1. DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
.
Modelos Teóricos Elásticos
ELASTICIDAD
LinealNo lineal
Isotropía
Homogéneo
(Boussinesq)
Heterogéneo
Capa Rígida
(Multicapa)
Modulo
Variable
Lineal
General Winkler
No Lineal
Frohlich Otros
Anisotropía
2. SEMIESPACIO DE BOUSSINESQ (1885)
Es un espacio limitado por un plano horizontal
Supone: Medio Elástico
Isótropo
Homogéneo
Sin peso
Pequeñas deformaciones
VARIANTE:
Capa Elástica sobre capa rígida
Ez = Eo
Z
Eo
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
3. SEMIESPACIO DE WINKLER (1867)
Se define como un medio en el que los desplazamientos
verticales de la superficie son proporcionales a la presión
aplicada, es decir trata al suelo como un liquido viscoso.
Desplazamiento proporcional a la presión aplicada.
𝑘𝑠 =
𝑝
𝑠
𝑘𝑠 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜
No es muy real pero se usa en problemas de Interacción Suelo-
Estructura y
Cimentaciones Elásticas.
p
Líquido
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
4. SEMIESPACIO DE FRÖHLICH (1934)
Se basa en la teoría de Boussinesq.
Añade el parámetro = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
( 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎)
𝑬𝒛 = 𝑬𝒐 + 𝑬 𝟏 •
𝒁
Ez = Eo
= Boussinessq
Eo 0
Z
Eo = 0
Arenas
Eo = 0
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
7. Variación de z en profundidad:
ISOBARAS
Son los lugares geométricos en los que z = cte.
BULBO DE PRESIONES
Es el conjunto de Isobaras
.1 K / cm ²
.2
.3
.4
Q = 100 k
Prof.
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
8. 1ª Integración de la solución
de Boussinesq:
𝜎𝑥 =
2 ∗ 𝑞
𝜋
∗
𝑋2. 𝑍
𝑅4
𝜎𝑧 =
2 ∗ 𝑞
𝜋
∗
𝑍3
𝑅4
𝜎 𝑦 =
2𝑞. 𝑣
𝜋
∗
𝑍
𝑅2
𝜏 𝑥𝑧 =
2 ∗ 𝑞
𝜋
∗
𝑋2. 𝑍
𝑅4
Carga Lineal
z
y
x
q / ml
z
x
R
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
9. Doble integración de la
solución
de Boussinesq:
σx =
q
π
2 ∈ + sin 2 ∈∗ cos 2ψ
σz =
q
π
2 ∈ − sin 2 ∈∗ cos 2ψ
τxz =
q
π
sin 2 ∈∗ sin 2ψ
σ1 =
q
π
2 ∈ + sin 2ψ
σ3 =
q
π
2 ∈ − sin 2ψ
Carga Uniforme en
faja infinita
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
11. Carga Rectangular
MÉTODOS:
Steinbrenner
Fadum
Newmark
Bulbo de presiones
Condición: El punto donde se calcula el esfuerzo
debe estar bajo una esquina del rectángulo
(excepto el bulbo).
𝑧 = 𝑞 · 𝐼𝑟
Donde:
Ir; Coeficiente de influencia ⟹ ƒ (𝑚 = 𝐴/𝑍 ; 𝑛 = 𝐵/𝑍)
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
17. Pero para un área infinitesimal circular:
Carta de Influencia de Newmark
Para carga puntual se tiene que: 𝜎𝑧 =
3𝑄
2𝜋𝑍2 1+
𝑟
2
2 5/2
𝑑𝐴 = 2𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟
⟹ 𝑑𝑞 =
3𝑞 𝑜
2𝜋. 𝑍2 1 + 𝑟/𝑧 2 5/2
𝑑𝐴
Reemplazando 𝑑𝐴
𝑞 =
3𝑞 𝑜
2𝜋. 𝑍2
.
2. 𝜋. 𝑟
1 + 𝑟/𝑧 2 5/2
𝑟
0
𝑑𝑟
⟹ 𝑞 = 𝑞 𝑜. 1 −
1
1 + 𝑟/𝑧 2 5/2
⟹
𝑟
𝑍
= 1 −
𝑞
𝑞 𝑜
−2/3
− 1
dq
z
dA = 2 r drr
dr R
dQ = qo * dA
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
18. Dando valores 𝑞/𝑞 𝑜 preparamos una tabla
Escogemos una escala:
1 unidad
A _______________________ B
( = Z)
𝒛 = 𝒒 𝒐 ∗ 𝑵 ∗ 𝑰
𝑞/𝑞 𝑜 𝑟/𝑧
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
-
-
-
0.900
1.000
0.000
0.2698
0.4005
0.5181
0.6370
-
-
-
1.9084
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
19. Ejemplo:
• Calcular 𝑧 en 𝐴 y 𝐵 a 𝑍 = 6.0 𝑚
En 𝐴 → 𝑁 = 111 divisiones
𝜎𝑧 𝐴 = 111 ∗ 0.005 ∗ 𝑞 𝑜
En 𝐵 → 𝑁 = 109 divisiones
𝜎𝑧 𝐵 = 109 ∗ 0.005 ∗ 𝑞 𝑜
Nota.
• 𝑞 𝑜 debe ser uniforme.
• Si Z varía la gráfica del área cargada cambia de tamaño
porque cambia la unidad de escala.
B
A
A
6.0
B
qo
Z = 6.0 m
= 1 unidad
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
20. MÉTODO APROXIMADO O TRAPEZOIDAL
Zapata Rectangular
⟹ 𝑄 = 𝑞 ∗ 𝐵 ∗ 𝐿
𝜎𝑧 =
𝑄
𝐵 + 𝑍 𝐿 + 𝑍
Zapata Cuadrada
⟹ 𝑄 = 𝑞 ∗ 𝐵2
𝜎𝑧 =
𝑄
𝐵 + 𝑍 2
En suelos estratificados este
método es aún más aproximado
z
Z
2
(B+Z)
1
B
Q
q
L
B
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
21. Ejemplo 1:
Calcular y dibujar la distribución de presiones verticales bajo el centro de las
zapatas siguientes, hasta una profundidad de 25 metros.
Ejemplo 2:
Calcular las presiones verticales en los puntos A,B y c a 8 m. bajo la
superficie de cimentación
200 T
200 T
Puntual
1
2 X 2
2
Cuadrada
200 T
4 X 4
3
Cuadrada
D = 2
5
Cicular
200 T200 T
Trapezoidal
2 X 2
4
R
=
40
A
C
B
50
8.0
A
20 T / m²
B, C
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
23. Presiones
reales de
contacto
Cimentación Flexible
Cimentación Flexible
sobre arena
Cimentación Rígida
sobre arena
sobre arcilla
Cimentación Rígida
sobre arcilla
Perfil de
Asentamiento
Perfil de
Asentamiento
Presión de Contacto, q
Carga Aplicada, q
Presión de Contacto, q
Perfil de
Asentamiento
Perfil de
Asentamiento
Carga Aplicada, q
Presión de Contacto, q
Carga Aplicada, q
Presión de Contacto, q
Carga Aplicada, q
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
24. Cimentación Rígida sobre Medio Elástico
CIMENTACIÓN CIRCULAR:
𝐾𝑟 =
1
6
1−𝜇𝑠
1−𝜇𝐹
2 𝐸 𝐹
𝐸 𝑆
𝑇
𝑏
3
CIMENTACIÓN EN FAJA:
T
k =
Esf. contacto, qc
0
0.05
0.5
1
q
0.75 q
Diám = 2b
0.5 q
0.25 q
q
T
k =
Esf. contacto, qc
/30
/11 0.75 q
q
/3
0
0.5 q
0.25 q
2b
q
DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES
25. PLANIFICACIÓN
Equilibrio
Límite
𝑭𝒔 = 𝟏
Rotura Progresiva
Teorías
Método de las Características:
Campo de Velocidades
Campo de Tensiones
Sistemas Hiperbólicos
Métodos de Sokolovski
Método de Josselin
Medios de Mohr-Coulomb sin peso
Método de Campos Asociados
Teoría de Cambrige
Teoría de Rankine
CAPACIDAD DE CARGA
26. TEORÍA DE FALLA:
CASOS ESPECIALES
= 0
Df = 0
qo = 5 . 14 . c
Meyerhor
qo = 5 . 14 . c
Prandtl
Sokolovskyi
Krey
qo = 6 . c
qo = 5 . 7 . c
Terzaghi
qo =5 . 4 . c
Wilson
Rugoso
45 + / 2
Esfuerzos Principales
qo = 4 . c
qo
Liso
45 - / 2
Liso
45° - /2
círculo
CAPACIDAD DE CARGA
27. qu
S
Punzonamiento
B
Falla Local
ququ
qu( 1 )
S
qu
qu( 1 )
B
Falla General
B
S
q
q
q
Pinzona-
miento
2
B
Df
Df
5
4
3
2
1
Local
ral
Gene-
0.20 0.60.4
Dr
1.00.8
𝐵∗
=
2𝐵 ∗ 𝐿
𝐵 + 𝐿
CAPACIDAD DE CARGA
28. MODELO DE LAS CUÑAS DE RANKINE
Suelo c -
En la Cuña I:
𝑃𝑎 =
1
2
∗ 𝛾 ∗ 𝑘𝑎 ∗ 𝐻2
− 2 ∗ 𝑐 ∗ H ∗ 𝑘𝑎 + 𝑞𝑢 ∗ 𝑘𝑎 ∗ 𝐻 𝑘𝑎 = tan2
45 −
∅
2
En la Cuña II:
𝑃𝑝 =
1
2
∗ 𝛾 ∗ 𝑘𝑝 ∗ 𝐻2
− 2 ∗ 𝑐 ∗ H ∗ 𝑘𝑝 + 𝑞𝑢 ∗ 𝑘𝑝 ∗ 𝐻 𝑘𝑝 = tan2
45 +
∅
2
Pero 𝑃𝑎 = 𝑃𝑝 y resolviendo para 𝒒𝒖:
𝑞𝑢 =
1
2
∗ 𝛾 ∗ 𝐻 ∗
1
𝑘𝑎
∗ 𝑘𝑝 − 𝑘𝑎 + 2 ∗ 𝑐 ∗ 𝑘𝑝 +
1
𝑘𝑎
+ 𝑞 ∗ 𝑘𝑝2
Pero 𝑘𝑝 =
1
𝑘𝑎
y 𝐻 =
𝐵
2∗tan 45−
∅
2
=
𝐵
2 𝑘𝑎
CAPACIDAD DE CARGA
29. 𝑞𝑢 =
1
4
∗ 𝛾 ∗ 𝐵 ∗ 𝑘𝑝5/2 − 𝑘𝑝1/2 + 2𝑐 ∗ 𝑘𝑝3/2 + 𝑘𝑝1/2 + 𝑞 ∗ 𝑘𝑝2
Si hacemos que:
𝑁𝑟 =
1
2
𝑘𝑝5/2 − 𝑘𝑝1/2
𝑁𝑐 = 2 𝑘𝑝3/2
+ 𝑘𝑝1/2
𝑁𝑞 = 𝑘𝑝2
Hipótesis:
1. No hay corte vertical entre cuñas.
2. Superficies de falla son planos rectos.
3. No incluye peso del suelo
⟹ 𝑞𝑢 = 𝑐 ∗ 𝑁𝑐 + 𝑞 ∗ 𝑁𝑞 +
1
2
∗ 𝛾 ∗ 𝐵 ∗ 𝑁𝑟
CAPACIDAD DE CARGA
30. 45 - / 2
F
D
E
J
H
Df
B
A
q = . D
qu
I
GC
La cuña ACD actúa como parte de la zapata
Las cuñas ADF y CDE son arcos de Espiral Logarítmica
Las cuñas AFH y CEG son Zonas de Rankine Pasivas
Usando el análisis de equilibrio, Terzaghi propone:
𝑞𝑢 = 𝑐 ∗ 𝑁𝑐 + 𝑞 ∗ 𝑁𝑞 +
1
2
∗ 𝛾 ∗ 𝐵 ∗ 𝑁𝑟
Corrige por forma:
𝑞𝑢 = 1.3 ∗ 𝑐 ∗ 𝑁𝑐 + 𝑞 ∗ 𝑁𝑞 + 0.3 ∗ 𝛾 ∗ 𝐵 ∗ 𝑁𝛾 Zapatas cuadradas
𝑞𝑢 = 1.3 ∗ 𝑐 ∗ 𝑁𝑐 + 𝑞 ∗ 𝑁𝑞 + 0.4 ∗ 𝛾 ∗ 𝐵 ∗ 𝑁𝑟 Zapatas circulares
MODELO DE FALLA (PRANDTL - TERZAGHI) (1920’s)
CAPACIDAD DE CARGA
32. Factores de corrección:
Por la profundidad (d):
𝑑𝑐 = 1 + 0.2 ∗
𝐷𝑓
𝐵
𝑑𝑞 = 1.0
𝑑𝛾 = 1.0
Por la inclinación (i):
𝑖𝑐 = 𝑖𝑞 −
1−𝑖𝑞
𝑁𝑐∗𝑡𝑎𝑛∅
𝑖𝑞 = 1 −
𝐻
𝑉+𝐵∗𝐿∗𝑐∗cot ∅
2
𝑖𝛾 = 𝑖𝑞 3/2
Si ∅ = 0; 𝑖𝑐 = 1 −
2𝐻
𝐵∗𝐿∗𝑐∗𝑁𝑐
V
Q
H
CAPACIDAD DE CARGA
33. Correcciones según Meyerhof (1963)
En donde: f = Cimentación en faja y c = Cimentación cuadrada
Por Forma
1 +
𝐵
𝐿
∗
𝑁𝒄𝒄
𝑁𝑐𝑓
− 1 TABLAS (Perloff + Baron)
1 +
𝐵
𝐿
∗
𝑁𝑞c
𝑁𝑞𝑓
− 1 B L
1 +
𝐵
𝐿
∗
𝑁γ𝑞
𝑁γ𝑓
− 1
Recomienda usar:
𝜙′ 𝑟 = 1.1 − 0.1
𝐵
𝐿
∗ 𝜙′ 𝑡 ’r para zapata rectangular
’t del ensayo triaxial
𝑞𝑢𝑙𝑡 = 𝜆𝑐 ∗ 𝑖𝑐 ∗ 𝑑𝑐 ∗ 𝑐 ∗ 𝑁𝑐𝑓 + 𝜆𝑞 ∗ 𝑖𝑞 ∗ 𝑑𝑞 ∗ 𝛾 ∗ 𝐷𝑓 ∗ 𝑁𝑞 𝑓 + 𝜆𝛾 ∗ 𝑖𝛾 ∗ 𝑑𝛾 ∗
𝛾
2
∗ 𝐵 ∗ 𝑁𝛾𝑓
CAPACIDAD DE CARGA
34. Por Profundidad
𝑑𝑐 = 1 + 0.2 ∗
𝐷𝑓
𝐵
∗ tan(45 + 𝜙/2)
𝑑𝛾 = 𝑑𝑞 = 1.0 ⟶ 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∅ = 0
𝑑𝛾 = 𝑑𝑞 = 𝑞 + 0.1 ∗
𝐷𝑓
𝐵
∗ tan 45 + ∅/2 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∅ = 10°
Para Df B y Si Df > B Df / B = 1.0
Por Inclinación
𝑖𝑐 = 𝑖𝑞 = 1 −
𝛿
90
2
𝑖𝛾 = 1 +
𝛿
∅
2
Q
CAPACIDAD DE CARGA
35. 2 ey
B
L = L'
B'
y
-
+
+
e
= 1/6L
> 1/6Si
2 ex
L
L'
B = B'
y
x
e
L
Corrección por Excentricidad
Meyerhof (1953) recomienda reducir el área efectiva de contacto a:
B’ = B - 2ex
L’ = L - 2ey
ó
B’ = B - 2eY
L’ = L - 2eX
OK 1 – Dirección y con e<B/6
L
e = M / Q
L
"Real"
e
Q
"Virtual"
M
Q 𝜎1,2 =
𝑄
𝐵 ∗ 𝐿
±
𝑀
𝐼/𝐶
𝜎1,2 =
𝑄
𝐵 ∗ 𝐿
±
𝑄 ∗ 𝑒
𝐵 ∗ 𝐿2
6
CAPACIDAD DE CARGA
36. Pero en caso de doble excentricidad:
Cuando la excentricidad es en las dos direcciones el área de
cimentación efectiva se determina de tal forma que la carga
resultante se localice en el centroide del área “efectiva” A’.
Efecto de la
excentricidad:
L = L'
ez
z
x
ex
B'
B
z
x
ex
ez
B'
L'
Q exc.
=
35°
e / B
c=0
0.2
0.8
0.2
0
0.1
1.0
Q cent.
=
0
0.3 0.50.4
0.4
0.6
CAPACIDAD DE CARGA
39. Ecuación propuesta para la ciudad de Quito aplicada a un
asentamiento máximo de 12 milímetros:
𝑞𝑎 = −2.44 ∗ 𝑆𝑜 + 5.959 ∗ 𝑆𝑜2 + 9.4118 ∗ 𝑆 ∗ 𝐸 ∗ 𝑆𝑜/𝐵
Donde:
qa = Capacidad de carga admisible, T/m2
So = Esfuerzo efectivo inicial = (Df*M*B), T/m2
E = Módulo de elasticidad = 440*N+1000, T/m2
B = Ancho de la zapata, m
M = Coeficiente por el tipo de suelo
CAPACIDAD DE CARGA
40. Criterio de Rigidez Estructural para Zapatas de
Hormigón
Hormigón ciclópeo:
Hormigón Armado
+ 0.05 m.
4
B - b
h
30 cm
b
B
h
Si
B
h 2
B - b
B
45°
b
No
b
45°
h 30 cm
≥
𝐵 − 𝑏
4
+ 0.05 𝑚
≥
𝐵 − 𝑏
2
𝑚
CAPACIDAD DE CARGA
41. CÓDIGO ACI CIMENTACIONES
Cargas y reacciones
1o Paso : Determinar el área de cimentación de acuerdo a las
condiciones del suelo, con la combinación de cargas que
gobierne el diseño sin mayorar.
2o Paso : Diseñar el espesor y el refuerzo de las zapatas. Las
presiones y cargas son mayoradas.
Esfuerzo Cortante
Escoger el peralte mayor de las dos condiciones:
a) Acción sobre viga (una dirección) - CORTE -
a) Acción Bidireccional - PUNZONAMIENTO -
CAPACIDAD DE CARGA
42. CÓDIGO ACI CIMENTACIONES
a) Asume que la zapata actúa como una viga ancha
Con la sección crítica = altura * ancho total
b) Sección alrededor de la columna o miembro soportado
Con la sección crítica = altura * perímetro alrededor
de la columna o miembro soportado
En este caso: 𝛽𝑐 =
𝐶 𝐿
𝐶𝑠
Cl y Cs =dimensiones de columna
Con reducción de resistencia de
4 𝑓′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑜 ∗ 𝑑
𝑎
→ 2 𝑓′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑜 ∗ 𝑑 (en función de 𝑐)
CAPACIDAD DE CARGA
43. Para el diseño de zapatas sin refuerzo por corte se usaran las
ecuaciones:
(11.1) y (11.3) Acción de viga
𝑉𝑢 ≤ ∅𝑉𝑛 𝑉𝑐 = 0.53 𝑓′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑
(11.1) y (11.36) Acción Bidireccional
𝑉𝑢 ≤ ∅𝑉 𝑛 𝑉𝑐 = 0.265 ∗ 2 +
4
𝛽𝑐
𝑓′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑜 ∗ 𝑑
Vc = ( 2 + 4 / c) f'c . bo. d
Viga
1
0
1 / c
.50.25
f'c . bo. d
Vc
4
3
2
1.0.75
Bidireccional
Si la fuerza mayorada, 𝑉𝑢 en la sección crítica excede la resistencia
𝑉𝑐 (ecuación 11:33), debe proveerse de estribos.
Si se proveen estribos la resistencia al corte puede incrementarse a
6 𝑓’𝑐 𝑏𝑜 𝑑 , sin embargo debe diseñarse para soportar el cortante en exceso de :
2 𝑓’𝑐 𝑏𝑜 𝑑
CAPACIDAD DE CARGA
44. Transferencia de Carga
• Todas las fuerzas en la base de la columna deben
transferirse a la zapata a través del hormigón o del
refuerzo.
• La carga sobre el hormigón para ambos elementos
(columna y zapata) no deben exceder de lo que indica la
sección 10.15
Cuando la zapata es mayor que la columna:
(usualmente)
𝐴2
𝐴1
> 2
∅ ∗ 𝑃𝑛𝑏 = 2 ∗ ∅ ∗ (0.85 ∗ 𝑓′ 𝑐 ∗ 𝐴1) (10.15.2)
Columna soportante ∅ ∗ 𝑃𝑛𝑏 = ∅(0.85 ∗ 𝑓′
𝑐 ∗ 𝐴1) (10.15.1)
A2 = Area Zapata
A1 = Area Columna
CAPACIDAD DE CARGA
45. Refuerzo Mínimo : (aunque la resistencia sea suficiente)
* Columna Colada en sitio As = 0.005 * Ag
* Muro colado en sitio As = Refuerzo mínimo vertical
(secc. 14.3.2)
* Columna presforzada As = 200 * Ag / fy
* Muro presforzado As = 50* Ag / fy
Transferencia de fuerzas horizontales.
Debe hacerse de acuerdo a la sección (11.7)
CAPACIDAD DE CARGA