Este documento describe la notación sigma y las sumatorias. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos dentro de un intervalo específico, incrementándose en una unidad. También describe cómo dividir el área bajo una curva en rectángulos para aproximar el área total mediante sumatorias, y cómo el límite de la suma de Riemann define la integral definida.

1. Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Escuela de Ingeniería
Integrantes:
Julio Panza
Profesor:
Domingo Méndez

2. Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un
tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (∑).
Donde “M" es un entero
y representa el índice
superior. El índice
inferior puede comenzar
en cualquier entero y el
índice superior siempre
será mayor o igual que
el inferior

3. Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa
en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de
polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma
nos dará un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió
en dos rectángulos y al calcular el área de
cada uno de ellos, se incluye una parte del
rectángulo que no pertenece al área
buscada, por lo tanto esta es una
aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha
incrementado hasta 9 y observamos que la
parte que no nos interesa es menor que cuando
tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a
concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área
real.

4. Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k
=1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F
desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior
de la integral.
La Integral Definida y sus propiedades
La integral del producto de una constante
por una función es igual a la constante por
la integral de la función.
Si c es un punto interior del intervalo [a,
b], la integral definida se descompone
como una suma de dos integrales
extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

5. Teorema Fundamental del Calculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la
afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones
inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la
derivada de su integral es igual a ella misma.
El Teorema fundamental del calculo establece que el diferencial y la
integral son inversos, el uno del otro.
Primer teorema fundamental del calculo
Segundo teorema
fundamenta del calculo

6. No siempre tendremos una
integral que se resuelva directamente
aplicando los teoremas de la
integración.
Existen expresiones
(funciones) que se deben modificar y
expresarlas de otra forma, sin que
cambie la expresión integrando, para
poder encontrar su anti derivada.
Los cambios de variable se
realizan cuando en el integrando
existe una expresión que resulta de
derivar otra parte de ella, éstos se
complementan mediante aplicación
de artificios matemáticos.
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en
los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla,
integramos:
3º Se vuelve a la variable inicial: