Cimentaciones superficiales: presiones de hundimiento

GEOTECNIA

CIMENTACIONES Y ESTRUCTURAS DE
CONTENCIÓN.
PROBLEMAS RESUELTOS

Sebastià Olivella Pastallé
Alejandro Josa García-Tornel
Francisco Javier Valencia Vera

Prólogo

Esta publicación contiene una colección de problemas resueltos de estructuras de cimentación
(superficiales y profundas) y de contención (muros). Estos problemas han sido propuestos en
los últimos años en los estudios de Ingeniería Técnica de Obras Públicas de la UPC (segundo
cuatrimestre de la asignatura de Geotecnia de 2o curso) para su resolución por parte de los
alumnos. La colección no coincide exactamente con la utilizada en la actualidad en dicha
asignatura ya que, en estos momentos, se proporcionan a los alumnos problemas procedentes
fundamentalmente de exámenes que, en su mayoría, se resuelven en seminarios específicos.
Esta publicación complementa con la publicada en 1997 (Mecánica de Suelos. Problemas
resueltos, primer cuatrimestre de la asignatura de Geotecnia de 2o curso). Por otro lado
también hay que hacer referencia a la publicación Geotecnia. Reconocimiento del Terreno
que es en especial útil en relación con la forma de determinar en el campo algunos parámetros
utilizados en la presente publicación.

La colección no ha sido concebida directamente para su publicación sino que se adapta a la
materia impartida en la asignatura. Además, no se trata de problemas planteados como un
caso real, sino que los problemas que se presentan pretenden conseguir que el estudiante se
familiarice con los distintos métodos de cálculo estudiados en la asignatura.

El contenido de esta publicación está dividido en tres capítulos. El primero contiene
problemas de cimentaciones superficiales (zapatas). Básicamente se trata de realizar las
comprobaciones resistentes (hundimiento de la cimentación) y cálculo de asientos. El
segundo capítulo contiene problemas de cimentaciones profundas (pilotes). En este caso se
realizan principalmente cálculos destinados a las comprobaciones resistentes de la
cimentación. En este capítulo se hace referencia repetidas veces a la publicación
Acondicionamiento del Terreno. Cimentaciones (NTE) del MOPT que contiene una serie de
tablas para determinar cargas de hundimiento en función de parámetros como la resistencia a
la penetración o la resistencia a la compresión simple. En el tercer capítulo se resuelven
problemas de estructuras de contención (muros). Principalmente se realizan cálculos para
determinar los empujes causados por el terreno completándose el cálculo con las
comprobaciones de estabilidad al vuelco y al deslizamiento del muro.

Los autores esperan que esta publicación resulte de interés no sólo para los alumnos de las
asignaturas Geotecnia y Estructuras de Cimentación de Ingeniería Técnica de Obras Públicas
de la UPC, sino también para todas aquellas personas interesadas en el tema.

Barcelona, octubre de 1999

Índice 9

Índice

Página

Capítulo 1: Cimentaciones superficiales ………………………………………. 11

Capítulo 2: Cimentaciones profundas ………………………………………….. 49

Capítulo 3: Estructuras de contención ………………………………………… 77

Cimentaciones superficiales 11

Capítulo 1. Cimentaciones superficiales

PROBLEMA 1

a) Obtener la presión de hundimiento de una zapata superficial de ancho b para el caso no
drenado utilizando las hipótesis y el mecanismo de rotura global de Prandtl, y analizar la
posibilidad de incluir el peso del terreno.

b) Interpretar los términos y parámetros de la expresión de Hanna (1981) para la presión
de hundimiento en condiciones drenadas en el caso de arena densa sobre arena suelta, y
modificarla para los casos de zapata circular y rectangular.

c) Obtener la expresión de Brown y Meyerhof (1969) para la presión de hundimiento en
condiciones no drenadas en el caso de arcilla dura sobre arcilla blanda y zapata
rectangular.

a) La condición de rotura en condiciones no drenadas puede interpretarse, en un plano (σ, τ)
de tensiones totales, como una envolvente de tipo Mohr-Coulomb con c (cohesión) igual a cu
(resistencia al corte sin drenaje) y φ (ángulo de rozamiento interno) nulo. Las envolventes de
rotura se producen en este caso a 45º con respecto a las direcciones principales vertical y
horizontal.

El mecanismo de rotura resultante bajo una cimentación corrida, según Prandtl, se idealiza
mediante dos triángulos y un sector circular (Fig. 1.1). Para obtener la presión de hundimiento
bajo esta cimentación se parte del esquema indicado en la Figura 1.1 que contiene el sector
circular (II) y la mitad de los dos triángulos. Sobre este sistema de cuñas se pueden calcular
los diferentes esfuerzos sobre cada línea del contorno. Posteriormente, el equilibrio de
momentos permitirá calcular la presión p capaz de provocar el movimiento y por tanto será la
presión de hundimiento.

© Los autores, 1999; © Edicions UPC, 1999.


Al existir simetría de las cuñas, no es necesario considerar el peso del terreno, ya que al tomar
momentos respecto al punto N, se compensarán las diferentes componentes del mismo.

b

Fig. 1.1 Mecanismo de Rotura y sistema de cuñas considerado

La tensión efectiva horizontal para los casos activo y pasivo de Rankine viene dada por las
siguientes expresiones:

Rotura en estado activo: Rotura en estado pasivo:

 π φ  π φ  π φ  π φ
σ h = σ v tg 2  −  − 2 c tg  −  σ h = σ v tg 2  +  + 2 c tg  + 
 4 2  4 2  4 2  4 2
σ h = σ v Ka − 2 c Ka σh = σv K p + 2 c K p

σ
donde a los coeficientes que multiplican a la tensión vertical (σv) son el coeficiente de empuje
activo (Ka) y el coeficiente de empuje pasivo (Kp), respectivamente.

Para una envolvente de rotura en la que φ = 0 (condiciones no drenadas), resulta:

 π  π
K a = tg 2   = 1 K p = tg 2   = 1
 4  4



Si se supone que la cuña I se encuentra en estado de rotura activo, la carga resultante (P) por
unidad de longitud de zapata sobre la misma se obtendrá de la multiplicación de la longitud
sobre la que se encuentra aplicada la carga resultante por la tensión horizontal resultante del
estado activo de rotura. Siendo p la presión transmitida por la zapata, se obtiene que:

P = lado × tensión
σv = p σ h = p − 2c u
b
P= ( p − 2 cu )
2

Por otro lado, la cuña II en el estado de rotura pasivo implicará que:

b
Q= (q + 2 c u )
2

siendo q la tensión debida a la sobrecarga existente en la zona donde no está la zapata.

Por último, se toman momentos de las fuerzas calculadas con respecto al punto N. Los
momentos estabilizadores dan lugar a:

 b  1 b   1 b π 
 q  ×  ×  + Q ×  ×  + c u ×  × R × R
 2  2 2  2 2 2 

mientras que los desestabilizadores son:

 b  1 b  1 b
p  × ×  +P × × 
 2  2 2   2 2

Igualando dichos momentos, y después de simplificar algunos coeficientes, resulta:

q + (q + 2 c u ) + 2 π c u = p + ( p − 2 c u )

que finalmente permite obtener:

p = q + ( π + 2) × c u = q + 5.14 c u

que es la presión de hundimiento en este caso.

Este mismo resultado se puede obtener de la expresión general de Brinch-Hansen para zapata
corrida apoyada en superficie y con cargas no inclinadas, haciendo φ → 0 y c → c u .

En efecto, si se toma la expresión general:



1
p = qs q d q iq N q + cs c d c ic N c + bγs γ d y iγ N γ
2

El factor que interviene en la sobrecarga q tiene la forma:

 π φ
N q = e π tg φ tg 2  +  lim N q = 1
 4 2 φ→ 0

El factor que interviene en el término de cohesión tiene la forma:

π φ
e π tg φ tg 2  +  −1
1 4 2
N c = ( N q − 1) lim N c = lim =
tg φ φ→ 0 φ→ 0 tg φ

 π φ  π φ  π φ 1
e π tg φ π ( 1 + tg 2 φ) tg 2  +  + e π tg φ 2 tg +   1 + tg 2  +  
 4 2  4 2   4 2  2
= lim = π+2
φ→ 0 1 + tg 2 φ

es decir, también resulta igual a lo que se había obtenido por equilibrio de cuñas.

Por último, el factor que interviene en el término de peso es:

N γ = 2( N q + 1) tg φ lim N γ = 0
φ→ 0

que tiende a cero, indicando que el peso del terreno no juega ningún papel en la rotura en
condiciones no drenadas del terreno bajo una zapata. En realidad, este término que tiene que
ver con el peso (Nγ) no lo obtuvo Prandtl y lo que se ha usado es la expresión propuesta por
Brinch-Hansen, usando N q y N c obtenidos por Prandtl y N γ propuesto por Terzaghi.



Con respecto a los coeficientes correctores que aparecen en la expresión general de Brinch-
Hansen, se calculan a continuación:

Coeficientes correctores de forma s:

b Nq b b Nq b
sq = 1 + tg φ sc = 1 + sγ = 1 − 0.4 sq = 1 sc = 1 +
L Nc L L Nc L

(condiciones drenadas) (condiciones no drenadas)

que suponiendo zapata corrida, serán igual a 1.

Coeficientes correctores de profundidad d:

D 1 − dq 2D
d q = 1 + 2tgφ(1 − sin φ)
2
dc = dq − dγ = 1 d q =1 d c = 1+
b N c tgφ Nc b


que suponiendo zapata apoyada en superficie, estos coeficientes valdrán 1.

Coeficientes correctores de inclinación i:

2
 H  1 − iq 2H
iq =  1 −
  i c = iq − i γ = iq
3/ 2 iq = 1 ic = 1 −

V + bLc cotgφ  N c bL c u
 N c tg φ


La carga no se encuentra inclinada y, por tanto, los coeficientes valdrán 1.

Por lo tanto, la expresión se ve reducida a:

p = q + (π + 2)c u

que coincide con la obtenida del equilibrio de cuñas planteado partiendo del mecanismo de
colapso indicado en la Fig. 1.1.



b) Interpretación de los términos y parámetros de la expresión de por Hanna:

Se supone que A es el área de la zapata que tiene una cierta geometría (por ejemplo circular o
rectangular). Se considera el terreno seco, aunque en caso de estar saturado el desarrollo sería
análogo pero en términos de tensiones efectivas. Las hipótesis realizadas por Hanna suponen
que el estrato inferior rompe según un mecanismo de rotura global y su carga de hundimiento
se puede obtener según la expresión general de Brinch-Hansen, es decir:

1
ph = qs q d q iq N q + cs c d c ic N c +
2
bγs γ d y iγ N γ
2

donde, teniendo en cuenta que la carga no está inclinada y el estrato inferior está compuesto
por una arena suelta y por lo tanto la cohesión en dicho estrato será considerada nula, se
tendrá lo siguiente:

1
ph = qsq N q +
2
bγs γ N γ
2

en la que, en ausencia de sobrecargas exteriores, q=γ1(d+h).

b

Fig. 1.2 Esquema para rotura por punzonamiento (φ1>φ2;γ1>γ2)
φ γ γ

El equilibrio entre la presión transmitida por la zapata (ph) y las presiones debidas a
resistencia del terreno se expresa como:



ph + γ 1 h = ph + ph
1 2

Si se despeja la presión de hundimiento total:

p h = p h 1 + ph 2 − γ 1 h

Puesto que ph es lo que se calcula y ph 2 ya se ha definido, sólo queda por definir ph 1 . El
punzonamiento del estrato 1 implica que se supera la resistencia al corte de la superficie que
prolonga el perímetro de la cimentación hacia el estrato 2. Si se supone que se trata de una
zapata circular, se tendrá un área:

π D2
A=
4

siendo D su diámetro. Si se toma K como el coeficiente que relaciona las tensiones
horizontales y las verticales en un punto, entonces:

σh = K σv τ = σ h tg φ

donde se ha incluido también la condición de rotura para el cálculo de las tensiones de corte.

Por otro lado, la tensión vertical es:

σ v = γ 1( d + h − z ) .

La integración de las tensiones tangenciales entre z = 0 y z = h, da lugar a:

h h
 h2 
∫ τdz = ∫ Kσ v tg φ 1dz = K γ 1  d h + 2  tg φ 1
 
0 0

Por último queda distribuir la fuerza resistente obtenida en la superficie de la zapata circular:

ph 1 × área = resistencia × perímetro
π D2  h2 
ph 1
d h +
= K γ1  tg φ 1 π D

4  2 

donde ha sido necesario multiplicar por el área y por el perímetro para igualar fuerzas ya que
ph 1 se había tomado como una presión sobre la superficie de la zapata.



Finalmente se llega a la expresión:

 h 2  tg φ 1
ph 1
= 4 γ 1  dh + 
 2 D

Si se extrae fuera del paréntesis h2/2 como factor común, quedará:

 2 d tg φ 1
ph 1 = γ 1 h2  1 + 2 K
 h  D

si se compara esta expresión con la zapata indefinida de ancho b propuesta inicialmente por
Hanna, se observa que el ancho es sustituido aquí por el diámetro y en esta expresión aparece
un coeficiente multiplicador de valor 2. De la propia derivación se observa que K, coeficiente
de la expresión de Hanna, es un coeficiente de empuje lateral. Finalmente, la expresión global
sería:

 2 d tg φ 1
ph = p h 2 + γ 1 h 2  1 + 2 K − γ 1h
 h  D

siendo ph 2 la carga de hundimiento de una zapata circular apoyada sobre el estrato 2 y D el
diámetro de la zapata.

Para zapata rectangular L× b se obtiene análogamente:

 2d  1 1
ph = ph + γ 1 h2  1 +
2
 K tg φ +  − γ 1h
 h  L b

y para zapata corrida basta tomar: L→ ∞.
→



c) Presión de hundimiento para terreno formado por una capa de arcilla dura sobre un estrato
de arcilla blanda (expresión de Brown-Meyerhof).

qo

Fig. 1.3 Representación esquemática del terreno

El terreno arcilloso inferior tiene un peso específico natural γ2 y una resistencia al corte cu2,
mientras que la capa arcillosa superior, más resistente, está caracterizada análogamente por γ1
y cu1. Se supone que se produce la rotura en condiciones no drenadas y que la zapata es
rectangular de dimensiones L× b. De forma análoga al apartado b) la presión de hundimiento
se considera compuesta por los siguientes términos:

p h = p h 1 + ph 2 − γ 1 h

en la que ph 2 es la presión de hundimiento por rotura global de la arcilla blanda (capa
inferior), mientras que ph 1 es la presión de hundimiento por punzonamiento de la capa dura
superior. Es decir, se hace la hipótesis que el estrato superior tiene una rotura perimetral de la
base (se hunde la zapata por el perímetro), mientras que la zapata y esta zona rota en el
estrato superior se hunden en el estrato inferior mediante una rotura global. Por lo tanto, hay
dos contribuciones a la presión de hundimiento: la parte que aporta el punzonamiento del
estrato superior y la parte que aporta la rotura global del estrato inferior.

La presión de hundimiento provocada por la rotura global del estrato inferior viene dada por
la siguiente expresión:



ph = N c c u 2 sc + N q ( γ 1 ( d + h) + qo ) sq
2

π
en la que qo es una sobrecarga en el terreno y Nq=1, Nc=(π+2) corresponden a condiciones no
drenadas.

Por otro lado, para calcular la presión de rotura por punzonamiento se han de hallar
primeramente las tensiones de corte:

τ = c + σ h tgφ = c + σ v Ktgφ
τ = c + (q o + γ 1 z )Ktgφ

donde q0 es la sobrecarga exterior aplicada en el terreno. Al estar trabajando en condiciones
no drenadas, la condición de rotura en tensiones totales se corresponde con φ nulo y c igual a
la resistencia al corte sin drenaje, resultando:

τ = cu

Lo que interesa es calcular la fuerza resultante de la tensión resistente. Por lo tanto, se tomará
un diferencial dz y se calculará:

dF1 = τdAp
A p : Área perimetral
dF1 = τΓdz
Γ : Perímetro

Integrando:

d +h d +h
F1 = ∫ dF1 =
d
∫ c Γdz = c Γh
d
u u

Por lo tanto, la presión de hundimiento debida al punzonamiento del estrato superior será:

τ × perímetro × h c u1 2 (b+L)h
ph = =
1

área bL

en la que la resistencia al corte que debe producirse en la zona de punzonamiento es igual a la
resistencia al corte sin drenaje de la capa de arcilla superior. Al combinar las expresiones
anteriores resulta:



2( b + L) h
ph = N c sc c u 2 + N q (γ 1 (d + h) + qo )sq + c u1 − γ 1 h
bL

donde:

b b
sq = 1 + tg φ 2 = 1 + tg 0º = 1
L L
Nq b
sc = 1 +
Nc L

Finalmente se obtiene:

2( b + L) h
ph = N c sc c u 2 + γ 1 d + qo + c u1
bL

Esta expresión puede escribirse alternativamente como:

p h = N m c u 1 + γ 1 d + qo
*

2( b + L)h
N m = N c sc c u 2 +
*

bL

Conviene remarcar que la sobrecarga qo corresponde a una sobrecarga externa y que los pesos
de los espesores de terreno d y h se han considerado independientemente de la primera.

__________________________________________



PROBLEMA 2

En un terreno compuesto por 10 m de una arcilla media (φ'=25º, c'= 3 t/m2, cu = 7 t/m2, γsat
φ
3
= 2 t/m , Cc=0.1, e0=0.8) sobre una capa rígida con el nivel freático en superficie, se debe
cimentar una torre de comunicaciones que transmite una carga de 1000 t, inclinada 5º
respecto a la vertical, con una excentricidad de 0.10 m en dirección arbitraria.
Dimensionar una cimentación superficial adecuada para esta torre (a) suponiendo
desconocidos los parámetros resistentes del suelo; b) con parámetros conocidos), y estimar
los asientos que se producirán.

Fig. 2.1. Representación esquemática del terreno y cimentación

a) Determinación del tamaño de la cimentación suponiendo desconocidos los parámetros
resistentes del suelo, en concreto, su resistencia al corte sin drenaje.

Cuando el suelo es arcilloso, la presión de hundimiento (y, por tanto, la presión admisible)
puede estimarse fácilmente si se conoce la resistencia al corte sin drenaje. En caso de no
conocerla se podrían realizar los pasos que se indican a continuación.

En primer lugar, se estima para este suelo una presión admisible de:

padm ≅ 1.5 a 2.0 kp cm 2 ≡ 15 a 20 t m 2

Valores que indican una capacidad portante aceptable correspondiente a una arcilla media.



Entonces para una zapata cuadrada de lado B se realizan los siguientes cálculos:

V 6M
p= 2
+ 3 , p < padm
B B
V = 1000 t× cos 5º = 996.2 t
H = 1000 t × sin 5º = 87.2 t
M = V × 0.10 m = 99.6 m × t

Al igualar la presión calculada con la presión admisible se obtiene la ecuación que permite el
dimensionamiento de la zapata:

p = padm B 3 padm = BV + 6 M
BV + 6 M
B= 3
padm

Para padm= 15 t/m 2 resulta B = 8.43 m, mientras que para padm = 20 t/m 2 resulta B = 7.34 m.
Como puede verse el resultado es sensible a la presión admisible considerada, la cual se ha
estimado.

b) Determinación del tamaño de la cimentación conocidos los parámetros resistentes del suelo
y, en particular, la resistencia al corte sin drenaje.

En este caso es posible determinar el tamaño de la cimentación sin necesidad de estimar la
presión admisible.

Se parte de la expresión general de Brinch-Hansen:

1
ph = qsq d q iq N q + csc d c ic N c + B γ s γ d γ iγ N γ
2

Suponiendo que la rotura se produce en condiciones no drenadas, lo cual es lo más probable al
tratarse de un suelo arcilloso, se puede obtener la presión de hundimiento trabajando en
tensiones totales haciendo: φ= 0º, c = cu. Con lo cual resulta:

N γ = 0, N q = 1, N c = π + 2 = 5.14

Se consideran dos casos para la profundidad de la zapata, que son D = 0 y D =2 m para
estudiar la influencia de esta variable en las dimensiones de la cimentación a construir.



Coeficientes de forma:

B
sq = 1 + tg φ = 1
L
Nq B 1
sc = 1 + = 1+ × 1 = 1.19
Nc L 5.14

Coeficientes de inclinación:

2
 H 
iq =  1 −  =1
 V + B c cotg φ 
2

1 − iq 2H
ic = iq − = 1− = 0.93 para φ → 0
N c tg φ N c B 2cu

Coeficientes de profundidad ( D / B < 1):

D
= 1 para φ → 0
d q = 1 + 2 tgφ (1 − sinφ ) 2
B
2 D
1 − dq 2 tgφ(1 − sinφ ) 2D
B
dc = dq − = dc + = 1+ para φ → 0
N c tgφ N c tgφ NcB

Para los dos casos de empotramiento resulta:

a) Empotramiento nulo, D = 0:

dc = 1

b) Empotramiento de D = 2 m:

0.78
dc = 1+ ≅ 1.1 para B entre 7.43 y 8.43
B

Se realiza a continuación el cálculo de la presión de hundimiento.

Para D = 0, es decir, q = γ ×D = 0, la presión de hundimiento es:

ph = 0 + c u × 1.19 × 1 × 0.93 × 5.14 = 39.8 t m 2



Y si se hace para D = 2 m, es decir, q = γ ×D = 2× 2 = 4 t m 2 , la presión de hundimiento
×
resulta:

p h = 4 × 1 × 1 × 1 + c u × 1.19 × 1.1 × 0.93 × 5.14 = 47.5 t m 2

Una vez calculada la presión de hundimiento se pasará al dimensionamiento mediante la
condición de seguridad al hundimiento. El factor de seguridad al hundimiento viene definido
como la relación existente entre la presión de hundimiento y la presión debida a las cargas
verticales.

ph
FS hundimiento =
p

siendo:

V fuerza vertical
p= 2
=
B área

Sustituyendo esta última expresión en la fórmula del factor de seguridad, es posible despejar
la dimensión de la zapata en función de las demás variables:

ph V × FS
FS = B=
V B2 ph

Para un valor del factor de seguridad FS = 3 resulta:

ph = 39.8 t m 2 ⇒ B = 8.65 m
ph = 47.5 t m 2 ⇒ B = 7.95 m

Para tener en cuenta la excentricidad hay que añadir 2×0.10 m = 0.2 m al ancho obtenido. En
conclusión, B = 8.85 m cuando no se considera empotramiento de la zapata y B = 8.15 m
cuando sí se considera empotramiento de la zapata (D = 2 m).

El ancho obtenido sin considerar el empotramiento (es decir, para D = 0) se puede comparar
con el obtenido en el dimensionamiento usando la presión admisible (apartado a.). La similitud
de ambos valores indica que la presión admisible elegida era adecuada, aunque probablemente
podría haber sido un poco más baja. De hecho, para arcillas, la presión admisible puede
relacionarse con la de hundimiento a través del factor de seguridad al hundimiento. En este
caso tendríamos:



ph 39.8
padm = = = 13.3 t m 2
3 3

Por otro lado, se realizará la comprobación estabilidad al deslizamiento. El factor de
seguridad al deslizamiento se define, dependiendo de las condiciones de rotura, por:

V tg δ + cB 2
FS drenado =
H
cu B 2
FS no drenado =
H

siendo δ el ángulo de fricción terreno-zapata y c la cohesión entre terreno-zapata. Para

2
δ= φ = 16.6º y c = 0 ,
3

resulta que:

FS drenado = 3.42

donde se supone que no hay cohesión. Mientras que en condiciones no drenadas y adoptando
la resistencia el corte de 7 t/m2 resulta:

FS no drenado = 6.3

Por último se calcularán los asientos. Para dicho cálculo se usará B = 8.85 m que es el valor
correspondiente a la cimentación apoyada en superficie. La presión de cálculo correspondiente
a esta dimensión es:

V 996.2 t
p= 2
= 2
= 12.7 t m 2
B 78.3 m

El asiento total se puede obtener como suma de dos componentes, un asiento instantáneo que
se produce al aplicar la carga, y un asiento de consolidación que se produce de forma diferida
a medida que se disipan las presiones intersticiales generadas al aplicar la cimentación.

Asiento instantáneo: Se suponen condiciones no drenadas por tratarse de una arcilla. En estas
condiciones, el módulo de Poisson, ya que no se produce cambio de volumen, es igual a ν u =



0.5. El módulo de Young en condiciones no drenadas se puede estimar a partir de la
resistencia al corte sin drenaje mediante:

Eu ≅ 500 c u = 500 × 7 t m 2 = 3500 t m 2

Si cu fuera variable con la profundidad, entonces Eu también variaría. La solución elástica
para zapata flexible permite obtener los asientos de un estrato sobre una base rígida sometido
a una carga rectangular mediante el método elástico:

2 a q(1 − ν 2 )
s= K a=B q = p = 12.7 t m 2
Eu 2

Si se calcula el asiento en el centro de la zapata, K= K0 donde K0 viene dado en función de
h a y m, por ejemplo en el caso de zapata cuadrada se tienen los siguientes valores:

m = b/a
h/a τ=0 u=0
0 0.0 0.0
0.2 0.10 0.08
0.5 0.26 0.21
1 0.51 0.44
2 0.77 0.72
3 0.88 0.84
5 0.98 0.95
7 1.02 1.00
10 1.05 1.04
∞ 1.12 1.12

τ
Además la tabla anterior da las opciones de zapata lisa (τ = 0) y de zapata rugosa (u = 0). El
primer caso (zapata lisa) da lugar a valores mayores que el segundo (zapata rugosa), con lo
cual se quedará del lado de la seguridad, por lo que se supondrá que es el que se produce. Se
propone h a = 2.25 y b a =1 para quedar del lado de la seguridad.

h a = 2 → K 0 = 0.77  0.88 − 0.77
 ⇒ K 0 = 0.77 + ( 2.25 − 2) = 0.78
h a = 3 → K 0 = 0.88  3− 2

Luego:

2 × 4.425 × 12.7 × (1 − 0.5 2 )
s= × 0.78 = 0.02 m = 2 cm
3500



Asiento diferido: Por tratarse del asiento de consolidación puede aplicarse el método
edométrico para su cálculo. En dicho método supone que:

∆σ' z = ∆σ z

ya que los ∆u son nulos una vez se ha completado la consolidación. Para aplicar dicho método
en condiciones bidimensionales se considera terreno estratificado de forma que se puede tener
el cuenta que la deformación varia con la profundidad. En este caso divide el estrato en capas
de 2.5 m:

Fig. 2.2 Discretización del terreno para el cálculo de asientos de consolidación

Para calcular las tensiones verticles se recurre a la figura de Sovinc (Jiménez Salas, tomo II,
ver Figura 2.3) que corresponde a una solución elástica en medio limitado inferiormente por
base rígida y zapata rectangular:

B 2 h 10
b a= =1 = = 2.25
B 2 b 4.425

Al subdividir el estrato en 4 subestratos de 2.5 m cada uno (unidades t/m 2 ) resultan las
tensiones de la siguiente tabla:
Estrato z z b ∆σ p ∆σ σ0 = γ z σ '0 = γ ' z
1 1.25 0.28 0.98 12.4 2.5 1.25
2 3.75 0.85 0.76 9.6 7.5 3.75
3 6.25 1.41 0.60 7.6 12.5 6.25
4 8.75 1.98 0.52 6.6 17.5 8.75



Fig. 2.3. Ábaco de Sovinc (1961)

Para calcular deformaciones verticales se usa el módulo edométrico que viene definido por:

∆σ' (1 + e 0 )
Em =
 σ' + ∆σ' 
C c log 0
 σ' 

 0 

Los módulos obtenidos para los estratos 1, 2, 3 y 4 son:

12.4 × (1 + 0.80 ) 9.6 × (1 + 0.80 )
Em 1 = = 215.0 t m 2 Em 2 = = 313.4 t m 2
 1.25 + 12.4   3.75 + 9.6 
0.1 × log 10   0.1 × log 10  
 1.25   3.75 
7.6 × (1 + 0.80) 6.6 × (1 + 0.80 )
Em 3 = = 375.8 t m 2 Em4 = = 486.7 t m 2
 6.25 + 7.6   8.75 + 6.6 
0.1 × log 10   0.1 × log 10  
 6.25   8.75 



Finalmente el asiento diferido viene dado por la suma:

h 2.5 2.5 2.5 2.5
s= ∑E mi
∆σ'
∆σ i =
215.0
× 12.4 +
313.4
× 9.6 +
375.8
× 7.6 +
486.7
× 6.6 = 0. 305 m

s = 0.305 m = 30.5 cm

El asiento total vendrá dado por la suma del asiento instantáneo y el diferido:

s = sins + sdif = 2 + 30.5 = 32.5 cm

Este asiento corresponde al punto en el centro bajo la cimentación.

______________________________________

PROBLEMA 3

Obtener la presión de hundimiento de una zapata rectangular de 4 m × 6 m ante una carga
vertical centrada, que corresponde una zapata apoyada a 1 m de profundidad en los
siguientes terrenos:

a) capa de 5 m de arena densa (φ'=40º, γn= 2 t/m3) sobre terreno granular (φ'=30º, γn= 1.8
φ φ
t/m3).

b) capa de 3 m de arena (φ'=30º, γn = 1.8 t/m3) sobre macizo rocoso.
φ

c) capa de 3 m de arena (φ'=40º, γn= 2 t/m3) sobre terreno (cu=2 t/m3,γn= 1.8 t/m3), con el
φ γ
nivel freático en el contacto entre ambas capas.

a) Se supondrá terreno seco.

Al tener una arena densa sobre una arena suelta, en principio, la hipótesis de rotura que se
propone es que se producirá punzonamiento en el estrato superior y rotura global del estrato
inferior.

La fórmula de Hanna (1981) se desarrolló para este caso, aunque para zapata corrida. Para
zapata rectangular resulta (ver problema 1):

 2 d  1 1
ph = ph 2 + γ 1 h2  1 +  K s tg φ'1  +  − γ 1 h
 h   L B



siendo ph 2 la presión de hundimiento del estrato inferior, es decir:

1
ph 2 = γ B N γ 2 s γ 2 d γ 2 iγ 2 + q 2 N q 2 s q 2 d q 2 iq 2
2 2

teniendo en cuenta que el término de cohesión es nulo ya que c’ (la cohesión) es cero. Por otra
parte, los coeficientes pueden calcularse como:

q2 = h × γ 1 = 5 m × 2 t m 3 = 10 t m 2
h : Ancho del estrato superior de arena
π tg φ'  π φ'  B 4
Nq2 = e 2
× tg 2  + 2  = 18.4 sq 2 = 1 + tg φ'2 = 1 + tg 30º = 1.38
4 2  L 6
dq2 = 1 i q2 = 1 (al no haber inclinación de la carga)

Fig. 3.1 Representación esquemática de la cimentación

El coeficiente de empotramiento en el cálculo de ph2 debe ser dq2 = 1 debido a que no hay
empotramiento en la capa inferior, sino que el empotramiento está realmente en la capa 1:

N γ 2 = 2 ( N q 2 + 1) tg φ ' 2 = 2 × ( 18.4 + 1) tg 30º = 22.4
B 4
s γ 2 = 1 − 0. 4 × = 1 − 0.4 × = 0.73 (coef. forma)
L 6
dγ 2 = 1 iγ 2 =1



Como puede verse se ha supuesto que d γ 1 = 1 porque de hecho no hay empotramiento en la
capa inferior. Esto es una hipótesis que deja del lado de la seguridad.

Finalmente, la presión de hundimiento en la capa inferior vendrá dada por:

1
ph 2 = × 1.8 × 4 × 22.4 × 0.73 × 1 × 1 + 10 × 18.4 × 1.38 × 1 × 1 = 330 t m 2
2

Sustituyendo en la expresión de Hanna y utilizando K s = 5.5 (que se obtiene del ábaco dado
por este autor, Fig 3.2):

 2 × 1 1 1
ph = 330 + 2 × 4 2 ×  1 +  × 5.5 × tg 40º ×  +  − 2×4 =
 4  6 4
= 330 + 92 − 8 = 414 t m 2

Fig. 3.2 Ábaco de Hanna (1981).

Para ver que la hipótesis de rotura es correcta se realizan algunas comprobaciones
adicionales. En primer lugar puede determinarse la profundidad de un hipotético mecanimso
de rotura contenido exclusivamente en el estrato superior:



  π φ'  
B exp  − 1  tg φ'1 
 4 2  
d2 = = 1.71 B = 6.8 m
 π φ' 1 
2 cos  + 
4 2 

puesto que 6.8 m > 4 m (que es el ancho restante entre el fondo de la zapata hasta la interfase
entre los dos estratos), este tipo de rotura no parece probable.. Sin embargo, la forma de
comprobarlo con mayor seguridad es mediante la carga de hundimiento en el estrato superior
en el caso en que pudiera desarrollarse la rotura en él:

1
ph 1 = γ B N γ 1 S γ 1 d γ 1 i γ 1 + q 1 N q 1 S q 1 d q 1 iq 1
2 1

siendo:

q1 = 1 × γ 1 = 1 × 2 = 2 t m 2 N q 1 = 64.20 N γ 1 = 109.4
s q 1 = 1.56 s γ 1 = 0.73
iγ 1 = 1 iq 1 = 1
2 D
Como D B = 1 4 < 1, d q 1 = 1 + 2 tg φ '1 (1 − sinφ '1 )
B
d q1 = 1.05 dγ1 =1

Por tanto dicha carga de hundimiento viene dada por:

1
ph 1 = × 2 × 4 × 109.4 × 0.73 × 1 × 1 + 2 × 64.2 × 1.56 × 1.05 × 1 = 530 t m 2
2

que es mayor que la obtenida por la fórmula de Hanna con lo que se confirma que no puede
desarrollarse la superficie de rotura en esta capa de arena densa.

b) Se supone terreno seco.

Se tiene una arena suelta sobre un macizo rocoso.



Fig. 3.3 Representación esquemática del terreno y cimentación

Para esta situación se puede utilizar la expresión general de Brinch-Hansen pero afectada de
unos coeficientes correctores ξ q , ξ c , ξ γ , que tienen en cuenta que el estrato rígido no
permite desarrollar el mecanismo de rotura teórico en estrato indefinido:

1
ph = qs q d q iq N q ξ q + c' s c d c ic N c ξ c + B γ s γ d γ iγ N γ ξ γ
2

donde se ha tomado c' = 0. ξ q , ξ c , ξ γ son unos coeficientes correctores que han sido
obtenidos y transformados en ábacos por Mandel y Salençon (Figura 3.4). ξ q y ξ γ se obtienen
en función de:

B 4
= =2 ξ q = 2.4 ξ γ = 1.2
h 2

y por tanto la presión de hundimiento se calcula como:

1
ph = 1 × 1.8 × 1.38 × 1.07 × 18.4 × 2.4 + × 1.8 × 4 ×
2
× 0.73 × 1 × 22.4 × 1.2 = 117 + 71 = 118 t m 2

donde sq , N q , sγ y N γ se han tomado del apartado anterior, y los coeficientes de profundidad
se han calculado como:

1
d q = 1 + 2 tg 30º (1 − sin 30º ) 2 × = 1.07 ( D B = 1 4 = 0. 25 < 1)
4
dγ = 1



Fig. 3.4 Ábacos de Mandel y Salençon (ξq y ξγ, respectivamente en función de B/H )

c) Se tiene el nivel freático en la interfase entre capas, y por tanto el terreno superior seco.

Para las dimensiones del estrato y zapata, h = 2 m, B = 4m, se obtiene una relación:

h 2
= = 0.5 < 1.5
B 4

Esta condición indica que no será probable la rotura generalizada en el estrato superior. Por
tratarse de un material tipo arena compacta sobre un material arcilloso blando, la presión de
hundimiento puede ser obtenida por la solución dada por Tcheng (1957):

ph 2
ph =
2h  π  
1− tg φ' 1 (1 − sin φ'1 ) exp  −  − φ' 1  tg φ'1 
B  2  




Substituyendo para φ 1 = 40º, resulta:

ph 2
ph =
0.856

Tan solo queda obtener ph2, que se calculará en condiciones no drenadas, es decir, con φ’2
igual a cero:

p h = q 2 N q 2 s q 2 d q 2 iq 2 + c u N c 2 s c 2 d c 2 ic 2
2

N q2 B 1 4
sq 2 = d q 2 = iq 2 = 1 sc 2 = 1 + =1+ × = 1.13
Nc2 L 5.14 6
d c 2 = ic 2 = 1 N c 2 = 5.14 q 2 = 3 × 2 = 6 t m2

ph = 1 × 1 × 1 × 6 + 1.13 × 1 × 1 × 5.14 × 2 = 17.6 t m 2
2

17.6
ph = = 20.6 t m 2
0.856

Es preciso remarcar que la presión de hundimiento determinada por esta solución (Tcheng,
1957), alternativamente puede calcularse mediante una solución del tipo Hanna teniendo en
cuenta que el estrato inferior es, en este caso, un suelo arcilloso.

________________________________________



PROBLEMA 4

Se va a construir un depósito circular de 28 m de diámetro y 3400 t de peso en la superficie
de un terreno con el nivel freático en superficie compuesto por 4 m de arcilla blanda (cu=3
t/m2, γn= 1.9 t/m3, Cc=0.15, e0=0.9) sobre una arcilla dura (cu=12 t/m2, γn= 2 t/m3,
Cc=0.08, e0=0.8). Estimar el factor de seguridad al hundimiento de esta cimentación y el
asiento previsible que se producirá, suponiendo que a 29 m de la superficie existe una capa
rígida que puede considerarse indeformable.


Se trata de una capa más blanda apoyada sobre una capa más dura. La presión de
hundimiento puede obtenerse por:

ph = c u N m + q
1

donde N m ha sido tabulado por Vesic (1970) para diferentes tipologías de carga y en función
de (cu2/cu1) y (B/H):
B/H
c2/ c1 4 8 12 16 20 40 ∞
1 6.17 6.17 6.17 6.17 6.17 6.17 6.17
1.5 6.17 6.34 6.49 6.63 6.76 7.25 9.25
2 6.17 6.46 6.73 6.98 7.20 8.10 12.34
3 6.17 6.63 7.05 7.45 7.82 9.36 18.51
4 6.17 6.73 7.26 7.75 8.23 10.24 24.68
5 6.17 6.80 7.40 7.97 8.51 10.88 30.85
10 6.17 6.96 7.74 8.49 9.22 12.58 61.70
∞ 6.17 7.17 8.17 9.17 10.17 15.17 ∞
donde B es el diámetro de la carga y H la distancia entre la base de la zapata y la superficie
de contacto entre las dos capas. En el caso planteado:



2
cu 12 B 28
1
= =4 y = =7
cu 3 H 4

Según la tabla dada por Vesic, para B H = 4 se tiene:

N m = 6 .17

y para B H = 8 se tiene:

N m = 6.73

Se interpolará para encontrar el valor de B H = 7 :

 6.73 − 6.17 
N m = 6.17 +   × ( 7 − 4 ) = 6.59
 8−4 

y substituyendo se obtiene la presión de hundimiento:

ph = N m c u + q = 6.59 × 3 + 0 = 19.8 t m 2

Luego, frente al hundimiento el factor de seguridad es:

ph 19.8
FS = = = 3.6
p 3400 ( π14 2 )

El factor de seguridad al hundimiento es suficiente al ser superior a 3. Si fuese FS < 3 habría
que cambiar el diseño. Dos posibles soluciones consisten en aumentar el empotramiento o en
aumentar la superficie de la base.

Para el cálculo de asientos se procede a su descomposición en una contribución instantánea
más una contribución diferida.

Asientos instantáneos: Se usará el método aproximado de Steinbrenner porque no hay solución
elástica analítica para este caso al estar el terreno compuesto por dos capas de diferente
naturaleza. Por otro lado, puesto que para dicho método se dispone de ábacos para carga
rectangular, conviene convertir el círculo en cuadrado de forma que ambas formas tengan
áreas equivalentes, es decir:

π × 14 2 = B' 2 B' = 24.8 m B = B' 2 = 12.4 m



donde B' es el lado del cuadrado equivalente al depósito, mientras que B es el lado de los
cuatro cuadrados en los que se divide el cuadrado grande para poder utilizar los asientos en la
esquina y obtener el asiento total en el centro, es decir: scentro=4xsesquina; usando B = 12.4 m
para calcular sesquina. Por otro lado, el asiento instantáneo se producirá en condiciones no
drenadas y por tanto se toma ν u = 0.5 y Eu ≈ 500 c u .

Fig.4.2. Ábaco para cálculo de asientos mediante el método de Steinbrenner

q B ( I 2 − I1 )
s esquina =
1
1
estrato 1
Eu
q B ( I3 − I2 )
s esquina =
2
2
estrato 2
Eu

ν u = 0.5  L
 ⇒ I i = ( 1 − ν u ) f 1 ( n, m i )
2
n= =1
1 − 2ν u = 0  B

z 0
m1 = = = 0 ⇒ I 1 = 0 porque f 1 ( 1,0 ) = 0
B 12.4
4
m2 = = 0.32 ⇒ f 1 = 0.04 ⇒ I 2 = 0.04 × ( 1 − 0.5 2 ) = 0.03
12.4
29
m3 = = 2.34 ⇒ f 1 = 0.32 ⇒ I 3 = 0. 32 × ( 1 − 0.5 2 ) = 0.24
12.4

Para el cálculo de Ii se ha empleado simplemente la primera parte, al ser la segunda nula (ν =
0.5).



Finalmente, el asiento en el centro de la cimentación se obtendrá como:

 5.5 × 12.4 × 0.03 5.5 × 12.4 × ( 0.24 − 0.03) 
s centro = 4 ×  +  = 0.015 m = 1.5 cm
 1500 6000 

Asientos diferidos: Se calcularán mediante el método edométrico. Cuando se calculan asientos
debidos a deformación drenada (en este caso diferidos por tratarse de unas arcillas) por el
método edomérico, conviene subdividir el estrato para tener en cuenta así la variación del
módulo de deformación con la profundidad provocada por la variación del estado tensional.
En este caso se propone la siguiente subdivisión en subestratos:

Fig. 4.3 División del terreno en subestratos para el cálculo de asientos

Para la aplicación de dicho método edométrico se require una ley de variación de tensiones
verticales bajo la cimentación. En este caso se han propuesto dos alternativas para las cuales
se ha determinado el estado tensional.

Carga circular sobre semiespacio indefinido (Foster y Alvin, 1954). Solución analítica dada
por:

σz    
32
1
= 1 −   
q   1 + (a z) 2  
 

que es la ley de tensiones verticales bajo el centro de la cimentación.

Carga circular sobre estrato de espesor finito (Milovic, 1970). Solución en forma de ábaco:



h 29
= =2 ( ν = 0.3)
a 14

Fig. 4.4. Ábaco de Milovic (1970) para el cálculo de tensiones verticales bajo carga circular
flexible.

Los resultados obtenidos en uno y otro caso se muestran en la siguiente tabla:
FOSTER Y ALVIN MILOVIC

Estratos z (m) z/a ∆σ/q ∆σ ∆σ/q ∆σ σ0 σ 0'

1 1 0.07 1.00 5.5 1.00 5.5 1.9 0.9
2 3 0.21 0.99 5.4 0.98 5.4 5.7 2.7
3 6.5 0.46 0.92 5.1 0.90 4.9 12.6 6.1
4 11.5 0.82 0.74 4.1 0.80 4.4 22.6 11.1
5 16.5 1.18 0.56 3.1 0.65 3.6 32.6 16.1
6 21.5 1.54 0.41 2.2 0.55 3.0 42.6 21.1
7 26.5 1.89 0.31 1.7 0.42 2.3 52.6 26.1
Se adoptan las tensiones de la opción b) (estrato de espesor finito) porque representa mejor la
situación y son más desfavorables. Se supondrá que ∆σ'z = ∆σz , al no haber ∆u, y se
calcularán asientos como si las condiciones fuesen edométricas en cada estrato.

A continuación se calcularán los módulos de deformación secantes que vienen dados por la
siguiente expresión:



∆σ' ( 1 + e 0 )
Em =
 σ' + ∆σ' 
C c log 10  0 
 σ'0 

que aplicada a cada uno de los subestratos da lugar a:
Estratos 1 2 3 4 5 6 7
Em ( t m2) 82 143 431 683 924 1169 1411

Por último basta calcular el asiento por integración (en este caso suma) de las deformaciones:

hi 2 2 5 5
s= ∑iE mi
∆σ'
∆σ i =
82
× 5.5 +
143
× 5.4 +
431
× 4.9 +
683
× 4.4 +

5 5 5
+ × 3.6 + × 3.0 + × 2.3 = 0. 340 m
924 1169 1411

El asiento total se obtiene como:

s total = s instantaneo + s diferido = 1.5 + 34.0 = 34.5 cm.

El asiento puede ser inadmisible según el tipo de depósito a construir. Para reducirlo, una
primera medida es profundizar, empotrando la estructura en el terreno. Nótese que
profundizando 2 m se reduce el asiento aproximadamente en:

2m 3400 t
× = 13.4 cm
82 t m 2
π × 14 2 m 2

ya que la parte superior del terreno es más deformable y el incremento de tensión es mayor.
Esta estimación debería corroborarse mediante un nuevo cálculo de los asientos con el estado
tensional correspondiente a la carga apoyada a cierta profundidad. Otra opción muy razonable
para reducir los asientos es la realización de una precarga que consolide el suelo y que al ser
excavada deje éste sobreconsolidado.

________________________________________

PROBLEMA 5

Tenemos un terreno compuesto por 6 m de una arena densa (φ'=38º, γn = 2 t/m3) sobre 7 m
φ
de una arena media (φ'=32º, γn = 1.8 t/m ), a su vez apoyada en un macizo rocoso. Se va a
φ 3

proyectar una cimentación superficial de 5 m de anchura empotrada a 1 m de profundidad,



para soportar una carga de 1500 t y un momento de 100 t×m. Predimensionar esta
cimentación y estimar sus asientos suponiendo que el módulo de la arena densa aumenta
linealmente desde 50 MPa a 1m de profundidad hasta 140 MPa a 6 m de profundidad y que
el de la arena media aumenta también linealmente desde 70 MPa a 6 m de profundidad
hasta 100 MPa a 13 m de profundidad.


Se supone que el vector momento actúa perpendicularmente al lado de longitud L que se
supone mayor que B.

Las tensiones σ 1 y σ 2 , máxima y mínima para una sección rectangular sometida a una carga
centrada y un momento en la dirección indicada, vienen dadas por:

V 6M
σ1 = +
B × L B × L2
V 6M
σ2 = −
B × L B × L2

Se ha confeccionado una tabla para diferentes valores de la longitud L de la cimentación (B =
5 m se encuentra fijada) (tensiones en t/m 2 ):
L σ1 σ2
5 64.8 55.2
10 31.2 28.8
15 20.5 19.5
20 15.3 14.7

También se puede despejar L en función de σ 1 , resultando:



V + V 2 + 4 σ1B 6 M
L=
2 σ1B

que para σ 1 = 40 t/m 2 (arena densa sobre arena media) da lugar a L = 7.9 m.

Se elige L = 8 m y se calcula la carga de hundimiento según Hanna, aunque no se trata
exactamente de la misma situación que en el esquema propuesto por este autor, ya que existe
una base rocosa indeformable. Sin embargo, en el problema 1 ya se vio lo que representaban
los términos de la solución de Hanna y se ve posible su aplicación para el caso rectangular
añadiendo solamente coeficientes para tener en cuenta la presencia de la base indeformable.
La presión de hundimiento calculada según el esquema propuesto por Hanna es:

 2 d  1 1
ph = ph 2 + γ 1 h2  1 +  K s tg φ'1  +  − γ 1 h
 h   L B

siendo:

1
ph = q2 N q 2 sq 2 d q 2 iq 2 + γ 2 B N γ 2 sγ 2 d γ 2 i γ 2
2

2
 π φ' 
q2 = 6 × γ 1 = 12 t m 2 N q 2 = exp ( π tg φ'2 ) tg 2  + 2  = 23.2
4 2 
B 5
sq 2 = 1 + tg φ'2 = 1 + × tg 32º = 1.39 d q 2 = 1 y iq 2 = 1
L 8

y con respecto a los coeficientes del término de peso, éstos son:

B
N γ 2 = 2 ( N q 2 + 1) tg φ'2 = 30.2 sγ 2 = 1 − 0.4 × = 0.75 d γ 2 = 1 y iq 2 = 1
L

Al ser B H = 5/7 = 0.7 menor que 1, las figuras de Mandel y Salençon (ver ábacos en
Problema 3) dan lugar a ξ q = ξ γ = 1, lo que significa que la base rígida no afecta
prácticamente al desarrollo de las superficies de rotura. Por tanto:

1
ph 2 = × 1.8 × 5 × 30.2 × 0.75 × 1 × 1 + 12 × 23.2 × 1.39 × 1 × 1 = 489 t m 2
2

y substituyendo en la expresión de ph resulta ( K s = 6, según el ábaco de Hanna, Problema 3):



 2 ×1 1 1
ph = 489 + 2 × 5 2 ×  1 +  × 6 × tg 38º× +  − 2 × 5
 5  8 5
ph = 489 + 107 − 10 = 586 t m 2

Esta ph es muy elevada, e implica unas hipótesis de rotura del estrato inferior y
punzonamiento del superior. Otra posibilidad de rotura, sería rotura generalizada del estrato
superior sin efectos en el inferior. Para comprobar que la hipótesis de rotura es correcta se
calculará:

a) Profundidad necesaria de la capa superior para desarrollar la superficie de rotura
(generalizada) en ella, como en el apartado primero del ejercicio anterior:

  π φ'  
B exp  − 1  tg φ' 1 
 4 2  
d2 = = 1.63 B = 8.13 m
 π φ'1 
2 cos  + 
4 2 

puesto que 8.13 m > 5 m (espesor de dicha capa), en principio no se desarrollará en ella la
rotura global.

b) Carga de hundimiento del estrato superior suponiendo que pudiera desarrollarse la rotura
en él:

1
ph = × 2.0 × 5 × 78.03 × 0.75 × 1 × 1 + 2 × 48.93 × 1.49 × 1 × 1
2

2
= 292.6 + 145.8 = 438.4 t m 2
2
ph

en la que se han usado los siguientes coeficientes:

5
q1 = 1 × γ 1 = 2 t m 2 N q 2 = 48.93 S q1 = 1 + × tg 38º = 1.49
8
d q1 = iq1 = 1 N γ 1 = 78.03 S γ 1 = 0.75 dγ1 = iγ 1 = 1

En este caso, a pesar de que la profundidad no es suficiente para la rotura generalizada en el
estrato superior, su carga de hundimiento suponiéndolo indefinido es menor (ph1<ph Hanna), por
tanto, por seguridad se tomaría este valor (438 t/m 2 ) como carga de hundimiento aunque
aparentemente no es probable el desarrollo de este mecanismo de rotura.



Sin embargo, los elevados valores de presión de hundimiento tanto en un cálculo como en otro
incan que la problemática de esta cimentación no será el hundimiento, lo que se debe a que el
terreno es de tipo granular.

Por otro lado se realizará el cálculo de asientos. Para ello debe calcularse la expresión del
módulo de deformación en cada estrato.

Módulo de deformación del estrato superior:

 14000 − 5000 
E = 5000 +   × ( z' −1) = 5000 + 1800 × ( z' −1) = 5000 + 1800 z
 6−1 

Modulo de deformación del estrato inferior:

10000 − 7000
E = 7000 + × ( z' −6 ) = 7000 + 429 × ( z' −6 ) = 7000 + 429 × ( z − 5 )
13 − 6

Dada la variabilidad de los módulos de deformación, una alternativa sencilla para el cálculo
de los asientos es la discretización en subestratos según el siguiente esquema:

Fig. 5.2 Discretización en subestratos para el cálculo de asientos

El siguiente paso es calcular el estado de tensiones verticales en función de la profundidad:

Estrato z z/(L/2) ∆σ z q ∆σ z E
1 1.25 0.31 0.94 35.25 7250
2 3.75 0.94 0.64 24.00 11750
3 6.75 1.69 0.46 17.25 7751
4 10.25 2.56 0.30 11.25 11397



Donde ∆σ / q se ha obtenido con la figura dada por Sovinc (1961) (ver Problema 2) y
utilizando:

L
1500 b 4 h 12
q= × 5 = 37.5 t m 2 = 2 = = 1.6 = =3
8 a B 2.5 4 4
2

El asiento se obtiene finalmente como:

hi 2.5 × 35.25 2.5 × 24 3.5 × 17.25 3.5 × 11.25
s = ∑i ∆σ'i = + + + =
E mi 7250 / 0.743 11750 / 0.743 7751 / 0.743 11397 / 0.743
= 0.009 + 0.004 + 0.006 + 0.002 = 0.021 m = 21 mm

Según la metodología seguida, el cálculo de este asiento debe hacerse usando el módulo de
deformación edométrico puesto que en la expresión para el cálculo del asiento se ha tomado
solo en términos de variaciones verticales de tensión. El módulo elástico se ha transformado en
edométrico utilizando ν=0.3 en la expresión:

E
Em =
 2 ν2 
1 −
 
 1− ν

Alternativamente al método usado aquí puede determinarse el asiento mediante la misma
estratificación en el método de Steinbrener, en este caso con los módulos elásticos (E).

______________________________________


Cimentaciones Profundas 49

Capítulo 2. Cimentaciones profundas

PROBLEMA 6

Un terreno está compuesto por 15 m de una arena suelta sobre una arena compacta. Para
cimentar cargas de 100 t se opta por hincar pilotes de hormigón (tras la hinca puede
suponerse que la arena media suelta alcanza un φ' = 32º). Estudiar la posibilidad de dejar
un pilote flotante en la capa superior. En caso de descartarse esta posibilidad dimensionar
φ
un pilote que penetre en la capa de apoyo (φ' = 38º). En esta última hipótesis dimensionar
un grupo de pilotes 3×3 para soportar una carga total de 600 t (excentricidad máxima de
10 cm) de forma que ningún pilote supere la carga admisible de 100 t, y estimar los
asientos que se producirán. Realizar el dimensionamiento tanto en base a la NTE como por
cálculos estáticos. Para realizar el dimensionamiento a partir de resistencias a la
penetración se pueden tomar los siguientes valores: Rp= 600 t/m2 y Rp=1200 t/m2,
respectivamente, para la capa superior y de apoyo.

Fig. 6.1 Representación esquemática del terreno



a) En primer lugar se dimensiona un pilote para 100 t siguiendo la metodología de la NTE
(Acondicionamiento del Terreno. Cimentaciones. MOPT). Se supone que se trata de un pilote
prefabricado y se recurre a las diferentes tablas de dicha norma.

Para una carga de 100 t (Q = 100 t) y 1 pilote (n = 1) resulta un diámetro de φ = 42.5 cm. Po
otro lado, al no haber momento, la carga equivalente es igual a la carga vertical, es decir: E =
Q = 100 t.

Para 1 pilote (n = 1) y terreno granular el coeficiente c es igual a 0.33. Y para una resistencia
a la penetración estática del terreno Rp= 600 t/m2= 60 kp/cm2 (se considera primero el estrato
superior solamente), juntamente con el diámetro elegido de φ = 42.5 cm resultan las cargas de
hundimiento por punta y por fuste siguientes:
tabla 3 (NTE) tabla 6 (NTE)
P = Q p = 85.1 t F = Q f = 6.8 t/m

Una vez se dispone de los valores de estas cargas de hundimiento, se sustituye en la
inecuación siguiente:

E ≤ c (P +F)

100 ≤ 0.33 (85.1 + 6.8 l)

de la que resulta la longitud del pilote:

l ≥ 31.6 m > 15 m

Por tanto la capa superior no es suficientemente profunda para soportar el pilote y resulta
necesario recalcular dicha longitud al no haber tenido en cuenta la presencia del estrato
inferior de terreno.

En la capa inferior se tiene que Rp = 1200 t/m2= 120 kp/cm2, que juntamente con el diámetro
elegido de φ = 42.5 cm da lugar a:

P = Q p = 170.2 t F = Q f = 10.2 t/m

Si se tiene en cuenta que la punta estará en el estrato inferior pero el fuste tiene colaboración
de ambos estratos, se tiene:

E ≤ c (P + F)
100 ≤ 0.33(170.2 + 6.8 × 15 + 10.2l 2 )
l = l1 + l2 = 15 + l2



y por tanto l2 ≥ 3.0 m, es decir, l = 15 + 3 = 18 m. Se trata pues, de pilotes de longitud total
igual a 18 m, longitud a la que puede añadirse una longitud de empotramiento que puede
tomarse entre 3 a 6 veces el diámetro del pilote.

b) La segunda alternativa de cálculo es mediante cálculos estáticos.

Como tope estructural para pilote prefabricado puede tomarse:

Te = 0.25σ b B + 0.40σ a A

con :

0.25σ b ≤ 75 kp cm 2 ó σ b ≤ 300 kp cm 2

siendo: σa, la tensión máxima en el acero, σb, la tensión máxima en el hormigón, A el area de
acero y B el área de hormigón. Esta expresión tiene en cuenta la contribución a la resistencia a
la compresión del pilote de cada material (hormigón y acero) y también incluye unos
coeficientes de minoración (0.25 y 0.40) que pueden interpretarse como factores de seguridad
respecto a la rotura del pilote a compresión (4 y 2.5, respectivamente). Se ha supuesto
máximo trabajo del hormigón y se desprecia la contribución del acero (A pequeño comparado
con B):

Te = 0.25σ b B = 750 t m 2
π φ2
100 t = 750 φ = 0.42 m
4

y, por tanto, se tomará φ = 0.425 m = 42.5 cm que corresponde a uno de los diámetros tipo en
la norma NTE para pilotes prefabricados.

La carga de hundimiento se calculará como:

l
Q h = Q p + Q f = p p A p + 2 π r τ (z) dz ∫
0

donde se adoptarán las siguientes expresiones teóricas para la resistencia por punta:

p p = q sq d q i q N q

siendo:

B 1
q=γl sq = 1 + tg φ' = 1 + tg 32º = 1.62
L 1



Ahora, teniendo en cuenta que D/B >1 ( l / φ >1) , obtendremos el resto de coeficientes:

D
d q = 1 + 2 tg φ' (1 − sin φ' ) 2 arctg ≅ 1 + tg 32º (1 − sin 32º ) 2 × 1.5 ≅ 1.2
B
(arctg( D / B ) ≈ 1.5 si D >> B )
N q = 10 3.04 tg φ' = 10 3.04 tg 32º = 79.4
p p = 2 × l × 1.62 × 1.2 × 79.4 = l × 309 t m 2
0.425 2
Q p = l × 309 × π × = 43.81 t
4

Se considera la limitación a la resistencia por punta que no permite que ésta aumente en
profundidad indefinidamente. Esta limitación es:

p max = 5 N q tg φ' ( en t m 2 )
p

p max = 5 × 79.4 × tg 32º = 248 t m 2
p

y por tanto, resulta:

π × 0.425 2
Q max
p = 248 × = 35.2 t
4

Por otro lado, la resistencia por fuste se calculará como:

τ ( z ) = σ h ( z ) tg δ

donde se puede tomar como δ=2/3φ, y la tensión horizontal calcularse como:

σh = K σv

con K = 1 que puede ser razonable para arenas sueltas. La tensión vertical σ v es igual a (se
supone terreno seco):

σ v ( z) = γ n z
γ n = 2 t m2
z = profundidad

Sustituyendo, resulta la variación con la profundidad de la resistencia por fuste:



2 
τ ( z ) = 2 × 1 × tg  φ' × z = 0.78 z t m 2
3 

También se debe limitar la resistencia por fuste porque no puede aumentar indefinidamente en
profundidad debido a que las tensiones verticales se estabilizan. Para un pilote hincado en
arena suelta, la limitación es:

τmax = 4 t/m2

Igualando 0.78 z = 4 resulta z = 5.13 m, que es la profundidad a partir de la cual la resistencia
por fuste es superior a 4 t/m2. Por tanto, la resistencia por fuste para un pilote que alcance una
profundidad l ≥ 5.13 m se calculará como:

5.13
Qf = 2πr ∫ 0.78 z dz + 2 π r × 4 × ( l − 5.13) =
0

0.425 5.13 2 0.425
= 2 π× × 0.78 × + 2π× × 4 × (l − 5.13) =
2 2 2
= 13.7 + 5.34 l − 27.4 = 5.34 l − 13.7 (donde l > 5.13)

Para un FS = 3 se puede calcular la longitud necesaria de los pilotes como:

Q h = Q p + Q f = 35. 2 + 5.34 l − 13.7
Q h = FS × Q = 3 × 100 t = 300 t = 35.2 + 5.34 l − 13.7
l ≥ 52 m > 15 m (espesor de la arena suelta)

Como puede observarse resulta necesario empotrar en la capa inferior ya que la longitud
obtenida supera el espesor del estrato, y por tanto hay que rehacer el cálculo. En este caso la
carga de hundimiento se obtendrá como:

15 l
∫
Q h = Q p + Q f = p p A p + 2 π r τ 1 ( z ) dz + 2 π r τ 2 ( z ) dz
0 ∫
0

siendo:

p p = q sq d q iq N q

donde:

B 1
q= γl sq = 1 + tg φ' = 1 + tg 38º = 1.78
L 1



y teniendo en cuenta que D/B >1 (l /φ >1), se tiene:

D
d q = 1 + 2 tg φ' (1 − sin φ' ) 2 arctg ≅ 1 + tg 38º × (1 − sin 38º ) 2 × 1.5 ≅ 1.35
B

en la que se ha aproximado arctg(D/B)≅1.5, que corresponde a D>>B. Además Nq es igual:

N q = 10 3.04 tg φ ' = 10 3 .04 tg 38º
= 237. 2

Sustituyendo y teniendo en cuenta que iq=1 (carga no inclinada) resulta:

p p = 2 × l × 1.78 × 1.35 × 237.2 = 1139 l t m 2
0.425 2
Q p = p p Ap = 1139 l × π × = 162 l
4

Teniendo en cuenta la limitación a la resistencia por punta:

p max = 5 N q tg φ'
p

p max = 5 × 237.2 × tg 38º = 927 t m 2
p

resulta:

Q p = Ap p max = 131 t
max
p

La resistencia por fuste tiene dos componentes debido a la diferente naturaleza de los estratos.
En el superior se obtiene (para l = 15 m):

Q 1 = 5. 34 × 15 − 13.7 = 66.4 t
f

En el inferior se tiene τ ( z ) = τ max = 10 t m 2 para pilote hincado en arena densa (se toma
directamente el máximo al ser z > 15 m):

Q 2 = 2 π r × 10 × ( l − 15 ) = 13.4 × ( l − 15 )
f

Finalmente se obtiene la longitud para seguridad al hundimiento con FS = 3:

Q h = FS × Q = 3 × 100 = 300 t = Q p + Q 1 + Q 2
f f

300 = 131 + 66.4 + 13.4 × ( l − 15 )



es decir:

l ≥ 22.7 m

Como puede observarse, mediante cálculos estáticos se obtiene una longitud de pilote mayor
que utilizando la normativa. Esta metodología es poco aconsejable en la práctica porque se
basa en relaciones que utilizan parámetros del suelo que no suelen estar disponibles para el
cálculo de una cimentación profunda y a veces quedan en exceso del lado de seguridad
(demasiado conservadores). En la práctica es más fácil realizar ensayos de penetración y
estimar las cargas resistentes por punta y fuste en base a los resultados de dichos ensayos. La
norma NTE proporciona tablas de gran utilidad para estimar Qp y Qf para pilotes hincados o
prefabricados de diferentes diámetros y diferente naturaleza del terreno donde se va a
cimentar.

A continuación se realiza el dimensionamiento de un grupo de pilotes 3×3 para una carga total
de 600 t y una excentricidad máxima emax= 1 m. Además se requiere que en cada pilote la
carga máxima no supere (Pi ≤ 100 t).

La carga sobre el pilote más cargado viene dada por (se supone que todos los pilotes son
iguales):

Pt M x y i M y x i
Pi = + +
n Σ y i2 Σ x i2

Fig. 6.2 Esquema del grupo de pilotes

Para un ángulo θ cualquiera: M x = Pt e cos θ , M y = Pt e sin θ . Además, se escribirá la
expresión para un pilote de esquina que es el que se encuentra más alejado, es decir:



600 600 × 0.1 × cos θ × s 600 × 0.1 × sin θ × s
Pi = + +
9 3 × s2 + 3 × s2 3 × s2 + 3 × s2
10
Pi = 66.7 + × (cos θ + sin θ)
s

Se trata ahora de hallar un máximo para θ; es decir, lo que se ha de hacer es la derivada
parcial respecto θ e igualar a cero:

∂ Pi 10
= × ( − sin θ + cos θ) = 0
∂θ s

De lo que resulta:

cos θ = sin θ

θ = 45º

y substituyendo para este ángulo resulta:

 10 × 1.41 
Pi = 66.7 +   ≤ 100
 s 

condición que permite establecer que la separación sea:

s ≥ 0.425 m = 42.5 cm

Para ver si hay tracciones basta cambiar a signo negativo los términos de momento, es decir:

 10 × 1.41 
Pi = 66.7 −   = 33.1 t > 0
 0.425 

La separación resultante para que Pi<100 t ha resultado ser del mismo orden que el tamaño de
φ
los pilotes. Por tanto, bastará tomar s/φ = 2.5 a 3.5 lo que reducirá todavía más la carga
sobre el pilote más cargado.

A continuación se realizará una estimación de los asientos mediante expresiones de tipo
empírico. En arenas puede usarse la siguiente expresión para estimar al asiento:

Qt φ
st =
Q r 30

siendo:



Qt : Carga de trabajo
Qr : Resistencia del pilote
φ : Diámetro (en cm )

Para un solo pilote Qt = 100 t (primer caso), mientras que para un grupo de 3×3: Qt =66.7 t
(segundo caso).

π × 0.425 2 750 π × 0.425 2
Qr = σ b × = × = 426 t
4 0.25 4
100 42.5
st = × = 0.33 cm
426 30
66.7 42.5
st = × = 0.22 cm
426 30

Para considerar que es un grupo; se corrige el asiento mediante un factor multiplicativo según
la siguiente tabla:
B/φ 1 5 10 20 40 60
αg 1 3.5 5 7.5 10 12

φ
s tg = α g s t siendo α g = 3.5 para b/φ = 5, resultando un asiento total de:

stg = 3.5 × 0.22 = 0.77 cm

Estas fórmulas solamente sirven para estimar o acotar los asientos y puesto que no tienen en
cuenta parámetros de deformabilidad del suelo son poco fiables.

___________________________________________

PROBLEMA 7

Tras realizar una campaña de ensayos penetrométricos estáticos se modela el perfil
transversal de un terreno con dos estratos, uno superior coherente de 5 m con Rp creciente
linealmente con la profundidad desde 10 t/m2 hasta 20 t/m2, y otro inferior granular, de
gran potencia, con Rp así mismo creciente linealmente con la profundidad desde 80 t/m2
hasta 800 t/m2a 30 m de la superficie. Dimensionar en este terreno una cimentación
profunda 2× 2 para soportar una carga de 400 t inclinada 2.5º con la vertical, y un
momento de 150 t× m. Comentar el método constructivo a utilizar y estudiar cómo variará
el coeficiente de seguridad al hundimiento si tras aplicar en superficie del terreno una



carga extensa de 2 t× m2 la capa superior consolida. Indicar, en este último caso, el estado
tensional de los pilotes.


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