La notación sigma se usa para representar la suma de muchos o infinitos sumandos. Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable. La integral definida representa el área limitada entre la gráfica de una función f(x), el eje x, y las rectas verticales x=a y x=b.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CATEDRA MATEMATICA II
Alumna:
Eliannys Hernández
C.I.:20468805
SAIA A
Prof: Domingo Méndez

2. NOTACIÓN SIGMA
la notación sigma o sumatoria se emplea para
representar la suma de muchos o infinitos sumandos.
La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde
i toma los valores de 1 a n".
La operación sumatoria se expresa con la letra
griegra sigma mayúscula Σ.
i es el valor inical llamado límite inferior.
n es el valor final llamado líimite superior.
Si la sumatoria abarca la totalidad de los
valores, su expresión se puede simplificar:

3. Propiedades de las sumatorias
La suma del producto de una constante por una
variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.
La sumatoria hasta N de una constante, es igual
a N veces la constante.
La sumatoria de una suma es igual a la suma
de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de un producto no es igual al
producto de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de los cuadrados de los valores de
una variable no es igual a la sumatoria de la variable
elevado al cuadrado.

4. INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b],
la integral definida es igual al área limitada entre la
gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas
verticales x = a y x = b.
La integral definida se
representa por
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la
variable de la función que se integra.

5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden,
la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del
intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas
a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual
a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante
por una función es igual a la constante por la
integral de la función.

6. TEOREMA DE VALOR MEDIO
El teorema de valor medio es una propiedad de las
funciones derivables en un intervalo. En esencia el teorema
dice que dada cualquier función f continua en el intervalo
[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces
existe al menos algún punto c en el intervalo (a,b) tal que la
tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que
une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

7. Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua en el cerrado , existe un valor
en dicho intervalo, tal que
Demostración Dado que la función es continua en el cerrado
posee un valor máximo en dicho intervalo para algún que llamaremos
y también un valor mínimo en el mismo intervalo:
para algún Es decir
y consideramos las áreas de los
Si
rectángulos con base
y altura Lo que implica:
es decir:

8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación
de que la derivación e integración de una función son operaciones
inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica
que la derivada de su integral es igual a ella misma. Una consecuencia
directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en
ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite
calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la
función al ser integrada.
Regla de Barrow dice que la integral definida de una función
continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia
entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los
extremos de dicho intervalo

9. Demostración
.
Sea
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:
.
Por lo tanto,
tal que
.
y de eso se sigue que
Observamos que ; por lo tanto,
.
Y en particular si tenemos que:
Ejemplos
Como se puede integrar inmediatamente.
Ejemplos
Calcular las siguientes integrales definidas aplicando
la regla de Barrow.

10. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O
CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la
derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar
con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los
dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la
integral:

11. 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo

12. MUCHAS
GRACIAS..!!