1. La Integral Definida
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un
tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å), en cuya parte inferior y
superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos números
reciben el nombre de índice inferior e índice superior.
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede
comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el
inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá
a la variable, en este caso es "Xk".
El desarrollo de la expresión anterior nos queda:
Ejemplo

2. Propiedades
• Las siguientes propiedades de la sumatoria, constituyen
teoremas cuya demostración se puede verificar en cualquiera
de las literaturas citadas.
• Las propiedades son muy útiles para desarrollar
expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por
curvas planas.

3. Suma Superior e inferior
• Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla
en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de
estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real. Si
observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el
área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no
pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos
2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
• Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande,
entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

4. La Integral Definida y sus propiedades
• Integral Definida Si a la expresión obtenida para la
suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3,
4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral
definida de F desde a hasta b por donde "a" representa
el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la
integral definida, observamos que F(bk) es la altura del
rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del
rectángulo de tal manera que su producto no es más
que el área del rectángulo y después de sumar cada una
de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva,
siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

5. Teorema del Valor Medio para
Integrales
• Primer teorema fundamental del cálculo:
• Segundo teorema fundamental del cálculo:

6. Sustitución y cambio de Variable
• No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente
aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones
(funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin
que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su
antiderivada. Los cambios de variable se realizan cuando en el
integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de
ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios
matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:
• Sea x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
• reemplazando nos queda: