2. 2 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
1.1 INTRODUCCI´ON
En el cap´ıtulo anterior se examinaron dos elementos almacenadores de energ´ıa
el´ectrica, el inductor y el capacitor en este capitulo se examina el compor-
tamiento de estos en circuitos simples formados por un elemento almacenador
y una o varias resistencias. Estos circuitos ocasionan respuestas diferentes
seg´un el elemento que se incluya, por esta raz´on dentro de este cap´ıtulo, se
encuentran en forma separada, la representaci´on de estas respuestas.
Esta respuesta esta dada por una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden.
En este caso se desconectan todas las fuentes independientes, la respuesta
de este tipo de circuitos se conoce como respuesta natural, al depender s´olo
de sus elementos. Para encontrar la soluci´on de una ecuaci´on diferencial
de primer orden se puede usar varios m´etodos como el de separaci´on de
variables o suponer una soluci´on exponencial. Si un circuito no tiene fuentes
independientes, pero incluye fuentes dependientes, este se ve afectado por
estas, por lo tanto se deben tener en cuenta a la hora de encontrar la respuesta
natural del circuito.
3. 1.2. BIOGRAF´IA 3
1.2 BIOGRAF´IA
Tomas Alva Edison ( 1847 - 1931 ): Celebre f´ısico escoc´es inventor del
tel´efono, nacido en Edimburgo y naturalizado norteamericano. Era
hijo de un famoso profesor de elocuci´on que hab´ıa inventado un sistema
para la ense˜nanza de sordomudos, en cuyo perfecciona miento participo
posteriormente Alejandro. En 1870 tuvo que trasladarse por motivos de
enfermedad al Canad´a, donde se dedico a la instrucci´on de sordomudos,
y en 1872 fue nombrado profesor de fisiolog´ıa vocal de la Universidad
de Boston.
Continu´o sus investigaciones sobre el tel´efono, aparato que invento en
4. 4 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
1876, y al cual introdujo mas tarde notables mejoras. Esto le vali´o
que el Institute de Francia le otorgara en 1880 el Premio Volta. Bell
invent´o adem´as algunos otros instrumentos, aunque ninguno de ellos
de importancia comparable a la del tel´efono. Uno de estos, el fot´ofono,
permite trasmitir el sonido por medio de un rayo de luz a una distancia
de 200 m.
En 1883 invent´o, en compa˜n´ıa de Sumner Tainter y C. A. Bell, el
gram´ofono, en el cual se hacia uso de discos de cera semejantes a los
de los fon´ografos modernos. Invent´o, adem´as, la balanza de inducci´on,
el radiofono, una sonda telef´onica, e hizo diversos experimentos en ma-
teria de aviaci´on. Escribi´o diferentes memorias, entre ellas algunas de
mucho inter´es para el estudio de los sordomudos.
Fue el fundador de la Asociaci´on Norteamericana para la Promoci´on
de la Ense˜nanza de Sordomudos, fue regente de la Smithsonian Institu-
tion y presidente por alg´un tiempo de la National Geographic Society.
Muri´o en Nueva Escocia, Canad´a. Durante su entierro guardaron si-
lencio todos los tel´efonos de la Am´erica del Norte.
5. 1.3. CIRCUITO RL SENCILLO 5
1.3 CIRCUITO RL SENCILLO
Figura 1.1: Circuito sencillo RL
En este caso se tiene un circuito con una fuente independiente conectada a
una resistencia y una inductancia en serie junto con otra en paralelo, despu´es
de un tiempo se desconecta la fuente, la inductancia con una resistencia en
serie, forman un nuevo circuito, el cual se va a estudiar, como se observa en
la figura 1.1.
El accionamiento del interruptor es en un tiempo´ınfimo y se descarta cualquier
p´erdida de energ´ıa por parte de este.
Para el circuito que se observa en la figura 1.1b, la ecuaci´on de la respuesta
natural se describe a continuaci´on:
Se plantea la LKV alrededor de la malla, obteniendo:
L
diL
dt
+ RiL = 0
o
L
diL
dt
+
R
L
iL = 0
(1.1)
6. 6 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
1.4 CIRCUITO RC SENCILLO
Para un circuito como el mostrado en la figura 1.2, al accionar el interruptor
el circuito resultante, es un capacitor con una resistencia en paralelo.
Figura 1.2: Circuito sencillo RC
Al aplicar LCK :
ic + iR = 0
Teniendo en cuenta la convenci´on pasiva de signos, para cada t´ermino se
tiene:
ic = C ·
dvc
dt
e
iR =
vc
R
(1.2)
Combinando estas dos ecuaciones:
dvc
dt
+
vc
R
= 0
o
dvc
dt
+
1
RC
· vc = 0
(1.3)
7. 1.4. CIRCUITO RC SENCILLO 7
Figura 1.3: Circuito sencillo RC
Las ecuaciones resultantes de los circuitos RC y RL que se muestran en la
figura ?? son:
dvc
dt
+
1
RC
· vc = 0
y
L
diL
dt
+
R
L
iL = 0
(1.4)
Son ecuaciones diferenciales de primer orden, con coeficientes constantes y
su forma general es:
dx
dt
+ ax = 0
Donde:
a =
1
RC
, x = vcpara el circuito RC
y
a =
R
L
, x = iLpara el circuito RL
(1.5)
Para solucionar este tipo de ecuaciones se plantean diferentes m´etodos de
soluci´on de los cuales se presentan tres:
8. 8 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
• Separaci´on de variables secci´on.
• Exponencial secci´on.
• Operadores Diferenciales.
Utilizando cualquiera de los m´etodos mencionados la soluci´on es de la forma
vc(t) = Vse
t
RC (1.6)
Soluci´on de la ecuaci´on del circuito RC.
iL(t) = Ise
Rt
L (1.7)
Soluci´on de la ecuaci´on del circuito RL
1.5 SEPARACI´ON DE VARIABLES
Se tiene la ecuaci´on:
dx
dt
+ ax = 0
Se separan las variables y se escribe:
dx
x
= −adt (1.8)
Al integrar ambos lados de la ecuaci´on:
dx
x
= −a dt (1.9)
9. 1.5. SEPARACI ´ON DE VARIABLES 9
Entonces:
ln (x) = −at + k (1.10)
Donde k es una constante resultante de la integraci´on, que debe satisfacer la
condici´on inicial; para el caso del circuito RC, se tiene:
ln vC(0) = 0
Hay que tener en cuenta, que la condici´on inicial es justo un instante despu´es
de abrir el interruptor y en este momento el voltaje, al cual est´a cargado el
capacitor es igual al voltaje de la fuente que se desconecto, entonces:
ln vs = k
Sustituyendo esto en la ecuaci´on de la soluci´on se tiene:
ln vC = −a · t + ln vs (1.11)
´o
ln vC − ln vs = −a · t (1.12)
as´ı:
ln
vC
vs
= −at (1.13)
Como:
eln x
= x
10. 10 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
Al aplicar la funci´on exponencial a ambos lados de la ecuaci´on:
vC
vs
= e−at
o vC = vs · e−at
= vs · e
−t
RC (1.14)
As´ı Vc se describe en la ecuaci´on anterior, para el circuito RC, donde el
voltaje inicial es vs.
Para el circuito RL, se desarrolla de manera similar y se obtiene como resul-
tado:
iL = Is · e
−Rt
L
Donde Is es la corriente inicial.
1.6 EXPONENCIAL
Se tiene la ecuaci´on:
dx
dt
+ ax = 0
Se parte del supuesto, que su soluci´on en forma exponencial es:
x = A · est
(1.15)
Donde A y s, son constantes a encontrar, para esto, sustituyendo la soluci´on
en la ecuaci´on diferencial :
d(A · est
)
dt
+ a · A · est
= 0 (1.16)
11. 1.6. EXPONENCIAL 11
o
s · A · est
+ a · A · est
= 0 (1.17)
Factorizando:
(s + a) · A · est
= 0 (1.18)
En este punto la soluci´on es (s + a) = 0 ´o A · est
= 0, la segunda opci´on no
puede ser igual a cero porque se obtendr´ıa una soluci´on trivial, para todo t,
as´ı:
s + a = 0
´o
s = −a
(1.19)
Sustituyendo en la soluci´on exponencial:
x = A · e−at
(1.20)
Donde A se se determina a partir de las condiciones iniciales del circuito.
Para el circuito RL se desarrolla de la siguiente manera:
di
dt
+
R
L
· i = 0 (1.21)
Se supone una soluci´on exponencial:i = A · est
(1.22)
12. 12 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
Como:
di
dt
= s · A · est
(1.23)
Reemplazando en la ecuaci´on del circuito:
s · A · est
+
R
L
· A · est
(1.24)
Factorizando:
A · est
s +
R
L
= 0, De donde: (1.25)
s = −
R
L
(1.26)
Y por tanto:
i = A · e−Rt
L (1.27)
Para calcular A se tienen en cuenta las condiciones iniciales del circuito:
i(0) =
vs
R0
i(0) = A =⇒ A =
vs
r0
(1.28)
As´ı la soluci´on final es:
i =
vs
R0
· e−Rt
L (1.29)
13. 1.7. OPERADORES DIFERENCIALES 13
En la siguiente tabla se muestra un resumen de la soluci´on general de los
circuitos RL y RC:
Circuito Respuesta si Fuentes
RL iL(t) = iL(0)e−Rt
L
RC vc(t) = vc(0)e− t
RC
Tabla 1.1: Resumen de Respuesta sin Fuentes
1.7 OPERADORES DIFERENCIALES
Un operador es una representaci´on de una operaci´on matem´atica, mediante
un s´ımbolo, as´ı un operador diferencial representa la derivada de una variable
respecto a otra, por ejemplo:
sx =
dx
dt
y s2
x =
d2
x
dt
(1.30)
En este caso, s representa la derivada con respecto al tiempo de la variable
x, la utilidad de esta representaci´on es su uso como cantidad algebraica y
facilita el manejo de las ecuaciones diferenciales, como las resultantes de los
circuitos RL y RC, que tiene la siguiente forma:
dx
dt
+ ax = 0, usando el operador: sx + ax = 0 (1.31)
Al factorizar: (s+a)x = 0 , como x no puede ser cero por ser ´esta la soluci´on
trivial, entonces: s = −a, Al postular una soluci´on exponencial se tiene:
x = A · est
,
Reemplanzando s:
x = A · e−at
(1.32)
Y con las condiciones iniciales se determina el valor de A.
Este m´etodo ofrece mejores resultados en ecuaciones diferenciales de orden
superior.
14. 14 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
1.8 GR´AFICA DE LA RESPUESTA DE LOS
CIRCUITOS RL Y RC
Hasta el momento se ha planteado la soluci´on de las ecuaciones que originan
los circuitos RC y RL: x = A · e−at
, que tambi´en puede escribirse de la
siguiente forma:
x = A · e− t
τ
Donde τ = 1
a
, y se llama constante de tiempo del circuito, sus unidades son
segundos.
Entonces τ para RL es τ = L
R
y para RC es τ = RC, la siguiente gr´afica
muestra el comportamiento de la respuesta exponencial:
Figura 1.4: Gr´afica de la Respuesta de un Circuito RL ´o RC
Es claro que est´a respuesta depende de la magnitud t, que a su vez depende
de RL y RC, respectivamente.
Como se observa en la tabla 1.2 cuando t se a cerca cinco constantes de
15. 1.9. RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL 15
t=nτ τ 2τ 3τ 4τ 5τ
e− t
τ 0.368 0.135 0.050 0.018 .007
Tabla 1.2: Valores de e− t
τ para t=nτ
tiempo, la respuesta es una fracci´on de su valor inicial entonces la salida del
circuito se ha estabilizado, el per´ıodo antes de este punto se llama respues-
ta transitoria,y la que se observa despu´es se denomina respuesta de estado
estable. estable.
En conclusi´on la respuesta de un circuito RL y RC sin fuentes, dependen
fundamentalmente de:
1. La constante de tiempo
2. La condici´on inicial.
1.9 RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL
Las ecuaciones que resultan de los circuitos de primer orden RC y RL, en su
mayor´ıa presentan la siguiente forma:
dx
dt
+ ax = f(t) (1.33)
Teniendo en cuenta el m´etodo exponencial, esta ecuaci´on se puede resolver
directamente para x(t):
Multiplicando a ambos lados de la ecuaci´on por eat
eat dx
dt
+ eat
ax = f(t)eat
(1.34)
16. 16 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
El primer miembro de la ecuaci´on queda:
eat dx
dt
+ aeat
x =
d
dt
xeat
(1.35)
de forma que la ecuaci´on,
eat dx
dt
+ eat
ax = f(t)eat
(1.36)
queda:
d
dt
xeat
= eat
f(t) (1.37)
Al integrar desde −∞, hasta un tiempo mayor que cero t > 0, resulta:
xeat
=
t
−∞
eaτ
f(τ)dτ =
0−
−∞
eaτ
f(τ)dτ +
t
0−
eaτ
f(τ)dτ (1.38)
El primer t´ermino del resultado de la derecha es una constante, por que
los l´ımites entre los que se eval´uan la integral son constantes, quedando la
ecuaci´on como:
xeat
= K +
t
0−
eaτ
f(τ)dτ (1.39)
Multiplicando a ambos lados de la ecuaci´on para despejar x(t), se obtiene:
x(t) = Ke−at
+
t
0−
e−a(t−τ)
f(τ)dτ (1.40)
17. 1.9. RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL 17
La constante se puede determinar por medio de las condiciones iniciales.
Ejemplo:
Obtener la respuesta a escal´on del circuito de la figura 1.5por integraci´on
directa.
Figura 1.5: Gr´afica de la Respuesta de un Circuito RL ´o RC
Aplicando la LCK se obtiene la ecuaci´on diferencial:
v(t) − vc
R1
=
vc
R2
+ ic
cdvc
dt
+
1
R1
+
1
R2
vC =
1
R1
v(t)
dvc
dt
+
R1 + R2
R1R2C
vc =
1
R1C
u(t)
(1.41)
De la ecuaci´on,
x(t) = Ke−at
+
t
0−
e−a(t−τ)
f(τ)dτ (1.42)
con a = R1+R2
R1R2C
,
18. 18 CAP´ITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC
vc(t) = ke−at
+
0−
t
e−at
eaτ 1
R1C
u(τ)dτ, para t ¿ 0
vc(t) = ke−at
+
1
R1C
e−at
0−
t
eaτ
(1)dτ +
1
R1C
e−at 1
a
eat
− 1
vc(t) = ke−at
+
1
R1Ca
1 − e−at
= ke−at
+
R2
R1 + R2
+ 1 − e−at
Puesto que vc(0−) = vc(0+
) = 0, vemos que k = 0; y as´ı:
W(t) = vc(t) =
R2
R1 + R2
+ 1 − e−at
para todo t ¿ 0 (1.43)
