Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de forma analítica y numérica. Explica que las EDOs involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a una variable independiente. También describe los métodos de Euler y Heun para resolver EDOs numéricamente de forma aproximada mediante pequeños pasos iterativos.

1. Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Solución Numérica

2. Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran
variables dependientes y sus derivadas con respecto
a las variables independientes son llamadas
ecuaciones diferenciales .
Ecuacion Diferencial Ordinaria :ecuaciones
diferenciales que involucran solamente UNA
variable independiente son llamadas ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Ecuación Diferencial Parcial :
: ecuaciones
diferenciales que involucran dos o mas variables
independiente son llamadas ecuaciones diferenciales
parciales.
EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria

3. Soluciones de EDOs Analítica y
Numérica
Resolver la EDO para encontrar
una familia de soluciones.
Elije la solución que satisface
las condiciones iniciales
correctas. Encuentra una
fórmula analítica parar y(t)
Empieza con las condic. iniciales
Resuelve para pequeños tamaños
de paso (t).
Resuelve aprox. en cada t
Encuentra pares de puntos: (t0,y0),
(t1,y1), …
y(0)=b
t
y
t0, y0
t1, y1
t2, y2
t3, y3
t t t
y
t
Método de Solución Analítica Método de Solución Numérica

4.  La solución analítica de la ecuación diferencial
ordinaria así como ecuaciones diferenciales
parciales se llama la " solución de la forma cerrada”
 Esta solución requiere que las constantes de la
integración estén evaluadas usando valores
prescritos de variable(s) independiente(s).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
 En el mejor de los casos, solamente algunas
ecuaciones diferenciales se puede solucionar
analíticamente en una forma cerrada.
 En la mayoría de los problemas prácticos de la
ingeniería que implican ecuaciones diferenciales
requieren el uso de métodos numéricos.

6. Metodos de un solo paso
 El objetivo consiste en solucionar una EDO en
forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir
de un punto anterior
y
x
yi
h
yi+1
xi xi+1
y(x)
(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)

7. Método de Taylor de orden “k”
 
 
 
b
a
x
y
x
y
y
x
f
y
,
,
0
0




Sea una EDO de primer orden:
Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la
EDO, haciendo:
  i
i y
x
y '
' 

8. Método de Taylor de orden “k”
Podemos plantear el algoritmo siguiente:
 
k
i
k
i
i
i
i
i
i
i
y
k
h
y
h
y
h
y
h
y
y
h
x
x
i
Para
h
y
y
x
Dado
!
'
'
'
!
3
'
'
!
2
'
,
3
,
2
,
1
,
:
3
2
1
1
0
0













Siendo E el error de truncamiento.
 
 
  1
1
1
!
1






 i
i
k
k
x
x
y
k
h
E 


9. Método de Taylor de orden “k”
Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando
Taylor de orden 3
Solución
 
  1
0
1
2
1
' 2



y
y
x
y
 
     '
'
1
'
1
'
2
'
'
'
'
1
2
1
'
'
2
2
yy
x
y
x
yy
y
yy
x
y
y









10. Método de Taylor de orden “k”
'
'
'
6
'
'
2
'
4
...,
,
0
1
0
3
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n
y
h
y
h
hy
y
y
h
x
x
n
para
y
x












11. Método de Taylor de orden “k”
  2
2
4
4
:
x
x
x
y
Exacto




12. Método de Taylor de orden “k”

13. Metodo de Euler
 Permite resolver una EDO de primer orden de la
forma:
Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)
y
x
yi
h
yi+1
 
  0
0
,
y
x
y
y
x
f
dx
dy


 
 
n
n
n
n
n
n
y
x
hf
y
y
h
x
x
n
Para
h
y
y
x
Dado
,
,
2
,
1
,
0
,
1
1
0
0








xi xi+1

14. Metodo de Euler
 La primera derivada proporciona un estimado
directo de la pendiente en xi
 La ecuación es aplicada iterativamente, un paso
a la vez, sobre una distancia pequeña para
reducir el error
 Por esto se conoce como método de un solo
paso.

15. EJEMPL0
2
4
=
dy
x
dx
Para la condición inicial y(1)=1, determine y para
h = 0.1 analíticamente y usando el método de
Euler:

16.  
2
3
3
dy
4x
dx
I.C. y 1 at x 1
4
y x C
3
1
C
3
4 1
y x
3 3
y 1.1 1.44133

 
 
 
 


17.        
       
2
i 1 i
2
2
dy
4x
dx
y y h
y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4
Note :
y 1.1 y 1 4 1 0.1


  
 
  
 
 
 
 
dy/dx
C.I.. Tamaño del
paso
Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si
reducimos el tamaño del paso a 0,05 y
aplicamos Euler dos veces

18. Recordar la solución analítica es 1.4413
   
       
2
2
y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2
y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205
 
     
 
 
   
 
Obtenemos:

19. Análisis del Error -Método de
Euler
Error de truncación - causado por la naturaleza
de la técnica empleada para aproximar los valores
de y
 Error local de truncación (a partir de la Serie de
Taylor)
 Propagación del error de truncación
 Suma de los dos es el error global
Error de Redondeo – causado por el numero
limitados de dígitos significativos que pueden ser
retenidos por computadora o calculadora

20. Método de Euler – Ejemplo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
Exact
Numerical
y
t
e
y 

1
solución Analítica
 
1
.
0
0
0
1
'





h
y
y
y

21. Método de Euler – Ejemplo
n tn yn fn= - yn+1 yn+1= yn+t fn
0 0 0.000 1.000 0.100
1 0.1 0.100 0.900 0.190
2 0.2 0.190 0.810 0.271
3 0.3 0.271 0.729 0.344
4 0.4 0.344 0.656 0.410
5 0.5 0.410 0.590 0.469
6 0.6 0.469 0.531 0.522
7 0.7 0.522 0.478 0.570
8 0.8 0.570 0.430 0.613
9 0.9 0.613 0.387 0.651

22. Método de Euler Mejorado o
Heun
 Un error fundamental en el método de Euler es
que se asume la derivada en el principio del
intervalo para aplicarse a través de todo el
intervalo.
 Una simple modificación será demostrada.
 Esta modificación pertenece realmente a una clase
más grande de las técnicas de solución llamadas
Runge-Kutta que exploremos más adelante.

23. Método de Heun
Considere la siguiente expansión de Taylor:
Aproxime f’ con una diferencia progresiva
 
   
i 1 i 1 i i
i i
f x ,y f x ,y
' x ,
f y
h
  


24. Substituyendo en la expansión
2
i 1 i i 1 i
i 1 i i i
f f h f f
y y f h y h
h 2 2
 

 
   
    
   
   
Método de Heun

25. Determine las derivadas para el intervalo
 Punto inicial
 Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto
inicial)
Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la
pendiente para el intervalo completo
Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.
Método de Heun

26. y
xi xi+1
Evaluar la pendiente en xi
La proyección consigue f(xi+1 )
Basado en el tamaño del paso h
h

27. y
xi xi+1
h

28. y
xi xi+1
Ahora determine la pendiente
en xi+1

29. y
xi xi+1
Tomar los promedios de estas
dos pendientes

30. y
xi xi+1

31. y
xi xi+1
Use esta pendiente
“promedio” para predecir
yi+1
   h
y
x
f
y
x
f
y
y i
i
i
i
i
i
2
,
, 1
1
1





 {

32. y
xi xi+1
   h
y
x
f
y
x
f
y
y i
i
i
i
i
i
2
,
, 1
1
1






{
Use esta pendiente
“promedio” para predecir
yi+1

33. y
xi xi+1
y
x
xi xi+1
   h
y
x
f
y
x
f
y
y i
i
i
i
i
i
2
,
, 1
1
1







34. y
x
xi xi+1
   h
y
x
f
y
x
f
y
y i
i
i
i
i
i
2
,
, 1
1
1






h
y
y i
i 


1

35. Metodo de Euler Mejorado
(Heun)
 Permite resolver una EDO de primer orden de la
forma:
 
  0
0
,
y
x
y
y
x
f
dx
dy


 
 
   
2
,
,
,
,
2
,
1
,
0
,
1
*
1
1
1
*
1
0
0













n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
f
y
x
f
h
y
y
y
x
hf
y
y
h
x
x
n
Para
h
y
y
x
Dado


36. Metodo de Euler Mejorado
(Heun)
Ejemplo
 
 ??
5
.
1
1
.
0
1
1
2
'
y
h
y
xy
y



    
   
   
232
.
1
2
2
2
2
,
,
2
.
1
2
,
1
.
1
1
.
0
1
1
1
*
1
1
0
0
0
1
*
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
*
0
1
0
0


















y
y
x
y
x
h
y
y
y
x
f
y
x
f
h
y
y
y
x
h
y
y
x
hf
y
y
h
x
x
h
y
x

37. Metodo de Euler Mejorado
(Heun)
Ejemplo

38. Metodo de Runge-Kutta de
orden 2
 A partir del método de Heun podemos deducir el
método de Runge-Kutta
 
  0
0
,
y
x
y
y
x
f
dx
dy


 
 
 
2
,
,
,
2
,
1
,
0
,
2
1
1
1
2
1
1
0
0
k
k
y
y
k
y
h
x
hf
k
y
x
hf
k
h
x
x
n
Para
h
y
y
x
Dado
n
n
n
n
n
n
n
n














39. Metodo de Runge-Kutta de
orden 2
 Ejemplo
 
 ??
1
.
1
1
1
2
y
y
xy
dx
dy


   
     
232
.
1
2
264
.
0
2
,
2
.
0
2
,
1
.
1
1
.
0
1
1
2
1
1
1
0
0
1
0
0
2
0
0
0
0
1
0
1
0
0





















k
k
y
y
k
y
h
x
h
k
y
h
x
hf
k
y
x
h
y
x
hf
k
h
x
x
h
y
x
n
n
Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler
Mejorado

40. Metodo de Runge-Kutta de
orden 4
 
  0
0
,
y
x
y
y
x
f
dx
dy


 
 
 
6
2
2
,
2
,
2
2
,
2
,
,
2
,
1
,
0
,
4
3
2
1
1
3
4
2
3
1
2
1
1
0
0
k
k
k
k
y
y
k
y
h
x
hf
k
k
y
h
x
hf
k
k
y
h
x
hf
k
y
x
hf
k
h
x
x
n
Para
h
y
y
x
Dado
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n


































41. Metodo de Runge-Kutta de
orden 4
  1
1
2


y
xy
dx
dy
    
 
 
     
1.23367805
exacto
Valor
23367435
.
1
6
2
2
2715361
.
0
2
,
234255
.
0
2
2
2
2
,
2
231
.
0
2
2
2
2
,
2
2
.
0
2
,
1
.
0
1
.
0
1
1
4
3
2
1
0
1
3
0
0
3
0
0
4
2
0
0
2
0
0
3
1
0
0
1
0
0
2
0
0
0
0
1
0
1
0
0









































































k
k
k
k
y
y
k
y
h
x
h
k
y
h
x
hf
k
k
y
h
x
h
k
y
h
x
hf
k
k
y
h
x
h
k
y
h
x
hf
k
y
x
h
y
x
hf
k
h
x
x
h
y
x

42. Los métodos para solucionar una ecuacion
diferencial de primer orden pueden ser adaptados a
la solución de sistemas de primer orden.
   
   
   
   
   
   
0
0
2
1
0
2
0
2
2
1
2
2
0
1
0
1
2
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
y
y
y
x
f
dx
dy
y
x
y
y
y
y
x
f
dx
dy
y
x
y
y
y
y
x
f
dx
dy










Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden

43. Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden:
   
    0
0
2
0
0
1
,
,
,
,
z
x
z
z
y
x
f
dx
dz
y
x
y
z
y
x
f
dx
dy




Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(x) y z(x)

44. Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que
consta de dos EDOs de primer orden:
 
  2
1
1
1
2








z
z
y
x
dx
dz
y
z
y
x
dx
dy
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)

45.  
 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
h
z
z
z
y
x
h
y
y
h
x
x
z
y
x
hz
z
z
hy
y
y
h
x
x

























2
1
1
1
0
0
0
1
1
1
2
1
1
'
'
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:

46.  
 
 
  401
.
2
87
.
1
2
.
1
2
.
2
4
.
1
1
.
1
1
.
0
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0






























z
y
x
h
z
z
z
y
x
h
y
y
h
x
x
z
y
x
h
z
z
z
y
x
h
y
y
h
x
x
h
z
y
x
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Reemplanzado valores:

47. Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Se tiene una solución aproximada en forma
discreta:
n xn yn zn
0 1 1 2
1 1.1 1.4 2.2
2 1.2 1.87 2.401

48.    
   
'
'
2
*
2
/
'
'
1
*
2
/
'
'
*
2
/
'
'
'
*
2
/
'
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
h
z
y
x
h
z
z
z
y
h
z
y
x
h
y
y
h
x
x
z
h
hz
z
z
y
h
hy
y
y
h
x
x






























Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
Si queremos mejorar la exactitud del resultado
podemos usar un paso h mas pequeño o usar
Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:

49.  
 
 
 
 
 
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
l
l
z
z
k
k
y
y
l
z
k
y
h
x
hg
l
l
z
k
y
h
x
hf
k
z
y
x
hg
l
z
y
x
hf
k
h
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n





















Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
También se puede hacer una adaptación del método
de Runge-Kutta 2

50. Los problemas de valor inicial de mayor orden
pueden ser transformados en un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden.








 1
-
n
1
-
n
n
n
,
,
,
,
dt
y
d
dt
dy
y
t
g
dt
y
d

Ecuaciones Diferenciales
orden Superior

51. Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
 
 
  0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
3
3
'
'
'
,
,
,
y
t
dt
y
d
y
t
dt
dy
y
t
y
dt
y
d
dt
dy
y
t
g
dt
y
d













52. La EDO de tercer orden se transforma en un sistema
de 3 ecuaciones de primer orden:
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior
 
   
    0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
'
'
'
y
t
dt
y
d
t
w
y
t
dt
dy
t
z
y
t
y





 
w
z
y
t
g
dt
dw
w
dt
dz
z
dt
dy
,
,
,




53. Considere una ecuación
diferencial de segundo orden de
un sistema de masa y resorte
vibratorio
Las cond. iniciales son x(0) =x0
y x’(0) =0.
0
2
2


 kx
dt
dx
c
dt
x
d
m
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior

54. Re-escribir la ecuación:
La primera derivada puede ser escrita:








 x
m
k
dt
dx
m
c
dt
x
d
2
2
2
2
y
dt
x
d
dt
dv
v
dt
dx


Ecuaciones Diferenciales
orden Superior

55. La ecuación puede ser escrita como un conjunto
de dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.










x
m
k
v
m
c
dt
dv
v
dt
dx
Ecuaciones Diferenciales
orden Superior

56. Sistemas de Valor Inicial
Problemas
Las ecuaciones pueden ser definidas:
 
  











x
m
k
v
m
c
v
x
t
f
dt
dv
v
v
x
t
f
dt
dx
,
,
,
,
2
1

57. Podemos aplicar Euler:
 
 
i
i
i
i
i
i
v
x
t
f
t
v
dt
dv
t
v
v
v
x
t
f
t
x
dt
dx
t
x
x
,
,
,
,
2
i
i
1
i
1
i
i
i
1
i














Sistemas de Valor Inicial
Problemas

58. Diferenciales mayor-orden
Problemas Ejemplo
Considere una ecuación diferencial de segundo
orden para sistemas de masa-resorte vibrante.
Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0
y t = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))
0
4
2
2
2
2



 x
dt
x
d
x
m
k
dt
x
d

59. Problema Ejemplo
La ecuación puede ser escrita como un conjunto de
dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.
x
dt
dv
v
dt
dx
4




60. Problema Ejemplo
El desarrollo del método de Euler.
t x v dx/dt dv/dt Valor exacto
0 0,2 0 0 -0,8 0,2
0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,19984002
0,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,19936034
0,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,19856173
0,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,19744546
0,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332
0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,19426759
0,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,19221109
0,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,18984708
0,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,18717936
0,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122
0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,18095033
0,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,17739898
0,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,17356384
0,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,16945102
0,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712

61. Problema Ejemplo
 Ejemplo
 Se puede observar un
error que cada vez se
irá incrementando.
Euler Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
Displacement
x
v
actual value
 
 
i
i
1
i
i
i
1
i
4
*
*
x
t
v
v
v
t
x
x










62. Las ecuaciones son definidas como funciones.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.
 
  x
v
x
t
f
dt
dv
v
v
x
t
f
dt
dx
4
,
,
,
,
2
1





Problema Ejemplo

63. Los componentes de Runge-Kutta:
ki,j donde i es el paso y j es la función.
 
 
2
,
3
i
1
,
3
i
i
1
1
,
4
2
,
2
i
1
,
2
i
i
1
1
,
3
2
,
1
i
1
,
1
i
i
1
1
,
2
i
i
i
1
1
,
1
,
,
*
2
1
,
2
1
,
2
*
2
1
,
2
1
,
2
*
,
,
*
k
v
k
x
t
t
f
t
k
k
v
k
x
t
t
f
t
k
k
v
k
x
t
t
f
t
k
v
x
t
f
t
k
































 
 
2
,
3
i
1
,
3
i
i
2
2
,
4
2
,
2
i
1
,
2
i
i
2
2
,
3
2
,
1
i
1
,
1
i
i
2
2
,
2
i
i
i
2
2
,
1
,
,
*
2
1
,
2
1
,
2
*
2
1
,
2
1
,
2
*
,
,
*
k
v
k
x
t
t
f
t
k
k
v
k
x
t
t
f
t
k
k
v
k
x
t
t
f
t
k
v
x
t
f
t
k
































Problema Ejemplo

64. La actualización de un sólo paso:
Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0
 
 
2
,
4
2
,
3
2
,
2
2
,
1
i
1
i
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
i
1
i
*
2
*
2
6
1
*
2
*
2
6
1
k
k
k
k
v
v
k
k
k
k
x
x












Problema Ejemplo

65. Ejemplo Metodo de
Runge-Kutta de 4th Orden
t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto
0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,2
0,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,1998
0,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,1994
0,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,1986
0,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,1974
0,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196
0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,1943
0,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,1922
0,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898
 
  x
v
x
t
f
dt
dv
v
v
x
t
f
dt
dx
4
,
,
,
,
2
1






66.  Los puntos tienen
menos error que el
método de Euler.
 La aproximación
depende del tamaño
del paso del problema
4th order Runge Kutta Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Time (t)
Displacement
v
x
actual value
Ejemplo Metodo de Runge-
Kutta de 4th Orden

67. Sistemas de EDO -
Problema Valor Inicial
Estas técnicas pueden trabajar con grandes
sistemas de ecuaciones para realizar una serie de
integraciónes del problema. Las ecuaciones se
pueden solucionar como serie de EDOs.

68.   0
0
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1














y
y
k
dt
dy
dt
dy
c
dt
y
d
m
y
k
dt
dy
c
dt
y
d
m
Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e
y’2.
Sistemas de EDO -
Problema Valor Inicial

69.    





















1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
y
m
k
v
v
m
c
dt
dv
v
dt
dy
y
m
k
v
m
c
dt
dv
v
dt
dy
El problema es formado por 4 EDOs de primer orden
con cuatro variables y condiciones iniciales.
Sistemas de EDO -
Problema Valor Inicial

70. 
























































2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
v
y
v
y
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
dt
dv
dt
dy
dt
dv
dt
dy
El problema puede ser escrito en el formato matricial
y solucionado por consiguiente
.
Sistemas de EDO -
Problema Valor Inicial

71. Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar
las ecuaciones.








































































t
F
t
F
v
y
v
y
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
dt
dv
dt
dy
dt
dv
dt
dy
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
sin
0
sin
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0


Sistemas de EDO -
Problema Valor Inicial

72. Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos
en algún punto diferente del valor inicial de la
variable independiente.
Sistemas de EDO -
Problema Valor Frontera
 
EI
x
M
y 
"
Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales
y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0

73. 73
Método de Diferencias
Finitas
Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
     
 
    
 





b
y
a
y
b
a
x
x
r
y
x
q
y
x
p
y
,
'
'
'
Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales
        
 

















1
1
1
1
0
0
1
2
1
0 2
1
n
n
n
n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
b
x
h
a
x
h
a
x
a
x
n
a
b
h



74. 74
Método de Diferencias
Finitas
Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera
y segunda derivada
2
1
1
1
1
2
'
'
2
'
h
y
y
y
y
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i










75. 75
Método de Diferencias
Finitas
Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:
     
i
i
i
i
i
i x
r
y
x
q
y
x
p
y 

 '
'
'

76. 76
Método de Diferencias
Finitas
Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
     











 









1
0
1
1
2
1
1
2
2
:
1
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
x
r
y
x
q
h
y
y
x
p
h
y
y
y
n
i
Para

77. 77
Método de Diferencias
Finitas
Agrupando:
   
     




























1
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
:
1
n
i
i
i
i
i
i
i
y
y
x
r
h
y
x
p
h
y
x
q
h
y
x
p
h
n
i
Para

78. 78
Método de Diferencias
Finitas
Luego:
   
     
   
     
   
     



































































1
0
2
1
2
1
2
2
3
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
0
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
x
r
h
y
x
p
h
y
x
q
h
y
x
p
h
x
r
h
y
x
p
h
y
x
q
h
y
x
p
h
x
r
h
y
x
p
h
y
x
q
h
y
x
p
h


79. 79
Método de Diferencias
Finitas
Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:
   
     
 
   
   
   
 
 
    







































































































n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
p
h
x
r
h
x
r
h
x
r
h
x
p
h
x
r
h
y
y
y
y
x
q
h
x
p
h
x
p
h
x
q
h
x
p
h
x
p
h
x
q
h
x
p
h
x
p
h
x
q
h
2
1
2
1
2
2
1
0
0
2
1
2
0
2
1
0
2
1
2
2
1
0
0
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
3
2
2
2
2
1
1
2












80. 80
Método de Diferencias
Finitas
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.
Solucion.-
Discretización:
x0 x1 x2 x3 x4 X5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y0 y1 y2 y3 y4 y5
0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283

81. 81
Método de Diferencias
Finitas
Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:
2
1
1
1
1
2
'
'
2
'
h
y
y
y
y
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i









Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:
0
2
2
2
4
:
1
0
2
'
"
1
1
2
1
1














i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
h
y
y
h
y
y
y
i
Para
y
y
y

82. 82
Método de Diferencias
Finitas
Reemplazando para cada nodo:
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
4
3
5
2
3
4
5
3
2
4
2
2
3
4
2
1
3
2
1
2
3
1
0
2
2
0
1
2
























y
h
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
h
y
y
y

83. 83
Método de Diferencias
Finitas
Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1
   
    0
2
283
.
0
5
5
283
.
0
100
200
100
0
2
5
5
100
200
100
0
2
5
5
100
200
100
0
2
5
1
.
0
5
100
200
1
.
0
100
4
3
4
3
3
4
2
4
3
2
2
3
1
3
2
1
1
2
2
1
























y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y

84. 84
Método de Diferencias
Finitas
Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:





































































2308
.
0
1879
.
0
1527
.
0
1238
.
0
885
.
26
0
0
5
.
10
202
105
0
0
95
202
105
0
0
95
202
105
0
0
95
202
4
3
2
1
4
3
2
1
y
y
y
y
y
y
y
y

85. 85
Método del Disparo
Sea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:
 
 
  B
b
u
u
t
u
u
u
t
g
u



0
0
'
,
,
"
Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de
valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método
numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son
aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.

86. 86
Método del Disparo
El problema de valor inicial resultante:
 
 
  s
t
u
u
t
u
u
u
t
g
u



0
0
0
'
'
,
,
"

87. 87
Método del Disparo

88. 88
Método del Disparo

89. 89
Método de Disparo
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.
Solución.-
366
.
0
0
5
.
0
1
.
0
283
.
0
283
.
0
5
.
0
0
0
0 








x
b
y
B
s
B
b
Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:

90. 90
Método de Disparo
 
  366
.
0
0
1
.
0
0
2
'
'





z
y
y
z
z
z
y
Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos
ecuaciones diferenciales de primer orden:
El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede
ver en la siguiente tabla:

91. Método de Disparo
Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.36600
1 0.1 0.13966 0.42952
2 0.2 0.18643 0.50876
3 0.3 0.24204 0.60706
4 0.4 0.30861 0.72849
5 0.5 0.38867 0.87803
0
s
 
0
5 s
y

92. Método de Disparo
Calculando una nueva pendiente aproximada s1:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.15466
1 0.1 0.11736 0.19369
2 0.2 0.13901 0.24090
3 0.3 0.16587 0.29815
4 0.4 0.19905 0.36770
5 0.5 0.23991 0.45232
1
s
 
1
5 s
y
 
15466
.
0
0
5
.
0
38867
.
0
283
.
0
366
.
0
1
0
0
5
0
1









s
x
b
s
y
B
s
s

93. Método de Disparo
Mediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.21588
1 0.1 0.12382 0.26200
2 0.2 0.15274 0.31849
3 0.3 0.18793 0.38763
4 0.4 0.23078 0.47221
5 0.5 0.28300 0.57564
2
s
 
2
5 s
y
   
   
 
21588
.
0
38867
.
0
23991
.
0
38867
.
0
283
.
0
366
.
0
15466
.
0
366
.
0
2
0
5
1
5
0
5
0
1
0
2











s
s
y
s
y
s
y
B
s
s
s
s
  6
2
5 10
3 

 x
B
s
y