Optimización de controlador PID para planta usando algoritmos genéticos

Dr. Hugo A. Banda Gamboa
CORDICYT
Octubre, 2015

CONTENIDO
I. Fundamentos de la Computación Evolutiva
II. Algoritmos Genéticos
III. Aplicaciones de Algoritmos Genéticos
IV. Programación Evolutiva
V. Estrategias de Evolución
VI. Programación Genética
VII. Conclusión
© Dr. Hugo A. Banda Gamboa - 2015 2

FUNDAMENTOS DE LA
COMPUTACIÓN EVOLUTIVA

Fundamentos de la Computación
Evolutiva
 La unidad fundamental de información
en los seres vivos es el gen.
 El gen es parte de una estructura
denominada cromosoma que determina
o afecta un carácter simple o fenotipo
(propiedad visible).
 Los organismos vivos pueden ser
visualizados como un dual de su
genotipo (la codificación genética) y de
su fenotipo.

Evolución de una Población
P
G
E
f4
f3
f2
f1
f’1
p1
p2
p’1
g1 g2
g’1
)(.GG:
)(G,P:
)(P,P:
)(P,GE:
4
3
2
1
iónRecombinacyMutaciónf
GenotípicaciaSupervivenf
Selecciónf
Epigénesisf




Espacio de
Estados
Fenotípicos
Espacio de
Estados
Genotípicos

Computación Evolutiva
 La computación evolutiva comprende
aplicaciones basadas en los mecanismos
de la evolución natural tales como la
genética biológica y la selección natural.
 El campo de la computación evolutiva,
en general incluye cuatro paradigmas:
 Algoritmos genéticos
 Programación evolutiva
 Estrategias de evolución
 Programación genética.

Computación Evolutiva
 Los paradigmas de la computación evolutiva difieren
de los métodos tradicionales, en cuatro aspectos
fundamentales:
 Trabajan con un código del conjunto de parámetros. Este
código es una cadena de caracteres de valores binarios o
variables de valor real.
 Realizan la búsqueda de la potencial solución en una población
de puntos, no en un sólo punto.
 Utilizan la información de una función objetivo, no derivadas u
otro conocimiento auxiliar.
 Usan reglas probabilísticas de transición, en lugar de reglas
determinísticas.

ALGORITMOS GENÉTICOS

Algoritmos Genéticos:
Fundamentos
 Los Algoritmos Genéticos son métodos
adaptativos que se derivan de la
simulación de los procesos genéticos,
que comprenden los mecanismos
naturales de cruce, mutación y la
supervivencia del más apto (selección)
 Los Algoritmos Genéticos se utilizan
para resolver problemas de búsqueda
y optimización.

Características (1)
 Los Algoritmos Genéticos trabajan en el
espacio del genotipo del código de la
información:
 Se selecciona una población de
individuos, cada uno de los cuales
representa una solución factible a un
problema dado.
 Cada individuo es codificado como una
cadena de caracteres binarios (cromosomas),
y se le asigna un valor de aptitud
relacionado con la bondad de la solución
que representa.

 Cuanto mayor sea la aptitud de un
individuo, mayor será la probabilidad de
que el mismo sea seleccionado para
reproducirse, intercambiando
aleatoriamente su material genético con
otro, seleccionado de igual forma.
 Este cruce producirá nuevos individuos,
descendientes de los anteriores, los cuales
pueden tener características mejores que
las de sus ancestros.

 Cuanto menor sea la aptitud de un
individuo, menor será la probabilidad de
que sea seleccionado para la
reproducción, y por tanto de que su
material genético se propague en
sucesivas generaciones.
 Ocasionalmente, una variante nueva es
probada, cambiando aleatoriamente un
gen de algún cromosoma descendiente,
como una medida de posible mejora
(mutación).

Algoritmo Genético Simple en
Pseudocódigo
INICIO /* Algoritmo Genético Simple */
Generar una población inicial.
Computar la función de aptitud de cada individuo.
MIENTRAS NO Terminado HACER
INICIO /* Producir nueva generación */
PARA Tamaño Población/2 HACER
INICIO /* Ciclo Reproductivo */
Seleccionar 2 individuos de la generación anterior,
con probabilidad proporcional a la función de aptitud
de cada individuo.
Cruzar, con cierta probabilidad, los 2 individuos
obteniendo 2 descendientes.
Mutar los 2 descendientes, con cierta probabilidad.
Calcular la función de aptitud de los 2 descendientes.
Insertar los dos descendientes en la nueva generación.
FIN /* Ciclo Reproductivo */
SI La población ha convergido ENTONCES
Terminado = VERDADERO
FIN /* Producir nueva generación */
FIN /* Algoritmo Genético Simple */

Cromosoma
Código Genético de un Insecto
Antenas Cabeza Alas Cuerpo Patas Tamaño
Color
Cuerpo
Color
Cabeza
Fuente: K F Man, K S Tang & S Kwong. Genetic Algorithms, Springer-Verlag, London, 2001

Genes del Insecto
Códigos y Formas: Antenas, Cabeza y Alas

Genes del Insecto
Códigos, Formas y Colores: Cuerpo

Genes del Insecto
Códigos, Formas y Colores: Otras Partes

Algoritmos Genéticos: Selección

Algoritmos Genéticos: Cruce y Mutación

Ejemplo 1: Optimización de Utilidades
 Una empresa desarrolla y comercializa 2 tipos de sistemas de control.
Un sistema para regular la velocidad de máquinas de inducción (Ci) que
se vende a $1000,00 y un sistema para regular la velocidad de
máquinas DC (Cd) que se vende en $800.
 Para la instalación y afinamiento de los controladores, emplea 3
técnicos: el primero cobra $10/hora y utiliza 6 horas para instalar el
sistema de regulación de máquinas de DC y 10 horas para el sistema de
regulación de máquinas de inducción. El segundo, cobra $20/hora y
emplea 4 horas para el afinamiento del sistema de control de máquinas
DC y 8 horas para el afinamiento del sistema de control para máquinas
de inducción. El tercer técnico, cobra $15/hora y emplea 8 horas para
las pruebas del sistema de control para máquinas DC y 6 horas para las
pruebas del sistema de control para máquinas de inducción.
 Si se conoce que la disponibilidad de tiempo del técnico 1 (T1) en cada
mes es de 140 horas, 100 horas por mes dispone el técnico 2 (T2); y,
120 horas por mes dispone el técnico 3 (T3), determinar cuántos
sistemas de control de cada tipo debe la empresa comercializar
mensualmente para obtener la máxima utilidad.

Optimización de Utilidades: Solución Solver

Optimización de Utilidades: Script MATLAB
Optimization Toolbox/GUI/optimtool/Solver: ga - Genetic Algorithm)
1. % Función de aptitud para optimizar
2. % utilidades
3. function z=foptCiCd(k)
4. % Unidades Vendidas: Ci, Cd.
5. Ci=round(k(1)); Cd=round(k(2));
6. % Precio de venta de cada sistema
7. PVCd=800;
8. PVCi=1000;
9. % Horas mes disponibles
10. HmesT1=140;
11. HmesT2=100;
12. HmesT3=120;
13. % Valor por hora de trabajo
14. VhT1=10;
15. VhT2=20;
16. VhT3=15;
17. % Horas necesarias de cada recurso para
18. % los sistemas Ci y Cd
19. CiT1=10;
20. CiT2=8;
21. CiT3=6;
22. CdT1=6;
23. CdT2=4;
24. CdT3=8;
25. % Total horas por mes por cada recurso
26. ThT1=Ci*CiT1+Cd*CdT1;
29. % Restricción de disponibilidad de horas
30. % mensuales
31. if ThT1 <= HmesT1 && ThT2 <= HmesT2
&& ThT3 <= HmesT3
32. F = 0;
33. else
34. F=100000;
35. end
36. % Cálculo del negativo de la utilidad ya
37. % que GA siempre busca el valor mínimo
38. Ingresos=Ci*PVCi+Cd*PVCd;
39. Egresos=ThT1*VhT1+ThT2*VhT2+ThT3*
VhT3;
40. z=Egresos-Ingresos+F;

Optimización de Utilidades: Solución MATLAB

Ejemplo 2: Controlador PID Óptimo
Diseñar un controlador PID que permita una
respuesta dinámica óptima de la planta dada:

Controlador PID Óptimo: Solución MATLAB
1. % Función de aptitud para diseñar controlador PID
2. % para comportamiento óptimo para Planta:
3. % 6.28
4. % G(s)=------------------ ; H(s) = 1
5. % s^2 + 2s + 0.96
6. % Función de transferencia para el Controlador PID
7. % kd*s^2+kp*s+ki
8. % Gc(s)=---------------------
9. % s
10. function z=foptPID(k)
11. kd=k(1); kp=k(2); ki=k(3);
12. % Se crean las funciones de transferencia con la
13. % función tf()
14. G=tf(6.28,[1 2 0.96]); % Planta
15. Gc=tf([kd kp ki],[1 0]); % Controlador PID
16. Gtotal=G*Gc;
17. % Se crea el Modelo de lazo cerrado "sys"
18. % usando la función feedback()
19. sys=feedback(Gtotal,1);
20. % Respuesta temporal del Modelo "sys"
21. [y,t]=step(sys);
22. [y_tam,x]=size(y);
23. [t_tam,x]=size(t);
24. % Cálculo del Error de Posición
25. Valor_Estado_Estable=y(t_tam);
26. Ep=abs(1-Valor_Estado_Estable)*100;
27. %Cálculo de máximo sobreimpulso
28. max=y(1);
29. for i=2:t_tam
30. if y(i)>max
31. max=y(i);
32. else
33. end
34. end
35. Over=abs((max-Valor_Estado_Estable)*100/
Valor_Estado_Estable);
36. %Cálculo del tiempo de establecimiento entre
37. % +/- 2% del valor de estado estable
38. lim_sup=1.02*Valor_Estado_Estable;
39. lim_inf=0.98*Valor_Estado_Estable;
40. ts=0;
41. for i=1:t_tam
42. if abs(y(i)-lim_sup)<(0.002*lim_sup)
43. ts=t(i);
44. elseif abs(y(i)-lim_inf)<(0.002*lim_sup)
45. ts=t(i);
46. else
47. end
48. end
49. STime=100*ts/t(t_tam);
50. % Criterio de Estabilidad del Sistema de Lazo Cerrado
51. % Si existen polos en el semiplano derecho,
52. % el sistema es inestable
53. [Wn,Z,P]=damp(sys);
54. if real(P(1,1)) >= 0 || real(P(2,1)) >= 0 || real(P(3,1)) >=
0
55. P1=1000000;
56. else
57. P1=0;
58. end
59. % Asignación de coeficientes de ponderación para
60. % los parámetros normalizados: Ep, Over y STime
61. w1=1;
62. w2=2;
63. w3=3;
64. Sum=w1+w2+w3;
65. % Función final para la optimización
66. z=(w1*Ep+w2*Over+w3*STime)/Sum+P1;

Función para Comprobar Respuesta de la
Planta con Controlador PID
1. % Función para comprobar la Planta compensada por el
2. % Controlador PID
3. function [t,y1,y2]=pruebaPID(kd, kp, ki)
4. % Función de Transferencia de la Planta
5. G=tf(6.28,[1 2 0.96]);
6. % Se crea el Modelo de la Planta a Lazo Abierto
7. OpenSys=feedback(G,1);
8. % Período de simulación
9. t=0:0.05:10;
10. % Respuesta Transitoria de la Planta a Lazo Abierto
11. [y1,t]=step(OpenSys,t);
12. % Función de Transferencia del Controlador PID
13. Gc=tf([kd kp ki],[1 0]);
14. % Función de transferencia de Planta Compensada
15. Gtotal=G*Gc;
16. % Se crea el Modelo de la Planta a Lazo Cerrado
17. CloseSys=feedback(Gtotal,1);
18. % Respuesta transitoria del Modelo de Planta a Lazo Cerrado
19. [y2,t]=step(CloseSys,t);
20. % Plot de y1 y y2 (Respuesta dinámica de la Planta: Lazo Abierto y con
PID)
21. plotyy(t,y1,t,y2,'plot');© Dr. Hugo A. Banda Gamboa - 2015 27

Controlador PID Óptimo: Solución MATLAB
(Optimization Toolbox/GUI/optimtool/Solver: ga - Genetic Algorithm)

PROGRAMACIÓN EVOLUTIVA

Fundamentos
La programación evolutiva se deriva de la
simulación del comportamiento
adaptativo propio de un proceso
evolutivo.
Se caracteriza por su énfasis en el
desarrollo de modelos de
comportamiento.
Trabaja en el espacio del fenotipo del
comportamiento observable (evolución
fenotípica)

Procedimiento en Pseudocódigo
INICIO /* Programación Evolutiva: Procedimiento */
INICIO /* Buscar Solución */
Exponer la población a su entorno.
Calcular la aptitud de cada individuo.
Aleatoriamente mutar cada miembro de la población
y generar descendientes.
Calcular la aptitud de los descendientes.
Seleccionar los miembros más aptos para la nueva generación.
SI el objetivo se ha logrado ENTONCES
FIN /* Buscar Solución */
FIN /* Programación Evolutiva: Procedimiento */

Aplicación
 La programación evolutiva se utiliza
usualmente para resolver problemas de
predicción. Por ejemplo, en máquinas de
estados finitos:
 El entorno es descrito como una secuencia de
símbolos tomados de un alfabeto finito.
 Un algoritmo evolutivo opera sobre la secuencia de
símbolos observados, de tal forma que produce
un símbolo de salida que maximiza el resultado
del algoritmo, tomando en cuenta el siguiente
símbolo que aparecerá y una función de costo
bien definida.

ESTRATEGIAS DE EVOLUCIÓN

Fundamentos (1)
 Las estrategias de evolución están basadas en el
concepto de meta evolución y, al igual que la
programación evolutiva, enfatizan el aspecto
fenotípico del proceso evolutivo.
 A pesar de utilizar las operaciones de mutación y cruce
(recombinación), la perspectivas de ellas son
diferentes a las utilizadas por los algoritmos genéticos o
la programación evolutiva:
 Operaciones de mutación o recombinación que caen fuera de
una ventana de evolución predefinida por la función de
optimización, no son de utilidad.
 El ajuste dinámico del tamaño de la mutación a una ventana
de evolución también dinámica, favorece la meta evolución.

Fundamentos (2)
 A diferencia de los algoritmos genéticos, las estrategias de
evolución manipulan los valores de las variables,
durante la recombinación (cruce):
 Forma un descendiente utilizando los datos de dos padres
seleccionados aleatoriamente.
 El valor de la variable del descendiente, es igual al valor
intermedio de los valores de sus padres.
 La estrategias de evolución operan con una mayor
cantidad de descendientes que los otros paradigmas
de computación evolutiva:
 El número de descendientes (N) es mayor que el número de
padres (M), en una relación típica N/M igual a 7.

Procedimiento
INICIO /* Estrategias de Evolución: Procedimiento */
Realizar la recombinación de pares de los M padres
para generar N descendientes (N/M = 7).
Mutar a todos los descendientes.
Calcular la aptitud de los N descendientes.
De entre los N descendientes, seleccionar los M
miembros más aptos para la nueva generación.
FIN /* Estrategias de Evolución : Procedimiento */

PROGRAMACIÓN GENÉTICA

Fundamentos (1)
 La programación genética está diseñada para
evolucionar programas de computadora,
genéticamente.
 A diferencia de las tres implementaciones anteriores,
que generalmente emplean cromosomas en forma de
cadena de caracteres como miembros individuales de
la población, la programación genética utiliza árboles
para representar a los programas sujetos a
evolución:
 Las funciones definidas para el problema aparecen en los
nodos (conjunto interno).
 Las variables de estado y las constantes están localizadas en
las hojas del árbol (conjunto terminal).

Fundamentos (2)
 Previo a la ejecución de un proceso de
programación genética, se deben
cumplir los siguientes pasos:
 Especificar el conjunto de variables de
estado y constantes (conjunto terminal).
 Especificar el conjunto de funciones.
 Especificar la medida de aptitud.
 Seleccionar los parámetros del sistema de
control.
 Especificar las condiciones de finalización
del procedimiento.

Procedimiento en Pseudocódigo
INICIO /* Programación Genética: Procedimiento */
Inicializar la población de programas de computadora.
Determinar la aptitud de cada programa individual.
Aplicar la reproducción de acuerdo con la aptitud y la
probabilidad de reproducción.
Realizar el cruce de las subexpresiones.
FIN /* Programación Genética : Procedimiento */

Conclusión
Lo único
constante en el
universo es el
cambio.

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