Aquí presento una explicación que ayuda a entender y estructurar las demostraciones del tipo: Si f es inyectiva, entonces la cardinalidad del dominio es menor que la cardinalidad del codominio. Usualmente este tema corresponde a un curso de Álgebra Superior.

1. Resolviendo problemas de
cardinalidad de funciones en
álgebra superior
Aquí expondré algunas demostraciones acerca
de cardinalidad de funciones (inyectivas,
suprayectivas y biyectivas); con la finalidad de dar
mayor claridad a este tipo de demostraciones.
Espero les agrade la presentación.
Por: Gato de Angora, profesor particular y estudiante de
matemáticas en la UNAM.
gatodeangora_78@hotmail.com
gatodeangora@ciencias.unam.mx

2. ●
Si f:A--->B es una función, vamos a demostrar
que:
(1) Si f es inyectiva , entonces∣A∣≤∣B∣
(2) Si f es suprayectiva , entonces∣A∣≥∣B∣
(3) Si f es biyectiva , entonces∣A∣=∣B∣

3. (1) Si f es inyectiva , entonces∣A∣≤∣B∣
Debemos comenzar suponiendo que f es inyectiva, y a partir de ahí, demostrar que ∣A∣≤∣B∣
¿Cómo demostramos que la cardinalidad de un conjunto A es menor que la
cardinalidad de uno B?
Esto se logra haciendo ver que A tiene menos elementos que B.
Recordemos que A es el conjunto dominio de la función, y que B es el codominio, de
modo que al parecer nos será útil considerar el número de elementos del dominio
(cardinalidad de A) y el número de elementos en el codominio (cardinalidad de B).
Entonces vamos a considerar los elementos del conjunto A y escribimos:
A={a1 , a 2 , a3 , a 4 ...}
Pero a cada elemento de A, le corresponde un único elemento de B mediante la función
f, de modo que ahora vamos a considerar al conjunto de imágenes y escribimos:
f ( A )={f (a1 ) , f (a2 ) , f (a3 ),...}

4. Comparemos las cardinalidades de estos conjuntos. ¿La cardinalidad de f(A) es igual
que la del conjunto A?
Podrían existir 2 elementos de A que tengan como imagen uno solo de B, y en este caso
la cardinalidad de A sería mayor que la de f(A).
Ah pero aquí es donde entra la magia de la hipótesis, que dice que f es inyectiva, de
modo que es imposible que a 2 elementos de A le corresponda uno solo de B.
Al ser f inyectiva, entonces ya tenemos que es imposible que la cardinalidad de A sea
mayor que la de f(A). Pero tampoco es posible que la cardinalidad de A sea menor que la
de f(A) pues esto implicaría que a cada elemento del dominio le corresponden 2 o más
del codominio (y entonces f ya ni siquiera sería función). De aquí que la cardinalidad de A
es igual que la cardinalidad de f(A), y escribimos:
∣A∣=∣f ( A )∣
Si podemos probar que la cardinalidad de f(A) es menor que la de B ya habremos
terminado, pues por transitividad tendremos:
∣A∣=∣f ( A )∣≤∣B∣ → ∣A∣≤∣B∣
Cómo le hacemos? Debemos probar que los elementos de f(A) son menos o igual que
los de B. Pero esto ya no tiene ninguna complicación, pues recordemos que la imagen
de una función es subconjunto del codominio. Y con este último detalle, solo se escribe
la conclusión y listo.

5. Entonces nuestra demostración quedaría algo
como esto:
Dem.
Supongamos que f es inyectiva.
Consideremos los conjuntos A y f ( A):
A={a1, a2, a3,. ..}
f ( A )={f (a1 ) , f (a2 ) , f (a3 ) ,...}
Como f es inyectiva ,no puede ocurrir que∣A∣>∣f ( A)∣
De modo que∣A∣=∣f ( A)∣
Pero como f ( A )⊆B se tiene que∣f ( A )∣≤∣B∣
.⋅.∣A∣≤∣B∣

6. (2) Si f es suprayectiva , entonces∣A∣≥∣B∣
Comenzamos suponiendo que f es suprayectiva, y queremos demostrar que el
número de elementos del dominio es mayor o igual que los elementos del codominio.
Si f es suprayectiva, significa que todos los elementos de B están en correspondencia
con por lo menos un elemento de A. Escribimos:
∀ b∈B ∃a∈ A
tal que
f (a)=b
Como cada elemento de B puede tener en correspondencia uno o varios elementos de
A (pues no hay nada que diga que f es inyectiva), entonces la cantidad de elementos
de B es menor o igual que los de A.
Para redactar esto, podemos decir que existen 2 casos: f es inyectiva, o no lo es.
Si es inyectiva, entonces la cardinalidad de A es igual que la de B.
Si no es inyectiva, existe por lo menos un elemento de b tal que está en
correspondencia con 2 elementos distintos de a, en cuyo caso la cardinalidad de A
supera a la de B.

7. Nuestra demostración queda algo como esto:
Dem.
Supongamos que f es suprayectiva , de donde se infiere que :
∀ b∈B ∃a∈ A tal que f (a)=b
f puede ser inyectiva o puede no serlo , por lo que existen2 casos :
(i) f es inyectiva :
al ser inyectiva y suprayectiva ,∣A∣=∣B∣
(ii) f no es inyectiva :
entonces ∃b∈B tal que f (a1 )=b y f (a2 )=b para a1 ≠a2
en cuyo caso∣A∣<∣B∣
.⋅. de(i) y (ii), resulta∣A∣≤∣B∣

8. ●
La última demostración es inmediata de las
anteriores:
Si f es biyectiva , entonces∣A∣=∣B∣
Dem.
Supongamos que f es biyectiva ; entonces es inyectiva y suprayectiva.
Por los teoremas anteriores se tiene :
∣A∣≤∣B∣ y∣A∣≥∣B∣
→ ∣A∣=∣B∣

9. .
●
Y esto es todo por ahora
=)

10. .
●
Y esto es todo por ahora
=)