Dinámica unidad 1

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA
INVESTIGACIÓN SOBRE CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
UNIDAD 1
DEPARTAMENTO METAL-MECÁNICA
INTEGRANTES:
QUINTAL CHAY RENE DANIEL
PÉREZ PUC HÉCTOR HUGO
PROFESOR:
ZUMBARDO ARANDA MARIO ARMIN
4 SEMESTRE
FECHA DE ENTREGA: 2 DE MARZO

2. ÍNDICE
Introducción 3
1.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración 4
1.2 Movimiento Rectilíneo Uniforme 7
1.3 Movimiento Uniformemente Acelerado 13
1.4 Movimiento Curvilíneo 19
1.5 Vectores de Posición, Velocidad y Aceleración 26
1.6 Componentes Rectangulares 30
1.7 Componentes Tangencial y Normal 35
1.8 Componente Radial y Transversal 42
1.9 Movimiento de Varias Partículas Dependiente y
Relativo
45
Videos 54
Conclusión 56

3. INTRODUCCIÓN
En este portafolio se abarcaron los temas correspondientes a la
primera unidad de la materia de Dinámica, en este se vieron
temas como son la definición de los conceptos de
desplazamiento, velocidad y aceleración, movimiento rectilíneo
uniforme hasta lo que es el tema de Movimiento de varias
partículas dependiente y relativo.
En este documento se contiene conceptos, imágenes, ejemplos
y videos para poder explicar los temas.

4. DESPLAZAMIENTO,
VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN

5. El desplazamiento de una partícula se define como su cambio en posición en algún intervalo de
tiempo. Cuando se mueve de una posición inicial x a una posición final 𝑥2.
La velocidad promedio v, de una partícula se define como el desplazamiento de la partícula ∆𝑥,
dividido entre el intervalo ∆𝑡 durante el cual ocurre ese desplazamiento
Velocidad promedio = ∆𝑥/∆𝑡
La velocidad instantánea v, es igual al valor limite de la razón Dx/Dt cuando Dt se aproxima a
cero
Velocidad instantánea= lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
5

6. 6
Definimos la aceleración media(promedio) de la partícula al moverse de 𝑝1 a 𝑝2
como una cantidad vectorial cuya componente x es a igual a ∆𝑣, el cambio en la
componente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo ∆𝑡
Aceleración promedio=∆𝑣/∆𝑡
La aceleración instantánea es el limite de la aceleración media(promedio)
conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero.
Aceleración instantánea= lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡

7. MOVIMIENTO
RECTILÍNEO UNIFORME

8. 8
El movimiento uniforme en línea recta es un tipo de movimiento que a menudo se encuentra en
aplicaciones prácticas.
En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la
velocidad v es constante
Ecuación del movimiento
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
𝑠 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑠0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
)
𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)

9. 9

10. 10
Suponga que en la Fig. 2.10 la aceleración del tren durante el intervalo de
tiempo de t = 2 s a t = 4 s es a = 2t m/s2, y que en t = 2 s su velocidad es v =
J.80 km/h. ¿Cuál es la velocidad del tren en t = 4 s y cuál su desplazamiento
(cambio de posición) entre t = 2 s y t = 4 s?

11. 11
Solución
La velocidad en t = 2 s en términos de m/ s es
180 km/h = 180 km/h x
1000𝑚
1 𝑘𝑚
x
1 ℎ
3600 𝑠
= 50 m/s
Escribimos la ecuación como
dv = a dt = 2t dt
e integramos, con la condición de que v= 50 m/s en t=2 s:
50
𝑣
𝑑𝑣 =
2
𝑡
2𝑡 𝑑𝑡
Evaluamos las integrales obtenemos:
𝑣 = 𝑡2
+ 46 𝑚/𝑠
Ahora que conocemos la velocidad en función del tiempo, escribimos la ecuación como
𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑡2
+ 46 𝑑𝑡

12. 12
e integramos, definiendo la posición del tren en t=2s como s=0:
0
𝑠
𝑑𝑠 =
2
𝑡
𝑡2
+ 46 𝑑𝑡
La posición en función del tiempo es
𝑠 =
1
3
𝑡3
+ 46𝑡 − 94.7 𝑚
Usando las ecuaciones para la velocidad y la posición, la velocidad en t=4s es
𝑣 = 4 2 + 46 = 62 𝑚/𝑠
Y el desplazamiento entre t=2s y t=4s es
∆𝑠 =
1
3
(4)3
+46(4) − 94.7 − 0 = 110.7𝑚.

13. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE
ACELERADO

14. 14
Es aquel movimiento en el cual la aceleración (a) de la partícula permanece
constante, puede ser con aumentos constantes de velocidad o con
decrementos constantes de velocidad.
Ecuaciones del movimiento
Velocidad en función de tiempo
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = 0
𝑡
𝑎𝑐𝑑𝑡 = 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑐𝑡
Posición en función del tiempo
𝑠
𝑠
𝑑𝑠 = 0
𝑡
(𝑣0 + 𝑎𝑐𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑐𝑡2

15. 15
Velocidad en función de la posición
𝑣0
𝑣
𝑣𝑑𝑣 = 𝑠0
𝑠
𝑎𝑐𝑑𝑠 = 𝑣2 = 𝑣2
0 + 2𝑎𝑐(𝑠 − 𝑠0)
𝑠0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑠 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)
𝑣0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
)
𝑠0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙(
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
)
𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛(
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠2
)

16. 16
Un guepardo, Acinonyx jubatus, (Fig. 2.9) puede correr a 75 mi/h. Si se supone que
la aceleración del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s,
¿qué distancia recorrerá en 10 s?

17. 17
Solución
La velocidad máxima en términos de pie/s es.
75 𝑚𝑖/ℎ = 75 𝑚𝑖/ℎ 𝑥
5280 𝑝𝑖𝑒
1 𝑚𝑖
𝑥
1 ℎ
3600 𝑠
= 110 𝑝𝑖𝑒/𝑠.
Sea 𝑎0 la aceleración durante los primeros 4 s. Integramos 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
0
𝑣
𝑑𝑣 =
0
𝑡
𝑎0𝑑𝑡
obteniendo la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s:
𝑣 = 𝑎0𝑡 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠

18. 18
Cuando t = 4 s, v = 110 pie/s, por lo que 𝑎0 = 110/4 = 27.5 pie/𝑠2, Ahora integramos
0
𝑠
𝑑𝑣 =
0
𝑡
27.5𝑡 𝑑𝑡
y obtenemos la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s:
s = 13.75𝑡2 m.
En 𝑡 = 4 𝑠 la posición es 𝑠 = 13.75 4 2
= 220 𝑝𝑖𝑒.
De 𝑡 = 4 a 𝑡 = 10 𝑠 la velocidad es constante. La distancia recorrida es (110 𝑝𝑖𝑒/
𝑠)(6 𝑠) = 660 𝑝𝑖𝑒.
La distancia total que el animal recorre en 10 s es 220 + 660 = 880 pies, o 293.3
yardas.

19. MOVIMIENTO
CURVILÍNEO

20. 20
Se dice que un movimiento curvilíneo se da cuando la partícula se mueve
a lo largo de una trayectoria curva. Generalmente se describe este
movimiento con análisis vectorial usado para formular la posición de la
partícula, la velocidad y la aceleración.

21. 21

22. 22
Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t = O (Fig. 2.17);
acelerómetros montados a bordo indican que sus componentes de aceleración
entre t = O Y 1 = 10 s están dadas por
ax=0.6t m/s2
ay=1.8-0.36t m/s2
az=0
Determine la velocidad y posición del helicóptero en función del tiempo.

23. 23
Solución
La velocidad es cero en t=0 y suponemos que x=y=z=0 en t=0. La aceleración en la dirección x es
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
= 0.6𝑡 𝑚/𝑠2
Integrando respecto al tiempo,
0
𝑣𝑥
𝑑𝑣 =
0
𝑡
0.6𝑡 𝑑𝑡
Obtenemos la componente de velocidad 𝑣𝑥 en función del tiempo:
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0.3𝑡2
𝑚/𝑠
Volviendo a integrar,
0
𝑥
𝑑𝑥 =
0
𝑡
0.3𝑡2
𝑑𝑡
Obtenemos x en función del tiempo:
𝑥 = 0.1𝑡3
𝑚

24. 24
Ahora analizamos, de la misma manera, el movimiento en la dirección y. la aceleración es
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
= 1.8 − 0.36𝑡 𝑚/𝑠2
Integrando,
0
𝑣𝑦
𝑑𝑣𝑦 =
0
𝑡
(1.8 − 0.36𝑡) 𝑑𝑡
Obtenemos la velocidad,
𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1.8𝑡 − 0.18𝑡2
𝑚/𝑠
Integrando una vez más,
0
𝑦
𝑑𝑦 =
0
𝑡
(1.8𝑡 − 0.18𝑡2
) 𝑑𝑡
Determinamos la posición:
𝑦 = 0.9𝑡2
− 0.06𝑡3
𝑚

25. 25
Se puede mostrar con facilidad que las componentes Z de la velocidad y la
posición son 𝑣𝑧 = O Y z = O. En la Fig. (a) mostramos la posición del
helicóptero en función del tiempo.

26. VECTORES DE POSICIÓN,
VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN

27. 27
La posición de una partícula, medida desde un punto fijo O, será designada
mediante el vector de posición.
𝑟 = 𝑟(𝑡)
La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo”, mientras
que la rapidez se puede obtener diferenciando la función trayectoria s con respecto al
tiempo
Velocidad instantánea
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Rapidez
𝑢 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡

28. 28
“La aceleración promedio es la razón entre el cambio de velocidad respecto al tiempo”,
mientras que la aceleración instantánea es la derivada del vector de posición respecto al
tiempo.
Aceleración promedio Aceleración instantánea
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2

29. 29

30. COMPONENTES
RECTANGULARES

31. Cuando la posición de una partícula P se define en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares 𝒙, 𝒚 y 𝒛, resulta
conveniente descomponer la velocidad v y la aceleración a de la partícula en componentes rectangulares.
Al descomponer el vector de posición r de la partícula en componentes rectangulares, se escribe
𝑟 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
donde las coordenadas x, y, z son funciones de t. Al diferenciar dos veces, se obtiene
𝑣 =
𝑑𝒙
𝑑𝑡
= 𝑥′𝒊 + 𝑦′𝒋 + 𝑧′𝒌
𝑎 =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
= 𝑥′′
𝒊 + 𝑦′′
𝒋 + 𝑧′′𝒌
Donde x, y˙, z˙ y x¨, ÿ, z¨ representan, respectivamente, la primera y la segunda derivadas de x, y y z con respecto a t.
Se tiene de y que las componentes escalares de la velocidad y la aceleración son:
𝑣𝑥 = 𝑥′
𝑣𝑦 = 𝑦′
𝑣𝑧 = 𝑧′
𝑎𝑥 = 𝑥′′
𝑎𝑦 = 𝑦′′
𝑎𝑧 = 𝑧′′
31

32. En el caso del movimiento de un proyectil las componentes de la aceleración son:
𝑎𝑥 = 𝑥′′ = 0 𝑎𝑦 = 𝑦′′ = −𝑔 𝑎𝑧 = 𝑧′′ = 0
si se ignora la resistencia del aire. Al denotar mediante x0, y0 y z0 las coordenadas
del cañón y por medio de (𝑣𝑥)0, (𝑣𝑦)0 𝑦 (𝑣𝑧)0 las componentes de la velocidad inicial
𝑣0 del proyectil (una bala), se integra dos veces en t y se obtiene:
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 0 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 0 − 𝑔𝑡 𝑣𝑧 = 0
𝑥 = 𝑣𝑥 0𝑡 𝑦 = 𝑣𝑦 0
𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑧 = 0
32

33. Si el proyectil se lanza en el plano 𝑥𝑦 desde el origen O, se tiene 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 0 𝑦 𝑣𝑧 0 = 0, y
las ecuaciones de movimiento se reducen a
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 0 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 0
− 𝑔𝑡 𝑣𝑧 = 0
𝑥 = 𝑣𝑥 0𝑡 𝑦 = 𝑣𝑦 0
𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑧 = 0
Estas ecuaciones muestran que el proyectil permanece en el plano 𝑥𝑦, que
su movimiento en la dirección horizontal es uniforme, y que su movimiento
en la dirección vertical es uniformemente acelerado.
33

34. 34

35. COMPONENTES
TANGENCIAL Y NORMAL

36. La velocidad de una partícula es un vector tangente a la trayectoria de la misma, pero
que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria. En ocasiones resulta
conveniente descomponer la aceleración en componentes dirigidas, respectivamente, a
lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la partícula.
El vector obtenido en el límite es un vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria
de la partícula, en la dirección hacia la cual cambia 𝑒𝑡. Al denotar este vector por 𝑒𝑛, se
escribe:
𝑒𝑛 =
𝑑𝒆𝑡
𝑑𝜃
Puesto que la velocidad 𝒗 de la partícula es tangente a la trayectoria, puede expresarse
como el producto del escalar 𝑣 y el vector unitario 𝑒𝑡. Se tiene:
𝒗 = 𝑣𝒆𝑡
36

37. Para obtener la aceleración de la partícula, se diferenciará con respecto a t. Al
aplicar la regla de la diferenciación del producto de un escalar de una función
escala de tal modo, las componentes escalares de la aceleración son:
𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
37

38. 38
La motocicleta de la Fig. 2.28 parte del reposo en t = O sobre una pista circular de
400 m de radio. La componente tangencial de su aceleración es 𝑎1 = 2 + 0.2t m/𝑠2 .
En t = 10 s determine: (a) la distancia que ha recorrido a lo largo de la pista; (b) la
magnitud de su aceleración.

39. 39
Solución
(a) La aceleración tangencial es
𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 2 + 0.2𝑡 𝑚/𝑠2
Integrando
0
𝑣
𝑑𝑣 =
0
𝑡
2 + 0.2𝑡 𝑑𝑡
Obtenemos v en función del tiempo:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 2𝑡 + 0.1𝑡2 𝑚/𝑠
Integrando esta ecuación
0
𝑠
𝑑𝑠 =
0
𝑡
2𝑡 + 0.1𝑡2
𝑑𝑡

40. 40
La coordenada s en función del tiempo es
𝑠 = 𝑡2 +
0.1
3
𝑡3 𝑚
En t=10 s, la distancia recorrida a lo largo de la pista es
𝑠 = (10)2
+
0.1
3
(10)3
= 133.3 𝑚
(a) En t=10s, la componente tangencial de la aceleración es
𝑎𝑡 = 2 + 0.2 10 = 4 𝑚/𝑠2

41. 41
También debemos determinar la componente normal de la aceleración. El
radio de curvatura instantáneo de la trayectoria es el radio de la pista
circular, p= 400 m. La magnitud de la velocidad en t = 10 s es
𝑣 = 2 10 + 0.1(10)2= 30 𝑚/𝑠
Por tanto,
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑝
=
(30)2
400
= 2.25 𝑚/𝑠2
La magnitud de la aceleración en t= 10s es
𝑎 = 𝑎𝑡
2 + 𝑎2
𝑛 = (4)2+(2.25)2= 4.59 𝑚/𝑠2

42. COMPONENTES RADIAL
Y TRANSVERSAL

43. En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares
r y. En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y
perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.
para determinar la derivada del vector unitario 𝑒𝑡 produce las relaciones.
Para obtener la velocidad 𝑣 de la partícula 𝑃, se expresa la posición del vector 𝑟 de 𝑃 como el producto del
escalar 𝑟 y el vector unitario 𝑒𝑟 y se deriva con respecto a 𝑡, al recordar la primera de las relaciones:
𝒗 = 𝑟′
𝒆𝑟 + 𝑟𝜃′
𝒆𝜃
43

44. Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las variaciones radial y transversal
son, por lo tanto.
𝑣𝑟 = 𝑟′
𝑣𝜃 = 𝑟𝜃′
𝑎𝑟 = 𝑟′′
− 𝑟𝜃′2
𝑎𝜃 = 𝑟𝜃′′
+ 2𝑟′𝜃′
En el caso de una partícula que se mueve a lo largo de un círculo de centro O, se tiene 𝑟 =
constante y 𝑟′ = 𝑟′′ = 0, y las fórmulas se reducen, respectivamente, a
𝑣 = 𝑟𝜃′
𝑒𝜃 𝑎 = 𝑟𝜃′2
𝑒𝑟 + 𝑟𝜃′′
𝑒𝜃
44

45. MOVIMIENTO DE VARIAS
PARTÍCULAS DEPENDIENTE
Y RELATIVO

46. • Movimiento relativo de dos partículas. Considere dos partículas 𝐴 y 𝐵 que se mueven a lo largo de la misma línea recta.
Si las coordenadas de posición 𝑥𝐴 y 𝑥𝐵 se miden desde el mismo origen, la diferencia 𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 define la coordenada de
posición relativa de 𝐵 con respecto a 𝐴 y se denota por medio de 𝑥𝐵 𝐴. Se escribe
• 𝑥𝐵 𝐴 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑜 𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 𝐴
• De manera independiente de las posiciones de 𝐴 y 𝐵 con respecto al origen, un signo positivo para 𝑥𝐵 𝐴 significa que 𝐵 está
a la derecha de 𝐴, y un signo negativo indica que 𝐵 se encuentra a la izquierda de 𝐴. La razón de cambio 𝑥𝐵 𝐴 se conoce
como la velocidad relativa de 𝐵 con respecto a 𝐴 y se denota por medio de 𝑣𝐵 𝐴. Al diferenciar, se escribe
• 𝑣𝐵 𝐴 = 𝑣𝐵 − 𝑣𝐴 𝑜 𝑎𝑏 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵 𝐴
46

47. Movimientos dependientes. Algunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra
o de varias partículas. En ese caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, la
posición del bloque B en la figura 11.8 depende de la posición del bloque 𝐴. Puesto que la cuerda
𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺 es de longitud constante, y puesto que las longitudes de las porciones de cuerda 𝐶𝐷 y 𝐸𝐹
alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma de las longitudes de los
segmentos 𝐴𝐶, 𝐷𝐸 y 𝐹𝐺 es constante. Al observar que la longitud del segmento 𝐴𝐶 difiere de 𝑥𝐴 sólo
por una constante y que, de manera similar, las longitudes de los segmentos 𝐷𝐸 y 𝐹𝐺 difieren de
𝑥𝐵 únicamente por una constante, se escribe
𝑥𝐴 + 2𝑥𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
47

48. 48

49. La cual recibe el nombre de ecuación de ligadura. Puesto que sólo una de
las dos coordenadas 𝑥𝐴 y 𝑥𝐵 pueden elegirse de manera arbitraria, se afirma
que el sistema que se presenta en la figura 11.8 tiene un grado de libertad.
De la relación entre las coordenadas de posición 𝑥𝐴 y 𝑥𝐵 se deduce que 𝑥𝐴
presenta un incremento ∆𝑥𝐴 , esto es, si el bloque A desciende una cantidad
∆𝑥𝐴 , la coordenada 𝑥𝐵 recibirá un incremento ∆𝑥𝐵= ∆
1
2
𝑥𝐴 . En otras palabras,
el bloque B ascenderá la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede
verificarse con facilidad de modo directo de la figura 11.8.
49

50. El collarín 𝐴 y el bloque 𝐵 están conectados por medio
de un cable que pasa por tres poleas 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸, como se
indica. Las poleas 𝐶 𝑦 𝐸 se mantienen fijas, en tanto
que 𝐵 está unida a un collarín que se jala hacia abajo
con una velocidad constante de 3 𝑖𝑛/𝑠. En 𝑡 = 0, el
collarín 𝐴 empieza a moverse hacia abajo desde la
posición 𝐾 con una aceleración constante y sin
velocidad inicial. Si se sabe que la velocidad del
collarín 𝐴 es 12 𝑖𝑛/𝑠 cuando éste pasa por el punto 𝐿,
determine el cambio de la elevación, la velocidad y la
aceleración del bloque 𝐵 cuando el collarín 𝐴 pasa por
𝐿.
50

51. 51
Solución
Movimiento del collarín 𝐴. Se sitúa el origen 𝑂 en la superficie horizontal superior y se elige la
dirección positiva hacia abajo. Se observa que cuando 𝑡 = 0, el collarín 𝐴 está en la posición 𝐾 y
𝑣𝐴 0 = 0. Puesto que 𝑣𝐴 = 12 𝑖𝑛/𝑠 y 𝑥𝐴 − 𝑥𝐴 0 = 8 𝑖𝑛, cuando el collarín pasa por 𝐿, se escribe
𝑣𝐴
2
= 𝑣𝐴 0
2
+ 2𝑎𝐴 𝑥𝐴 − 𝑥𝐴 0 12 2
= 0 + 2𝑎𝐴 8 𝑎𝐴
𝑎𝐴 = 9 𝑖𝑛./𝑠2
El tiempo en el cual el collarín 𝐴 alcance el punto 𝐿 se obtiene al escribir
𝑣𝐴 = 𝑣𝐴 0 − 𝑎𝐴𝑡 12 = 0 + 9𝑡 𝑡 = 1.333 𝑠
Movimiento de la polea 𝐷. Recordando que la dirección positiva es hacia abajo, se escribe
𝑎𝐷 = 0 𝑣𝐷 = 3𝑖𝑛/𝑠 𝑥𝐷 = 𝑥𝐷 0 + 𝑣𝐷𝑡 = 𝑥𝐷 0 + 3𝑡

52. 52
Cuando el collarín 𝐴 llega a 𝐿, en 𝑡 = 1.333 𝑠, se tiene
𝑥𝐷 = 𝑥𝐷 0 + 3 1.333 = 𝑥𝐷 0 + 4
En consecuencia, 𝑥𝐷 − 𝑥𝐷 0 = 4 𝑖𝑛.
Movimiento del bloque B. Hay que observar que la longitud total del cable 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐵 difiere
de la cantidad (𝑥𝐴 + 2𝑥𝐷 + 𝑥𝐵) sólo por una constante. Puesto que la longitud del cable
es constante durante el movimiento, esta cantidad también debe permanecer constante.
De tal modo, considerando los tiempos 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 1.333 𝑠, se escribe
𝑥𝐴 + 2𝑥𝐷 + 𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 0 + 2 𝑥𝐷 0 + 𝑥𝐵 0 (1)
𝑥𝐴 − 𝑥𝐴 0 + 2 𝑥𝐷 − 𝑥𝐷 0 + 𝑥𝐵 − 𝑥𝐵 0 = 0 (2)

53. 53
Sin embargo, se sabe que 𝑥𝐴 − 𝑥𝐴 0 = 8 𝑖𝑛. y 𝑥𝐷 − 𝑥𝐷 0 = 4 𝑖𝑛; al sustituir estos valores en (2), se
obtiene
8 + 2(4) + [𝑥𝐵 − 𝑥𝐵 0] = 0 𝑥𝐵 − 𝑥𝐵 0 = −16 𝑖𝑛
De tal modo: El cambio en la elevación de 𝐵 = 16 𝑖𝑛. ↑
Al diferenciar (1) dos veces, se obtienen ecuaciones que relacionan las velocidades y las
aceleraciones de 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐷. Al sustituir las velocidades y aceleraciones de 𝐴 𝑦 𝐷 en 𝑡 = 1.333 𝑠, se
tiene
𝑣𝐴 + 2𝑣𝐷 + 𝑣𝐵 = 0: 12 + 2(3) + 𝑣𝐵 = 0
𝑣𝐵 = −18 𝑖𝑛./𝑠 𝑣𝐵 = 18 𝑖𝑛./𝑠 ↑
𝑎𝐴 + 2𝑎𝐷 + 𝑎𝐵 = 0: 9 + 2(0) + 𝑎𝐵 = 0
𝑎𝐵 = −9 𝑖𝑛./𝑠2
𝑎𝐵 = 9 𝑖𝑛./𝑠2
↑

54. VIDEOS

55. 55
Movimiento Tangencial y Normal:
https://youtu.be/ASqNxccZxX0
Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado:
https://youtu.be/U9yajpU8bHE
Componentes rectangulares:
https://youtu.be/pJv6ReWAK4c

56. 56
Conclusión
Los temas abarcados en esta unidad fueron de gran ayuda en
mi formación académica, ya que es gracias a ellos que se llego
a una comprensión satisfactoria de los temas de la misma, como
son la identificación de vectores de velocidad, aceleración y
posición, los cuales son de gran ayuda al momento de resolver
problemas relacionados con la física de las cosas cotidianas,
como es la aceleración de un carro, el lanzamiento de una
pelota entre otras cosas cotidianas que hacemos pero que en
realidad no sabemos el porque suceden.
Sin más que agregar, los ejercicios que se presentan son muy
interesantes y cargan con una gran cantidad de información
que nos ayuda a resolver mas ejercicios del mismo tipo.

57. 57
Bibliografía
• A. Bedford, W. Fowler. (1995). Mecánica para
ingeniería: Dinámica. México: Prentice Hall.
• C. Coaquira Rojo. (2017). Mecánica Vectorial-Dinámica.
Huancayo: Universidad Continental.
• Ferdinand P. Beer, E. Russell Jhonston, Phillip J.
Cornwell. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros,
9na edición. México: Mc Graw Hill Educación