CINEMATICA

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE
IRAPUATO
INGENIERÍA INDUSTRIAL
4TO SEMESTRE GRUPO A
FÍSICA
UNIDAD V “CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO”
INVESTIGACIÓN: MOVIMIENTO PARABÓLICO, MOVIMIENTO
CIRCULAR Y MOVIMIENTO ARMÓNICO”
ALUMNO: DÍAZ SÁNCHEZ GRECIA MARÍA
NO. CONTROL: IS15110601

2. Contenido
MOVIMIENTO PARABÓLICO................................................................................. 3
MOVIMIENTO PARABÓLICO HORIZONTAL ..................................................... 4
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.................................................................. 8
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.................... 8
ACELERACIÓN CENTRÍPETA ........................................................................... 9
PERIODO ............................................................................................................ 9
FUERZA CENTRÍPETA..................................................................................... 10
VELOCIDAD ANGULAR.................................................................................... 10
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA ....................................................................... 10
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE .................................................................... 12
MOVIMIENTO PERIÓDICO............................................................................... 12
PERIODO T....................................................................................................... 12
FREFUCUENCIA f............................................................................................. 13
SEGUNDA LEY DE NEWTON Y LEY DE HOOKE ........................................... 13
EL CÍRCULO DE REFERENCIA Y EL M.A.S.................................................... 14
simple VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE..................... 15
ACELERACIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.......................................... 16
PERIODO Y FRECUENCIA............................................................................... 17
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................... 21

3. MOVIMIENTO PARABÓLICO
El tiro parabólico es un movimiento que resulta de la unión de dos movimientos: El
movimiento rectilíneo uniforme (componente horizontal) y, el movimiento vertical
(componente vertical) que se efectúa por la gravedad y el resultado de este
movimiento es una parábola.
El tiro parabólico, es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal
uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente variado.
El objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre
de proyectil. Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que
actúa sobre el proyectil es su peso, W, que hace que su trayectoria se desvié de la
línea recta.
El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo por efecto de la
gravedad, pues en general la dirección de la gravedad no coincide con la dirección
de la velocidad inicial. En virtud de que ninguna fuerza actúa horizontalmente para
cambiar la velocidad, la aceleración horizontal es cero; esto produce una velocidad
horizontal constante. Por otra parte; la fuerza de gravedad hacia abajo hace que la
velocidad vertical cambie uniformemente. Por lo tanto, en condiciones normales, el
movimiento de un proyectil ocurre en dos dimensiones y debe ser estudiado en esa
forma.
Las componentes de la velocidad inicial son:
La componente horizontal es igual a: vox= vo cosθ
La componente vertical es igual a: voy= vo senθ
Figura 1 Ejemplo de movimiento parabólico

4. Características:
• En cada punto de la trayectoria, la velocidad es tangente a la misma y presenta
dos componentes.
• En el punto más alto la velocidad es horizontal; es decir que la componente vertical
de la velocidad es cero.
• La aceleración es constante y es igual a la aceleración de la gravedad.
MOVIMIENTO PARABÓLICO HORIZONTAL
Si un objeto se proyecta horizontalmente, la mejor manera de describir su
movimiento es considerar por separado el movimiento horizontal y el vertical.
Figura 2 Ejemplo de tiro parabólico
En la figura anterior, un dispositivo electrónico esta ajustado para proyectar en forma
simultanea una pelota horizontalmente, mientras deja caer otra, desde su posición
de reposo, a la misma altura. La velocidad horizontal de la pelota proyectada no
cambia, como lo indican las flechas, que son la misma longitud a lo largo de toda su
trayectoria. La velocidad vertical, por otra parte, es cero al principio y aumenta
uniformemente. Las pelotas golpearán el piso en el mismo instante, a pesar de que
una de ellas se mueve también horizontalmente. Por lo tanto, los problemas se
simplifican en gran medida si se calculan por separado las soluciones para sus
componentes horizontal y vertical.
Considerando primero el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente en un
campo gravitacional. En este caso, se observa que:
V0x= Vx V0y= 0 αx=0 Αy=g=-9.8 m/s2
Ya que la velocidad horizontal es constante y la velocidad vertical es inicialmente
igual a cero. Por lo tanto, los desplazamientos horizontal y vertical del proyectil
pueden hallarse a partir de:

5. 𝑋 = 𝑉0𝑥𝑡 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑦 =
1
2
𝑔𝑡2
𝐷𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
Si se aplica un razonamiento similar, por el hecho de que Vf= V0 + gt, se pueden
encontrar las componentes horizontal y vertical de la velocidad final partiendo de:
𝑉
𝑥 = 𝑉0𝑥 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑉
𝑦 = 𝑉0𝑦 + 𝑔𝑡 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
El desplazamiento final y la velocidad de una partícula proyectada horizontalmente
pueden hallarse a través de sus componentes.
En las ecuaciones anteriores, el simbolo g se interpreta como la aceleración a causa
de la gravedad, la cual siempre se dirige hacia abajo. Por lo tanto, g será negativa
si el desplazamiento hacia arriba se elige como la direccion positiva
Figura 3 Descomposición del vector velocidad.
Descomposición del Vector Velocidad
Cualquier vector, incluida la velocidad puede descomponerse en 2 vectores que
tienen la dirección de los ejes cartesianos Vx e Vy. Los módulos de ambos vectores
pueden calcularse a partir del ángulo que crea el vector con la horizontal mediante
las expresiones que aparecen en la figura anterior.
Tabla 1 Ecuaciones del movimiento parabólico
𝑿 = 𝑽𝟎𝒙𝒕
𝒚 =
𝑽𝟎𝒚 + 𝑽𝒚
𝟐
𝒕
𝑽𝒙 = 𝑽𝟎𝒙 𝑉
𝑦 = 𝑉0𝑦 + 𝑔𝑡
𝑿 = 𝑽𝟎𝒙𝒕
𝑦 = 𝑉0𝑦𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
𝑿 = 𝑽𝟎𝒙𝒕
𝑦 = 𝑉
𝑦𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
2𝑔𝑦 = 𝑉
𝑦
2
− 𝑉0𝑦
2

6. EJEMPLO 1: Un esquiador inicia un salto horizontalmente, con una velocidad inicial
de 25 m/s, como se muestra en la siguiente figura. La altura inicial es de 80 m con
respecto al punto de contacto con el suelo.
a) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el esquiador?
b) ¿Cuál es su alcance o recorrido horizontal?
c) ¿Cuáles son los componentes horizontal y vertical de la velocidad final?
Solución a) El tiempo que pasa en el aire solo es función de parámetros verticales.
La velocidad inicial en la dirección y es cero, y el esquiador debe caer una distancia
vertical de 90 m. su se elige la dirección hacia abajo como positiva, se tiene:
𝑦 =
1
2
𝑔𝑡2
Despejando el tiempo y sustituyendo los valores conocidos:
𝑡 = √
2𝑦
𝑔
= √
2(80𝑚)
9.8 𝑚/𝑠2
= 4.04 𝑠 = 𝑡
Se requiere un tiempo de 4.04 s para que el esquiador llegue al suelo.
Solución b) Ya que la velocidad horizontal es constante, el recorrido queda
determinado tan solo por el tiempo en el aire.
𝑋 = 𝑉0𝑥𝑡 = (
25𝑚
𝑠
) (4.04 𝑠) = 101 𝑚
Solución c) La componente horizontal de la velocidad no cambia y, por lo tanto, es
igual a 25 m/s en el punto de aterrizaje. La componente vertical final está dada por:
𝑉
𝑦 = 𝑔𝑡 = (9.8
𝑚
𝑠2
) (4.04 𝑠) = 39.6 𝑚/𝑠

7. La componente horizontal es de 25 m/s a la derecha y la componente vertical es
39.6 m/s dirigida hacia abajo.
Ejemplo 2: Una bola de béisbol se golpea con una rapidez horizontal de 25 m/s.
a) ¿Cuál es su posición y velocidad después de 2 s?
b) ¿Cuáles son los componentes de la velocidad después de 2 s?
Solución a) Primero encuentre los desplazamientos horizontal y vertical:
𝑋 = 𝑉0𝑥𝑡 = (
25𝑚
𝑠
) (2𝑠) = 50.0𝑚
𝑦 =
1
2
𝑔𝑡2
=
1
2
(−9.81
𝑚
𝑠2
) (2𝑠)2
= −19.6𝑚
Solución b)
Encuentre la velocidad horizontal y vertical después de 2 s:
𝑉
𝑥 = 𝑉0𝑥 = 25 𝑚/𝑠
𝑉
𝑦 = 𝑉0𝑦 + 𝑔𝑡 = 0 + (−9.8
𝑚
𝑠2
) (2𝑠) = −
19.60𝑚
𝑠

8. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El tipo de movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una
fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos respecto a la
trayectoria de la partícula en movimiento. En este caso, la fuerza resultante
producirá una aceleración que altera tan solo la dirección del movimiento,
manteniéndose la rapidez constante. En este tipo de movimiento sencillo se conoce
como movimiento circular uniforme.
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no cambia,
pues solo hay un cambio en la dirección.
Este movimiento se produce cuando un cuerpo con velocidad angular constante
describe ángulos iguales en tiempos iguales. En el movimiento circular uniforme el
vector velocidad mantiene constante su magnitud, pero no su dirección, toda vez
que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme
consiste en dar vueltas en una trayectoria circular
a una piedra atada a un cordel, como se ilustra
en la siguiente figura. Mientras la piedra gira con
rapidez constante, la fuerza hacia el centro
originada por la tensión en el cordel cambia
constantemente la dirección de la piedra,
haciendo que esta se mueva en una trayectoria
circular. Si el cordel se rompiera, la piedra saldría
disparada en una dirección tangencial, ósea
perpendicular al radio de su trayectoria circular.
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
 La velocidad angular es constante (ω = cte)
 El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido
es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración
normal
 Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son
nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es
constante
 Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una
vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las
mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es
Figura 4 Ejemplo de movimiento circular uniforme

9. T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes
(m.c.u.)
 Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en
un segundo. Su valor es el inverso del periodo.
Las trayectorias de este movimiento son circunferencias concéntricas de longitud
diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada y el eje de
rotación. Debido a ello se introducen los conceptos de ángulo y radián.
Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos radios que limitan
un arco de circunferencia.
Radián: Es el ángulo central al que corresponde un arco de
longitud igual al radio.
En Física, las medidas de los ángulos no suelen expresarse en el sistema
sexagesimal, sino en radianes. El radián es la unidad de ángulo utilizada en el
Sistema Internacional de Unidades. El radián es el ángulo cuyo arco tiene una
longitud igual al radio.
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
De acuerdo a la segunda ley de Newton del movimiento establece que una fuerza
resultante debe producir una aceleración en la dirección de la fuerza. En el
movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de una partícula
que se mueve, alterando su dirección.
El término centrípeta significa que la aceleración siempre se
dirige hacia el centro, entonces la aceleración centrípeta esta
dada por:
𝛼𝑐
𝑣2
𝑅
PERIODO
Es el tiempo que se emplea para completar una revolución, y se designa por la letra
T.
La velocidad lineal puede calcularse dividiendo la circunferencia entre el periodo.
𝑣 =
2𝜋𝑅
𝑇

10. Otro parámetro útil en problemas de ingeniería es la velocidad rotacional, expresada
en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s). esta cantidad
se llama frecuencia rotacional y es la reciproca del periodo.
𝑓 =
1
𝑇
La reciproca de segundos entre revoluciones (s/rev) es revoluciones por segundo
(rev/s). Al sustituir esta definición en la primera ecuación se obtiene una ecuación
alternativa para determinar la velocidad lineal.
𝑣 = 2𝜋𝑓𝑅
FUERZA CENTRÍPETA
La fuerza dirigida hacia el centro necesaria para manyener el movimiento circular
uniforme se conoce como fuerza centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de
Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerz debe ser igual al profucto de la
masa por la aceleración centrípeta. Es decir,
Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la
frecuencia, la fuerza centrípeta se puede determinar a partir de:
𝐹
𝑐 =
𝑚𝑣2
𝑅
= 4𝜋2
𝑓2
𝑚𝑅
VELOCIDAD ANGULAR
La velocidad angular es la razón de cambio del desplazamiento angular con
respecto al tiempo transcurrido. La ecuación de velocidad angular:
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
Cuando la velocidad angular de un cuerpo no es constante o uniforme, podemos
determinar la velocidad angular media al conocer su velocidad angular inicial y su
velocidad angular.
V = velocidad
R = radio
m = masa
ac = aceleración centrípeta
V = rapidez lineal
f = frecuencia de rotación

11. EJEMPLO 1.
EJEMPLO2.
EJEMPLO 3.
Resultado: El auto da una vuelta cada ½ minuto, recorriendo 628.32 m en cada
vuelta a una velocidad de 20.94 m/s o 0.21 rad/s, con una aceleración centrípeta de
4.38 m/s2.

12. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es el movimiento periódico que tiene lugar en ausencia de fricción y es producido
por una fuerza de restitución que es directamente proporcional al desplazamiento y
tiene una dirección opuesta a este.
MOVIMIENTO PERIÓDICO
Es aquel en el cual un cuerpo se mueve de un lado a otro, sobre una trayectoria fija,
regresando a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido.
Entonces se dice que este tipo de movimiento es periódico porque la posición y la
velocidad de las partículas en movimiento se repiten como función del tiempo.
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza de restitución F es directamente
proporcional al desplazamiento x del deslizador con respecto a su posición de
equilibrio O. en vista de que la fuerza de restitución siempre es opuesta al
desplazamiento, es necesario representarla con signo negativo.
Figura 5 Ejemplo de Movimiento Armónico Simple
F = - Kx
Al desplazamiento máximo del deslizador con respecto a su posición de equilibrio
se le llama amplitud A.
PERIODO T
Se define como el tiempo para realizar un recorrido completo u oscilación. Por
ejemplo, si el disco se suelta desde la derecha a una distancia A de su posición de
equilibrio, el tiempo requerido para que regrese a esa posición es su periodo de
vibración. Debe señalarse, sin embargo, que cada punto de su trayectoria vibratoria

13. debe cubrirse al medir una oscilación completa. El tiempo requerido para moverse
del centro de la oscilación a la distancia A y luego el de regreso representa solo la
mitad de un periodo.
FREFUCUENCIA f
La frecuencia f es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo.
Puesto que el periodo es igual a la cantidad de segundos por oscilación, se deduce
que la frecuencia será el recíproco del periodo o número de oscilaciones por
segundo.
𝑓 =
1
𝑇
La unidad de frecuencia a menudo se expresa como vibraciones por segundo o
como el inverso de segundos (s-1); la unidad del SI para la frecuencia es el Hertz
(Hz).
1𝐻𝑧 =
1
𝑠
Por lo tanto, una frecuencia de 500 vibraciones por segundo equivale a 500 Hz.
Figura 6
El movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento periódico con amplitud,
frecuencia y periodo constante.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Y LEY DE HOOKE
La fuerza de restitución de un sistema oscilatorio con MAS cumple la ley de Hooke,
pero cualquier fuerza resultante satisface la segunda ley de Newton; por ende, la
aceleración de una masa que vibra será proporcional tanto a la fuerza resultante
como al desplazamiento.

14. 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑦 𝐹 = −𝑘𝑥
Al combinar estas dos relaciones se obtiene que la aceleración de una masa m que
se mueve con MAS está dada por:
𝑎 = −
𝑘
𝑚
𝑥
Mientras que la masa m permanezca constante, la relación k/m también será
constante, lo que indica que la magnitud de la aceleración aumenta con el
desplazamiento.
El signo negativo indica que la aceleración (y la fuerza de restitución) se dirige
siempre en dirección opuesta al desplazamiento. Si éste es hacia abajo, la
aceleración es hacia arriba; si el desplazamiento va a la derecha, la aceleración lo
hará a la izquierda.
EL CÍRCULO DE REFERENCIA Y EL M.A.S.
Las leyes del movimiento uniformemente acelerado no se aplican al MAS debido a
que en éste hay una fuerza que varía. El movimiento armónico simple es producto
de esa fuerza, que es proporcional al desplazamiento.
El círculo de referencia de la figura que se encuentra acontinuacion sirve para
comparar el movimiento de un objeto que se mueve en un círculo, con su proyección
horizontal. Puesto que es el movimiento de la proyección el que se desea estudiar,
nos referiremos aquí a la posición P del objeto que se mueve en círculo como el
punto de referencia. El radio del círculo de referencia es igual a la amplitud de la
oscilación horizontal. Si la rapidez lineal vT y la velocidad angular ω del punto de
referencia son constantes, entonces la proyección Q se moverá de un lado al otro
con MAS. Al tiempo se le asigna un valor de cero cuando el punto de referencia se
encuentra en B en la figura. En un momento posterior t, el punto de referencia P se
habrá movido a lo largo de un ángulo θ. El desplazamiento x de la proyección Q es,
por tanto,
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
Como el ángulo θ=ωt, ahora podemos escribir el desplazamiento como una función
de la velocidad angular del punto de referencia
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡
Aunque la velocidad angular ω es útil para describir el movimiento del punto de
referencia P, no se aplica directamente a la proyección Q. Sin embargo, recordemos
que la velocidad angular se relaciona con la frecuencia de revolución mediante:
𝜔 = 2𝜋𝑓

15. donde ω se expresa en radianes por segundo y f es el número de revoluciones por
segundo. También hay que reconocer que la proyección Q describirá una oscilación
completa, mientras el punto de referencia describe una revolución completa. Por
tanto, la frecuencia f es la misma para cada punto. Sustituyendo ω=2πf en la
ecuación se obtiene:
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓
Esta ecuación puede aplicarse para calcular el desplazamiento de un cuerpo que
se mueve con un MAS de amplitud A y frecuencia f. Recuerde que el
desplazamiento x siempre se mide a partir del centro de oscilación.
VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Considere un cuerpo que se mueve de un lado a otro con un MAS bajo la influencia
de una fuerza de restitución. Puesto que la dirección del cuerpo que oscila se
invierte en los puntos extremos de su movimiento, su velocidad debe ser cero
cuando su desplazamiento es máximo. Entonces se acelera hacia el centro
mediante la fuerza de restitución, hasta que alcanza su rapidez máxima en el centro
de la oscilación, cuando su desplazamiento es igual a cero.
Figura 7 Ejemplo de velocidad en MAS
En la figura anterior la velocidad de un cuerpo que oscila se compara en tres
distintos instantes con los correspondientes puntos sobre el círculo de referencia.
Se observará que la velocidad v del cuerpo, en cualquier instante, es la componente
horizontal de la velocidad tangencial vT del punto de referencia. En el punto B, el
punto de referencia se mueve en dirección vertical hacia arriba y no tiene velocidad
horizontal. Por tanto, este punto corresponde a la velocidad cero del cuerpo
oscilante, cuando éste alcanza su amplitud A. En el punto C la componente

16. horizontal vT es igual a su magnitud total. Este punto corresponde a una posición de
velocidad máxima para el cuerpo que oscila, es decir, a su centro de oscilación. En
general, la velocidad de este cuerpo en cualquier punto Q se determina a partir del
círculo de referencia de esta forma: 𝑣 = −𝑣𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑣𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
El signo es negativo en virtud de que la dirección de la velocidad es hacia la
izquierda. Podemos dar una forma más conveniente a la ecuación si recordamos la
relación entre la velocidad tangencial vT y la velocidad angular:
Sustituyendo: 𝑣 = −2𝜋𝑓𝐴 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡
Con esta ecuación se obtiene la velocidad de un cuerpo que oscila en cualquier
instante si se tiene presente que sen θ es negativo cuando el punto de referencia
queda por debajo del diámetro del círculo de referencia.
ACELERACIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
La velocidad de un cuerpo que oscila jamás es constante. Por tanto, la aceleración
tiene suma relevancia en las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad
en la sección anterior.
En la posición de desplazamiento máximo (±A), la velocidad de una masa que oscila
es igual a cero. Es en ese instante cuando la masa está sometida a la máxima fuerza
de restitución. Por consiguiente, su aceleración es máxima cuando su velocidad es
cero. Cuando la masa se aproxima a su posición de equilibrio, la fuerza de
restitución (y, por tanto, la aceleración) se reduce hasta llegar a cero en el centro de
la oscilación. En la posición de equilibrio, la aceleración es igual a cero y la velocidad
alcanza su valor máximo.
De acuerdo a la fig. anterior el círculo de referencia de la figura, trazado para
estudiar la aceleración a de una partícula que se mueve con movimiento armónico
simple (MAS). Note que la aceleración centrípeta ac de una masa que se mueve en
un círculo de radio R= A se compara con la aceleración de su propia sombra. La
aceleración a de la sombra representa el MAS y es igual a la componente horizontal
de la aceleración centrípeta ac de la masa. Con base en la figura:
donde ω=2πf El signo menos indica que la aceleración es opuesta al
desplazamiento, pero igual a la dirección de la velocidad. De nuestra explicación
sobre la rotación y el movimiento circular recordemos que:

17. Como αc=ω2R y R=A:
Esta relación expresa la aceleración de un cuerpo que se mueve con MAS con
amplitud igual a A y frecuencia angular igual a ω (en rad/s). Es posible hallar la
misma ecuación expresada en términos de la frecuencia f (en Hz) ω=2πf para
obtener:
Simplificando:
Por lo tanto, la ecuación se convierte en: 𝑎 = −4𝜋2
𝑓2
𝐴𝑥/𝐴
Ó bien: 𝑎 = −4𝜋2
𝑓2
𝑥
NOTA: la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento, a cuya
dirección se opone, como debe suceder de conformidad con la ley de Hooke.
PERIODO Y FRECUENCIA
A partir de la información establecida acerca del desplazamiento, la velocidad y la
aceleración de cuerpos que oscilan podemos deducir algunas fórmulas útiles para
calcular el periodo o la frecuencia de la oscilación.
Puesto que el desplazamiento x y la aceleración son siempre de signos opuestos,
el término -a/x siempre es positivo.
El periodo T es el recíproco de la frecuencia. Recurriendo a este hecho en la
ecuación:
Por consiguiente, si se conoce la aceleración correspondiente a un determinado
desplazamiento es posible calcular el periodo de oscilación. Cuando se analiza el
movimiento de cuerpos bajo la influencia de una fuerza de restitución elástica, es

18. más conveniente expresar el periodo en función de la constante del resorte y de la
masa del cuerpo que oscila, lo cual se logra comparando las ecuaciones
Finalmente, el periodo T está dado por el recíproco de la frecuencia, es decir,
Ni el periodo ni la frecuencia dependen de la amplitud (desplazamiento máximo) del
cuerpo oscilatorio; sólo dependen de la constante del resorte y de la masa del
cuerpo mismo.
EJEMPLO 1:
La masa suspendida de la figura 1.3 se tira
hacia abajo y luego se suelta, por lo que
oscila con MAS. Un estudiante determina que
el tiempo transcurrido para 50 vibraciones
completas es de 74.1 s. ¿Cuáles son el
periodo y la frecuencia del movimiento?
Plan: El tiempo proporcionado es de 50 vibraciones. Sabemos que el periodo es el
tiempo que se lleva una vibración y que la frecuencia es el recíproco del periodo.
Solución: Al dividir el tiempo total entre las vibraciones totales se obtiene
𝑇 =
74.1 𝑠
50 𝑣𝑖𝑏
= 1.48 Por último, con base a la sig ecuación se determina la frecuencia.
𝑓 =
1
𝑇
=
1
1.48 𝑠
; 𝑓 = 0.675 𝐻𝑧
Debe señalarse que una vibración u oscilación es una unidad adimensional tal que
vib/s se expresa sencillamente como s-1 o Hz.
EJEMPLO 2. Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de ´el un objeto de 20 kg
de masa. A continuación, se estira el resorte 3 cm más y se le deja que oscile
libremente. Determina el periodo y la pulsación del movimiento. Calcula los valores

19. de la elongación, velocidad, aceleración y dureza elástica a los 2,1 s de iniciado el
movimiento. ¿Cuál es la diferencia de fase entre este instante y el instante inicial?
Solución:
El movimiento comienza en el punto más bajo de la vibración, por ello si para su
descripción se utiliza la función sin ∝, entonces la fase inicial es ∝ 0 =
3𝜋
2
𝑟𝑎𝑑. Las
expresiones de la elongación, velocidad, aceleración y fuerza el ‘astica y sus valores
a los 2,1 s de iniciado el movimiento es:
EJEMPLO 3.
Una bola de acero de 2 kg está unida
al extremo de una tira plana de metal
que está sujeta en su base, como
muestra la figura. Si se requiere una
fuerza de 5 N para desplazar la bola 3
cm, ¿cuál será su periodo de
oscilación después de soltarla? ¿Cuál
será su aceleración máxima?
Plan: Primero determine la constante del resorte k a partir de la ley de Hooke y del
hecho de que una fuerza de 5 N desplaza la masa 3 cm. La aceleración máxima se
presenta cuando el desplazamiento es un máximo (en x = 3 cm).
Solución: De la ley de Hooke se tiene que; 𝐾 =
𝐹
𝑥
=
5𝑁
0.03 𝑚
; 𝑘 = 167 𝑁
Ahora sustituimos k 5 167 N/m y m =0.2 kg en la ecuación para hallar el periodo T

20. Recordado que la frecuencia f es el recíproco del periodo, es decir, equivale a 1/T,
y la aceleración máxima se determina sustituyendo x=±A=±0.03 m en la ecuación
El signo negativo resulta de que
usamos el signo positivo para la
amplitud. Cuando la bola llega al lado
izquierdo, x = -0.03 m y la aceleración
es de +25 m/s2 .

21. BIBLIOGRAFIA
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