Este documento explica los conceptos y relaciones métricas necesarias para resolver triángulos. Explica que un triángulo tiene 6 elementos calculables y que para resolverlo se debe conocer al menos 3 elementos, uno de los cuales debe ser un lado. Luego presenta las relaciones métricas para triángulos rectángulos, incluyendo el Teorema de Pitágoras y las relaciones entre la hipotenusa, catetos y altura. Finalmente, introduce conceptos como división de segmentos para explicar las relaciones métricas en triángulos oblicuáng

1. Desarrollo séptima clase: Resolución de triángulos (relaciones métricas)
RESOLUCION DE TRIANGULOS
Un triángulo estácompuesto de seiselementos calculables, 3 ladosy3 ángulos,resolver
un triángulo significa obtener el valor de sus elementos desconocidos, para que un
triángulo sea resoluble debe conocerse de al menos 3 de sus elementos y uno de ellos
por lo menos debe ser un lado.
Para la resolución de todo triángulo se debe siempre tener en cuenta que:
 La suma de sus tres ángulos siempre es 180°
 La suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero y su diferencia
siempre menor (demostrar).
 A mayor ángulo se opone mayor lado (demostrar)
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Como herramientas de resolución de triángulos se tienen relaciones métricas y
relaciones trigonométricas entre los elementos del triángulo.
Relaciones métricas.- para la revisión de las relaciones métricas es necesario recordar
el concepto de proyección.
Proyección de un punto sobre una recta
La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que es el pie de
la perpendicular trazada a L desde el punto P.
Proyección de un segmento sobre una recta
Caso general: la proyección ortogonal del segmento AB sobre la recta L es un
segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos
extremos de AB. En caso de que el segmente AB no sea paralelo a la recta, la magnitud
de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.

2. Ejemplos de proyección

3. TEOREMA
Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son
rectángulos y semejantes.(demostrar)
Donde:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.

4. Se cumplen entonces las siguientes relaciones:
 La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.
Y por la semejanza de triángulos, tenemos que: (demostrar todas)
 La altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre
ella. Es decir que el cuadrado de la altura es igual al producto de las
proyecciones de los catetos.
𝑚
ℎ
=
ℎ
𝑛
 Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre
ella. Es decir que el cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su
proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.
𝑎
𝑐
=
𝑐
𝑛
c2=an
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑚
b2=am
 El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto
de los catetos.
 Teorema de Pitágoras que establece que:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Ejerciciode aplicación
Calcular el valor de la altura AH del triángulo rectángulo BAC, si AB = 6 y AC = 8.

5. Aplicaciones:
1.
2.
Resoluciónde triángulos oblicuángulos
Para resolver este tipo de triángulos al igual que en los triángulos rectángulos, contamos con
relaciones métricas y trigonométricas.
Relaciones métricas:
Para entender plenamente estas relaciones debemos recordad el concepto de división de un
segmento.
Todo segmento puede ser dividido de dos maneras: externa e internamente
Divisióninterna.- consiste enlocalizarunpuntosituadoenel interiordel segmento,de maneraque
los dos segmentos formados estén un razón dada.

6. En toda división internase cumple que lasumade lossegmentosde divisióndacomoresultadoel
segmentodividido: AP+PB= AB
Divisiónexterna:consiste enubicarun puntoenla prolongaciónde unsegmento,tal que forme
dos segmentosque estánenunarazóndada.En el grafico el puntoQ
En todo divisiónexternase cumple que larestade lossegmentosde divisióndancomoresultado
el segmento dividido:BQ-AQ=AB
Divisiónarmónica: se dice que un segmentoestádivididoarmónicamente cuandolarazónde
divisióninternayexternayesigual.
Aplicación:dadoslos puntoscolinealesA,By C Si las longitudesAByBC son proporcionalesa los
números9 y 5 respectivamenteyAC=504u calculasAB.
Teorema
Cualquierbisectriz internade unánguloentodo triángulodivideinternamente al ladoopuestodel
ánguloensegmentoscuyaslongitudessonproporcionalesalaslongitudes de los otros dos lados.

7. H: DB bisectriz
T:
Teorema
Cualquierbisectriz externade unánguloentodotriángulodivideexternamente al ladoopuestodel
ánguloensegmentoscuyaslongitudessonproporcionalesalas longitudes de los otros dos lados.
H: CE bisectriz
T:
𝐴𝐸
𝐸𝐵
=
𝑏
𝑎
Corolario: las bisectrices interna y externa trazadas en un mismo vértice de un triángulo, dividen
armónicamente al lado opuesto en la razón de los otros lados del triángulo.