Este documento resume los conceptos fundamentales de circuitos RLC de primer y segundo orden. Explica las ecuaciones diferenciales que describen la corriente y tensión en un circuito RL y RLC, así como cómo calcular la frecuencia de resonancia y el ancho de banda de un circuito RLC. También analiza la respuesta forzada de un circuito RLC con una fuente variable.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maracaibo.
Catedra: Circuitos Eléctricos II
Profesor: Lic. Fidel Angulo. G
Circuitos RCL, factor Q y pasa bandas
Autor:
Wilmer Peñaloza
C.I: V-22.050.752
Fecha de entrega:
07 / 03 / 2017

2. Circuito RL
La mejor forma de describir la respuesta natural de un circuito RL consiste en
referirse al circuito mostrado a continuación, Suponemos que la fuente de corriente
independiente genera una corriente constante de 15A Y que el conmutador ha
estado en la posición de cerrado durante un largo período de tiempo. Definiremos
con más precisión la frase un largo período de tiempo más adelante, dentro de esta
misma sección. Por el momento, lo que queremos decir es que todas las corrientes
y tensiones han tenido el tiempo suficiente como para alcanzar un valor constante.
De este modo, sólo pueden existir corrientes constantes (o cc) en el circuito justo
antes de abrir el conmutador, por lo que la bobina aparece como un cortocircuito
(Ldi/dl = 0) justo antes de liberarse la energía almacenada.
Puesto que la bobina aparece como un cortocircuito, la tensión en bornes de
la rama inductiva es cero y no puede haber ninguna corriente que atraviese ni R0 ni
R. Por tanto, toda la corriente de la fuente Is pasa a través de la rama inductiva.
Calcular la respuesta natural requiere determinar la tensión y la corriente en los
terminales de la resistencia después de abrir el conmutador, es decir, después de
desconectar la fuente y de que la
bobina comience a liberar
energía. Si designamos
mediante t=0 el instante en que
se abre el conmutador, el
problema se reduce a determinar
la ecuación de v(t) e i(t) para
t>0. El circuito mostrado en la
Figura 1.1 se reduce, para t>0, al
que puede verse en la Figura
1.2.
Para determinar i(I), utilizamos la ley de Kirchhoff de las tensiones para
obtener una ecuación en la que aparezcan i, R y L. Sumando las tensiones
alrededor del lazo cerrado, se obtiene:
L(dt/di)+R1 = 0 ecu.a.1
Donde utilizamos el convenio de signos pasivo. La Ecuación a.1 es una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden, porque contiene términos en los que
aparece la derivada ordinaria de la incógnita, es decir, di/dt. La derivada de mayor

3. orden que aparece en la ecuación es 1, de ahí que digamos que la ecuación es de
primer orden. Además, los coeficientes de la ecuación R y L son constantes, es
decir, no son funciones ni de la variable dependiente i ni de la variable independiente
l. Por tanto, podemos decir que la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria
con coeficientes constantes.
Para resolver la Ecuación a.1, dividimos por L, pasamos el término donde
aparece i aliado derecho y luego multiplicamos ambos lados por un tiempo
diferencial dt. El resultado es
A continuación, podemos observar que el lado izquierdo de la Ecuación a.2
representa un incremento diferencial de la corriente i, es decir, di. Dividiendo ahora
por i se obtiene
Podemos hallar una expresión explícita de i en función de t integrando ambos
lados de la Ecuación a.3. Utilizando x e y como variables de integración, nos queda
En donde i(to) es la corriente correspondiente al instante to e i(t) es la corriente
correspondiente al instante t. Aquí, t0 = 0, por lo que realizando la integración resulta
Basándonos en la definición del logaritmo natural,
Recordando que en una bobina no puede haber ningún cambio instantáneo
de la corriente. Por tanto, en el instante justo posterior a la apertura del conmutador,
la corriente en la bobina continúa siendo la misma. Si utilizamos 0-
para indicar el
instante justo anterior a la conmutación y 0+
para indicar el instante justo posterior,
entonces

4. Donde, como en la Figura 1.1, I0 es la corriente inicial que atraviesa la bobina.
Dicha corriente inicial en la bobina está orientada en la misma dirección que la
dirección de referencia de i. Por tanto, la Ecuación a.6 queda
que demuestra que la corriente parte de un valor inicial I0 Y decrece
exponencialmente hacia cero a' medida que se incrementa t. La Figura 1.4 muestra
la respuesta del circuito.
Podemos calcular la tensión que cae en la resistencia de la Figura 7.4
aplicando directamente la ley de Ohm:
Por contraste con la ecuación de la corriente mostrada en la Ecuación a.7, la
tensión sólo está definida para t > O, no en t = O. La razón es que en el instante
inicial se produce un cambio abrupto en la tensión. Observe que, para t < O, la
derivada de la corriente es cero, por lo que también es cero la tensión (este resultado
se debe a que v = L (di/dt) = O). Por tanto,
Donde v(O+) se obtiene de la Ecuación a.8 con I t = 0+ Con este cambio
abrupto en dicho instante de tiempo, el valor de la tensión en t = O es desconocido.
Por tanto, utilizamos t > 0+ para definir la región de validez de estas soluciones.
Podemos calcular la potencia disipada en la resistencia a partir de cualquiera
de las siguientes ecuaciones:

5. Independientemente de la forma que se utilice, la expresión resultante puede
reducirse a
La energía entregada a la resistencia durante un determinado intervalo de
tiempo después de abrir el conmutador es
Observe, en la Ecuación a.13, que a medida que t tiende a infinito, la energía
disipada en la resistencia se aproxima a la energía inicial almacenada en la bobina.
Circuitos de segundo orden
Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de
segundo orden. Consta de resistores y el equivalente de dos elementos de
almacenamiento de energía.
El análisis de circuitos de segundo orden será similar al realizado con los de
primer orden. Primero se considerarán circuitos excitados por las condiciones
iniciales de los elementos de almacenamiento. Aunque estos circuitos pueden
contener fuentes dependientes, están libres de fuentes independientes. Como es
de esperar, estos circuitos sin fuente darán respuestas naturales. Después se
tratarán circuitos excitados por fuentes independientes. Estos circuitos darán tanto
la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable.

6. Solución natural de un circuito RCL sin fuente
Quizá el principal problema que enfrentan los estudiantes al manejar circuitos
de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales y finales de las
variables de circuitos. Los estudiantes suelen obtener cómodamente los valores
inicial y final de v e i, pero a menudo tienen dificultades para determinar los valores
iniciales de sus derivadas: dv/dt y di/dt.
Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las
condiciones iniciales. Primero, como siempre en análisis de circuitos, se debe
manejar con cuidado la polaridad de la tensión V(t) en el capacitor y la dirección de
la corriente i(t) a través del inductor.
Para un mejor entendimiento.
Ejemplo: circuito RCL serie-paralelo sin fuente de
alimentación.
SOLUCION:
Aplicando LKV en I nos quedaría la ecuación
y aplicando un LKC en a para hallar i, sabiendo que ic =CV’ ; nos quedaría que
ya teniendo nuestra segunda ecuación sustituiremos la ecuancion 2 en la ecuación
1
procediendo a resolver matemáticamente la ecuancion para simplifuicar nos
quedaría que

7. Donde:
asi quedando el resultado de un RCL sin fuente de excitación. Dando a conocer las
ecuaciones generales del circuito.

8. Análisis de un circuito RCL con fuente variable con respuesta forzada
Hallar V(t) para t > 0
SOLUCIÓN:
Para t<0
Para el circuito obtenido en t<0 se aplicara LKV frontera sabiendo que V1=4i por lo
tanto la ecuación seria
Obtenido el valor de i=1.5A. Haremos LKV en la malla I quedando
Obtenido el valor de la tensión y la intensidad para t<0 daremos comienzo en t=0
Para t=0; aplicando condiciones iniciales nos quedaría
Para t>0

9. Aplicando LKV frontera nos quedaría nuestra primera ecuación llamada (1)
Teniendo nuestra primera ecuación buscaremos la segunda ecuación en el nodo x
aplicando LKC.
Sustituyendo nuestra segunda ecuación en la primera nos quedaría así
Derivando para obtener

10. Sabiendo que el circuito queda sobreamortiguado aplicamos las ecuaciones para el
resultado el cual seria

11. Teniendo los valores de S1 y S2 podremos seguir para buscar la respuesta forzada
quedando
Frecuencia de resonancia
La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el
que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es recorrido
por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule,
en caso de estar ambos en serie, o se haga infinita si están en paralelo. Para que
exista resonancia eléctrica tiene que cumplirse que Xc = Xl. Entonces, la impedancia
Z del circuito se reduce a una resistencia pura.

12. En otras palabras, la resonancia eléctrica se da cuando la Reactancia
Inductiva neta cancela la Reactancia Capacitiva neta.
La resonancia en los circuitos AC se produce a una frecuencia especial
determinada por los valores de la resistencia, la capacidad, y la inductancia. La
condición de resonancia en los circuitos series es muy sencilla y se caracteriza
porque la impedancia es mínima y el ángulo de fase es cero. La resonancia paralelo,
que es mas usual en la práctica electrónica, requiere de una definición mas
cuidadosa.
La resonancia de un circuito RLC serie, ocurre cuando las reactancias
inductiva y capacitiva son iguales en magnitud, pero se cancelan entre ellas porque
están desfasadas 180 grados. Esta reducción al mínimo que se produce en el valor
de la impedancia, es útil en aplicaciones de sintonización. La nitidez del mínimo de
impedancia, depende del valor de R y se caracteriza mediante el valor "Q" del
circuito.
Impedancia mínima en una frecuencia resonante
Resonancia serie
Una forma de visualizar el comportamiento del circuito serie RLC es mediante
el diagrama fasor que se muestra en la ilustración de arriba. Se muestra el diagrama

13. fasor a una frecuencia donde la reactancia inductiva es mayor que la reactancia
capacitiva. Esto ocurriría a una frecuencia superior a la frecuencia de resonancia.
Ancho de banda
Cuando se nombra la frecuencia de una emisora de radio por lo general, se
indica la frecuencia de la portadora. Pero cuando se superpone una señal sobre la
portadora de AM o FM, se producen bandas laterales que son la suma y la diferencia
de la frecuencia portadora fC y la frecuencia de modulación fM. Esto significa que
la señal transmitida está esparcida en frecuencia sobre un ancho de banda, que es
el doble de la frecuencia más alta de la señal.
Los anchos de bandas son asignados para todo tipo de difusión de
comunicaciones, esto impone la frecuencia máxima de señal que puede ser
transmitida. Los anchos de banda asignados a radio AM y FM son tales, que limitan
la fidelidad de música en las transmisiones en AM, pero permiten el lujo de
transmisiones de alta fidelidad en estéreo por medio de la FM. Las altas frecuencias
de señales asociadas con la difusión de vídeo, requieren mayores anchos de
bandas (canales asignados a la televisión).
La teoría de la información es el estudio muy profundo del uso eficiente del
ancho de banda para propagar información a través de sistemas electrónicos de
comunicaciones. Esta teoría se puede usar para determinar la capacidad de
información de un sistema de comunicaciones. La capacidad de información es una
medida de cuánta información se puede transferir a través de un sistema de
comunicaciones en determinado tiempo. La cantidad de información que se puede
propagar en un sistema de transmisión es una función del ancho de banda y del
tiempo de transmisión. R. Hartley, de los Bell Telephone Laboratories, desarrolló en
1920 la relación entre el ancho de banda, el tiempo de transmisión y la capacidad
de información. La ley de Hartley sólo establece que mientras más amplio sea el
ancho de banda y mayor sea el tiempo de transmisión, se podrá enviar más
información a través del sistema. En forma matemática, la ley de Hartley es
I ∞ B x t ecu. 1.3
Siendo: I= capacidad de información
B = ancho de banda del sistema (hertz)
t = tiempo de transmisión (segundos)
La ecuación 1-3 indica que la capacidad de información es una función lineal, y es
directamente proporcional tanto al ancho de banda del sistema como al tiempo de

14. transmisión. Si sube al doble el ancho de banda en un sistema de comunicaciones,
también se duplica la cantidad de información que puede transportar. Si el tiempo
de transmisión aumenta o disminuye, hay un cambio proporcional en la cantidad de
información que el sistema puede transferir. En general, mientras más compleja sea
la señal de información, se requiere más amplitud de banda para transportarla en
determinado tiempo. Se requieren unos 3 kHz de amplitud de banda para transmitir
las señales telefónicas con calidad de voz. En contraste, se asignan 200 kHz de
ancho de banda a la transmisión comercial de FM para música, con alta fidelidad, y
se requieren casi 6 MHz de ancho de banda para emitir señales de televisión de alta
calidad. C. E. Shannon (también de Bell Telephone Laboratories) publicó en 1948
un trabajo en el Bell System Technical Journal, donde relacionó la capacidad de
información de un canal de comunicaciones, en bits por segundo (bps), con el ancho
de banda y la relación de señal a ruido. La expresión matemática del límite de
Shannon de capacidad de información es
Es decir:
Dónde:
I = capacidad de información (bits por segundo)
B = ancho de banda (hertz)
S/N = relación de potencia de señal a ruido (sin unidad)
Para un canal normal de comunicaciones en banda de voz, con una relación
de potencias de señal a ruido de 1000 (30 dB) y un ancho de banda de 2.7 kHz, el
límite de Shannon de capacidad de información es
I = 2700 log2 (1 + 1000) = 26.9 kbps
Con frecuencia se entiende mal la fórmula de Shannon. Los resultados del
ejemplo anterior indican que se pueden transferir 26.9 kbps a través de un canal de
2.7 kHz. Esto podría ser cierto, pero no se puede hacer en un sistema binario. Para
alcanzar una rapidez de transmisión de información de 26.9 kbps a través de un
canal de 2.7 kHz, cada símbolo que se transfiera debe contener más de un bit de
información. Por consiguiente, para llegar al límite de Shannon de capacidad de
información, se deben usar sistemas digitales de transmisión que tengan más de
dos condiciones (símbolos) de salida.

15. La ecuación 1-4a se puede reordenar para usarla en la determinación de
cuánto ancho de banda se requiere para propagar determinada cantidad de datos
por un sistema.
Dónde:
I = capacidad de información (bits por segundo)
B = ancho de banda (hertz)
S/N = relación de potencia de señal a ruido (sin unidad)
Factor de calidad Q
Los circuitos series se usan para responder
selectivamente a señales de una frecuencia dada,
mientras discrimina contra las señales de
frecuencias diferentes. Decimos de un circuito que
tiene mayor selectividad cuando la selección del
pico de la frecuencia elegida, se produce dentro
de una franja de frecuencias mas estrecha. El
"factor de calidad" Q como se describe mas abajo,
es una medida de esa selectividad y decimos que
un circuito tiene una "calidad alta", si su frecuencia
de resonancia se selecciona mas estrechamente.
La selección de las estaciones de radio AM en los receptores de radio, es un
ejemplo de la aplicación de la resonancia en los circuitos. La selectividad de la
sintonización debe ser suficientemente alta, para poder discriminar a las estaciones
de radio, que emitan con unas frecuencias de la señal portadora por encima y por
debajo de la seleccionada, pero no tanto como para discriminar en los casos de
modulación de amplitud a las "bandas laterales" creadas en la imposición de la señal
emitida sobre la portadora.
La selectividad de un circuito depende de la cantidad de resistencia del
circuito. A la derecha se muestran las variaciones en un circuito serie resonante,
basadas en un ejemplo de Serway & Beichner. Cuanto menor resistencia, mayor
será el "Q" para unos determinados valores de L y C. El circuito resonante paralelo
se usa mas comunmente en electrónica, pero el álgebra necesario para determinar
la frecuencia de resonancia es bastante mas complicado.

16. La ilustración de la izquierda muestra la disipación de potencia en función de
la frecuencia, usando los mismos parámetros del circuito. Puesto que esta potencia
depende del cuadrado de la corriente, esta curva de resonancia aparece mas
pronunciada y mas estrecha, que los picos de resonancia en el ejemplo de la
corriente de arriba. El factor de calidad Q se define por:
Q = ω0 / Δω
Donde Δω es el ancho de la curva de potencia resonante a la mitad de su
valor máximo.
Puesto que ese ancho resulta ser Δω =R/L, el valor de Q también se puede
expresar como
Q = ω0L / R
El parámetro Q, se usa normalmente en electrónica, con valores que oscilan
en el rango de Q=10 a 100 en aplicaciones de circuitos.
PASABANDA DE SEGUNDO ORDEN.
A partir de la función bicuadrática, el filtro pasabanda de segundo orden
corresponde a los datos: 0 1 0 b2 = b1 = b0 = 0. Lo anterior significa que la función
de transferencia tiene dos polos finitos y un cero de transmisión en cero. Así las
cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:
Una manera más adecuada para escribir la función de transferencia es:

17. En la expresión anterior:
B = es el ancho de banda
ω0 =es la frecuencia central
El factor de calidad del circuito es:
Una de las topologías más usadas para el diseño de filtros pasaaltas es la mostrada
en la figura 5.10 y se conoce como topología Sallen and Key.
Al aplicar las leyes de Kirchhoff resultan las ecuaciones:
Resolviendo el sistema, resulta la función de transferencia:
En la expresión anterior se tiene que:

18. Para diseñar un filtro pasabanda de tipo Butterworth se procede de la siguiente
manera:
Con la información dada se calcula:
El equivalente pasabajas del filtro es:
La función de transferencia a realizar es:
La forma canónica de la función de transferencia es:
Con base en lo presentado previamente se tiene:
Sí se toman los resistores con igual resistencia: R1 = R2 = R3 = R, resulta:
Resulta, en consecuencia, un sistema de tres ecuaciones no lineales así:

19. Para facilitar la solución del sistema se hacen los cambios de variable:
Así las cosas, el sistema a resolver es:
Sustituyendo la primera en la segunda resulta un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas:
Eliminando la variable y se obtiene la ecuación cuadrática:
Debe cumplirse que:
Cuando se toma la igualdad se obtiene:

20. Los resultados son: