Material sobre continuidad de una función dirigido a estudiantes de la carrera Urbanismo en la UCLA estado Lara Venezuela

1. UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
“LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE INGENIERÍA CIVIL Y URBANISMO
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

2. Una función es continua si en su gráfica no existen saltos o
interrupciones.
Función
Continua
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

3. Si la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones, se
dice que la función tiene una discontinuidad.
Discontinuidad
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

4. Ejemplos:
𝑓( 𝑥 ) = | 𝑥|
Continua en R
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

5. 1
𝑓( 𝑥 ) = 2
𝑥
Discontinua en 𝑥 = 0
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

6. 𝑓 ( 𝑥 ) = ln 𝑥
Continua en (0, +∞)
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

7. 𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑓( 𝑥 ) =
𝑥−2
Discontinua en 𝑥 = 2
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

8. Continuidad en un punto
Una función 𝒇 es continua en un punto 𝒂 si se cumplen las
siguientes condiciones:
a)
𝒇(𝒂) existe
b)
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe
c)
𝒇( 𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
𝒙→𝒂
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

9. Tipos de discontinuidad
1. Discontinuidad removible: ocurre cuando la función es
discontinua en el número 𝒂, pero se cumple la segunda
condición, es decir, 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe.
𝒙→𝒂
En este caso se tiene que
𝒇(𝒂) no existe, o bien, 𝒇(𝒂) ≠ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

10. 𝑓(𝑎) no existe
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

11. 𝑓(𝑎) ≠ lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

12. Se llama removible por cuanto si 𝒇 se redefine en 𝒙 =
𝒂, de tal manera que 𝒇(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇( 𝒙), entonces 𝒇 pasa
𝒙→𝒂
a ser continua en dicho punto.
𝑓( 𝑎) = lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

13. 2. Discontinuidad esencial: se presenta en el caso de que la
discontinuidad no sea removible, es decir, cuando no se
cumple la segunda condición (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) no existe)
𝒙→𝒂
lim 𝑓(𝑥) no existe
𝑥→𝑎
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

14. Continuidad lateral
Una función 𝒇 es continua a la izquierda del número 𝒂 si y solo
si se cumplen las tres condiciones siguientes:
a)
b)
c)
𝒇(𝒂) existe
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe
𝒙→𝒂−
𝒇( 𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂−
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

15. Continua a la izquierda de 𝑎
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

16. Una función 𝒇 es continua a la derecha del número 𝒂 si y solo
si se cumplen las tres condiciones siguientes:
a)
𝒇(𝒂) existe
b)
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe
+
c)
𝒙→𝒂
𝒇( 𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂+
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

17. Continua a la derecha de 𝑎
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

18. Continuidad en un intervalo:
Se dice que una función 𝒇 es continua en un intervalo abierto
(𝒂, 𝒃) si y solo si 𝒇 es continua en todo número de dicho
intervalo.
Se dice que una función 𝒇 es continua en un intervalo cerrado
[ 𝒂, 𝒃] si y solo si 𝒇 es continua en el intervalo abierto (𝒂, 𝒃) y,
además, es continua a la derecha del número 𝒂 y continua a la
izquierda del número 𝒃.
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

19. Respecto a la continuidad se cumple que:
• Si 𝒇 y 𝒈 son dos funciones continuas en el número 𝒂
entonces las funciones 𝒇 + 𝒃, 𝒇– 𝒈, 𝒇. 𝒈 y 𝒇/𝒈 (con
𝒈(𝒂) ≠ 𝟎) son continuas en el número 𝒂
• Una función polinómica es continua en todo número real
• Una función racional es continua en todo número que
pertenezca a su dominio
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

20. Ejercicios:
1. Verificar si las funciones dadas son continuas en el punto
indicado
a)
𝒇( 𝒙) =
𝒙 𝟐 −𝟒
𝒙−𝟐
en 𝒙 = 𝟐
𝒙 𝟐 −𝟏
b)
𝒈( 𝒙) = {
𝒙+𝟏
−𝟐
𝒔𝒊 𝒙 ≠ −𝟏
en
𝒙 = −𝟏
𝒔𝒊 𝒙 = −𝟏
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

21. 2. Indicar si la función 𝐟 es continua en 𝐱 = 𝟑. En caso de
presentar una discontinuidad removible, redefina la
función de modo que sea continua en todo su dominio
𝒇( 𝒙) =
𝒙 𝟐 −𝟗
𝒙−𝟑
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

22. 3. Dada la gráfica de la función 𝒇 identificar los puntos de
discontinuidad e indicar el tipo de discontinuidad que se
presenta
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

23. 4. Determinar si la función cuya gráfica se muestra es
continua en los intervalos [−𝟏, 𝟑], (𝟑, 𝟕) y (𝟕, 𝟗]. ¿En qué
puntos la función presenta una discontinuidad removible?
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014

24. 5. Dibujar la gráfica de una función que cumpla lo siguiente:
•
•
•
•
•
•
Dominio [−𝟒, 𝟒]
𝒇(−𝟒) = 𝒇(𝟒) = 𝟐
𝒇(𝟑) = 𝟏
Discontinua removible en 𝒙 = 𝟏
Discontinua esencial en 𝒙 = 𝟑
Continua a la izquierda de 𝒙 = 𝟑
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G. Febrero, 2014