Cinematica

CINEMÁTICA
Luis David Narváez

CONCEPTO DE CINEMÁTICA

Estudia las propiedades geométricas de
las trayectorias que describen los cuerpos
en
movimiento
mecánico,
independientemente de la masa del
cuerpo y de las fuerzas aplicadas.


1 . SISTEMA DE REFERENCIA
Para describir y analizar el movimiento mecánico, es
necesario asociar al observador un sistema de coordenadas
cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le
denomina sistema de referencia.


2. MOVIMIENTO MECÁNICO
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo
respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es
decir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
a) Móvil
Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema
de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice
que está en reposo relativo.
b) Trayectoria
Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de
un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa.
Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama
curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c) Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).
d) Desplazamiento (∆r)
Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio
de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue
uniendo la posición inicial con la posición final. Es
independiente de la trayectoria que sigue el móvil.
e) Distancia (d)
Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo
del vector desplazamiento. Se cumple que:

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO
a) Velocidad media (Vm)
Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del
cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un
sistema de referencia. Se define como la relación entre el
vector desplazamiento y el intervalo de tiempo
correspondiente.

EJEMPLO
Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición
B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada.
Determinar la velocidad media entre A y B.


b) Rapidez Lineal (RL) (v)
Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del
cambio de posición en función del recorrido. Se define como
la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo
correspondiente.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO
El móvil describe una trayectoria
rectilínea respecto de un sistema
de referencia.

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido
tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la
velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una
línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales
en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad
media constante en módulo, dirección y sentido, durante su
movimiento.

a) Velocidad (V)
Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez
del cambio de posición respecto de un sistema de
referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres
elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la
velocidad también se le llama RAPIDEZ
RAPIDEZ.

UNIFORME
b) Desplazamiento (∆r)
∆r)
El
desplazamiento
que
experimenta el móvil es
directamente proporcional al
tiempo transcurrido.

c) Tiempo de encuentro (Te)
Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en
sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:

d) Tiempo de alcance (Ta)
Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en
el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

UNIFORMEMENTE VARIADO
Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde
la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.
¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?
Es una magnitud vectorial que nos permite
determinar la rapidez con la que un móvil
cambia de velocidad.

EJEMPLO:
Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria
horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4
m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

POSICIÓN DE UNA
PARTÍCULA PARA EL
M.R.U.V.
La posición de una partícula,
que se mueve en el eje “x”
en el instante “t” es.


ECUACIONES DEL
M.R.U.V.

I. ACELERADO
– El signo (+) es para un movimiento
acelerado (aumento de velocidad).

II. DESACELERADO
– EL signo (–) es para un
movimiento
desacelerado
(disminución de velocidad).

OBSERVACIÓN:
Números de Galileo

EJEMPLO:
EJEMPLO:

Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer
segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto
segundo?

CAÍDA LIBRE
Si permitimos que un cuerpo caiga en
vacío, de modo que la resistencia del aire
no afecte su movimiento, encontraremos
un hecho notable: todos los cuerpos
independientemente de su tamaño, forma
o composición, caen con la misma
aceleración en la misma región vecina a
la superficie de la Tierra. Esta
aceleración, denotada por el símbolo g ,
se llama aceleración en caída libre

CAÍDA LIBRE

Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con
movimiento hacia arriba experimentan la misma
aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la
dirección.
aceleración en caída libre varía con la latitud y con la
altitud.
altitud. Hay también variaciones significativas causadas
por diferencias en la densidad local de la corteza
terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar
en esta sección.
sección.
Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un
movimiento rectilíneo con aceleración constante
pueden ser aplicadas a la caída libre, con las
libre,
siguientes variaciones:
variaciones:

CAÍDA LIBRE
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y
tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+
arriba.
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento
uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto
que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es
hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.
negativa.
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento
uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto
que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es
hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.
negativa.

CAÍDA LIBRE

En la gráfica podemos observar la dirección de los
vectores aceleración y velocidad, de un objeto que
ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad
inicial; en el primer instante (bola a la izquierda)
notamos que el vector velocidad apunta hacia
arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el
vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia
abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el
segundo instante cuando el objeto cae (bola a la
derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo
en el mismo sentido del desplazamiento y el vector
aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el
sentido negativo del eje Y.

CAÍDA LIBRE
Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:
a(t)=-g
v ( t ) = v0 - gt

CINEMÁTICA
(MOVIMIENTO PARABÓLICO)

MOVIMIENTO PARABÓLICO
Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto
que describe un vuelo en el aire después de haber sido
lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto
espacio.
tiene una densidad de masa suficientemente grande, los
experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar
la resistencia del aire y suponer que la aceleración del
objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre,
gravedad.
vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección
vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j ,
arriba.
entonces:
entonces:

Supongamos que un proyectil se
lanza de forma que su velocidad
inicial v0 forme un ángulo q con el
eje de las x , como se muestra en
la figura:
figura:

Descomponiendo la velocidad inicial,
obtenemos las componentes iniciales
de la velocidad:
velocidad:

Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico,
debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un
movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y
uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma
tenemos que:
que:

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y
si integramos obtenemos el desplazamiento:
desplazamiento:

Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento
x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :

y = ax^2 + bx +c
ax^2


ALCANCE
MÁXIMO


ALTURA MÁXIMA


TIEMPO DE
VUELO

CINEMÁTICA
(MOVIMIENTO CIRCULAR)

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula
se mueve a velocidad constante en una trayectoria
circular.
circular. Como veremos, tanto la velocidad como la
aceleración son de magnitud constante, pero ambas
cambian de dirección continuamente.
continuamente.
Esta situación es la que se define como movimiento circular
uniforme.
uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada
radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una
sola variable, el ángulo , que puede ser dependiente del
tiempo  (t). Supongamos que durante un intervalo de
(t)
tiempo dt, el cambio de ángulo es d.
dt,

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada
por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt,
dt,
obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:
movimiento:

De donde d/dt es la rapidez de cambio del ángulo  y se
define como la velocidad angular, se denota por  y sus
angular,
dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en
el SI. En términos de w, tenemos que:
SI.
que:

v=rw

Una cantidad importante que caracteriza el movimiento
circular uniforme es el período y se define como el tiempo
en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa,
como la distancia recorrida en una revolución es 2r, el
período T es:
es:

2r=vT

La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la
partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo.
segundo.
La unidad en el SI es el Hertz (Hz), que se define como un
ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período,
segundo.
esto es:
es:

ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular
uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la
aceleración no es cero.
cero.

Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición
en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la
curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la
curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V ,
ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes.
diferentes.
La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del
arco del punto P1 a P2, que es igual a r.  ( donde q esta medida
en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con
respecto al tiempo, de esta forma:
forma:

r .  = V . t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se
originen en un punto en común:
común:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al
moverse la partícula desde P1 hasta P2 .
Este cambio es: V1 - V2 = V
es:
Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la
de V, la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del
círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula.
partícula.
Para un movimiento circular uniforme,
la aceleración centrípeta es:
es:

CINEMÁTICA
(MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO)

MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO
Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe
una aceleración angular, y se define como la razón
instantánea de cambio de la velocidad angular:

MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO
Las unidades de la aceleración angular son radianes por
segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante,
cuadrado.
entonces la velocidad angular cambia linealmente con el
tiempo;
tiempo; es decir,

 = 0 + a t
donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el
ángulo está expresado por

 (t) = 0 + 0 t + ½ a t ²

EJERCICIOS
1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de
15)
“B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más
que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en
segundo.
encontraron.
llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.
“A”.
“B”.

etotal = 2x + 36
B
A 1
Durante

Final

2
e1

2

(I)

X + 36

e1 = V1 x T1 = X + 36

e2

1 2
x

e2 = V 2 x T 2 = X

(II)
1

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)
e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

De la ecuación I
e 2 = X = V 2T
e1 = X + 36 = V1T

Cuando se encuentran T2 = T1 = T

V2 = X
T
V1 = X + 36
T
Reemplazando en las ecuaciones II
e2 = X = (V1) (1h) = (X + 36) (1)  X + 36 = X T  T= X + 36
T

X

e1 = X + 36 = (V2) (4h) = X (4)
T
Reemplazo III
X + 36 = (

X2

) (4)  4 X 2 = (X + 36)2  (raíz) X = 36

X + 36
etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36

= 108 m

2. (17)
17)

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de
10/ms
10/ms2, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar
en forma constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si el tiempo total
empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.
segundos.
recorrido?.
V0

T1

T2

Ttotal = 30 Seg

Vf

e2

e1

T1 + T2 = 30 Seg

Para el segundo
tramo

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

X = e1 + e2

X
Para el primer
tramo
Vf1 = V0 ± a T1

Vf = Vi ± aT

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf = Vf1 ± aT

(I)

Vf1= 10 T1

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2
2
e1 = 1 (10) (T1)2
2

3T1 = 30  T1=10

0 = 10 T1 – (5) (T2) ….
Reemplazo (I)

T2 = 2T1

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a

(II)

T2 = 20
Se cumple:
e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2)

2

2
e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2
2

reemplazo (I)

Sumando e2 y e2
e1 + e2 = 10 T1 T2 – ( 1 ) (5) T22 + 5T12
2

X = 10 (10) (20) – ( 1 ) (5) (20)2 + (5) (10)2
(20)
2

X = 1500 m

3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura,
mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20
m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de
400 m de altura en el último segundo de su caída?
Planeta X

Planeta Tierra

Vf = 0

Gravedad
+

h

-

hmax = 100 m

Vf = 0
h

Hmax = 20 m

V1

V1

Para la tierra:
tierra:

Vf = V1 – gt

Vf2 = V02 ± 2ge

0 = 20 – 10 T

02 = (V1) 2 - 2(g) (100) -- raiz
100)

T = 2 Seg

V1 = 20 m/s

(I)

---- Vi = V1

Para el planeta X:
Vf2 = V02 ± 2 ge

Tomando el movimiento total:
e = V1 T ± 1 gt2 400=1 (2) (t)2  T = 20
400=1
2
2

02 = (V1)2 - 2 (g) (100)
100)
(II)

202 = 2(g) (100)
100)
g = 2m/s2
1er Tramo
e = V0t + 1 gt2
2
400 – X = 0 +1 (2) (T-1)2
+1
(T2
400 – X = (T-1) … (I)
(TVf = V0 + gt
V1’= 0+(2) (T-1)
(TV1’ = 2 (T-1)
(TV1’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s

V0=0

<-- 1er tramo

400-x

V 1’
X

T=1 Seg
2do Tramo

2do Tramo
e = V0T ± 1 g t 2
2
e = V1’ (1) + 1 (2) (1)2
2
e = V1’ + 1  e=38+1= 39 m
Reemplazo V1 en h

4.

19)
(19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una
rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/s2. Con
otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/s2.
Hallar el tiempo que demora en el recorrido total ABC.
ABC.

Para BC
Para AB
V = Cte
a = 6m/s2
r=6m

V = Cte

Sabemos:

ar = v2 , donde V = velocidad lineal
r

a= 5m/s2

S = .r

Para AB:

Sabemos que

V2 = ar * r

Para AB:
1)
SAB = (∏) ( 6 ) = 6 ∏
(∏
2)
SAB = e = vt  6 ∏ = VT1

VAB2 = (6) (6)
VAB = 6 m/s

Para BC:
V2 = ar * r

6 ∏=(6)T1  T1 = ∏ Seg
=(6

Para BC:
1)

SBC = (∏) (5) = 5 ∏
(∏ (5

2)

egvT  5 ∏ = 51T1  T2 = ∏Seg

VBC2 = 5 * 5
VBC = 5 m/s

Ttotal = T1 + T2

= 2 ∏ Seg

5. (16) Hallar las velocidades “V1”, y “V2”. Si lanzadas las partículas
16)
simultáneamente chocan como muestra la figura.
figura.

Para 1

Para 2

M. Horizontal

M. Horizontal

e=VT

e=VT

10 = V1 T (I)

30 = V2 T

(II)

En y:

Vx

H = V1T + 1 (10) T2
VY = 0

2
180 = 1 (10) T2
2
T=6

(III)

III en I y II
V1 = 10 = 5 m/s
6

3

V2 = 30 = 5 m/s
6

Vy

Vx
Vy

Vx

Vy

MUCHAS GRACIAS
Luis David Narváez

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