Evaluación 10%

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
CATEDRA: CIRCUITOS ELECTRICOS II
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
PARTICIPANTE:
MARIANNE GONZALEZ
V-26.462.379
ING ELECTRONICA
MARCAIBO, FEBRERO DE 2019

2. 1. Respuesta Natural de un circuito en RC sin fuentes:
La respuesta de un circuito sin fuentes resulta de la energía almacenada en los
elementos del circuito, y se caracteriza por la naturaleza del circuito en sí. Por esta
razón la respuesta se conoce como respuesta natural del circuito, y debido al tiempo en
que ocurre, también se le denomina como respuesta transitoria.
El conocimiento del comportamiento de los circuitos durante su parte transitoria
permite predecir la respuesta de un circuito o aparato durante este lapso, con lo que,
por ejemplo, se puede anticipar que tan rápido cambiará la velocidad de un motor como
respuesta a un cambio en su corriente de campo, o predecir la exactitud con la que la
salida de un amplificador puede seguir una entrada que este cambiando con el tiempo.
Considerando un circuito serie como el formado por un capacitor y un resistor, como se
muestra en la figura 1.
i(t)
RC
+
-
v(t)
FIGURA 1. CIRCUITO RC SIN FUENTES.
Su pondremos que el capacitor está cargado y que entre sus terminales tiene una
tensión V0, la cual consideraremos como la tensión en el tiempo inicial, el que
tomaremos como t0 = 0. Puesto que no hay fuentes de tensión ni de corriente en el
circuito, la respuesta de este se debe completamente a la energía almacenada
inicialmente en el capacitor. En este caso la energía, para el tiempo t0 = 0, es igual a:
2
2 0
0 0
1
2 2
Q
w Cv
C
  (1)
Para un tiempo t 0, la carga abandona las placas del capacitor y la energía
almacenada llega a cero.

3. Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff al circuito de la figura 1, tenemos que,
0C Ri i  (2)
esto es,
0
dv v
C
dt R
  (3)
dividiendo entre C, tenemos,
0
dv v
dt RC
  (4)
Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, debido a que es homogénea (el
lado derecho es cero), la solución particular es igual a cero y la ecuación tiene como
solución solamente la función complementaria. En consecuencia, la función consta
solamente de un transitorio.
Se dispone de varios métodos para resolver las ecuaciones diferenciales de la forma
anterior. Un método directo consiste en re-arreglar los términos de la ecuación de modo
que se separen las variables v y t y luego simplemente se integra el resultado, esto es,
1dv
v
dt RC
  (5)
1dv
dt
v RC
  (6)
Integrando la ecuación entre los límites apropiados. Esto es, recordando que en nuestro
caso v tiene un valor de V0 en el tiempo 0, tenemos,
0 0
1
V t
V
dv
dt
v RC
   (7)
Donde las integrales en esta ecuación son integrales definidas. Después de las
integrales obtenemos,

4. 0
0
ln ln ln
v t
v v
v RC
    (8)
de donde,
0
t
RC
v
e
v

 (9)
de aquí que,
  0
t
RC
v t v e

 (10)
por lo tanto, la corriente es igual a,
 
  0
t
RC
v t v
i t e
R R

  (11)
En la figura 2 se muestra gráficamente la ecuación anterior, en donde se puede ver que
la tensión inicialmente es v0 y que decrece exponencialmente hacia cero a medida que t
crece. La razón de cambio con que la tensión decrece se determina exclusivamente por
el producto de la resistencia y la capacitancia del circuito.
0,000E+00
1,000E-03
2,000E-03
3,000E-03
4,000E-03
5,000E-03
6,000E-03
7,000E-03
8,000E-03
9,000E-03
1,000E-02
0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 1,4E-03 1,6E-03 1,8E-03 2,0E-030 t
v(t)
V 0
FIGURA 2. GRÁFICA DE LA RESPUESTA DE TENSIÓN DEL CIRCUITO RC DE LA
FIGURA 1.
La energía almacenada en el circuito en el tiempo t = 0, se da en la ecuación (1). A
medida que el tiempo se incrementa, la tensión a través del capacitor y la energía
almacenada en el capacitor, decrece. Desde un punto de vista físico, es evidente que
toda la energía almacenada en el capacitor, decrece, desde un punto de vista físico, es

5. evidente que toda la energía almacenada en el capacitor en el tiempo t = 0 se debe
disipar en el resistor en un tiempo infinito. La potencia instantánea absorbida por el
elemento resistor es,
 
 
2 22
0
t
RC
R
v t v
P t e
R R

  (12)
y la energía instantánea absorbida por el resistor es igual a,
   
22
0
t
RC
R R
v
w t P t dt e dt
R

  (13)
por lo tanto, la energía absorbida por el resistor en un tiempo infinito es,
 
 
22
0
0 0
2
2
0
0
1
2
t
RC
R R
t
RC
R
v
w P dt e dt
R
w Cv e
 



  
 
   
 
 
  2
0
1
2
Rw t Cv (14)
la cual es, por cierto, igual a la energía almacenada inicialmente en el circuito.
Solución Forzada a un Circuito en RC con Fuentes:
Vamos a obtener la respuesta v(t) a partir de la ecuación de un circuito RC paralelo
cuando se aplica súbitamente una fuente de corriente continua. Esta ecuación se
resuelve separando variables e integración.
El circuito consta de un resistor, un capacitor, una fuente de corriente de
corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente
en t = 0.
El capacitor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor,
por lo que se puede pensar en el como una fuente de voltaje.

6. Como el interruptor está abierto antes de t = 0, el voltaje a través del circuito vale
cero por lo que se sustituye la fuente Is y el interruptor SW normalmente abierto por
una fuente de corriente escalón de la forma
Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t = 0.
Esto significa que descargamos el condensador para asegurar que no hay energía
almacenada antes de cerrar el interruptor.
El circuito con la fuente de corriente escalón es:

7. Primero obtenemos la respuesta para t < 0 y luego para t > 0.
En t < 0 el interruptor está abierto.
En t > 0 el interruptor está cerrado.
Ahora vamos a separar las variables voltaje y tiempo para hallar la respuesta
Vc(t) en t > 0:

8. Integramos a ambos lados de forma indefinida:
Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola
constante k:
Calculamos la constante a partir de la condición inicial:

9. Para ver el efecto del voltaje inicial en la ecuación no lo haremos cero hasta el
final.
De aquí despejamos Vc:
Tomando exponencial ambos lados:

10. Vemos que el voltaje inicial afecta la amplitud del término exponencial. El condensador
es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.
Ahora hacemos cero el voltaje inicial:
3.- Respuesta Completa de un circuito en RC: La respuesta forzada más la
natural es superposición.
La respuesta forzada considera las entradas externas.
La respuesta natural considera las condiciones iniciales internas.
Obtenemos la respuesta total al sumar las dos.
Este es el principio de superposición en acción.
(Los subíndices _tt, _ff y _nn denotan las respuestas total, forzada y natural,
respectivamente).
4. Respuesta Natural de un circuito en RL sin fuente:
El circuito RL simple consta de un resistor y un inductor:

11. Paso 1: Suponer una respuesta
Paso 2: Derivar la respuesta
Paso 3: Sustituir la respuesta y la derivada en la ecuación diferencial
Paso 4: Factorizar
Paso 5: Analizar los tres factores que hacen cero la ecuación

12. La relación L/R representa el “ancho” de la curva y se denomina constante de
tiempo tau, y sus unidades son los segundos y las unidades de S1
corresponden a una frecuencia. Veámoslo:
Paso 6: Calcular la amplitud A.
Se hace uso de la condición inicial:
Paso 7: Obtener la respuesta: corriente en la bobina y en el resistor.
La corriente a traves del resistor es la misma que en la bobina por estar en serie.
Paso 8: Verificar la respuesta.
Sustituir la ra respuesta en la ecuación diferencial, y obtener la identidad 0=0,
ademas se sustituye t=0 en la respuesta, para obtener la condicion inicial.
Paso 9: Obetener la otencia disipada en el resistor:

13. La corriente a través del resistor es la misma que la de la bobina por estar en serie.
Paso 10: Obtener la potencia generada en el inductor
Observe que la suma de potencias generada y consumida es cero.
Paso 11: Obtener la energía convertida en calor en el resistor en un tiempo t.
La energía total convertida en calor en el resistor se calcula integrando la potencia
instantánea desde un tiempo cero hasta un tiempo infinito.

14. Paso 12: Obtener la energía almacenada en el inductor
5. Respuesta forzada de un circuito en RL con fuentes:
Vamos a obtener la respuesta i (t) a partir de la ecuación de un circuito RL serie
cuando se le aplica súbitamente una fuente de voltaje de corriente directa. Esta
ecuación se resuelve por separación de variables e integración.
El circuito consta de un resistor, un inductor, una fuente de voltaje de corriente
directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t =0.
El inductor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el
interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de corriente.
Como el interruptor está abierto antes de t=0, la corriente a través del circuito
vale cero por lo que se sustituye la fuente Vs y el interruptor SW normalmente abierto
por una fuente de voltaje escalón de la forma.

15. Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t=0.
Esto significa que descargamos la bobina para asegurar que no hay energía
almacenada antes de cerrar el interruptor.
El circuito con la fuente de voltaje escalón es:
Primero obtenemos la respuesta para t<0 y luego para t>0.
En t<0 el interruptor está abierto.

16. En t>0 el interruptor está cerrado.
Ahora vamos a separar las variables corriente y tiempo para hallar la respuesta i(t):
Integramos a ambos lados de forma indefinida:

17. Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:
Calculamos la constante a partir de la condición inicial:
Para ver el efecto de la corriente inicial en la ecuación no la haremos cero hasta el final
De aquí despejamos i:

18. Tomando exponencial a ambos lados:
Vemos que la corriente inicial afecta la amplitud del término exponencial. La bobina es
una fuente exponencial que se agota con el tiempo.
Ahora hacemos cero la corriente inicial:
Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple.
6. Respuesta Completa de un circuito RL: La respuesta completa en los circuitos RL, al
igual que los circuitos RC, tiene dos componentes: la respuesta natural y la respuesta
forzada. Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada.