1. 4360545-14478029337017145Universidad Centroccidental<br />Lisandro Alvarado<br />Decanato de Agronomía<br />Programa de Ingeniería Agroindustrial<br /> Computación aplicada<br />BACHILLERES:<br />Mendoza Francis C.I 18.546.207<br />Álvarez Francisco C.I. 18.690.005<br />Alvarado Rafael C.I. 17.354.316<br />Flores Luis C.I. 18.923.287<br />INTRODUCION<br />Es importante conocer que el método de runge kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales, Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Este método surgió como mejora del método de euler. El método de euler se puede considerar un método de runge kutta de primer orden.<br />Método de Runge Kutta<br />Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos. <br />La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(x, y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. <br />El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma<br />Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables).<br />El Propósito de los Métodos Numéricos para Ec. Diferenciales es obtener una solución aproximada a la solución real del Problema de Valor Inicial planteado, como se puede observar en la siguiente gráfica:<br />Ecuaciones:<br />Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales el esquema del método de Runge Kutta de 2do orden es: <br />Por otra parte, para la resolución de ec. Diferenciales ordinarias a través del método de Runge Kutta de 3er orden, las ecuaciones a emplear son:<br />Aplicaciones:<br />El método de Runge Kutta se emplea para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Dichas ecuaciones son las que modelan la mayoría de situaciones que se pueden presentar en un estudio, entre ellos tenemos los siguientes casos:<br />Crecimiento poblacional.<br />Estudio de fluidos.<br />Fuerzas elásticas.<br />Sistemas de masa variable.<br />Preparación de soluciones.<br />Cambios de temperatura.<br />En la Agroindustria:<br />Éstos son sólo ejemplos de la aplicación, no obstante en la industria y más específicamente la agroindustria dichos casos son cotidianos, pues en el caso de microbiología pudiese modelarse el crecimiento o decrecimiento de una población bacteriana, los cambios de temperatura de una solución así como la cantidad de reactivo necesario para la concentración de una solución, el estudio de las leyes de Newton, fluidos Newtonianos y no-Newtonianos, estudios de velocidad de una máquina en un proceso, entre otros.<br />De manera que los métodos de Runge-Kutta tanto de segundo como de tercer orden tienen extenso uso en la agroindustria.<br />Algoritmos<br />Empleando como ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:<br />dxdt=t2+x<br /> dydt=-t3<br />x(0)=2<br />y(0)=1<br />0≤t≤3<br />h=0,2<br />Para Runge Kutta de 2do orden, un ejemplo del algoritmo es:<br />%Metodo Runge-Kutta de 2doOrden<br />x=2; <br />y=1; <br />t=0; <br />tmax=3; <br />h=0.2;<br />iter=round((tmax-t)/h);<br />vectorx=x;<br />vectory=y;<br />vectort=t;<br />for i=1:iter<br /> %calculo de las constantes de Runge-Kutta<br /> K1x=(t^2+x)*h;<br /> K1y=(-t^3)*h<br /> <br /> F1=((t+h/2)^2+(x+K1x/2))*h;<br /> F2=(-(t+h/2)^3)*h; <br /> <br /> x=x+F1;<br /> y=y+F2;<br /> t=t+h;<br /> <br /> vectorx=[vectorx x];<br /> vectory=[vectory y];<br /> vectort=[vectort t];<br />end<br />vectorx<br />vectory<br />vectort<br />subplot (1,2,1);<br />plot(vectort,vectorx,'y-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. t vs x'); <br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores x');<br />subplot (1,2,2);<br />plot(vectort,vectory,'b-p');<br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. y vs t');<br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores y');<br />Para Runge Kutta de 3er orden, un ejemplo de algoritmo sería el siguiente:<br />Metodo Runge-Kutta de 3erOrden<br />x=2; <br />y=1; <br />t=0; <br />tmax=3; <br />h=0.2;<br />iter=round((tmax-t)/h);<br />vectorx=x;<br />vectory=y;<br />vectort=t;<br />for i=1:iteraciones<br /> %calculo de las constantes de Runge-Kutta<br /> K1x=(t^2+x)*h; <br /> K1y=(-t^3)*h; <br /> <br /> <br /> K2x=((t+h/2)^2+(x+K1x/2))*h;<br /> K2y=(-(t+h/2)^3)*h; <br /> <br /> <br /> K3x=((t+h)^2+(x+2*K2x-K1x))*h; <br /> K3y=(-(t+h)^3)*h;<br /> <br /> <br /> x=x+(K1x+4*K2x+K3x)/6;<br /> y=y+(K1y+4*K2y+K3y)/6;<br /> t=t+h;<br /> <br /> vectorx=[vectorx x];<br /> vectory=[vectory y];<br /> vectort=[vectort t];<br />end<br />vectorx<br />vectory<br />vectort<br />subplot (1,2,1);<br />plot(vectort,vectorx,'y-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. x vs t'); <br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores x');<br />subplot (1,2,2);<br />plot(vectort,vectory,'b-p');<br />title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. y vs t'); <br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores y');<br />Ejercicios<br />Runge Kutta de 2do orden:<br />En un medio de cultivo a base de lactosa se comprobó que el crecimiento bacteriano se modela en base al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:<br />dydx=-2xy+5e-x<br />dzdx=(-2y*z2)/2<br />y(0)=2<br />z(0)=4<br />0≤x≤2<br />h= 0,01<br />Realice el estudio del crecimiento bacteriano en el cultivo empleando un h de 0,01.<br />Solución:<br />En las ecuaciones se observa que la variable x es independiente y que las variables y y z son dependientes, por tanto, a la variable x se le aplicará la siguiente ecuación:<br />x1 = xo + h = 0 + 0,01 = 0,01<br />Para poder conocer el valor de y,z es necesario hallar las respectivas k1 para cada variable:<br />k1y= h*F (x(o), y(o) , z(o))<br />k1y=0,01*(-2*0*2+5e-0)<br />k1y=0,05<br />k1z= h*G (x(o), y(o) , z(o))<br />k1y=0,01*(-2*2*42)/2<br />k1y=-0,32<br />x1=x(o)+ h Fxo+h2, y 0+k1y2, z 0+k1z2<br />0+0,012, 2+0,052, 4+-0,322<br />0.005, 2.025, 3.84<br />Entonces:<br />y(1)=y(o)+ h F 0.005, 2.025, 3.84<br />y(1)=2+ 0,01 -2*0.005*2.025+5*e-0.005<br />y(1)=2,049548124<br />Empleando el mismo procedimiento se hallan la otra variable independiente:<br />z=z(o)+ h G 0.005, 2.025, 3.84<br />z(1)=4+ 0,01 (-2.025*3.842)/2<br />z(1)=3,8507008<br />Entonces, la tabla de resultados para éste caso es:<br />Iter.XYz002410,012.0495481243.8507008<br />El algoritmo para éste caso es:<br />%Metodo Runge-Kutta de 2doOrden<br />x=0; <br />y=2; <br />z=4; <br />xmax=2; <br />h=0.01;<br />iter=round((xmax-x)/h);<br />vectorx=x;<br />vectory=y;<br />vectorz=z;<br />for i=1:iter<br /> %calculo de las constantes de Runge-Kutta<br /> K1y=(-2*y+5*exp(-x))*h;<br /> K1z=((-y*z^2)/2)*h;<br /> <br /> F1=(-2*(y+K1y/2)+5*exp(-(x+h/2)))*h;<br /> F2=((-(y+K1y/2)*(z+K1z/2)^2)/2)*h; <br /> <br /> x=x+h;<br /> y=y+F1;<br /> z=z+F2;<br /> <br /> vectorx=[vectorx x];<br /> vectory=[vectory y];<br /> vectorz=[vectorz z];<br />end<br />vectorx<br />vectory<br />vectorz<br />figure<br />subplot (1,2,1);<br />plot(vectorx,vectory,'y-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. x vs y'); <br />xlabel('valores x');<br />ylabel('valores y');<br />subplot (1,2,2);<br />plot(vectorx,vectory,'b-p');<br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. x vs z');<br />xlabel('valores x');<br />ylabel('valores z');<br />figure<br />plot(vectorx,vectory,'y-o'); <br />hold on <br />plot(vectorx,vectorz,'b-p');<br />xlabel('valores x');<br />ylabel('valores y,z');<br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden.soluciones del sistema de ecuaciones');<br />Y las soluciones del programa son:<br />vectorx =<br /> Columns 1 through 7 <br /> 0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600<br /> Columns 8 through 14 <br /> 0.0700 0.0800 0.0900 0.1000 0.1100 0.1200 0.1300<br /> Columns 15 through 21 <br /> 0.1400 0.1500 0.1600 0.1700 0.1800 0.1900 0.2000<br /> Columns 22 through 28 <br /> 0.2100 0.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.2600 0.2700<br /> Columns 29 through 35 <br /> 0.2800 0.2900 0.3000 0.3100 0.3200 0.3300 0.3400<br /> Columns 36 through 42 <br /> 0.3500 0.3600 0.3700 0.3800 0.3900 0.4000 0.4100<br /> Columns 43 through 49 <br /> 0.4200 0.4300 0.4400 0.4500 0.4600 0.4700 0.4800<br /> Columns 50 through 56 <br /> 0.4900 0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500<br /> Columns 57 through 63 <br /> 0.5600 0.5700 0.5800 0.5900 0.6000 0.6100 0.6200<br /> Columns 64 through 70 <br /> 0.6300 0.6400 0.6500 0.6600 0.6700 0.6800 0.6900<br /> Columns 71 through 77 <br /> 0.7000 0.7100 0.7200 0.7300 0.7400 0.7500 0.7600<br /> Columns 78 through 84 <br /> 0.7700 0.7800 0.7900 0.8000 0.8100 0.8200 0.8300<br /> Columns 85 through 91 <br /> 0.8400 0.8500 0.8600 0.8700 0.8800 0.8900 0.9000<br /> Columns 92 through 98 <br /> 0.9100 0.9200 0.9300 0.9400 0.9500 0.9600 0.9700<br /> Columns 99 through 105 <br /> 0.9800 0.9900 1.0000 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400<br /> Columns 106 through 112 <br /> 1.0500 1.0600 1.0700 1.0800 1.0900 1.1000 1.1100<br /> Columns 113 through 119 <br /> 1.1200 1.1300 1.1400 1.1500 1.1600 1.1700 1.1800<br /> Columns 120 through 126 <br /> 1.1900 1.2000 1.2100 1.2200 1.2300 1.2400 1.2500<br /> Columns 127 through 133 <br /> 1.2600 1.2700 1.2800 1.2900 1.3000 1.3100 1.3200<br /> Columns 134 through 140 <br /> 1.3300 1.3400 1.3500 1.3600 1.3700 1.3800 1.3900<br /> Columns 141 through 147 <br /> 1.4000 1.4100 1.4200 1.4300 1.4400 1.4500 1.4600<br /> Columns 148 through 154 <br /> 1.4700 1.4800 1.4900 1.5000 1.5100 1.5200 1.5300<br /> Columns 155 through 161 <br /> 1.5400 1.5500 1.5600 1.5700 1.5800 1.5900 1.6000<br /> Columns 162 through 168 <br /> 1.6100 1.6200 1.6300 1.6400 1.6500 1.6600 1.6700<br /> Columns 169 through 175 <br /> 1.6800 1.6900 1.7000 1.7100 1.7200 1.7300 1.7400<br /> Columns 176 through 182 <br /> 1.7500 1.7600 1.7700 1.7800 1.7900 1.8000 1.8100<br /> Columns 183 through 189 <br /> 1.8200 1.8300 1.8400 1.8500 1.8600 1.8700 1.8800<br /> Columns 190 through 196 <br /> 1.8900 1.9000 1.9100 1.9200 1.9300 1.9400 1.9500<br /> Columns 197 through 201 <br /> 1.9600 1.9700 1.9800 1.9900 2.0000<br />vectory =<br /> Columns 1 through 7 <br /> 2.0000 2.0097 2.0186 2.0269 2.0346 2.0416 2.0480<br /> Columns 8 through 14 <br /> 2.0539 2.0591 2.0638 2.0680 2.0716 2.0747 2.0773<br /> Columns 15 through 21 <br /> 2.0794 2.0811 2.0822 2.0830 2.0833 2.0832 2.0827<br /> Columns 22 through 28 <br /> 2.0817 2.0805 2.0788 2.0768 2.0744 2.0717 2.0686<br /> Columns 29 through 35 <br /> 2.0653 2.0616 2.0576 2.0534 2.0488 2.0440 2.0390<br /> Columns 36 through 42 <br /> 2.0336 2.0281 2.0223 2.0163 2.0100 2.0036 1.9969<br /> Columns 43 through 49 <br /> 1.9901 1.9830 1.9758 1.9684 1.9608 1.9531 1.9452<br /> Columns 50 through 56 <br /> 1.9372 1.9290 1.9207 1.9122 1.9036 1.8949 1.8861<br /> Columns 57 through 63 <br /> 1.8772 1.8681 1.8590 1.8498 1.8404 1.8310 1.8215<br /> Columns 64 through 70 <br /> 1.8120 1.8023 1.7926 1.7828 1.7730 1.7631 1.7531<br /> Columns 71 through 77 <br /> 1.7431 1.7330 1.7229 1.7128 1.7026 1.6924 1.6822<br /> Columns 78 through 84 <br /> 1.6719 1.6616 1.6513 1.6409 1.6306 1.6202 1.6098<br /> Columns 85 through 91 <br /> 1.5994 1.5890 1.5786 1.5682 1.5578 1.5473 1.5369<br /> Columns 92 through 98 <br /> 1.5265 1.5161 1.5057 1.4953 1.4850 1.4746 1.4643<br /> Columns 99 through 105 <br /> 1.4540 1.4437 1.4334 1.4231 1.4129 1.4027 1.3925<br /> Columns 106 through 112 <br /> 1.3823 1.3722 1.3621 1.3520 1.3419 1.3319 1.3220<br /> Columns 113 through 119 <br /> 1.3120 1.3021 1.2922 1.2824 1.2726 1.2628 1.2531<br /> Columns 120 through 126 <br /> 1.2434 1.2338 1.2242 1.2147 1.2051 1.1957 1.1863<br /> Columns 127 through 133 <br /> 1.1769 1.1675 1.1583 1.1490 1.1398 1.1307 1.1216<br /> Columns 134 through 140 <br /> 1.1125 1.1035 1.0946 1.0857 1.0768 1.0680 1.0593<br /> Columns 141 through 147 <br /> 1.0505 1.0419 1.0333 1.0247 1.0162 1.0078 0.9994<br /> Columns 148 through 154 <br /> 0.9910 0.9827 0.9745 0.9663 0.9581 0.9501 0.9420<br /> Columns 155 through 161 <br /> 0.9340 0.9261 0.9182 0.9104 0.9026 0.8949 0.8872<br /> Columns 162 through 168 <br /> 0.8796 0.8720 0.8645 0.8570 0.8496 0.8422 0.8349<br /> Columns 169 through 175 <br /> 0.8277 0.8205 0.8133 0.8062 0.7991 0.7921 0.7852<br /> Columns 176 through 182 <br /> 0.7783 0.7714 0.7646 0.7579 0.7512 0.7445 0.7379<br /> Columns 183 through 189 <br /> 0.7314 0.7249 0.7184 0.7120 0.7057 0.6994 0.6931<br /> Columns 190 through 196 <br /> 0.6869 0.6807 0.6746 0.6686 0.6625 0.6566 0.6506<br /> Columns 197 through 201 <br /> 0.6448 0.6389 0.6332 0.6274 0.6217<br />vectorz =<br /> Columns 1 through 7 <br /> 4.0000 3.8460 3.7027 3.5691 3.4444 3.3277 3.2183<br /> Columns 8 through 14 <br /> 3.1155 3.0189 2.9279 2.8420 2.7608 2.6840 2.6113<br /> Columns 15 through 21 <br /> 2.5424 2.4769 2.4147 2.3555 2.2991 2.2453 2.1941<br /> Columns 22 through 28 <br /> 2.1451 2.0983 2.0535 2.0106 1.9695 1.9301 1.8923<br /> Columns 29 through 35 <br /> 1.8560 1.8212 1.7876 1.7554 1.7244 1.6945 1.6657<br /> Columns 36 through 42 <br /> 1.6379 1.6111 1.5853 1.5603 1.5362 1.5129 1.4903<br /> Columns 43 through 49 <br /> 1.4685 1.4474 1.4270 1.4072 1.3880 1.3694 1.3513<br /> Columns 50 through 56 <br /> 1.3339 1.3169 1.3004 1.2844 1.2689 1.2537 1.2391<br /> Columns 57 through 63 <br /> 1.2248 1.2109 1.1974 1.1842 1.1715 1.1590 1.1469<br /> Columns 64 through 70 <br /> 1.1350 1.1235 1.1123 1.1013 1.0907 1.0802 1.0701<br /> Columns 71 through 77 <br /> 1.0602 1.0505 1.0410 1.0318 1.0228 1.0140 1.0054<br /> Columns 78 through 84 <br /> 0.9970 0.9888 0.9808 0.9729 0.9652 0.9577 0.9504<br /> Columns 85 through 91 <br /> 0.9432 0.9361 0.9292 0.9225 0.9159 0.9094 0.9031<br /> Columns 92 through 98 <br /> 0.8969 0.8908 0.8849 0.8790 0.8733 0.8677 0.8622<br /> Columns 99 through 105 <br /> 0.8568 0.8515 0.8463 0.8413 0.8363 0.8314 0.8266<br /> Columns 106 through 112 <br /> 0.8219 0.8172 0.8127 0.8082 0.8039 0.7996 0.7954<br /> Columns 113 through 119 <br /> 0.7912 0.7871 0.7831 0.7792 0.7754 0.7716 0.7678<br /> Columns 120 through 126 <br /> 0.7642 0.7606 0.7570 0.7536 0.7501 0.7468 0.7435<br /> Columns 127 through 133 <br /> 0.7402 0.7370 0.7339 0.7308 0.7277 0.7248 0.7218<br /> Columns 134 through 140 <br /> 0.7189 0.7161 0.7132 0.7105 0.7078 0.7051 0.7025<br /> Columns 141 through 147 <br /> 0.6999 0.6973 0.6948 0.6923 0.6899 0.6875 0.6851<br /> Columns 148 through 154 <br /> 0.6828 0.6805 0.6782 0.6760 0.6738 0.6717 0.6695<br /> Columns 155 through 161 <br /> 0.6674 0.6654 0.6633 0.6613 0.6594 0.6574 0.6555<br /> Columns 162 through 168 <br /> 0.6536 0.6517 0.6499 0.6481 0.6463 0.6445 0.6428<br /> Columns 169 through 175 <br /> 0.6411 0.6394 0.6377 0.6361 0.6345 0.6329 0.6313<br /> Columns 176 through 182 <br /> 0.6297 0.6282 0.6267 0.6252 0.6237 0.6223 0.6209<br /> Columns 183 through 189 <br /> 0.6194 0.6181 0.6167 0.6153 0.6140 0.6127 0.6114<br /> Columns 190 through 196 <br /> 0.6101 0.6088 0.6075 0.6063 0.6051 0.6039 0.6027<br /> Columns 197 through 201 <br /> 0.6015 0.6004 0.5992 0.5981 0.5970<br />Gráficamente las soluciones son:<br /> <br />Runge Kutta de 3er orden:<br />El caudal de una tubería de descarga de aguas residuales sufre modificaciones en el tiempo, lo cual está basado en las siguientes ecuaciones:<br /> <br />dwdt=w2+2V- V2<br /> dVdt=-w3+t2<br />w(0)=0<br />V(0)=2<br />0≤t≤3<br />h=0,3<br />Realice un estudio en el cual se observe gráficamente cómo es la modificación he dicho caudal si se emplea un intervalo de 0,3 horas.<br />Solución:<br />Para este caso, la variable independiente es t, por tanto:<br />t1 = to + h = 0 + 0,3 = 0,3<br />Para hallar el valor de V y W es necesario buscar los K1, K2 y K3 de cada variable con las siguientes ecuaciones:<br />k1w=hF*(ti,Vi,Wi)<br />k1w= 0,2*(02+22- 22)<br />k1w = -0,6<br />k1V=hG*(ti,Vi,Wi)<br />k1V= 0,2*(-03+02)<br />k1V = 0<br />k2W=hFt0+h2,w0+k1w2,V+k1V2<br />t0+h2,w0+k1w2,Vo+k1V2<br />0+0,32,0+-0,62,2+02<br />0.15,- 0.3, 2<br />k2w = 0,3*(-0,32+22- 22)<br />k2w =-0,927 <br />k2V= hG t0+h2,w0+k1w2,Vo+k1V2<br />k2V = 0,3*(-(-0,3)3+0,152)<br />k2V = 0,03375 <br />k3w=h*F(t0+h, w0 + 2k2w-k1w, V0 +2k2V –k1V)<br />(0+0.3, 0+2*(-0,927)- (-0,6), 2+2*0,03375-0)<br />(0.3, -1.254, 2.0675) <br />k3w= 0,3 * (-1.2542+22.0675- 2.06752)<br /> k3w= -1,463916<br />k3V=h*G(t0+h, w0 + 2k2w-k1w, V0 +2k2V –k1V)<br />(0+0.3, 0+2*(-0,927)- (-0,6), 2+2*0,03375-0)<br />(0.3, -1.254, 2.0675) <br />k3V= 0,3 * (-2.06753+0,32)<br /> k3V= -2,624294<br />Una vez halladas las respectivas k1, k2 y k3 por variable, se procederá a calcular las variables independientes:<br />w1 = w0 + (k1w+4*k2w+k3w)/6<br />w1 = 0 + (-0,6+ 4*(-0,927)+ (-1,463916)/6<br />w1=-0,961986<br />V1 = V0 + (k1V+4*k2V+k3V)/6<br />V1 = 2+ (0+ 4*0,03375+ (-2,624294))/6<br />V1=1,585118<br />Construyendo una tabla de resultados:<br />Iter.TWV000210,3-0,9619861,585118<br />El algoritmo en Matlab es:<br />%Metodo Runge-Kutta de 3erOrden<br />t=0; <br />w=0; <br />v=2; <br />tmax=3; <br />h=0.3; <br />iteraciones=round((tmax-t)/h);<br />vectorw=w;<br />vectorv=v;<br />vectort=t;<br />for i=1:iteraciones<br /> %calculo de las constantes de Runge-Kutta<br /> K1w=(w^2+2/v-v^2)*h; <br /> K1v=(-w^3+t^2)*h; <br /> <br /> K2w=((w+K1w/2)^2+(2/(v+K1v/2))-(v+K1v/2)^2)*h;<br /> K2v=(-(w+K1w/2)^3+(t+h/2)^2)*h; <br /> <br /> K3w=((w+2*K2w-K1w)^2+(2/(v+2*K2v-K1v))-(v+2*K2v-K1v)^2)*h; <br /> K3v=(-(w+2*K2w-K1w)^3+(t+h)^2)*h;<br /> <br /> w=w+(K1w+4*K2w+K3w)/6;<br /> v=v+(K1v+4*K2v+K3v)/6;<br /> t=t+h;<br /> <br /> vectorw=[vectorw w];<br /> vectorv=[vectorv v];<br /> vectort=[vectort t];<br />end<br />vectorw<br />vectorv<br />vectort<br />subplot (1,2,1);<br />plot(vectort,vectorw,'y-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. t vs w'); <br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores w');<br />subplot (1,2,2);<br />plot(vectort,vectorv,'b-p');<br />title('Metodo Runge-Kutta 3erOrden. t vs v'); <br />xlabel('valores t');<br />ylabel('valores v');<br />Las soluciones Gráficas son:<br />CONCLUCION<br />La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, es que el métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sea más simple que el uso de la serie de Taylor. <br />Este método es útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables).<br />El algoritmo de Runge-Kutta es bastante simple, pero para describir con precisión.<br />Método de Runge-Kutta es un método más general e improvisada en comparación con la del método de Euler.<br />BIBLOGRAFIA<br />http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta<br />http://www.scribd.com/doc/23245062/Metodo-de-Runge-Kutta<br />www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/.../r45643.DOC<br />John C. Butcher (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias.<br />http://mathworld.wolfram.com/Runge-KuttaMethod.html<br />