y = 0)b) Con el eje y (se hace x = 0)3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (siexisten)Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función sellama punto critico si f´(c) = 0 ó f´(c) no existe4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la función esdiscontinua dividen el dominio en intervalos.b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos , tomandocualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a) ysustituyendo luego en f´(x)c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo.Si f´(a) < 0 la función decrece en el intervalo
  2. 2. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 25) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):Se puede maximizar o minimizarglobal y localmente una funciónrepresentativa de algún contenidoespecífico. Por ejemplo, en lasiguiente gráfica se representanMáximos y Mínimos locales de lafunción : donde y sonMínimos de ; y sonMáximos de .Según el criterio de la primera derivada:a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) < 0, entonces en el punto critico (a) seconsidera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es un máximorelativo)b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) <0 pasa f´(x)> 0, entonces en el punto critico (b) seconsidera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es un mínimorelativo )
  3. 3. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 3Según el criterio de la segunda derivada*Se calcula )´´(xf y se halla la imagen de cada punto critico a travésde )´´(xf .*Si 0)´´( >af entonces f(a) es un mínimo relativo* Si 0)´´( <af entonces f(a) es un máximo relativo (suponiendo que a esun punto critico).6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde lasegunda derivada es igual a cero )0)´´(( =xf ó )´´(xf no existe y hay uncambio en la concavidad.7) Estudiar la concavidad de la función:Una vez determinados los puntos de inflexión ( si los hay), se debe tenerpresente que estos dividen el dominio de la función en intervalos; se‘procede a estudiar el signo de )´´(xf en cada intervalo:*Si 0)´´( >xf entonces f(x) es cóncava hacia arriba.*Si 0)´´( <xf entonces f(x) es cóncava hacia abajo.En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tieneque Para estudiar el comportamiento de la curva que representa a la funciónen ciertos intervalos, y en definitiva encontrar máximos y mínimos, debemosrealizar el siguiente procedimiento:Considerando que es una Función Real y Continua:a) Determinarb) Hacer y obtener los valores críticos .c) Determinar .d) Evaluar con los valores críticos y examinar los signosobtenidosSi entonces existe un Punto Mínimo (Min)Si entonces existe un Punto Máximo (Máx.)Si entonces existe un Punto de Inflexión (Inf)Un punto se llama de inflexión si en él, la función, cambia elsentido de la concavidad.
  4. 4. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 4e) Evaluar la función original con los valores críticos y determinar lospuntos críticos, es decir .8) Determinar Asíntotas (si existen)Asíntotas verticales : Dada la función f y la recta vertical x = a ;se dice quex=a es una asíntota vertical de f sii:±∞=+→)(lim xfaxy ±∞=−→)(lim xfaxAsíntotas horizontales: Dada la función f y la recta y = b ; se dice que y=b esuna asíntota horizontal de f sii :bxfx=+∞→)(lim y bxfx=−∞→)(limAsíntotas oblicuas: Dada la función y= mx+b , se dice que y =mx+b es unaasíntota oblicua de f sii:9) Con toda la información obtenida en los pasos anteriores, se procede aconstruir la graficaVeamos un ejemplo:1) Graficar la función .Solución1)Dominio y Rango de la función:Dom f(x) = R = ),( +∞−∞Rgo f(x) = R = ),( +∞−∞2) Cortes con los ejesCorte con el eje y : se hace x =0 y se obtiene que y = 8 es decir el punto (0,8)Corte con el eje x: se hace y =0 y se obtiene 0= x3-6x2+9x-8 tiene una raíz( 349/80,0) =( 4,3625;0)3) Intervalos de crecimiento y decrecimientoDeterminamos la primera derivada de f y la igualamos a cero[ ])()(lim xmxfbx−=±∞→xxfmx)(lim±∞→=
  5. 5. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 5De donde obtenemos queLa función es creciente en el intervalo ( ]1,∞− U [ )+∞,3 , es decir, f´(a) > 0donde a es un punto dentro del intervalo.La función es decreciente en el intervalo comprendido entre [ ]3,1 , es decir,f´(a)<05)Hallar punto(s) maximo(s) y mínimo(s) realtivo(s)Ahora obtenemos la segunda Derivada y evaluamos en ella los valores críticosComo , entonces decimos que la función tiene un mínimo en .De la misma forma, considerando que , se dice que la función tiene unmáximo en . En definitiva, los puntos mínimos y máximo de la curva,serían:• que es el punto mínimo dela función, y• que es máximo de lafunción.6) Determinamos puntos de inflexión:Además, si hacemos , se tiene que:es un punto de inflexión, en consecuencia:es el punto de inflexión.
  6. 6. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 6Finalmente se tiene que:7) Estudiamos la concavidad:)2,(−∞ Es cóncava hacia abajo, el signo de f´´(a) >0),2( +∞ Es cóncava hacia arriba, el signo de f´´(a) <0La grafica de 896)( 23−+−= xxxxf es:Ejercicios propuestos:(I) Graficar las siguientes curvas haciendo uso de de las derivadas:(1,-4) es un punto máximo de f(3,-8) es un punto mínimo de f(2,-6) es un punto de inflexión
  7. 7. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 71) 32)( 2−−= xxxf 8) 24)( xxf −=2) xxxf 4)( 2+−= 9)3)(+=xxxf3) 652)( 23+−−= xxxxf 10)5.2)(−−=xxxf4) 44)( 23−+−= xxxxf 11)2.2)(−+=xxxf5) 26)( 24+−= xxxf 12) 2)3()1()(++=xxxxf6) )34)(45()( 22+−++= xxxxxf 13) xexxf /1.)( −=7) 24)( 4+−= xxxf 14) π20,2sin)( ≤≤= xxxfNota *Verifique dichas graficas en un software matemático, Usemodellus la aplicación de física o graphmatics u otro que este a su alcance(II ) Calcular los puntos máximos y mínimos de las funciones siguientesa) 214)(xxxh+= b)xxxg1)(3−=c) 3/23/1)1.()( −= xxxf d) 33)( 3+−= xxxf en el intervalo −23,3e)1)(+=xxxf en el intervalo − 1,21
  8. 8. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 8Referencias bibliográficas::*Stewart, J. (1999) Cálculo conceptos y contextos. Editorial Thomson.*Purcel, E. y Varberg, D. (2001). Cálculo con Geometría Analítica. OctavaEdición. Editorial Prentice Hall Hispanoaméricana. México*Leithold, L. (1998) El Calculo VII edición. Edit Oxford*Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . IIedicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.
  9. 9. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 9Soluciones de los ejercicios propuestosGraficar las funciones siguientes usando el criterio de la primera y segunda la derivada(para la representación grafica se uso el software Graphmatics y funciones para Windows)1) f(x) = x2-2x-3Nombre de la función f(x) = x2-2x-3 Función Cuadrática:y =x^2-2x-31-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Corte con el eje X(-1,0) y (3,0)Corte con el eje Y(0,-3)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x)=2x-20 = 2x-2 entonces Xc= 14.-Intervalos de crecimientoy decrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece( ]1,∞− decrece( ] [ ]1,11, −∪−∞− decrece[ )+∞,1 crece[ ] [ )+∞∪ ,33,1 crece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Mínimof´(xc)<0 → MáximoMáximo : (xc, f(xc))Max: No hayMínimo: ( xc , f(xc))Min : (1,-4)6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajof´´(x)=2 Cóncava hacia arriba pues lasegunda derivada es positiva7.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función:xy-6 -4 -2 0 2 4 6-6-4-20246
  10. 10. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 102) f(x) = - x2+ 4xNombre de la función f(x) = -x2+4x Cuadrática:y =-x^2+4x1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Corte con el eje X(0,0) y (4,0)Corte con el eje Y(0,0)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x)=-2x+40 = -2x+4 entonces Xc= 24.-Intervalos de crecimientoy decrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece( ]0,∞− crece( ] [ ]2,00, ∪∞− crece[ )+∞,2 decrece[ ] [ )+∞∪ ,44,2 decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Max: (2,4)Mínimo: ( xc , f(xc))Min : No hay6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajof´´(x)=-2 Cóncava hacia abajo pues lasegunda derivada es positiva8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la funciónxy-6 -4 -2 0 2 4 6-6-4-20246
  11. 11. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 113) f(x) = x3- 2x2- 5x+6Nombre de la función f(x) = x3- 2x2- 5x+6 Cúbica:y=x^3-2x^2-5x+61-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(-2,0) , (1,0) y (3,0)Pto de Corte con el eje Y(0,6)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x) = 3x2-4x-50 = 3x2-4x-5 entonces las raices son x1c= 2,11 y x2c = -0.784.-Intervalos de crecimientoy decrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece( ]78.0,−∞− crece( ] [ ]078,11, −−∪−∞− crece[ )+∞;11.2 crece[ ] [ )+∞∪ ;33;11.2 crece[ )11.2,78.0 +− decrece[ ] [ ]11.2;11;78.0 ∪− decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Max: (-0.78; 8.21)Mínimo: ( xc , f(xc))Min : (2.11;-4.06)6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=6x-40 = 6x-4 →x=2/3=0.66..Coordenada del pto. deinflexión(0.6 ; 2.2 )7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo( ]3/2,∞− cóncava haciaabajo[ )+∞,3/2Cóncava hacia arriba8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función
  12. 12. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 124) f(x) = x3- x2+4x-4Nombre de la función f(x) = x3- x2+4x-4 Cúbica:y=x^3-x^2+4x-41-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(1;0)Pto de Corte con el eje Y(0,-4)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x) = 3x2-2x+40 = 3x2-2x+4 entonces las raices son x1c= 1/3+1.1i y x2c =1/3-1.1 (son imaginarias) No son reales4.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece( )+∞∞− , crece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: No posee-no existenMínimo: ( xc , f(xc))Min : No posee -no hay6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=6x-20 = 6x-2 →x=1/3=0.33..Coordenada del pto. deinflexión(0.33 ; -2.77 )7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo( ]3/1,∞− cóncava haciaabajo[ )+∞,3/1Cóncava hacia arriba8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función
  13. 13. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 135).f(x) = x4- 6x2+ 2 (polinomio de cuarto orden)Nombre de la función f(x) = x4-6 x2+2 Bicuadratica o Polinomial:Y = x^4-6x^2+21-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(-2.39;0) ; (-0.59;0) , (0.59;0)y (2.39;0)Pto de Corte con el eje Y(0,2)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x) = 4x3-12x = 2x.(2x2-6)0 =4x3-18x = 2x.(2x2-9) entonces las raíces son x1c= 0 ;x2c = 73.13 ±=4.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece[ ]0;3− crece[ )+∞;3 crece( ]3,−∞− decrece[ ]3;0 decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: (0,2)Mínimo: ( xc , f(xc))Min : (1.73;-7) y (-173;-7)6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=12x2-120 =12x2-12 → x= 11 ±= ..Coordenada del pto. deinflexión(+1 ; -3 ) y (-1,-3)7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo[ ]1,1− cóncava hacia abajo ( ]1,−∞− Cóncava haciaarriba[ )+∞,1 Cóncava hacia arriba8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función
  14. 14. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 146) f(x)= ( x2+ 5x + 4 )( x2- 4x + 3 )Nombre de la función f(x) = ( x2+ 5x + 4) * (x2-4x+3) = x4+ x3-13x2-x+12Función Polinomial:Y = (x^2+5x+4).(x^2-4x+3).1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(-4;0) ; (-1;0) , (1;0) y (3;0)Pto de Corte con el eje Y(0,12)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x) =( 2x+5)((x2-4x+3) + (2x-4) ( x2+ 5x + 4) = 4x3+3x2-26x-1 =0entonces las raíces son x1c=-0.05 ; x2c =-2.92 y x3c =2.224.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece[ ]05.0;92.2 −− crece[ )+∞;22.2 crece( ]92.2,−∞− decrece[ ]22.2;05.0− decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: (-0.05 ;12.01)Mínimo: ( xc , f(xc))Min : (-2.92;-48.1) y (-2.22 ; -19.1)6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=12x2+6x-260 =12x2+6x-260 =6x2+3x-13 →x1 =1.23 y x2=1.75Coordenada del pto. deinflexión(1.23 ; -4.6 ) y (-1.75,-22)7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo[ ]23.1;75.1− cóncava haciaabajo( ]75.1,−∞− Cóncava haciaarriba[ )+∞;23.1 Cóncava haciaarriba8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función
  15. 15. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 15
  16. 16. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 16Con un zoom acercando los valores en un intervalo pequeños vemos
  17. 17. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 177) f(x) = x4- 4x +2Nombre de la función f(x) = x4-4x+2 Función Polinomial:Y = x^4-4x+21-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R Rgo f(x) = R2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(0.51;0) ; (1.36;0)Pto de Corte con el eje Y(0,2)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0F´(x) = 4x3-40=4x3-4 entonces las raíces son x1c=14.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece[ )+∞;1 crece ( ]1,∞− decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: no existeMínimo: ( xc , f(xc))Min : (1;-1)6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=12x20 =12x2→ x = 0Coordenada del pto. deinflexión(0;2)7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo( ]0,∞− Cóncava haciaarriba[ )+∞;0 Cóncava hacia arriba8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la función
  18. 18. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 188) 24)( xxf −= =2/12)4( x− (semi- circunfencia)Nombre de la función f(x) = (4-x2)1/2Función Irracional :f:R → R Definida así:n xPxf )()( =si n es par, la función tienerestricciones P(x) 0≥si n es impar no poseerestricciones (esta definida entodo valor de X)1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = [ ]2;2− Rgo f(x) = [ ]2;02.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(-2;0) ; (2;0)Pto de Corte con el eje Y(0,2)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0 F´(x) =2422xx−− =24 xx−−0 = x entonces los puntos críticos son x1c=04.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece[ ]0,2− crece [ ]2,0 decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: (0,2)Mínimo: ( xc , f(xc))Min : No existen6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0f´´(x)=-4(4-x2)1/20 = -4(4-x2)1/2→ x = 2±Coordenada del pto. deinflexión(0;2)7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo[ ]2,2− es cóncava haciaabajoEn otro intervalo no estadefinida8.-Asintotas. No presenta asintotasCon la información anterior se procede a graficar la funciónEn la grafica adjunta puedesver la en rojo la recta tangentey como muestra su pendientecero ( la derivada en el puntox=0)
  19. 19. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 19En la grafica adjunta puedesver la en rojo la rectatangente y como muestra supendiente positiva ( laderivada en el punto x=1)En la grafica adjunta puedesver la en rojo la rectatangente y como muestra supendiente negativa ( laderivada en el punto x=1)**Recuerde la aplicaciónde la recta tangente ynormal de una función enel punto x = a
  20. 20. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 209)3)(+=xxxfNombre de la función f(x) = x/( x+3 ) Función Racional: f:R → RDefinida así:)()()(xQxPxf = donde0)( ≠xQ1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R - { }3−El valor que anula a x+3 es -3 (este se excluye )Rgo f(x) = R-{}1f(x)= y y su inversa es f(y)=xdonde x= 3y/(y-1) el valorque anula a y-1 es 1 (este seexcluye del rango)2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(0,0)Pto de Corte con el eje Y(0,0)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0 F´(x) = 2)3( +xx=> 0= 2)3( +xx0 = x entonces los puntos críticos son x1c=04.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decrece( )3,−∞− crece( )+∞− ,3 creceNo posee intervalos dedecrecimiento5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Mínimof´(xc)<0 → MáximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: No tieneMínimo: ( xc , f(xc))Min : No existen6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0 f´´(x)= 42)3(9++−xx0 = 42)3(9++−xx→ x = 39 ±=Coordenada del pto. deinflexiónPara x=-3 no esta definida7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajo8.-Asíntotas. Asíntota HorizontalY= 1 es una asíntotahorizontal ya que :1)(lim =+∞→xfxy también1)(lim =−∞→xfxAsíntota VerticalX=3 es una asíntota verticalya que:−∞=+→)(lim3xfxy∞=+→)(lim3xfxCon la información anterior se procede a graficar la función
  21. 21. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 21En rojo podemos ver la asíntota vertical (el valor que se excluye del dominio)
  22. 22. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 2210)5.2)(−−=xxxfNombre de la función f(x) = (x-2) / ( x-5 ) Función Racional: f:R → RDefinida así:)()()(xQxPxf = donde0)( ≠xQ1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R - { }5El valor que anula a x-5 es 5(este se excluye )Rgo f(x) = R-{}1f(x)= y ; su inversa es f(y)=xdonde despejandox=( 5y-2)/(y-1) el valor queanula a y-1 es 1 (este seexcluye del rango)2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(2,0)Pto de Corte con el eje Y(0,2/5) =(0;0.4)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0 F´(x) = 2)5(3−−x=> 0= 2)5(3−−xNo posee.4.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decreceNo posee intervalos decrecimiento( )5,∞− decrece( )+∞,5 decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: No tieneMínimo: ( xc , f(xc))Min : No existen6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0 f´´(x)= 3)5(6−x0 = 3)5(6−xCoordenada del pto. deinflexiónNo existen7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajoNo hay8.-Asíntotas. Asíntota HorizontalY= 1 es una asíntotahorizontal ya que :1)(lim =+∞→xfxy también1)(lim =−∞→xfxAsíntota VerticalX=5 es una asíntota verticalya que:+∞=+→)(lim5xfxy−∞=−→)(lim5xfxCon la información anterior se procede a graficar la función
  23. 23. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 23En azul la función5.2)(−−=xxxf y en verde su derivada f´(x)= 2)5(3−−x
  24. 24. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 2411)2.2)(−+=xxxfNombre de la función f(x) = (x+2) / ( x-2 ) Función Racional: f:R → RDefinida así:)()()(xQxPxf = donde0)( ≠xQ1-Dominio f(x)Rango f(x)Dom f(x) = R - { }2El valor que anula a x-2 es 2(este se excluye del dominio)Rgo f(x) = R-{}1f(x)= y ; su inversa es f(y)=xdonde despejandox=( y+2)/(y-1) el valor queanula a y-1 es 1 (este seexcluye del rango)2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X(-2,0)Pto de Corte con el eje Y(0,-1)3.-Puntos críticos dondef´(x) =0 F´(x) = 2)5(3−−x=> 0= 2)5(3−−xNo posee.4.-Intervalos de crecimiento ydecrecimiento* f´(a)>0 → crece ,* f´(a)<0 →decreceNo posee intervalos decrecimiento( )2,∞− decrece( )+∞,2 decrece5.-Coordenadas del puntoMáximo y Mínimof´(xc) >0 → Minimof´(xc)<0 → MaximoMáximo : (xc, f(xc))Máx.: No tieneMínimo: ( xc , f(xc))Min : No existen6.-Puntos de inflexiónf´´(x) = 0 f´´(x)= 3)2(8−x0 = 3)2(8−xCoordenada del pto. deinflexiónNo existen7.- Concavidad:f´´(x)>0 →cóncava haciaarribaf´´(x)<0 →cóncava haciaabajoNo hay8.-Asíntotas. Asíntota HorizontalY= 1 es una asíntotahorizontal ya que :1)(lim =+∞→xfxy también1)(lim =−∞→xfxAsíntota VerticalX=2 es una asíntota verticalya que:+∞=+→)(lim2xfxy−∞=−→)(lim2xfxCon la información anterior se procede a graficar la función
  25. 25. Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 25

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