El documento describe el método de Euler hacia adelante y el método predictor-corrector para resolver ecuaciones diferenciales. El método de Euler calcula iterativamente cada paso agregando el cambio estimado, mientras que el método predictor-corrector mejora la estimación usando dos derivadas, una al inicio y otra al final del intervalo. El documento presenta un ejemplo numérico resolviendo una ecuación diferencial específica y comparando los resultados de los métodos con la solución exacta.

1. TEMA:
MÉTODO DE EULER HACIA ADELANTE
MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
M.C. RAÚL DEL ÁNGEL SANTOS SERENA

2. Método de Euler hacia adelante:
El método de Euler hacia adelante para la ecuación y’=f(y,t) se obtiene reescribiendo la
aproximación por diferencias hacia adelante.
𝑦 𝑛+1 − 𝑦 𝑛
ℎ
≃ 𝑦 𝑛
′
𝐸𝑐. 1
como
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ𝑓(𝑦 𝑛, 𝑡 𝑛) 𝐸𝑐. 2
Donde se usa 𝑦 𝑛
′
= 𝑓( 𝑦 𝑛, 𝑡 𝑛). Mediante la Ec. 2, se calcula 𝑦 𝑛 en forma recursiva como
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑦0
′
= 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑦0, 𝑡0)
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑦1, 𝑡1)
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓(𝑦2, 𝑡2)
.
.
.
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛−1 + ℎ𝑓(𝑦 𝑛−1, 𝑡 𝑛−1)
Problema 1:
a) Resuelva el siguiente problema en 0 ≤ t ≤ mediante el método predictor-corrector o
Euler modificado con h=0.01 y h=0.01 (escriba su propio script ya sea en OCTAVE
o EXCEL). Evalúe los errores resultantes (en forma gráfica y tabulada) usando la
solución exacta proporcionada en la tabla mostrada abajo:
𝑦′′
− 0.01( 𝑦′)2
+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑡), 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1
Tabla 1.- Datos Solución Exacta
Datos solución exacta
t y
0 0.0000
1 0.8450
2 0.9135
3 0.1412
4 -0.7540
5 -0.9589

3. SOLUCIÓN 1:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
− 0.01 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)
Según el método de Euler y’=f(y,t)
𝑦′
= 𝑓(𝑡, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑣
Por lo que:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
− 0.01 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
( 𝑣)2
Tenemos:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
− 0.01( 𝑣)2
+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑠𝑒𝑛( 𝑡) + 0.01( 𝑣)2
− 2𝑦
𝒚 𝒏+𝟏 = 𝒚 𝒏 + 𝒉𝒇(𝒚 𝒏, 𝒕 𝒏) 𝑬𝒄. 𝟐
Sustituyendo:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖, 𝑣𝑖)
𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 + ℎ𝑔(𝑡𝑖, 𝑦𝑖, 𝑣𝑖)
para y(0)=0 ; y’(0)=1 ;
para condiciones cambiaremos la variable y por v
y(0)=0 , Vo = 1 , to = 0
para h=0.1
i=0
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓( 𝑡0, 𝑦0, 𝑣0)

4. 𝑉1 = 𝑉0 + ℎ𝑔( 𝑡0, 𝑦0, 𝑣0)
𝑡1 = 𝑡0 + ℎ
i=1
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓( 𝑡1, 𝑦1, 𝑣1)
𝑉2 = 𝑉1 + ℎ𝑔( 𝑡1, 𝑦1, 𝑣1)
𝑡2 = 𝑡1 + ℎ
i=2
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓( 𝑡2, 𝑦2, 𝑣2)
𝑉3 = 𝑉2 + ℎ𝑔( 𝑡2, 𝑦2, 𝑣2)
𝑡3 = 𝑡2 + ℎ
.
.
.
i=50
𝑦50 = 𝑦49 + ℎ𝑓( 𝑡49, 𝑦49, 𝑣49)
𝑉50 = 𝑉49 + ℎ𝑔( 𝑡49, 𝑦49, 𝑣49)
𝑡50 = 𝑡49 + ℎ

5. Utilizando Excel para hacer los cálculos tenemos que:
h= 0.1
n=0 y0 0 v0 1 t0 0
n=1 y1 0.1 v1 1.001 t1 0.1
n=2 y2 0.2001 v2 0.99198534 t2 0.2
n=3 y3 0.299298534 v3 0.97281631 t3 0.3
n=4 y4 0.396580165 v4 0.943455 t4 0.4
n=5 y5 0.490925665 v5 0.9039709 t5 0.5
n=6 y6 0.581322755 v6 0.85454549 t6 0.6
n=7 y7 0.666777304 v7 0.79547543 t7 0.7
n=8 y8 0.746324848 v8 0.72717452 t8 0.8
n=9 y9 0.8190423 v9 0.65017394 t9 0.9
n=10 y10 0.884059694 v10 0.5651209 t10 1
n=11 y11 0.940571784 v11 0.47277542 t11 1.1
n=12 y12 0.987849327 v12 0.37400532 t12 1.2
n=13 y13 1.025249859 v13 0.26977924 t13 1.3
n=14 y14 1.052227783 v14 0.16115787 t14 1.4
n=15 y15 1.06834357 v15 0.04928326 t15 1.5
n=16 y16 1.073271895 v16 -0.06463353 t16 1.6
n=17 y17 1.066808543 v17 -0.17932637 t17 1.7
n=18 y18 1.048875906 v18 -0.29348944 t18 1.8
n=19 y19 1.019526962 v19 -0.40579372 t19 1.9
n=20 y20 0.97894759 v20 -0.51490444 t20 2
n=21 y21 0.927457146 v21 -0.61949909 t21 2.1
n=22 y22 0.865507237 v22 -0.7182858 t22 2.2
n=23 y23 0.793678658 v23 -0.81002167 t23 2.3
n=24 y24 0.71267649 v24 -0.89353075 t24 2.4
n=25 y25 0.623323416 v25 -0.96772133 t25 2.5
n=26 y26 0.526551283 v26 -1.03160231 t26 2.6
n=27 y27 0.423391052 v27 -1.08429823 t27 2.7
n=28 y28 0.314961229 v28 -1.12506275 t28 2.8
n=29 y29 0.202454954 v29 -1.15329041 t29 2.9
n=30 y30 0.087125912 v30 -1.16852639 t30 3
n=31 y31 -0.029726727 v31 -1.17047412 t31 3.1
n=32 y32 -0.146774139 v32 -1.1590007 t32 3.2
n=33 y33 -0.262674209 v33 -1.13414 t33 3.3
n=34 y34 -0.376088209 v34 -1.09609346 t34 3.4
n=35 y35 -0.485697555 v35 -1.0452285 t35 3.5
n=36 y36 -0.590220405 v36 -0.98207481 t36 3.6
n=37 y37 -0.688427887 v37 -0.90731831 t37 3.7
n=38 y38 -0.779159717 v38 -0.82179312 t38 3.8
n=39 y39 -0.861339029 v39 -0.72647162 t39 3.9
n=40 y40 -0.933986191 v40 -0.62245267 t40 4
n=41 y41 -0.996231457 v41 -0.51094823 t41 4.1
n=42 y42 -1.047326281 v42 -0.39326858 t42 4.2
n=43 y43 -1.086653139 v43 -0.27080624 t43 4.3
n=44 y44 -1.113733763 v44 -0.14501887 t44 4.4
n=45 y45 -1.128235651 v45 -0.0174113 t45 4.5
n=46 y46 -1.12997678 v46 0.11048312 t46 4.6
n=47 y47 -1.118928468 v47 0.23712159 t47 4.7
n=48 y48 -1.095216309 v48 0.36097118 t48 4.8
n=49 y49 -1.059119191 v49 0.48052828 t49 4.9
n=50 y50 -1.011066363 v50 0.59433777 t50 5

6. Tabla 2.- Resultados del Método de Euler h=0.1
h= 0.1
n=10 y10 0.884059694 v10 0.5651209 t10 1
n=20 y20 0.97894759 v20 -
0.51490444
t20 2
n=30 y30 0.087125912 v30 -
1.16852639
t30 3
n=40 y40 -0.933986191 v40 -
0.62245267
t40 4
n=50 y50 -1.011066363 v50 0.59433777 t50 5

7. A continuación se utiliza el método de Heun para mejorar la estimación de la pendiente
emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (una en el punto inicial y otra en
el final). Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor
estimación de la pendiente en todo el intervalo.
El método de Euler, la pendiente al inicio de un intervalo:
𝑦𝑖
′
= 𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
Se utiliza para extrapolar linealmente a 𝑦𝑖+1
𝑦𝑖
0
= 𝑦𝑖 + 𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖)ℎ
En el método estándar de Euler se debería para aquí. Sin embargo, en el método de Heun
la y0
i+1
calculada en la ecuación para extrapolar, no es la respuesta final, sino una
predicción intermedia. Por consiguiente, la distinguimos con un superíndice 0. La ecuación
se llama predictora o simplemente predictor. Da una estimación de yi+1 que permite el
calculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo:
𝑦𝑖
′
= 𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖+1
0 )
Asi, se combinan las dos pendientes para obtener una pendiente promedio en el intervalo:
𝑦̅′
=
𝑦𝑖
′
+ 𝑦𝑖+1
′
2
=
𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖+1
0 )
2
Está pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente de yi hasta yi+1 con
el método de Euler:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +
𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖+1
0 )
2
ℎ
Que se conoce como ecuación correctora o simplemente corrector.
El método de Heun es un procedimiento predictor- corrector y es el único método predictor-
corrector de un solo paso.

8. Tabla 3.- Resultados del método predictor corrector:
h= 0.1
n=0 y0 0 v0 1 t0 0
n=10 y10 0.845584364 v10 0.54209364 t10 1
n=20 y20 0.910073442 v20 -
0.42445065
t20 2
n=30 y30 0.135423922 v30 -
0.98803585
t30 3
n=40 y40 -0.753308862 v40 -
0.63772151
t40 4
n=50 y50 -0.945314989 v50 0.28510349 t50 5
Una vez que tenemos los resultados estos se comparan con la solución analítica y se
calcula el error para cada uno:
Tabla 4.- comparativa en h=0.01
Solución Analítica Método de Euler Método Predictor-Corrector
t y y %error y %error
0 0 0 0
1 0.845 0.884059694 4.622448994 0.845584364 0.06915556
2 0.9135 0.97894759 7.164487137 0.910073442 0.37510218
3 0.1412 0.087125912 38.29609632 0.135423922 4.090706776
4 -0.754 -0.933986191 23.87084761 -0.753308862 0.09166291
5 -0.9589 -1.011066363 5.440229742 -0.945314989 1.416728629

9. Grafica comparativa de Solución Analítica, Método de Euler y Método Predictor-Corrector
En esta Grafica se puede apreciar como los datos obtenidos en el cálculo del método de
Euler se alejan de los datos de solución analítica, al realizar el cálculo ahora con el método
predictor corrector o Euler modificado los datos en color rojo se aproximan a la solución
analítica lo que mejora la calidad del resultado y se puede ver como disminuye el porcentaje
de error en la tabla comparativa de h=0.1
Grafica comparativa de Error Solución Analítica VS Método de Euler, Método Predictor-Corrector
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6
Y
T
solucion analitica Met Euler Met Predictor Corrector
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
%ERROR
T
% Error Metodo Euler % Error Met Predictor-Corrector

10. =====================================================================
=====================================================================
Para h=0.01 utilizando EXCEL
Se utilizan las mismas ecuaciones, pero el h=0.01 lo que cambia el número de ecuaciones
a 500.
Tabla 5.- Resultados para el método de Euler para h=0.01
h= 0.01
n=0 y0 0 v0 1 t0 0
n=100 y100 0.848907175 v100 0.54640051 t100 1
n=200 y200 0.919050251 v200 -0.42930104 t200 2
n=300 y300 0.135859043 v300 -1.00646262 t300 3
n=400 y400 -0.768861862 v400 -0.64558539 t400 4
n=500 y500 -0.958575583 v500 0.30591213 t500 5

11. Utilizando el método predictor-corrector:
Tabla 6.- Resultados para el método predictor-corrector para h=0.01:
h= 0.01
n=0 y0 0 v0 1 t0 0
n=100 y100 0.845036469 v100 0.54486419 t100 1
n=200 y200 0.913436687 v200 -0.41998637 t200 2
n=300 y300 0.141185689 v300 -0.99136684 t300 3
n=400 y400 -0.75394833 v400 -0.64866061 t400 4
n=500 y500 -0.954300033 v500 0.28098466 t500 5
Una vez que tenemos los resultados estos se comparan con la solución analítica y se
calcula el error para cada uno:
Tabla 7.- comparativa en h=0.01
Solución Analítica Método de Euler Método Predictor-Corrector
t y y %error y %error
0 0 0 0 0 0
1 0.845 0.848907175 0.462387575 0.845036469 0.004315818
2 0.9135 0.919050251 0.607580829 0.913436687 0.006930804
3 0.1412 0.135859043 3.782547115 0.141185689 0.010135405
4 -0.754 -0.768861862 1.971069283 -0.75394833 0.006852807
5 -0.9589 -0.958575583 0.033832172 -0.954300033 0.479712929

12. Gráfica comparativa de Solución Analítica, Método de Euler y Método Predictor-Corrector
En esta Grafica se puede apreciar como los datos obtenidos en el cálculo del método de
Euler a h=0.01 los datos calculados tienen una mejor aproximación a los de la solución
analítica, al realizar el cálculo ahora con el método predictor corrector o Euler modificado
los datos en color rojo se aproximan se observa una disminución en el porcentaje de error
sin embargo el método de Euler sencillo es suficientemente bueno. aun así, el método
predictor-corrector disminuye el porcentaje de error como se puede ver en la sig. Grafica:
Gráfica comparativa de Error Solución Analítica VS Método de Euler, Método Predictor-Corrector
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6
Y
T
solucion analitica Met Euler Met Predictor Corrector
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
%ERROR
T
% Error Metodo Euler % Error Met Predictor-Corrector

13. =====================================================================
=====================================================================
Problema 2:
b) Resuelva el siguiente problema en 0≤ t ≤ 5 mediante el método de diferencias finitas
con h=0.1 y h=0.01 (escriba su propio script ya sea en OCTAVE o EXCEL). evalúe
los errores resultantes (en forma gráfica y tabulada) usando la solución exacta
proporcionada en la tabla mostrada abajo:
𝑦′′
− 2𝑡𝑦′ + 𝑡𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0
Tabla 8.- Datos Solución Exacta
Datos solución exacta
t y
0 1.0000
1 0.8773
2 0.5372
3 0.3042
4 0.1763
5 0.1035
Método de Diferencias Finitas:
El método de diferencias finitas reemplaza las derivadas en las ecuaciones diferenciales
con aproximaciones de diferencias finitas en cada punto en el intervalo de integración. Esto
convirtiendo las ecuaciones diferencias a un conjunto largo de ecuaciones simultaneas no
lineales. Para usar este método antes se debe tener el conjunto de dos ecuaciones
diferenciales:
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= 𝑓1(𝑥, 𝑦1, 𝑦2)
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 𝑓2(𝑥, 𝑦1, 𝑦2)
Condiciones fronteras:
𝑦1(𝑥0) = 𝑦1,0
𝑦2(𝑥𝑓) = 𝑦2,𝑓
A Continuación, expresamos las derivadas de y en términos de diferenciales finitas hacia
adelante:

14. 𝑑𝑦1,𝑖
𝑑𝑥
=
1
ℎ
(𝑦1,𝑖+1 − 𝑦1,𝑖) + 𝑂(ℎ)
𝑑𝑦2,𝑖
𝑑𝑥
=
1
ℎ
(𝑦2,𝑖+1 − 𝑦2,𝑖) + 𝑂(ℎ)
Al combinar las ecuaciones obtenemos:
𝑦1,𝑖+1 − 𝑦1,𝑖 = ℎ𝑓1(𝑥, 𝑦1,𝑖, 𝑦2,𝑖)
𝑦2,𝑖+1 − 𝑦2,𝑖 = ℎ𝑓2(𝑥, 𝑦1,𝑖, 𝑦2,𝑖)
Se divide el intervalo de integración en n segmentos de igual longitud. Estas forman un
conjunto de 2n de ecuaciones algebraicas simultaneas no lineales in (2n+2) variables.
SOLUCIÓN 2:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑣
Por lo que:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑦 = 0
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣
Tenemos:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 2𝑣 + 𝑡𝑦 = 0
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 2𝑣 − 𝑡𝑦
𝑦0 = 1

15. 𝑦′(0) = 1 𝑝𝑜𝑟 𝑣 𝑜 = 0
𝑦1 = 𝑦
𝑦2 = 𝑣
Dicho esto, partimos de las siguientes ecuaciones:
𝑦1,𝑖+1 − 𝑦1,𝑖 = ℎ𝑓1(𝑥, 𝑦1,𝑖, 𝑦2,𝑖)
𝑦2,𝑖+1 − 𝑦2,𝑖 = ℎ𝑓2(𝑥, 𝑦1,𝑖, 𝑦2,𝑖)
sustituyendo
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = ℎ𝑓1(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑣𝑖)
𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖 = ℎ𝑓2(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑣𝑖)
Lo que nos queda las ecuaciones generales para 𝑦𝑖+1 , 𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖 ∶
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = ℎ𝑣𝑖
𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖 = ℎ(−2𝑡𝑖 𝑣𝑖 − 𝑡𝑖 𝑦𝑖)
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 − ℎ𝑣𝑖 = 0
𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖 + ℎ(2𝑡𝑖 𝑣𝑖 + 𝑡𝑖 𝑦𝑖) = 0
Reordenando
−𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 − 0.1𝑣𝑖 = 0
𝑡𝑖ℎ𝑦𝑖 + (0.2𝑡𝑖 − 1) 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖+1 = 0
Para calcular el número de ecuaciones lineales que tenemos que evaluar depende
directamente de h, entonces tenemos que 𝑛 =
5−0
0.1
= 50.
para h=0.1
i=0
−𝑦0 + 𝑦1 − 0.1𝑣0 = 0
𝑡0ℎ𝑦0 + (0.2𝑡0 − 1) 𝑣0 + 𝑣1 = 0
i=1
−𝑦1 + 𝑦2 − 0.1𝑣1 = 0
𝑡1ℎ𝑦1 + (0.2𝑡1 − 1) 𝑣1 + 𝑣2 = 0
i=2
−𝑦2 + 𝑦3 − 0.1𝑣2 = 0
𝑡2ℎ𝑦2 + (0.2𝑡2 − 1) 𝑣2 + 𝑣3 = 0
.
.
.

16. i=50
−𝑦49 + 𝑦50 − 0.1𝑣49 = 0
𝑡49ℎ𝑦49 + (0.2𝑡49 − 1) 𝑣49 + 𝑣50 = 0
Para las ecuaciones en Excel se debe despejar yi, vi en cada sistema de ecuaciones:
i=0
𝑦1 = 𝑦0 + 0.1𝑣0
𝑣1 = −𝑡0ℎ𝑦0 − (0.2𝑡0 − 1) 𝑣0
i=1
𝑦2 = 𝑦1 + 0.1𝑣1
𝑣2 = −𝑡1ℎ𝑦1 − (0.2𝑡1 − 1) 𝑣1
i=2
𝑦3 = 𝑦2 + 0.1𝑣2
𝑣3 = −𝑡2ℎ𝑦2 − (0.2𝑡2 − 1) 𝑣2
.
.
.
i=50
𝑦50 = 𝑦49 + 0.1𝑣49
𝑣50 = −𝑡49ℎ𝑦49 − (0.2𝑡49 − 1) 𝑣49

17. Tabla 9.- Resultados Excel:
h= 0.1
n=0 y0 1 v0 0 t0 0
n=10 y10 0.902098948 v10 -0.29682009 t10 1
n=20 y20 0.549174664 v20 -0.3196121 t20 2
n=30 y30 0.304368553 v30 -0.16911719 t30 3
n=40 y40 0.17357083 v40 -0.09328823 t40 4
n=50 y50 0.10036476 v50 -0.05304868 t50 5
Gráfica comparativa de Solución Analítica vs Diferencias Finitas h=0.1
Gráfica comparativa de Error Dif. Finitas h=0.1 VS Dif. Finitas h=0.01
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
Y
T
solucion analitica Dif Finitas h=0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
%ERROR
T
% Error Dif finitas h=0.1 % Error Dif Finitas h=0.01

18. Con la finalidad de comprobar los resultados calculados en la hoja de EXCEL, se procede
a utilizar un código en MATLAB el cual se detalla a continuación:
Código en MATLAB
display ('--------------------------------------------------------------------')
display ('| MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS HACIA ADELANTE |')
display ('____________________________________________________________________')
display ('--------------------------------------------------------------------')
t(1) = 0;
y(1) = 1.0;
v(1) = 0;
h = 0.1;
%Matriz b y A
b = zeros(100,1);
A = zeros(100,102);
for i=2:51
t(i) = 0.1*(i-1);
end
A(1,1) = -1.0;
A(1,2) = -0.1;
A(1,3) = 1.0;
for i=1:49
A(2*i,2*i-1) = t(i)*h;
A(2*i,2*i) = 0.2*t(i)-1;
A(2*i,2*i+2) = 1.0;
A(2*i+1,2*i+1) = -1.0;
A(2*i+1,2*i+2) = -0.1;
A(2*i+1,2*i+3) = 1.0;
end
A(100,99) = t(50)*0.1;
A(100,100) = 0.2*t(50)-1.0;
A(100,102) = 1.0;
b(1,1) = +1.0;
for i=1:100
k = 1;
for j=3:102
C(i,k) = A(i,j);
k = k + 1;
end
end
x=Cb;
fprintf('h=0.1 n')
fprintf(' RESULTADOS n')
fprintf(' ----------------------------------n');
fprintf(' t v y n');
fprintf(' ----------------------------------n');
fprintf('t %f t %f t %f n',t(1),U(1),y(1));
for i = 1:50
if i==10 || i==20 || i==30 || i==40 || i==50
fprintf('t %f t %f t %f n',t(i+1),x(2*i),x(2*i-1));
end
end
fprintf(' ----------------------------------n');

19. Resultados:
=====================================================================
=====================================================================
Para h=0.01

20. Tabla 10.- Resultados para h=0.01
h= 0.01
n=0 y0 1 v0 0 t0 0
n=100 y100 0.879660827 v100 -0.29595304 t100 1
n=200 y200 0.538285385 v200 -0.30846701 t200 2
n=300 y300 0.304220554 v300 -0.16913259 t300 3
n=400 y400 0.176024203 v400 -0.09463475 t400 4
n=500 y500 0.103178973 v500 -0.05454194 t500 5
Gráfica comparativa de Solución Analítica vs Diferencias Finitas h=0.01
Gráfica comparativa de Error Dif. Finitas h=0.1 VS Dif. Finitas h=0.01
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
Y
T
solucion analitica Dif Finitas h=0.01
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
%ERROR
T
% Error Dif finitas h=0.1 % Error Dif Finitas h=0.01

21. Con la finalidad de comprobar los resultados calculados en la hoja de EXCEL, se procede
a utilizar un código en MATLAB el cual se detalla a continuación:
Código en MATLAB
display ('____________________________________________________________________')
display ('--------------------------------------------------------------------')
display ('| MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS HACIA ADELANTE |')
display ('____________________________________________________________________')
display ('--------------------------------------------------------------------')
t(1) = 0;
y(1) = 1.0;
v(1) = 0;
h = 0.01;
%Matriz b y A
b = zeros(1000,1);
A = zeros(1000,1002);
for i=2:501
t(i) = h*(i-1);
end
A(1,1) = -1.0;
A(1,2) = -0.01;
A(1,3) = 1.0;
for i=1:499
A(2*i,2*i-1) = t(i)*h;
A(2*i,2*i) = 2*h*t(i)-1;
A(2*i,2*i+2) = 1.0;
A(2*i+1,2*i+1) = -1.0;
A(2*i+1,2*i+2) = -0.01;
A(2*i+1,2*i+3) = 1.0;
end
A(1000,999) = t(500)*h;
A(1000,1000) = 2*h*t(500)-1.0;
A(1000,1002) = 1.0;
b(1,1) = +1.0;
for i=1:1000
k = 1;
for j=3:1002
C(i,k) = A(i,j);
k = k + 1;
end
end
x=Cb;
fprintf('h=0.01 n')
fprintf(' RESULTADOS n')
fprintf(' ----------------------------------n');
fprintf(' t v y n');
fprintf(' ----------------------------------n');
fprintf('t %f t %f t %f n',t(1),U(1),y(1));
for i = 1:500
if i==100 || i==200 || i==300 || i==400 || i==500
fprintf('t %f t %f t %f n',t(i+1),x(2*i),x(2*i-1));
end
end

22. fprintf(' ----------------------------------n');
Resultados:

23. CONCLUSIONES:
• El método de Euler hacia adelante es un método que nos proporciona un algoritmo
para obtener una aproximación a una solución de una ecuación la cual genera un
menor porcentaje de error al aumentar el número de intervalos.
• También se puede aplicar el método de Euler de forma lineal y aplicar un método
predictor-corrector el cual mejora la aproximación de los datos calculados.
• Las diferencias finitas hacia adelante proporcionan de igual forma una aproximación
al cálculo de solución de ecuaciones diferenciales y al aplicar en h=0.1 y h=0.01
mejora la aproximación que podemos notar en las gráficas de comparación de
resultados.
BIBLIOGRAFIA:
1. Shoichiro Nakamura . Métodos numéricos aplicados con software Ed. Pearson
2. Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Métodos numéricos para ingenieros
(Séptima edición) Ed. McGraw-Hill.
3. Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Dominguez Sanchez. Métodos numéricos
aplicados a la ingenieria (Cuarta edición.). Ed. Patria.
4. Alkis Constantinides & Navid Mostoufi. Numerical Methods for Chemical Engineers
with MATLAB Applications. Ed. Prentice Hall