INTEGRALES IMPROPIAS

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIA
INTEGRALES IMPROPIAS
AUTORES
BRIONES BRINGAS GLORIA.
MEJIA BUSTAMANTE ANA.
CACERES SALAZAR FERNANDO.
ROJAS CASANOVA ENRIQUE.
TUTOR
CULQUITANTE GARCIA NOE MARTIN
CÁLCULO II
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS.
CICLO 2015-I
CAJAMARCA, JUNIO DEL 2015

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN: INTEGRALES IMPROPIAS
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ÍNDICE
RESUMEN Pág. 2
1. INTRODUCCIÓN Pág. 3
2. OBJETIVOS
2.1. OBJETIVO GENERAL Pág. 4
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Pág. 4
3. CONTENIDOS
3.1. EL LIMITE
3.1.1.CONCEPTO BASICO DE LIMITES Pág. 5
3.2. INTEGRALES IMPROPIAS Pág. 6
3.2.1.DEFINICIÓN
Pág. 6
3.2.2.INTEGRALES CONVERGENTES O DIVERGENTES Pág. 10
3.3. TIPOS DE INTEGRLALES IMPROPIAS
3.4. EJEMPLOS DE INTEGRALES IMPROPIAS Pág. 11
4. BIBLIOGRAFIA Pág. 19

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RESUMEN
En el presente proyecto de investigación el equipo ha trabajado durante algunas
semanas, buscando los temas que nos podrían ayudar en el desarrollo de nuestro
tema.
Mostramos algunas de las dificultades, obstáculos y errores que los alumnos
universitarios encuentran al aprender los conceptos relativos a la integración
impropia; algunos de ellos parecen inherentes al propio concepto de integral
impropia y otros
Vienen relacionados con ausencia de significado o con otros conceptos del cálculo.
Con el objetivo de analizar estas dificultades, obstáculos y errores construimos un
marco teórico basado, principalmente,

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1. INTRODUCCIÓN
Para definir la integral de Riemann de una cierta función f(x) en un intervalo [a,
b], se necesita que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la
función esté acotada dentro del intervalo. Cuando una de estas dos condiciones
no se cumple, se define la integral impropia como una generalización de la
integral de Riemann. Este concepto, de múltiples aplicaciones (probabilidades,
normas funcionales, transformadas de Fourier, …), ofrece una gran resistencia a
los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y
restringiéndose a cálculos algebraicos y a la aplicación de criterios de
convergencia (González-Martín, 2002). Para hacer frente a esta situación,
decidimos crear una secuencia de enseñanza para ayudar a los estudiantes a
aprender este concepto coordinando los registros gráfico y algebraico, dándole
así más significado. Nuestra secuencia de enseñanza juega a la vez el rol de
instrumento de investigación; por ello, se decidió utilizar una ingeniería didáctica
(Artigue, 1992). Esta metodología desarrolla análisis, previos a la construcción
de la secuencia de enseñanza, de tres dimensiones clásicamente consideradas:
epistemológica, didáctica y cognitiva. Nuestra revisión de bibliografía (ver
GonzálezMartín, 2006) nos mostró que el aprendizaje de la integral impropia no
ha sido directamente abordado por la investigación internacional, por lo que el
estudio de la dimensión cognitiva (ver sección 4) resultó de gran utilidad para
identificar algunas dificultades y obstáculos. Este artículo da algunos breves
detalles de los análisis cognitivo y didáctico y se centra más en el análisis
epistemológico, dando algunos detalles de procedimientos utilizados
históricamente por los matemáticos para calcular áreas infinitas.

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2. OBJETIVOS
2.1. OBJETIVO GENERAL
 Explicar de manera didáctica el tema integrales impropias
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Analizar las diferentes situaciones en los que sea necesario utilizar el
método.
 Comprender que es límite de funciones

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3. CONTENIDOS
3.1. LIMITE
3.1.1. DEFINICIÓN DEL LIMITE
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0,
si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ
dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que
cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L|

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INTEGRAL IMPROPIA
Introducción
"Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente
en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las
integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas,
sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas
"integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto
como límites.
La integral
Puede interpretarse como
Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla
de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el
intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos
finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

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Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidadesde una integral impropia a los puntos de la recta extendida
de números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que
una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace
más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando
la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno
puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para
obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto
de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la
transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la
recta real.

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Definición de integral impropia:
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales
definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función
en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.
si los límites existen.

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INTEGRALES CONVERGENTES O DIVERGENTES
Sabemos que si el resultado me da uno es convergente y si me da infinito es
divergente.
Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es
convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.
Carácter y valor de las Integrales Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter
mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos
sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3
tipos:
1-Primera especie
Son del tipo:
ó
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el
primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):
Si existe el
y es finito y en ese caso

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entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice
que es divergente si
es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.
2-Segunda Especie
Son del tipo:
y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de
integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos
que el punto conflictivo se encuentra en x = a):
Si el
Existe y es finito y en este caso
Entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice
que es divergente en cualquier otro caso.
3-Tercera Especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los
extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del
intervalo de integración.

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Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una
de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los
pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea
convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen
que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
.
Ejemplos de Integrales impropias
Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva la recta
y el eje
Como la curva es siempre positiva
Area
Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se
vuelve asíntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre
la curva y el eje se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.
Integral impropia de 1ra clase. (divergente)
Ejemplo 2: Mirar si es convergente
luego es
convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir
que éste valor es el área bajo la curva
Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva con

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Como para Area =
Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.
Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es
decir
Ejemplo 4: La región limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del
eje ;
encontrar el volumen del sólido obtenido.
Utilizando discos
Volumen
=

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Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente
utilizando fracciones parciales
=
Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la
indeterminación
Así :
3)
Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores
Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la
integral sea impropia en uno solo de los límites de integración

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Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva y el eje
Por lo que la curva es siempre positiva Area= . Pero como la curva es
simétrica con respecto al eje
Area
=2
Integral impropia de 2da clase.(convergentes)
Ejemplo 8: Decir si la integral converge o diverge
El integrando es discontínuo en 0 entonces
Como siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva
Ejemplo 9: Decir si la integral es convergente o divergente

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El integrando es discontínuo en luego la
integral diverge
Ejemplo 10: Decir si converge o diverge
Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo !!!
Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!
Como es discontínua en 0
Como la región es simétrica con respecto al eje si converge
también;
Luego es divergente
Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es
La ecuación de una circunferencia de centro en y de radio es
El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado
por cuatro.

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El integrando es discontínuo en (el denominador se hace );
En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos
donde hay que hacer uso de integrales impropias
.

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4. BIBLIOGRAFÍA
https://www.google.com.pe/webhp?sourceid=chrome-
instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-
8#q=INFORME+INTEGRALES+IMPROPIAS
By: Larson, Ron. México, D.F. : McGraw-Hill, 2006 1 v. (en varias
paginaciones) : il. col. Language: Spanish, Base de datos: Universidad
Privada Del Norte's ILL Catalog
By: Stewart, James. México, D.F. : Thomson Learning, 2002 1 v. (en varias
paginaciones) : il. col. Language: Spanish, Base de datos: Universidad
Privada Del Norte's ILL Catalog

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