elasticidad

1. CAPÍTULO 1
ELASTICIDAD
Cuando un objeto sólido es sometido a fuerzas, éste tiende a deformarse ya sea variando su
volumen o su forma. Si el cuerpo recupera su forma original al cesar las fuerzas que lo deformaron,
diremos que el objeto es elástico. La elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los
cuerpos y las correspondientes deformaciones que sufre el mismo. Esta propiedad surge debido a
que los cuerpos sólidos presentan gran resistencia a los cambios de forma y/o volumen.
Los sólidos tienen una función muy importante en la vida de los seres vivos, es en base a
los cuerpos sólidos que el hombre construye herramientas o estructuras necesarias para la vida tal
como la conocemos, como por ejemplo enseres, puentes, plataformas, edificios, etc, de ahí el
interés del estudio de cómo se comporta un sólido cuando es sometido a diferentes tipos de
ensayos, aunque éste sea un estudio elemental del amplio tema de la resistencia de materiales.
En la mecánica del cuerpo rígido consideramos que un cuerpo sólido no se deforma al ser
sometido a fuerzas. Este sistema es una idealización de la realidad, dado que ayuda a simplificar el
análisis del sólido en diversas circunstancias. Sin embargo en la realidad los sólidos se deforman en
mayor o menor grado cuando son sometidos a fuerzas exteriores y esto lo observamos en vigas,
barras, cuerdas, etc. que forman parte de una estructura mecánica, de ahí que nos interesemos por
conocer el comportamiento de los cuerpos sólidos cuando son sometidos a esfuerzos.
1.1.SÓLIDOS: CLASES
Los sólidos se caracterizan por poseer forma y volumen propio, debido a que las fuerzas que
mantienen unidas a las partículas que lo conforman son intensas, de modo que ocupan posiciones
casi fijas dentro de la estructura del sólido. Las partículas en el estado sólido se disponen de forma
ordenada, con una regularidad espacial que da lugar a diversas estructuras cristalinas. En principio
los cuerpos sólidos se dividen en dos tipos que se diferencian uno de otro muy sensiblemente por
sus propiedades físicas, a saber:
1.1.1. Sólidos cristalinos, que son cuerpos cuya forma geométrica es regular. Los cuerpos
cristalinos están limitados por caras planas que concurren en las aristas y en los vértices.
Generalmente las caras se disponen simétricamente unas respecto a las otras. En un sólido
cristalino, los átomos o moléculas que lo constituyen se colocan en forma regular y
periódica definiendo una red cristalina, la que es característica para cada sustancia y se
extiende a todo el volumen del cuerpo. Los cristales tienen orientados de determinada
manera ciertos planos, por los cuales muchos de ellos se fragmentan fácilmente. También
1

2. los cuerpos cristalinos tienen una temperatura determinada de fusión. Dentro de los sólidos
cristalinos tenemos:
a) los monocristales, que es un cristal de forma mas o menos regular, cuya
característica es la anisotropía, según la cual un cuerpo homogéneo tiene diferentes
propiedades en diferentes direcciones; por ejemplo el coeficiente de dilatación térmico
de un sólido cristalino es diferente según las distintas direcciones, las propiedades
mecánicas, ópticas y eléctricas son diferentes según las direcciones;
b) los policristales poseen estructura cristalina fina, es decir, están formados por
un gran número de cristales estrechamente unidos y dispuestos al azar. Es debido a esta
orientación azarosa de los cristales que un policristal revela propiedades isotrópicas.
1.1.2. Los sólidos amorfos, son sustancias que en estado condensado no tienen estructura cristalina.
Los sólidos amorfos son isótropos, es decir tienen las mismas propiedades en todas las
direcciones. Los cuerpos amorfos siempre ofrecen superficies irregulares de ruptura, por
ejemplo el vidrio al romperse presenta superficies irregulares, se forman trozos de forma
completamente irregular y casual. Los sólidos amorfos a diferencia de los cristalinos, se
reblandecen con el aumento de la temperatura; el cuerpo pasa del estado sólido al líquido de
un modo continuo, su viscosidad disminuye y empiezan a comportarse como líquidos
viscosos corrientes. Como ejemplo tenemos las diferentes materias vidriosas, el alquitrán, los
betunes, etc.
1.2. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS
Las propiedades de los sólidos se estudian considerando las características que los distinguen
de los fluidos y se deben principalmente a que sus átomos no se arreglan caóticamente como en los
fluidos. Estas propiedades pueden ser físicas como las propiedades escalares, vectoriales y
tensoriales, o pueden ser mecánicas y que están relacionadas con la habilidad del material para
soportar esfuerzos mecánicos. Son propiedades mecánicas:
• Elasticidad, es la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles
cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si
estas fuerzas exteriores se eliminan.
• Plasticidad, propiedad mecánica del material que le permite adquirir grandes deformaciones
residuales sin fractura.
• Ductibilidad, propiedad mecánica que permite a un material soportar deformación plástica bajo
tracción, como se da en la producción de hilos (alambres) por ejemplo.
• Maleabilidad, propiedad que permite a un material soportar deformación plástica bajo esfuerzos
de compresión, láminas por ejemplo.
2

3. • Fragilidad, que es la ausencia de plasticidad. Es decir el material se destruye sin presentar
deformación residual cuando la carga sobre ellos es excesiva.
• Dureza, propiedad mecánica que permite a un material soportar grandes esfuerzos sin gran
deformación unitaria.
• Resistencia, propiedad mecánica que determina el más gran esfuerzo que el material puede
soportar sin ruptura o deformación excesiva.
• Tenacidad, propiedad que permite al material soportar grandes golpes.
1.3. DEFORMACIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
Bajo la acción de fuerzas exteriores, todo cuerpo se deforma. La deformación de un sólido es el
cambio de forma y/o volumen provocado por la actuación de una o varias fuerzas o algún otro
fenómeno físico. La naturaleza de la deformación depende tanto del fenómeno físico que la
provoca así como de su magnitud.
En función del fenómeno físico que la provoca podemos distinguir: deformaciones mecánicas,
las provocadas por la aplicación de fuerzas, y deformaciones térmicas debidas a cambios de
temperatura.
Las deformaciones mecánicas pueden ser provocadas por tracción si la elongación es positiva o
compresión si la elongación es negativa. Se caracteriza porque la longitud del sólido varía en la
dirección en la que actúa la fuerza, pero la forma geométrica se mantiene.
La deformación por flexión se caracteriza por una alteración en la curvatura de la pieza como
en el caso de una viga apoyada en su extremo que se curva por la acción de un peso situado sobre
ella. Este caso lo observamos claramente en el trampolín de una piscina.
La deformación por torsión se produce cuando en una barra se tuerce un extremo mientras se
fija el otro, como cuando queremos escurrir un trapo o toalla empapado de agua.
1.4. ESFUERZO
Cuando se aplica una fuerza a un sólido deformable, ésta es compensada por las fuerzas internas
del cuerpo (fuerzas de enlace), son las fuerzas internas las que equilibran a las fuerzas externas por lo
que la acción de la fuerza externa se distribuye en toda la sección transversal del material. Es por ello
que el efecto que provoca en él depende tanto de la fuerza aplicada como del área de la sección del
cuerpo sobre la que se aplica. Por esta razón es conveniente hablar de fuerzas por unidad de
superficie conocido como esfuerzo o fatiga y que se define como:
A
F
=σ [1.1]
3

4. Las unidades del esfuerzo son de N/m2
en el sistema internacional. Observamos que si el sentido
de las fuerzas es el de alejarse de la barra, la barra se encuentra en estado de tracción, si el sentido
de las fuerzas es hacia la barra, se dice que la barra se encuentra en estado de compresión; de esta
forma entonces, se debe tener en cuenta cómo es que se aplican los esfuerzos sobre el sólido, ya que
estos van a producir diferente deformación en el mismo, y de acuerdo a ello es que podemos definir
los esfuerzos como esfuerzo normal y esfuerzo tangencial o cortante.
1.4.1. Esfuerzo Normal: Son aquellos debidos a fuerzas perpendiculares a la sección transversal
Si consideremos una barra sometida en sus extremos a fuerzas iguales y opuestas de magnitud F, la
barra está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas y por lo tanto, toda parte de la misma está
también en equilibrio. A la relación de la fuerza distribuida en el área transversal se le denomina
Esfuerzo ó Fatiga Normal expresado por
A
F
n =σ [1.2]
Esta relación es válida también para fuerzas de compresión. El esfuerzo aplicado sólo produce
cambio de volumen del sólido mas no produce cambio en la forma del cuerpo, esto es, la geometría
se mantiene.
1.4.2. Esfuerzo Cortante: Si actúan fuerzas tangenciales y de sentidos contrarios en las caras
opuestas de un cuerpo, las caras tienden a deslizarse uno con respecto a la otra y se producirá una
deformación por deslizamiento. En la figura 1.2 la mano ejerce sobre la cubierta del libro una fuerza
tangencial hacia la derecha, la superficie ejerce una
fuerza en sentido contrario, luego el esfuerzo cortante es:
A
Fs
== θστ
[1.3]
también conocido como esfuerzo tangencial o de
cizalladura. Este tipo de esfuerzo produce un cambio en
4
Figura 1.1. Barras sometidas a esfuerzos de tracción (izquierda) y compresión (derecha)
Figura 1.2. Fuerza tangencial
aplicada al lomo de un libro. La
razón de la fuerza al área cons-
tituye el esfuerzo cortante

5. la forma del cuerpo, es decir, la geometría del sólido cambia cuando sobre él actúa un esfuerzo
cortante.
1.5. DEFORMACIÓN UNITARIA
Si un cuerpo está sometido a una tensión o compresión sufre deformación a lo largo de la tensión
aplicada. Es de interés considerar la deformación por unidad de longitud, así, definimos la
deformación unitaria longitudinal:
ε = δ/Lo; [1.4]
donde δ = ∆L = L - Lo
Los cuerpos también sufren deformación por esfuerzos cortantes, donde los planos moleculares
tienden a deslizarse, de forma similar a como lo hace el libro en la figura [1.2], dando lugar a
deformación por cizallamiento o cortadura. Así, definimos la deformación unitaria por cizalladura
θθεθ ≅=
∆
= tg
L
X
[1.5]
dado que las deformaciones elásticas son pequeñas.
1.6. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN POR DEBAJO DEL LÍMITE DE
ELASTICIDAD
En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad
mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se
encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma
original si estas fuerzas exteriores cesan. Sabemos que un cuerpo está
formado por partículas o moléculas entre las cuales actúan fuerzas. Estas
fuerzas moleculares se oponen a cambios de forma del cuerpo cuando sobre
él actúan fuerzas externas. Si un sistema exterior de fuerzas se aplica al
cuerpo, sus partículas se desplazan y estos desplazamientos mutuos
continúan hasta que se establece el equilibrio entre el sistema exterior de
fuerzas y las fuerzas internas. En este caso diremos que el cuerpo está en
estado de deformación.
Durante la deformación, las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo
realizan trabajo, y este trabajo se transforma total o parcialmente en energía potencial de
5
Figura 1.3. Barra
sometida a tracción
por la carga mg.

6. deformación. Ejemplo de esta acumulación de energía en un cuerpo deformado, es el caso de un
muelle de reloj.
Si las fuerzas, causa de la deformación del cuerpo disminuyen gradualmente, el cuerpo vuelve
total o parcialmente a su forma primitiva y durante esta deformación inversa la energía potencial de
deformación acumulada en el cuerpo se recupera en forma de trabajo exterior.
Sea, por ejemplo, una barra cilíndrica cargada en su extremo tal como se indica en la figura 1.3.
Bajo la acción de esta carga (despreciando el peso de la barra), la barra se alarga cierta cantidad
∆L. El punto de aplicación de la carga se desplaza en su dirección y la carga realiza un trabajo
positivo durante este movimiento.
Cuando se merma la carga, el alargamiento de la barra también merma, el extremo
parcialmente cargado se desplaza hacia arriba y la energía potencial de deformación se transforma
en el trabajo al desplazar la carga en sentido contrario a su dirección. Así, diremos que el cuerpo es
perfectamente elástico si recobra su forma original de forma completa al descargarlo, y que es
parcialmente elástico si la deformación producida por las fuerzas exteriores no desaparece por
completo al descargarlo. Luego, a la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma
primitiva al descargarlos se denomina elasticidad.
1.7. DIAGRAMA ESFUERZO vs DEFORMACIÓN.
Se debe al trabajo de R. Hooke (1635-1703) el establecimiento de la relación básica entre
esfuerzo y deformación elástica de un sólido. Cuando un
cuerpo es sometido a un test de tracción, se obtiene una
curva típica, como la que se muestra en la figura 1.4.
Aparecen fuerzas intermoleculares que se oponen a la fuerza
aplicada, originándose un estado de equilibrio que se
manifiesta macroscópicamente por la deformación
experimentada por el sólido, que se mantiene en estado de
reposo. Si la fuerza por unidad de área aumenta de valor, el
alargamiento experimentado por el cuerpo será en la misma
proporción, siempre que aquélla no supere cierto valor
máximo, correspondiente al señalado como A en la figura 1.4
que muestra el esfuerzo frente a la deformación
experimentada por el cuerpo. Si el esfuerzo supera el valor
correspondiente al punto A, la proporcionalidad directa desaparecerá, y el cuerpo se deformará más
con el aumento de fuerza aplicada. Sin embargo, mientras no se supere el valor del esfuerzo
correspondiente al punto B, el cuerpo recuperará su forma inicial cuando el esfuerzo sea reducido o
eliminado. A partir de este valor, un aumento del esfuerzo implicará un crecimiento no lineal de la
deformación, de tal forma que, si cesa el esfuerzo, el cuerpo no recupera su forma anterior,
6
Figura 1.4. Deformación de una probeta
sometida a tracción.

7. manteniendo una deformación residual. Cuando el esfuerzo adquiere un valor relativamente
grande, correspondiente al punto C, el cuerpo se rompe definitivamente. Los puntos A, B y C,
reciben los nombres respectivos de límite de proporcionalidad, límite de elasticidad y punto de
fractura.
Hasta el punto A se cumple la ley que Hooke descubrió: “las deformaciones son
proporcionales a los esfuerzos deformantes”, que se expresa matemáticamente mediante la
igualdad,
σ = E ε [1.6]
que expresa una proporcionalidad directa (recordemos que es válida siempre que no se
sobrepase el punto A de la figura [1.4]) entre el esfuerzo aplicado (fuerza por unidad de área) y la
deformación relativa del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad E dependiente únicamente
del tipo de material del que está hecho el cuerpo, pero independiente de su geometría. Al
coeficiente E se le denomina módulo de Young.
Tabla 1. Valores de algunos módulos elásticos correspondientes a algunas sustancias.
Material Módulo de
Young
(GPa)
Tensión de
fluencia σF
(MPa)
Módulo de
Corte (GPa)
Módulo de
volumen
(GPa)
Coef. de
Poisson µ
Acero in. 195 550 84 60 0.24 - 0.28
Latón 91 35 61 0.32 - 0.42
Aluminio 70 25 70 0.32 - 0.36
Bronce 95
Cobre 110 300 42 140 0.33
Níquel 204 460
Plata 82.7 0.37
Concreto 20 5 - 35 0.1 - 0.15
Vidrio 48 - 78 26 - 32 50 - 55 0.2 - 0.3
Roble 11 117 trac.
59 comp
Granito 52 5 tracción
145 comp
Podemos ahora calcular el trabajo realizado en la deformación elástica de un cuerpo. En un
proceso infinitesimal el trabajo es: dW = F dl y éste se acumula en forma de energía elástica en el
sólido. El trabajo producido por la fuerza de tracción F al aumentar la longitud de la barra en una
cantidad infinitesimal d(∆L) = d(Lε) = L dε es dado por
W = ∫ F d(Lε) = ∫ F L dε
Como F = Aσ, y σ = Eε; al reemplazarlo en la expresión anterior,
tenemos:
7
Figura 1.5. Trabajo
realizado en la tracción
de una barra.

8. ∫ ==
2
L)E(A
2
ε
εε
EV
dW
De esto se deduce que durante el alargamiento unitario de la barra desde cero hasta cierta
magnitud ε, se efectúa un trabajo de 2/)( 2
εVE , esto es, cada unidad de volumen de la barra
deformada contiene la siguiente cantidad de energía elástica
E
E
U
22
1
2
22
σ
εσ
ε
=== [1.7]
que se constituye en una densidad de energía elástica almacenada en el cuerpo.
1.8. COEFICIENTE DE POISSON
Siempre que una barra se somete a tracción (o compresión), además de sufrir un estiramiento
(o engrosamiento para la compresión) en la dirección de la fuerza aplicada, la muestra sufre un
estrechamiento (o dilatación) en sus dimensiones transversales. Si la barra es de forma de
paralelepípedo regular, con el eje X a lo largo del esfuerzo de tracción aplicado, las dimensiones
transversales Y y Z de la barra disminuirá en una magnitud ΔY y ΔZ. Luego las deformaciones
transversales debido a la tracción son: εY = ΔY/Yo y εZ = ΔZ/Zo; y la razón entre la deformación
transversal a la longitudinal nos da el coeficiente de Poison o coeficiente de deformación
transversal, así:
ε
ε
µ T
O
O
o
o
X
X
Z
Z
X
X
Y
Y
−=
∆
∆
−=
∆
∆
−= [1.8]
Esto es debido a que el material es considerado isotrópico, y el signo menos se debe a que el
ancho final es menor que el inicial para las direcciones Y y Z, con ello, µ va a ser positivo. En
general εT es proporcional a ε, por lo que: εT = - μ ε.
Para una muestra incompresible, el valor sería μ = 0,5. Experimentalmente su valor varía
usualmente entre 0,25 a 0,5, siendo típicamente 0,3 para muchos materiales. El valor de μ = 0 lo
tienen los cuerpos porosos como el corcho por ejemplo, que no varían las dimensiones
transversales en la tracción,
Ejemplo 1.1 Un alambre de cobre de 2m de largo y 1 mm de diámetro se utiliza para elevar un
objeto de 5 kg de masa a rapidez constante. ¿Qué alargamiento experimenta el alambre si el
módulo de Young es 1,15×1011
Pa?
Solución: Puesto que el objeto es elevado con velocidad constante, la fuerza que ha de vencer el
alambre coincide con el peso del objeto. De acuerdo con la ley de Hooke para la tracción
experimentada por el alambre de cobre, tendremos que ε E = σ = F /A
8

9. mL
L
A
F 311
3
10085,1
2
1015,1
)105,0(
8,95 −
−
×=∆⇒




∆
×=
×
×
==
π
σ
Ejemplo 1.2. Una pequeña anilla está colgada del techo mediante dos alambres, uno de cobre de 3
m de longitud y 5 mm2
de sección, formando un ángulo A = 30º con la horizontal, y otro de acero
de 2 m y 2mm2
, formando un ángulo B = 60º con la horizontal. ¿Cuánto se alargarán cada uno de
los alambres al colgar de la anilla una pesa de 30 kg?.
Solución: Se representa la situación descrita mediante un esquema. El cable de acero está sometido
a la fuerza de tracción Ta, mientras que el cable de cobre experimenta la fuerza de tracción Tc.
Como el sistema está en equilibrio se cumplirá que,
Ta sen 30º + Tc sen 60º - P = 0
Ta cos 60º - Tc cos 30º = 0
De este sistema resultan los valores de ambas fuerzas,
Ta = 254,6 N y Tc = 147 N
Luego, dado que el módulo de Young es E = σ/ε los
alambres de cobre y de acero se alargan respectivamente:
mm
Er
lT
l
cc
cc
c 80,02
==∆
π
y mm
Er
lT
l
aa
aa
a 30,12
==∆
π
Ejemplo 1.3. Se tienen dos barras unidas de longitudes L
1
y L
2
; de módulos elástico E
1
y E
2
y
secciones transversales A
1
y A
2
tal como se muestra en
la figura. Al aplicarse una fuerza F en el extremo, se
observa que éste extremo se desplaza una longitud δ. Determine el alargamiento que sufre cada una
de las barras y la magnitud de la fuerza aplicada.
Solución: La deformación de una barra sometida a tracción es:
AE
LF
=δ
Como las dos barras están sometidas a la misma tracción, F es la misma para ambas y las
deformaciones para cada barra son:
11
1
1
AE
LF
=δ
; y 22
2
2
AE
LF
=δ
9

10. Luego, la deformación total δ es:
δ = δ
1
+ δ
2
= FL
1
/E
1
A
1
+ FL
2
/E
2
A
2
De donde hallamos el valor de la fuerza F que es:
22
2
11
1
AE
L
AE
L
F
+
=
δ
Al reemplazar en cada una de las deformaciones tenemos:






+
=
22
2
11
1
11
1
1
AE
L
AE
L
AE
Lδ
δ
;






+
=
22
2
11
1
22
2
2
AE
L
AE
L
AE
Lδ
δ
Ejemplo 1.4. La barra horizontal rígida AB esta
soportada por 3 cables verticales, como se
muestra en la figura. Esta barra soporta una carga
de 24000 kg, hallar los esfuerzos de tensión en
cada cable y la posición de carga aplicada para
que AB permanezca horizontal si el módulo de
Young para el acero es Eac = 20×1010
Pa; para el
bronce Ebron = 9,5×1010
Pa y para el cobre ECu =
11×1010
Pa
Solución: El peso es W = 24000×9,8 = 235200 N.
De las condiciones de equilibrio y el diagrama de cuerpo
libre mostrado, tenemos que:
∑Fv = F1 + F2 + F3 – W = 0
∑τA = - W(0,8 – x) + F2(0,8) + F3(1,2) = 0
La fuerza de tensión en c/u de los cables es:
;;;
3
333
3
2
222
2
1
111
1
L
LEA
F
L
LEA
F
L
LEA
F
∆
=
∆
=
∆
=
10
L2
L1
x
F3
F2
F1
W

11. Para que la barra permanezca horizontal, las deformaciones que sufren los cables debe ser el mismo,
esto es ∆L1 = ∆L2 = ∆L3. Aplicando la primera condición de equilibrio:
0
3
33
2
22
1
11
=−
∆
+
∆
+
∆
W
L
LEA
L
LEA
L
LEA
De donde
213331223211
321
3
33
2
22
1
11 LLEALLEALLEA
LLLW
L
EA
L
EA
L
EA
W
L
++
=
++
=∆
Luego, ∆L = 6,42×10-4
m
Por lo tanto, los esfuerzos en cada cable son: σ1 = 3,21×108
Pa; σ2 = 4,07×108
Pa y σ3 = 1,96×108
Pa
Para la segunda condición de equilibrio tenemos:
- 0,8W + Wx + F2(0,8) + F3(1,2) = 0
m
W
F
W
F
x 135,02,18,08,0 32
=−−=
Que es la distancia a partir de F2 a la que debe actuar el peso W para que la barra se mantenga
horizontal.
1.9. DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA
Sea una barra en forma de paralelepípedo rectangular la cual se somete a esfuerzos normales
σx, σy, σz uniformemente distribuidos por cada una de las caras de modo que las deformaciones
producidas en cada una de las direcciones son:
En el eje X: De la definición de módulo tenemos que E = σx /εx,
de modo que la deformación debido a la tracción a lo largo del eje X
es
E
x
x
σ
ε = [1.9]
La tracción a lo largo del eje X ocasiona un estrechamiento en las dimensiones transversales de
la barra, la que es contemplada por el coeficiente de Poisson. Así, considerando que el material es
isotrópico, las contracciones transversales son:
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
µ −=−= , de donde εy = - µ εx y εz = - µ εx
Que al reemplazar por su valor nos da:
11
Figura 1.6. Deformación
multilateral de un sólido.

12. EE
x
Z
x
y
σ
µε
σ
µε −=−= ; [1.10]
Veamos ahora lo que ocasiona la tracción a lo largo del eje y: la deformación a lo largo del eje
Y es
E
y
y
σ
ε = [1.11]
y las contracciones laterales se obtienen a partir del coeficiente de Poisson
y
z
y
x
ε
ε
ε
ε
µ −=−= , de donde εx = - µεy; y εz = - µ εy
Reemplazando la ecuación 1.11 en las deformaciones transversales tenemos:
EE
y
z
y
x
σ
µε
σ
µε −=−= ; [1.12]
Del mismo modo, la tracción a lo largo del eje Z da lugar a la deformación
E
z
z
σ
ε = , [1.13]
Donde el coeficiente de Poisson es:
z
x
z
y
ε
ε
ε
ε
µ −=−= . Entonces:
εx = - µ εz; y εy = - µ εz
Usando 1.13 en las expresiones, se tiene:
EE
z
y
z
x
σ
µε
σ
µε −=−= ;
La deformación final a lo largo de los ejes X, Y y Z es:
( )( )zyx
zyx
x
EEEE
σσµσ
σ
µ
σ
µ
σ
ε +−=−−=
1
[1.14]
( )( )zxy
zxy
y
EEEE
σσµσ
σ
µ
σ
µ
σ
ε +−=−−=
1
[1.15]
( )( )yxz
yxz
z
EEEE
σσµσ
σ
µ
σ
µ
σ
ε +−=−−=
1
[1.16]
Las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 representan la ley de Hooke Generalizada en una deformación
multilateral.
Veamos ahora cómo es la variación volumétrica unitaria. El volumen de la barra es V = Lx Ly Lz.,
siendo Lx Ly y Lz las dimensiones de la barra. Tomando logaritmo al volumen tenemos:
zyxzyx LLLLLLV lnlnln)(lnln ++==
12

13. Diferenciando la expresión, nos da;
z
z
y
y
x
x
L
dL
L
dL
L
dL
V
dV
++=
[1.17]
Que de acuerdo a la definición de deformación unitaria, éstas son las deformaciones a lo largo de
cada uno de los ejes por lo tanto,
zyxV
V
dV
εεεε ++==
[1.18]
Relación que expresa que la variación unitaria del volumen es igual a la suma de los alargamientos
unitarios a lo largo de las tres direcciones perpendiculares entre sí, de modo que haciendo el
reemplazo correspondiente de las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 obtenemos:
( )zyx
EV
dV
σσσ
µ
++
−
=
21
[1.19]
En este caso, la geometría del sólido no cambia.
Como caso particular de deformaciones homogéneas, consideremos un sólido que se somete a
esfuerzos iguales en las tres direcciones (σx = σy = σz = σ), como el sólido se considera isotrópico
entonces son iguales también las deformaciones unitarias del cuerpo (εx = εy = εz). Esta
deformación por tracción o compresión volumétrica o multilateral da lugar a:
σ
µ
ε
E
21 −
= [1.20]
y la deformación volumétrica unitaria es:
[ ]µ
σ
ε 21
3
3 −==
EV
dV
Usando la deformación volumétrica unitaria en la definición módulo de compresibilidad B se tiene:
)21(3)21(3 µµσ
σ
ε
σ
−
=
−
=−=
EE
B
V
[1.21]
Expresión que nos da una relación entre los módulos elásticos de Young, el coeficiente de Poisson
y el módulo de Compresibilidad. La inversa de esta expresión se conoce como coeficiente de
compresibilidad K
)21(3
1
µ−
==
E
dP
dV
V
K [1.22]
La energía elástica acumulada en el sólido por unidad de volumen, en la compresión volumétrica
será:
13

14. ( )
B
KU zzyyxx
22
1
2
3
2
1 2
2 σ
εσεσεσεσε ===++=
[1.23]
En todos los sólidos, la magnitud B debe ser positiva: el volumen del sólido aumenta con la
tracción y disminuye con la compresión. Dado que los sistemas mecánicos tienden a pasar al estado
de mínima energía potencial, al reemplazar [1.21] en [1.23] debemos considerar que 1 - 2µ > 0 a
fin de que U sea positivo; y por tanto µ < 1/2, esto es, el coeficiente de Poisson no puede ser mayor
de ½.
Ejemplo 1.4. Supongamos que se comprime un bloque cúbico de un cierto material sólido en una
dirección únicamente, hasta conseguir un acortamiento del 2% en la misma. ¿En qué porcentaje
disminuirá el volumen del bloque si el coeficiente de Poisson es de 0.3?
Solución: A partir del coeficiente de Poisson y de la ecuación [1.6], podemos obtener la variación
relativa de las dimensiones transversales del bloque, De la ley de Hooke generalizada se tiene:
( ) ( ) ( )xzxyxx
EEE
σµεσµεσε −=→−=→=
1
;
1
;
1
Donde se ha considerado que el único esfuerzo aplicado es a lo largo del eje x, por tanto los
esfuerzos a lo largo de los ejes y y z son cero. Luego, la variación volumétrica será:
( ) )21(21 µεµ
σσµσµσ
εεε −=−=−−=++=
∆
x
xxxx
zyx
EEEEV
V
Donde εx = 0,02 y µ = 0,3
008,0)3,021(02,0 =×−×=
∆
V
V
y el porcentaje es 0,8 %. Lo que nos dice que la
deformación volumétrica es menor que el 1%.
1.10. DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA
En las deformaciones por cizallamiento (deslizamiento o cortadura), la forma del sólido
cambia pero no su volumen, por lo que ∆V = 0. Este es otro caso particular de deformación
homogénea y la invariabilidad del volumen es dado por:
0=++= zyx
V
Vd
εεε [1.24]
de modo que de la ecuación 1.19 se tiene:
0=++ zyx σσσ [1.25]
y al despejar σx y reemplazar en la ecuación 1.14, se halla:
( ))(
1
xxx
E
σµσε −−=
14

15. que es el alargamiento o acortamiento unitario a lo largo de una arista cualquiera del sólido y la
tensión que actúa en la misma dirección, se relacionan mediante la ecuación: xx
E
σ
µ
ε
+
=
1
En esta relación entra la magnitud E/(1+µ). Esta relación dividida por 2 se denomina
módulo de rigidez G
)1(2 µ+
=
E
G
[1.26]
Ejemplo 1.5 Una barra encaja perfectamente en una cavidad perfectamente rígida, de
modo que sus dimensiones son invariables. Si se somete a una presión vertical,
determine la deformación unitaria de la barra.
Solución: Supongamos que la dirección de compresión es el eje Z. Debido a la
reacción de las paredes impidiendo la extensión lateral de la barra (εx = εy = 0), en ésta surgen las
tensiones transversales px y py. Sus magnitudes se determinarán de la condición de invariabilidad de
las dimensiones de la barra a lo largo de los ejes x e y, siendo así que por razones de simetría es
evidente que py = px. Usando la Ley de Hooke generalizada y considerando que la cavidad es rígida
0
)1()(
=
−−
=
+−
=
E
pp
E
ppp zxyzx
x
µµµ
ε
Hallamos que las tensiones transversales se relacionan con las presiones pz mediante las igualdades:
zyx ppp
µ
µ
−
==
1
La deformación axial de la barra se determina con la ecuación 1.16
z
z
z
yxz
z p
EE
p
p
E
ppp
)1(
211
2
)( 2
µ
µµµ
µ
µ
µ
ε
−
−−
=






−
−
=
+−
=
1.11. TORSIÓN
La torsión, es una deformación por cizallamiento puro, pero no homogéneo. Esta se produce
si se fija un extremo de la barra y se tuerce el otro extremo. En este
caso, distintas secciones de la barra girarán en diferentes ángulos
respecto de la base fija. Como con ello no varía la altura ni el área de
la sección de la barra, tampoco variará el volumen.
Es fácil determinar cómo se distribuye la deformación de
deslizamiento en la torsión, según el volumen de la barra. Para una
15
Figura 1.7. Barra sometida
a torsión.
Pz

16. barra de longitud L y sección circular de radio R, donde la parte superior gira con respecto a la
inferior un cierto ángulo ϕ. Cada una de las generatrices AB de la superficie cilíndrica de la barra
se transformará en una línea inclinada AB’. Como la distancia BB’ es igual a Rϕ, el pequeño
ángulo de deslizamiento β en la superficie de la barra será:
 β ≈ tgβ = Rϕ /L [1.27]
Tomando ahora un radio r menor que R, se halla que sus elementos también están sometidos
a un deslizamiento, donde el ángulo es ahora
 βr = rϕ /L
menor que el ángulo de deslizamiento β en la superficie de la barra. De esta manera, en la
torsión, distintos elementos de la barra sufren deslizamientos diferentes y éste será tanto
menor, cuanto más cerca del eje de la barra se halle el elemento.
A consecuencia de la deformación, en la barra torcida surgen fuerzas elásticas que equilibran
las fuerzas exteriores aplicadas. Como los elementos de la barra pueden girar alrededor del eje de la
misma, la ecuación de equilibrio, se reducirá a la igualdad de los momentos de las fuerzas elásticas
y de las fuerzas aplicadas. De esto se deduce que la magnitud de la deformación de torsión debe
determinarse por el momento de las fuerzas aplicadas con respecto al eje de la barra, denominado
momento de torsión. Para pequeñas deformaciones por deslizamiento, es válida la ley de Hooke, y
el ángulo de torsión de la barra es proporcional al momento de torsión. Así, para determinar la
fuerza que da lugar a la torsión sobre la barra se puede calcular considerando una fuerza sobre un
área dA = 2π r dr según se muestra en la figura 1.7. De la definición de módulo de corte se tiene:
L
ds
dA
dF
G = ; de donde
L
drdrrG
dF
))(2( θπ
=
Integrando desde el eje r = 0 a la superficie en r = R y de θ = 0 a θ, se tiene:
L
RG
F
3
2 3
θπ
=
Que es la fuerza que tuerce el alambre y que es función del ángulo de torcedura así como del
módulo de rigidez de la barra, de su radio y de su longitud. El torque sobre un elemento de la barra
a una distancia r del eje es:
L
drrGr
dFrd
2
2( θπ
τ ==
Integrando:
L
RG
2
4
θπ
τ =
que representa el torque actuante sobre la barra de radio R y longitud L.
16

17. Para el caso de un péndulo de torsión oscilando, tenemos que al aplicar la segunda ley de Newton,
κθ
θ
τ −== 2
2
td
d
I
donde I es el momento de inercia de la masa oscilante. Comparando esta ecuación con la anterior,
se obtiene:
0;0
2
2
4
=+⇒=+ θωτθ
π
τ
IL
RG
De donde
IL
RG
2
4
2 π
ω = y recordando que ω = 2πf = 2π/T entonces basta medir el periodo de
oscilación de la masa oscilante para determinar el módulo de torsión de la barra.
EJERCICIOS
1. Demostrar que el diámetro mínimo que debe tener un alambre de cierto material para soportar
una carga de magnitud P es
r
P
πσ
4
2. Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de 40 m de longitud y 2×10-3
m de diámetro.
a)¿Qué carga máxima se puede colgar de éste alambre sin que llegue a romperse? b) ¿Cuánto
se alargará este alambre si de él se cuelga un hombre de 70 kg-f?, c) ¿se notará alargamiento
permanente cuando el hombre se suelte del alambre? El límite elástico del acero es 2,94×108
Pa
3. Un alambre de hierro de longitud L y coeficiente de Poisson µ , tiene atado a uno de sus
extremos una carga W. demostrar que la variación relativa del volumen del alambre es
E
LW
V
)21( µ−
=∆
4. Demostrar que para que una barra de longitud L y densidad ρ que gira alrededor de uno de sus
extremos en un plano horizontal es necesario que la frecuencia de rotación sea
ρ
σ
π 2
1 r
L
f =
5. Demuestre que para que un alambre de longitud L y radio r no varíe su volumen al alargarlo es
necesario que tenga un coeficiente de Poisson igual a 0,5.
6. Una unión remachada de dos placas metálicas tiene 6 pernos de cierto material. La máxima
tensión que se puede ejercer sobre la banda es T kg-f y la fatiga por cizallamiento es como
17

18. máxima en los remaches en valor Z kg-f. Demostrar que el diámetro de cada remache es
Z
T
d
π3
2
=
7. Demostrar que la variación relativa de la densidad de una barra cilíndrica de longitud L y radio
R, cuando se somete a una compresión está dada por
Eo
)21( µσ
ρ
ρ −
=
∆
8. Una barra de longitud L y masa m, cae verticalmente con una aceleración a. Calcule: a) la
deformación sufrida por la barra cuando a < g; b) la deformación sufrida por la barra cuando la
aceleración a es mayor que g. ¿Qué sucede cuando a = g?
9. Se tienen dos barras de longitudes L1 y L2, sección transversal A1 y A2, módulos de Young E 1
y E2, de masas m1 y m2 unidas por una cuerda inextensible, y que se mueven tiradas
horizontalmente con una aceleración “a”, tal como se muestra en la figura. Calcule la
deformación producida en cada barra. Suponga que la superficie es lisa.
18
m2
m1
a

19. CAPÍTULO 2
MOVIMIENTO OSCILATORIO
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos regulares de tiempo, éstos
son llamados movimientos periódicos; así una partícula oscila cuando se mueve periódicamente
con respecto a la posición de equilibrio, como por ejemplo el movimiento de vaivén de un niño
meciéndose en un columpio, el movimiento de los planetas, el latido del corazón, la vibración de
las cuerdas de un instrumento musical, los electrones en una antena emisora o receptora, los átomos
en un sólido y en una molécula vibran unos respecto a otros, etc. Estos son llamados movimientos
periódicos y ocurren frecuentemente en la naturaleza, jugando un papel importante en diferentes
partes de la Física y la Ingeniería.
Entre los sistemas que tienen un movimiento periódico algunos realizan su viaje de ida y de
vuelta sobre el mismo camino, éstos son conocidos como sistemas oscilatorios. Además, si el
movimiento es descrito mediante una función armónica, es decir en términos de una función seno o
coseno, el movimiento se clasifica como Movimiento Armónico. El Péndulo y el sistema masa-
resorte son ejemplos típicos del Movimiento Armónico, y son la base para estudiar el movimiento
en otros sistemas, como lo son las Ondas Mecánicas, y eventualmente nos permitirán entender
algunas de las características de las Ondas en general
2.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Consideremos un sistema de masa m unido al extremo de un
resorte fijo en la pared tal como se muestra en la figura 2.1. Este
sistema se halla en una posición de equilibrio cuando el resorte no
esta deformado, posición que identificamos como x = 0. Cuando el
sistema es sacado de la posición de equilibrio mediante a una
fuerza, el resorte ejerce la misma acción (ley de Hooke) pero en
sentido contrario y que es directamente proporcional al
desplazamiento x desde el equilibrio según la ecuación
Fx = - kx [2.1]
donde k es la constante de fuerza y representa la fuerza necesaria para desplazar la partícula una
unidad de distancia, x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. El signo negativo de la
fuerza en la ecuación [2.1] indica que se trata de una fuerza restauradora, por lo que Fx va a la
19

20. izquierda cuando el desplazamiento x es hacia la derecha y viceversa. Esta es la característica del
movimiento armónico simple
Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de
Newton ΣFx = m.ax
m ax = - k x
x
m
k
ax −= [2.2]
Observamos que la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque y de sentido contrario
al mismo. Los sistemas que se comportan de esta forma se dice que exhiben movimiento armónico
simple. Luego, un objeto se moverá con movimiento armónico simple si la aceleración del objeto
es proporcional al desplazamiento pero con sentido opuesto.
Considerando que el movimiento vibratorio es a lo largo del eje X, al aplicar la definición de la
aceleración en la ecuación [2.2] 2
2
td
xd
td
vd
a == (donde obviamos el subíndice x dado que el
movimiento es en una dimensión), obtendremos:
xk
td
xd
m −=2
2
o
02
2
=+ x
m
k
td
xd
[2.3]
que es una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la aceleración y el desplazamiento.
Esta ecuación es la representación matemática del movimiento armónico simple.
Es necesario hallar una función que sea solución a la ecuación [2.3]. Para ello debemos hallar
una función x(t) cuya segunda derivada sea similar a la función original con signo cambiado. Las
funciones trigonométricas seno y coseno muestran este comportamiento ya que son funciones que
se repiten cada 2π radianes, de modo que una solución a la ecuación diferencial es:
)(cos)( δω += tAtx [2.4]
Para probar si x(t) es solución de 2.3, derivamos [2.4] dos veces respecto al tiempo y luego
reemplazamos en [2.3]; así, la primera derivada es: )( δωω +−= tsenA
td
xd
y la segunda derivada es: )(cos2
2
2
δωω +−= tA
td
xd
y reemplazamos en 2.3, entonces
20

21. )cos()(cos2
δωδωω +++− tA
m
k
tA
finalmente
m
k
=ω [2.5]
expresión que nos dice que [2.4] es solución de [2.3] sólo si la frecuencia angular viene dada por la
ecuación [2.5], donde x(t) representa el desplazamiento respecto al punto de equilibrio, A, ω y δ
son constantes del movimiento. La cantidad (ωt + δ) es el ángulo de fase o fase del MAS y
caracteriza unívocamente el estado dinámico del oscilador; δ es la fase inicial o constante de fase
que corresponde a t = 0 y expresa el punto en el ciclo donde comienza el movimiento. Se ha
planteado la solución en términos de la función coseno, pero también se puede expresar en
términos de una función seno ya que entre ellas hay una diferencia de fase de π/2.
Puesto que la función seno o coseno varían
entre -1 y +1, el desplazamiento de la partícula
oscila entre x = - A y x = + A. El
desplazamiento máximo a partir del punto de
equilibrio es la amplitud A del movimiento
armónico simple y expresa los límites
máximos de desplazamiento.
El periodo T es el tiempo que demora la
partícula en realizar un ciclo completo de su
movimiento, esto es, el tiempo para el cual el valor de x en t se repite en el instante t + T. esto es,
x(t) = x(t+T). aplicando esta condición tenemos
A cos(ωt + δ) = A cos[ω( t + T) + δ ] = A cos(ωt + δ + ωT)
La función coseno y la función seno, repiten su valor cada vez que la fase aumenta en 2π radianes
de modo que ωT = 2π o ω = 2π/T,
Por tanto el movimiento armónico simple es periódico y su periodo es
ω
π2
=T [2.6]
Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el
número de oscilaciones que hace la partícula en la unidad de tiempo y se expresa por:
π
ω
2
1
==
T
f [2.7]
21
Figura 2.2 Gráfica de x vs t para un MAS. La
amplitud es A, T es el periodo y δ la
constante de fase.

22. Las unidades de medida en el Sistema Internacional son s-1
o ciclos/s llamado Hertz (Hz). Cuando
las frecuencias son altas, se usa como unidad de frecuencia Kilohertz (KHz) igual a 103
Hz,
Megahertz (MHz) igual a 106
Hz, Giga Hertz (GHz) igual a 109
Hz.
ω se denomina frecuencia angular y sus unidades son rad/s. Esta relación especifica el número de
ciclos de movimiento que se realizan por unidad de tiempo.
La ecuación diferencial del sistema oscilante en función de ω es dado por
02
2
2
=+ x
td
xd
ω [2.8]
Luego, para el sistema masa resorte, podemos expresar el periodo y la frecuencia del movimiento
en función de la masa y la constante elástica del resorte como:
k
m
T π
ω
π
2
2
== [2.9.a]
m
k
T
f
π2
11
== [2.9.b]
Como se observa, el periodo y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y de
la constante elástica del resorte y no de los parámetros del movimiento como son A y δ. En la
figura 2.3 se ilustra dos oscilaciones con diferente amplitud e igual periodo, observamos que ambas
oscilaciones llegan a sus posiciones de equilibrio simultáneamente, independientemente de su
amplitud. Esta propiedad es importante en música, de modo que el tono de las notas musicales es
independiente de su intensidad.
2.2. CINEMÁTICA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
22
Figura 2.3. Representación gráfica del movimiento oscilatorio posición vs tiempo para
dos amplitudes diferentes del sistema masa – resorte. Observamos que el periodo es el
mismo, independientemente de la amplitud de oscilación.

23. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un MAS cuando su desplazamiento x
desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación x = A cos (ωt + δ). La
rapidez de una partícula que tiene un MAS se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación
[2.4], esto es:
)()( δωω +−== tsenA
td
xd
tvx [2.10]
que demuestra que vx también oscila armónicamente con frecuencia angular ω, y está acotada entre
- ωA y + ωA. Por tanto ωA es el máximo valor que puede tener la rapidez, y se da cuando la fase
(ωt + δ) es múltiplo impar de π/2 y la rapidez es cero cuando la fase es múltiplo entero de π, es
decir cuando |x| = A. Como – sen ϕ = cos (ϕ + π/2), la ecuación 2.10 puede expresarse como:
)2/(cos πδωω ++= tAvx
que representa una diferencia de fase de π/2 radianes entre la velocidad y la posición. Es decir, la
velocidad está adelantada π/2 radianes respecto a la posición.
Derivando respecto al tiempo la ecuación [2.10], tenemos:
)(cos)( 2
2
2
δωω +−=== tA
td
xd
td
vd
ta x
x [2.11]
Vemos que la aceleración oscila armónicamente con frecuencia angular ω y amplitud ω2
A es decir,
está acotada entre - ω2
A y + ω2
A. Teniendo en cuenta que cos (ϕ + π) = - cos ϕ, podemos expresar
[2.11] como
ax = ω2
A cos(ωt + δ + π)
Que representa una diferencia de fase de π radianes entre la aceleración y la posición. Es decir, la
aceleración está adelanta π/2 radianes respecto a la velocidad y π radianes respecto a la posición.
Por otro lado, las ecuaciones [2.2] y [2.11] nos dan expresiones de la misma aceleración, por lo que
comparando estas expresiones tenemos:
xx
m
k
ax
2
ω−=−=
que justifica el valor asumido en la ecuación [2.5] al reemplazar el valor de la aceleración en la
ecuación [2.3]. Esta expresión indica también que: en el movimiento armónico simple, la
aceleración es directamente proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento.
23

24. En la figura 2.4 se representa las variables x, v y a en función del tiempo. La ecuación 2.4 es
solución general de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple, donde la
constante de fase δ y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del
movimiento.
La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o más
partículas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posición inicial y la velocidad inicial de un
oscilador, esto es, en t = 0, x(0) = xo y v(0) = vo. Con esas condiciones, las ecuaciones 2.4 y 2.10 se
reducen a:
xo = A cos δ y vo = - ωA sen δ
que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la
amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene:
δω
δ
δω
tg
sen
x
v
o
o
−=
−
=
cos
luego:
o
o
x
v
tg
ω
δ −= ,
de donde 





−=
o
o
x
v
tgarc
ω
δ [2.14]
Para hallar la amplitud elevamos al cuadrado las ecuaciones para xo y vo y luego sumamos:
24

25. δ
ω
22
2
senA
vo
=





, y δ222
cosAxo =
( ) ⇒+=+





δδ
ω
2222
2
cossenAx
v
o
o
2
2
o
o
x
v
A +





=
ω
[2.15]
Luego, si se especifican las condiciones iniciales xo, ω y vo se puede conocer A y δ.
Para concluir esta descripción, podemos resumir algunas propiedades de una partícula que se
mueve con un movimiento armónico simple:
1. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no
se encuentran en fase.
2. La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento, pero en dirección opuesta.
3. El periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud
Ejemplo 2.1: Exprese (a) la
ecuación de movimiento del muelle
que se nuestra en la gráfica posición
versus tiempo que se adjunta.
Evalúe los desplazamientos
respectivos en los instantes 1/3, 5/6
y 4/3 s. (b) la velocidad de la
partícula en t = 0 s, en t = 0,3 s, en t
= 1,3 s, en t = 1,8 s. (c) Repetir (b)
para la aceleración
Solución: De acuerdo a la teoría, el movimiento oscilatorio del muelle es dado por la expresión
[2.4]
)(cos ϕω += tAx
Pero en la gráfica observamos que el desplazamiento es máximo absoluto en t = 1/3 s, 4/3 s, 5/6 s,
etc. Por tanto la función desplazamiento la podemos expresar como
)
2
( πϕω ++= tsenAx
25

26. Al relacionar los términos con la gráfica, tenemos:
 Amplitud: A = 10 cm. que corresponde a la máxima elongación.
 Frecuencia angular: ω = 2π f = 2π/T. El periodo en nuestro gráfico corresponde al tiempo entre
dos máximos sucesivos, luego T = 7/3 s – 1/3 s = 2,0 s.
Por tanto ω = π rad/s
 La fase inicial la hallamos para t = 0, y x(0) en la gráfica corresponde a 5 cm, por lo tanto:
x(0) = 5 = 10 sen (ϕ + π/2) →
ϕ + π/2 = arc sen (0,5) = π/6 rad
Luego ϕ = - π/3
Luego, usando la función coseno, la ecuación del movimiento oscilatorio del muelle es
( ) ( ) .
3
1cos10.
3
cos10)( cmtcmttx −=−= πππ
Evaluando el desplazamiento en los tiempos propuestos, tenemos:
( ) .10.33cos10)3/1( cmcmx =−= ππ
( ) .0.365cos10)6/5( cmcmx =−= ππ
Finalmente ( ) .10.334cos10)3/4( cmcmx −=−= ππ , que corresponde al extremo
opuesto de la oscilación.
(b) Al derivar la ecuación del movimiento respecto al tiempo, tenemos:
scmtsen
td
xd
v /)31(10 −−== ππ
Luego, v(1/3) = - 10 π sen π(1/3 - 1/3) = – 10 π sen 0 = 0 cm/s
que corresponde a los puntos de retorno de la oscilación
v(5/6) = - 10 π sen π(5/6 - 1/3) = – 10 π sen (π/2) = - 10 π = - 31,42 cm/s
que corresponde a la máxima velocidad con la cual pasa por el punto de equilibrio.
v(4/3) = - 10 π sen π(4/3 - 1/3) = – 10 π sen π = 0 cm/s
(c) La aceleración se obtiene al derivar respecto al tiempo la expresión de la velocidad:
26

27. )3/1(cos)( 2
−−= tAta πω ; luego:
a(1/3) = -10π2
cos π (1/3 – 1/3) = -10π2
cm/s2
a(5/6) = -10π2
cos π (5/6 – 1/3) = 0 cm/s2
a(4/3) = -10π2
cos π (4/3 – 1/3) = +10π2
cm/s2
donde a(1/3) es la aceleración máxima dirigida hacia abajo, a(5/6) corresponde al punto de
equilibrio y a(4/3) corresponde a la máxima aceleración que posee el sistema en el extremo
inferior, donde la aceleración está dirigida hacia arriba.
Ejemplo 2.2
Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuación se suelta y se le deja
oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones completas en 5 segundos. Halle: (a) La
ecuación del movimiento, considerando que su estudio se inicia cuando se halla en la posición más
estirada. (b) La posición en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado el movimiento. (c)
El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posición de equilibrio desde que está en la posición de
máximo estiramiento.
Solución:
(a) Dado que en el enunciado se menciona que la posición inicial de estudio (t = 0) coincide con un
máximo, utilizaremos la ecuación 2.4 para describir el movimiento.
De esta manera su desfase inicial será nula y )(cos tAx ω= para t = 0, x(0) = A.
La amplitud del muelle coincide con la elongación máxima, luego A = 5 cm = 0,05 m
La frecuencia por definición es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, por tanto ν = 6 Hz
entonces
ω = 2πν = 12 π rad/s
por tanto x = 0,05 cos(12πt) m
(b) Evaluamos la función x en t = 10 s → x = 0,05 cos(120π) = 0,05 m
El muelle se encuentra en su posición de elongación máxima positiva (estirado al máximo).
(c) Cuando el muelle pase por la posición de equilibrio la elongación es cero, por tanto
0 = 0,05 cos (12πt) → arc cos 0 = 12πt = π/2 → t = 1/24 s = 0,042 s
27

28. 2.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MAS
Considere una partícula que se mueve sobre una circunferencia de radio A, con velocidad angular
ω constante; la velocidad lineal vale v = ωA. El desplazamiento angular de la partícula respecto al
eje x viene dado por
θ = ωt + δ [2.16]
siendo δ el desplazamiento angular en el instante inicial t = 0 y ω = v/A es la velocidad angular de
la partícula. Si proyectamos el movimiento de la partícula sobre el eje x, tenemos
x = A cos θ = A cos(ω t + δ)
El punto proyectado sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular
uniforme realiza un movimiento armónico simple. Luego, cuando una partícula se mueve con
velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se
mueve con movimiento armónico simple.
En la figura 2.5 (b) observamos que la proyección de la rapidez sobre el eje x es:
v = - ω A sen(ω t + δ)
de igual forma, la proyección de la magnitud de la aceleración sobre el eje x es:
ax = - ω2
A cos(ω t + δ)
expresiones concordantes con las dadas por las ecuaciones 2.4, 2.10 y 2.11 del movimiento
armónico simple.
28
Figura 2.5: Partícula en movimiento circular uniforme (a) proyección del movimiento sobre el eje
x. (b) La rapidez v de la partícula y su proyección sobre el eje x. (c) La aceleración de la partícula
y su proyección sobre el eje x.

29. Ejemplo 2.3 Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad
constante de 80 cm/s. Hallar: a) La frecuencia. b) El período del movimiento. c) Escribir una
ecuación para el componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo
que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0.
Solución: Dado que la rapidez es v = ωA, entonces, la frecuencia angular es:
srad
A
v
/2
40
80
===ω
La frecuencia
1
318,0
2
2
2
−
=== sf
ππ
ω
b) El período T = 1/f = π s.
c) Usando la ecuación 2.4, tenemos que en t = 0 la partícula está sobre el eje x, por tanto δ =
0, luego x(t) = 40 cos 2t cm
2.4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
La partícula al oscilar alrededor de la posición de equilibrio, lo hace intercambiando energía
cinética y energía potencial. Usando la definición de energía cinética, y la ecuación 2.10 de la
rapidez de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene:
( ) )(
2
1
)(
2
1
2
1 22222
δωωδωω +=+−== tsenAmtsenAmvmEc
[2.17]
Pero sen2
θ = 1 – cos2
θ , entonces la expresión de la energía cinética Ec es:
[ ] )(
2
1
)(cos1
2
1 222222
xAmtAmEc −=+−= ωδωω [2.18]
donde se ha usado la ecuación 2.4. Pero mω2
= k, entonces podemos expresar la energía cinética
como
)(
2
1 22
xAkEc −= [2.19]
Así observamos que la energía cinética es máxima en el punto de equilibrio (x = 0) y cero en los
extremos de oscilación (x = ± A).
La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es:
29

30. )(cos
2
1
2
1 222
δω +== tAkxkEp [2.20]
cuya representación gráfica se ve en la figura 2.6(a) en negro. Usando la ecuación 2.4 y el hecho de
que mω2
= k, tenemos:
22
2
1
xmEp ω= [2.21]
donde la energía potencial es cero en la posición de equilibrio (x = 0) y aumenta a medida que la
partícula se acerca a cualquiera de los extremos de oscilación (x = ± A), tal como observamos en la
figura 2.6(b).
Al sumar las ecuaciones 2.18 y 2.21 se obtiene la energía mecánica total del MAS
222
2
1
2
1
AkAmEEE pc ==+= ω [2.22]
Que es una cantidad constante, dado que la fuerza es conservativa. Por ello, durante una oscilación
existe un intercambio continuo de energía cinética y energía potencial. La energía mecánica total
en el movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Nótese que este
valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando x = ± A, es
decir, cuando la masa oscilante alcanza los desplazamientos máximos alrededor de la posición de
equilibrio, ya que en esos puntos v = 0 y la energía cinética es cero. Por otro lado, en la posición de
equilibrio, x = 0 y Ep = 0, debido a que en este punto la rapidez es máxima, de tal manera que toda
la energía es energía cinética.
La figura 2.6 (a) representa la gráfica de las funciones de la energía cinética dada por la ecuación
2.17 y la energía potencial dado por la ecuación 2.20, considerando que la fase inicial es cero; en
la gráfica se observa que el periodo de variación de la energía cinética o potencial es dos veces
30

31. menor que el periodo de oscilación, ya que en un periodo de oscilación la energía potencial es
máxima dos veces (al pasar por los extremos) al igual que la energía cinética (al pasar por el punto
de equilibrio). La figura 2.6 (b) muestra la variación de la energía potencial (línea negra) y la
energía cinética (línea verde) como función del desplazamiento.
La energía potencial dada por la ecuación 2.20, está representada por una parábola con vértice en O
y simétrica al eje de la energía. Para una energía total E dada, indicada por la línea horizontal en
rojo, los límites de oscilación están determinados por las intersecciones de la curva Ep y la recta E.
En cualquier punto x la energía cinética esta dada por la distancia entre la curva Ep y la recta E.
• En x = ±A, E = Εp ya que v = 0 y Εc = 0
• En x = 0, E = Εc ya que Εp = 0
Ejemplo 2.4 Oscilación de una masa suspendida de un resorte
Consideremos un pequeño cuerpo de masa m, tratado como una partícula, suspendido verticalmente
de un resorte de masa despreciable y constante k. Vamos a estudiar en primer término la posición
de equilibrio de m y luego su movimiento cuando se suelta desde una cierta posición inicial. El
punto de suspensión del resorte está fijo a un marco inercial ligado a tierra. El sistema mecánico es
la masa m. Elijamos un eje x hacia arriba con origen en la posición de equilibrio. Vamos a dibujar
comparativamente la longitud natural y tres situaciones importantes: la situación de equilibrio, la
situación inicial y una situación general cualquiera, así como los diagramas de fuerzas en equilibrio
y en situación general. Antes de hacerlo, es imperioso recordar que una realización experimental
paralela de este fundamental movimiento es esencial para su comprensión.
En equilibrio, con de : deformación en equilibrio, la fuerza hecha por el resorte, Fe es Fe = k de ,
y entonces, como Σ Fx = 0 ,
k de − mg = 0.
Veamos la ecuación de movimiento de m, segunda ley de Newton en situación general.
Usemos notación simple, es decir ax = a . Con la magnitud de la fuerza elástica igual a k por la
deformación, o sea F = k (de − x), se tiene
Σ Fx = max : k (de − x) − mg = ma ,
que, teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio, queda simplemente
− k x = m a .
31

32. La fuerza neta, resultante del peso y la fuerza elástica, − k x, es una fuerza recuperadora, dirigida
siempre hacia la posición de equilibrio. La aceleración a es pues
x
m
k
a =
Llamemos ω2
, como es usual, a la constante positiva k/m. Como se comprueba fácilmente la
dimensión de ω , es T−1
.
La ecuación a = x = −ω2
x , o bien
02
=+ xx ω
que también se escribe como
02
2
2
=+ x
td
xd
ω
es la llamada ecuación diferencial del oscilador armónico, de gran importancia en la física y que
va a aparecer en muchos otros movimientos. Una ecuación diferencial involucra funciones y sus
derivadas. Resolverla es hallar una función que la satisface, cumpliendo además con unas
condiciones iniciales determinadas. Buena parte de las ecuaciones fundamentales de la física son
ecuaciones diferenciales.
32

33. Ecuaciones más complejas requerirán métodos especiales, pero con el cálculo elemental podemos
abordar la solución de la ecuación del oscilador, es decir encontrar cual es la función x(t) que
describe el movimiento de la masa m suspendida del resorte. Hagámoslo para unas condiciones
iniciales simples, comunes y prácticas: demos a la masa un desplazamiento desde el equilibrio
igual a xo (> 0) y soltémosla en t = 0. En este caso, vo = 0 y el problema es
a = x = −ω2
x. En t = 0 , x = xo y x = 0
El problema es hallar x(t), así la aceleración es x
xd
vd
v
xd
xd
td
vd
a 2
ω===
luego,
∫∫ −=
x
x
v
o
dxxdvv 2
0
ω
y por tanto
22
xxv o −=ω ,
en donde hemos tomado la raíz positiva. Como
td
xd
v = , separando las variables e integrando
de nuevo,
∫∫ ==
−
tx
x
o
ttd
xx
xd
o 022
ωω
La integral de la izquierda es inmediata si se conocen las derivadas de las funciones
trigonométricas inversas. Si no es así, se puede usar la sustitución x = xo sen φ . El resultado es
2
π
ω += t
x
x
senarc
x
xo
o
o sea
2
π
ω += t
x
x
senarc
o
y por tanto
txtsenxx oo ω
π
ω cos
2
=





+=
Siendo ωt un ángulo en radianes, ω como ya vimos, tiene dimensiones T-1
y se llama frecuencia
angular y su unidad en el SΙ es rad/s .
33

34. El movimiento oscilatorio de m es un movimiento periódico muy importante, llamado movimiento
armónico simple. La función coseno tiene período 2π y por tanto
x(t) = xo cos ωt = xo cos(ωt + 2π)
Así, cuando transcurre un tiempo llamado el período T, T = 2π/ω el movimiento se repite
idénticamente. Como ω2
= k/m, el período es
k
m
T π2=
El movimiento es simétrico alrededor de la posición de equilibrio, extendiéndose desde − xo hasta
xo. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama la amplitud del movimiento, en este caso
xo .
En realizaciones experimentales se miden la masa y el período para hallar k. Sin embargo, con
resortes blandos y masas pequeñas, la idealización que hemos hecho al despreciar la masa del
resorte no es buena. Para buscar cierta precisión es necesario tener en cuenta la masa del resorte. El
problema es arduo y no lo abordaremos, pero el resultado es simple. Si mo es la masa del resorte,
una mejor aproximación al período, con mo < m, es
k
m
m
T
o
32'
+
= π
. [2.23]
Ejemplo 2.5. Si un objeto flotante se introduce ó se saca de un líquido a partir de su posición de
equilibrio, aparece una fuerza restauradora igual al aumento ó disminución del peso del líquido
desplazado. Un ejemplo sencillo es el densímetro, figura 2.8 utilizado
para medir la densidad de líquidos. Se trata de un cuerpo flotante con un
área de sección recta que atraviesa la superficie del líquido. Sea m la
masa del densímetro, A el área de su sección recta y ρ la densidad del
líquido. Si el densímetro está a una distancia y por encima de su nivel de
flotación, el volumen de líquido desplazado es Ay y la ecuación
diferencial de movimiento queda
yAg
td
yd
m ρ−=2
2
02
2
=+ y
m
Ag
td
yd ρ
34

35. De donde
Ag
m
T
ρ
π2=
Ejemplo 2.6 Un oscilador armónico simple no amortiguado cuya frecuencia natural es de 10 rad/s
se desplaza una distancia de 0.03 m. de su posición de equilibrio y se suelta. Encontrar: a) La
aceleración inicial. b) La amplitud del movimiento resultante. c) La máxima velocidad.
Solución: a) Como el sistema se estira a partir del reposo 0,03 m y luego se suelta, la aceleración
inicial es:
222
/0,303,010 smAao =×== ω
b) La amplitud del movimiento: A = 0,03 m
c) La máxima velocidad: smAvmáx /3,003,010 =×==ω
Ejemplo 2.7. Un resorte horizontal se estira 4,5 cm con respecto a su posición de equilibrio cuando
actúa sobre él una fuerza de 2,16 N. Se coloca en el extremo del resorte una masa de 0,75 kg y se
estira el resorte 0,2 m a partir de su posición de equilibrio. Al dejar en libertad el sistema, la masa
quedará dotada de un movimiento oscilatorio armónico. Hallar: a) Fuerza que ejerce el resorte
sobre la masa cuando el sistema empieza a oscilar. b) El período de oscilación. c) La máxima
velocidad alcanzada por la masa. d) La máxima aceleración. e) Velocidad, aceleración, energía
cinética y energía potencial de la masa cuando se ha movido una distancia igual a la mitad de la
amplitud a partir de la posición inicial.
Solución: a) La constante recuperadora del resorte será: mN
m
N
x
F
k /48
045,0
16,2
===
y la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa F’ = - kx = - 48×0,2 = - 9,6 N
b) El período de oscilación es s
k
m
T 785,0
48
75,0
22 === ππ
c) La velocidad máxima sm
T
AAv /6,1
25,0
2
2,0
2
max ====
ππ
ω
d) Aceleración máxima 2
2
22
2
max /8,12
)25,0(
4
2,0
2
sm
T
AAa ==





==
π
ππ
ω
e) La velocidad en el punto de elongación m
A
x 10,0
2
== será
sm
T
xAv /38,1173,0
25,0
2
)1,0()2,0(
2 2222
==−=−=
π
ππ
ω
la aceleración 2
2
22
2
/4,6
)25,0(
4
1,0
2
2
sm
A
T
xa −==





−=−=
π
ππ
ω
35

36. la energía cinética JvmEc 714,038,175,05,0
2
1 22
=××==
y la potencial JxkEp 24,01,048
2
1
2
1 22
=××==
Ejemplo 2.8. Una masa de 0.5 kg, conectada aun resorte ligero cuya constante de fuerza es 20
N/m, oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción.
a) Calcular la energía total del sistema y la rapidez máxima de la masa, si la amplitud del
movimiento es 3 cm.
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es igual a 2 cm?
c) Calcular las energías cinética y potencial del sistema, cuando el desplazamiento es igual a 2 cm.
Solución:
a) La energía total es dada por la ecuación 2.22, de donde
JAkE 3222
109)103(20
2
1
2
1 −
×=×××==
La velocidad es máxima cuando la masa pasa por el punto de equilibrio x = 0 por lo que toda la
energía mecánica es energía cinética, luego
32
max 109
2
1 −
×== vmE , de donde: smv /19,0
5,0
1092 3
max =
××
=
−
a) La velocidad como función de la posición se obtiene usando la ecuación 2.15, así:
22
xAv −=ω donde
m
k
=ω luego
( ) smv /14,002,003,0
5,0
20 22
±=−=
Los signos positivo y negativo indican que la masa podría estar moviéndose hacia la derecha o
hacia la izquierda, en ese instante.
b) Aplicando el resultado del apartado b), se tiene :
JvmEc
322
10514142,05,05,0
2
1 −
×=××==
y la energía potencial es:
JxkEp
322
10402.0205,0
2
1 −
×=××==
2.5. EL PÉNDULO SIMPLE
36
Figura 2.7. Representación del
péndulo simple y sus compo-
nentes.

37. Un péndulo es un cuerpo suspendido verticalmente, que puede oscilar alrededor de la posición
de equilibrio bajo la acción de la gravedad. El péndulo simple es una idealización en la cual una
masa puntual está suspendida de una cuerda inextensible y de peso despreciable comparado con la
masa pendular, que oscila en un plano vertical. Una pequeña esfera masiva atada a una cuerda
proporciona una realización práctica adecuada.
Si la masa se desplaza a una posición angular θo y luego se suelta, el péndulo comienza a
oscilar. El péndulo describe un arco de circunferencia s de radio L. El sistema mecánico es m y su
diagrama de fuerzas se muestra en el esquema de la figura 2.7. El ángulo de mg con la normal a la
trayectoria es θ y entonces aplicando la segunda ley de Newton al sistema de fuerzas en dirección
tangencial (elegida positiva en dirección de s y θ crecientes), obtenemos:
2
2
2
2
)(
td
d
Lm
td
Ld
m
td
sd
dt
d
m
td
vd
msenmg
θθ
θ ==





==−
Por lo tanto la aceleración angular es:
θ
θ
sen
L
g
td
d
−=2
2
Estudiemos ahora el caso particular llamado péndulo simple de pequeñas amplitudes, en el
cual el péndulo oscila de modo que el máximo valor del ángulo θ es un ángulo pequeño.
Las funciones seno y coseno pueden expresarse en series de potencias así
...
!5!3
53
−+−=
θθ
θθsen [2.24]
...
!4!2
1cos
42
−+−=
θθ
θ [2.25]
Si el ángulo θ es pequeño, las potencias θ2
, θ3
, … son muy pequeñas y podemos
despreciarlas y la aproximación lineal queda
sen θ ≈ θ , y cos θ ≈ 1 [2.26]
donde θ está en radianes. Con la aproximación para ángulos pequeños sen θ ≈ θ , la aceleración
angular del péndulo queda
θ
θ
L
g
td
d
−=2
2
, o también
02
2
=+ θ
θ
L
g
td
d
[2.27]
37

38. que representa la ecuación del movimiento armónico simple. En analogía con la ecuación 2.3,
L
g
=2
ω [2.28]
siendo ω la frecuencia angular.
Si damos al péndulo las siguientes condiciones iniciales: soltamos en t = 0 desde θ = θo, el
problema del movimiento queda entonces
θωθα 2
−== 
En t = 0, θ(0) = θo y 0=θ ; se requiere hallar θ(t).
Este problema es el mismo que ya planteamos al estudiar las oscilaciones de una masa suspendida
de un resorte. Simplemente, en vez de la posición x (t), tenemos ahora la posición angular θ (t). El
péndulo simple de pequeñas amplitudes describe por tanto un movimiento armónico simple
θ(t) = θo cos ω t ,
con amplitud θo y cuyo período, se obtiene usando la ecuación 2.28, de modo que
g
L
T π2= [2.29]
De acuerdo con la ecuación, cuanto mayor es la longitud del péndulo, mayor es el periodo, y la
frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud de la oscilación para amplitudes
pequeñas. En el movimiento armónico simple, el período, es decir el tiempo que tarda una
oscilación completa, no depende de la amplitud de la oscilación. El péndulo de pequeñas
amplitudes, que describe un movimiento armónico simple, tiene esta propiedad y se dice que es
isocrónico. Pero en un péndulo de amplitud cualquiera esto no es cierto, el péndulo no es
isocrónico, es decir el período depende de la amplitud θo.
Para una amplitud θo de unos 15°, el error relativo que se comete al calcular el período con la
expresión que vimos, respecto al período exacto, es de un 0.5%, lo que indica el grado de precisión
al considerar la aproximación de pequeñas amplitudes.
Ejemplo 2.9: Una partícula se desliza hacia delante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin
fricción. a) Halle el periodo del movimiento si h es la altura inicial; b) el movimiento ¿es armónico
simple?
Solución: El movimiento de vaivén en la rampa es uniformemente acelerado, por lo que
suponemos que “s” es la distancia que cubre la partícula en un lado del plano inclinado, entonces:
38

39. s = (1/2)at2
pero
θθ sena
h
a
s
t
sen
h
s
22
==∴=
que es el tiempo que tarda en cubrir un lado de la rampa y el tiempo que emplea en ejecutar un
movimiento de vaivén es T = 4t, por lo que
θsena
h
T
2
4=
b) De la dinámica del cuerpo se tiene:
F = ma, por lo que - mg sen θ = m a
de donde
0=+ θsengs
con lo cual, el movimiento no es armónico simple.
2.6. PÉNDULO FÍSICO.
Un cuerpo rígido, que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su
centro de masas, oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio recibiendo este sistema el
nombre de péndulo físico. Consideremos un cuerpo de masa m con un eje de rotación situado a una
distancia D del centro de masas y desplazado de su posición de equilibrio un ángulo ϕ, figura 2.9.
El momento de fuerza τ respecto al eje tiene como módulo mg D sen φ y aplicando la 2a
ley de
Newton
τ = Iα, siendo I el momento de inercia respecto al eje y α
la aceleración angular obtenemos
φ
φ
sen
I
Dgm
td
d
−=2
2
De igual forma que en el péndulo simple, el movimiento
no es armónico simple; pero para desplazamientos
angulares pequeños hacemos uso de las ecuaciones 2.26,
39
Figura 2.9. Péndulo físico

40. donde sen φ ≈ φ, el movimiento que realiza el cuerpo es aproximadamente armónico simple con
una ecuación de movimiento dada por
φωφ
φ 2
2
2
−=−=
I
Dgm
td
d
donde
I
Dgm
=ω es la frecuencia angular del movimiento armónico simple, y en
consecuencia el periodo de oscilación es igual a
Dgm
I
T π
ω
π
2
2
== [2.30]
En este caso, y a diferencia del péndulo simple, el periodo de oscilación del péndulo físico si
depende de la masa del cuerpo.
Ejemplo 2.10. Una barra delgada de longitud L y masa m está suspendida
libremente en O, situado a la distancia L/3 del extremo de la barra. La barra se
desplaza ligeramente a partir del equilibrio y se deja oscilar alrededor de un eje que
pasa por O. Determine la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones.
Solución. Como la oscilación depende del punto de suspensión, entonces
τ = - (mg senθ) d
Pero τ = I α = - ( m g sen θ ) d, expresión que nos lleva a la ecuación diferencial:
θ
θ
senmgd
td
d
I −=2
2
Como observamos, el movimiento no es armónico simple; sin embargo para pequeñas oscilaciones
hacemos uso de la ecuación 2.26, senθ ≅ θ y entonces
02
2
=+ θ
θ
I
dgm
td
d
La distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa de la barra es d = L/2 – L/3 = L/6
donde el momento de inercia de la barra, de acuerdo con el teorema de Steiner será:
936
1
12
1
612
1 2
2
2
2 Lm
Lm
L
mLmI =





+=





+=
Luego 0
2
3
0
)6/(9
2
2
22
2
=+⇒=+ θ
θ
θ
θ
L
g
td
d
Lm
Lgm
td
d
entonces
L
g
2
3
=ω
40
mg
d
θ
O

41. Ejemplo 2.11. Un disco pequeño de radio r y masa m, está unido rígidamente a un segundo disco
mas grande de radio R y masa M. El centro del disco pequeño está situado en el borde del disco
grande. El disco grande está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El conjunto se hace
girar un pequeño ángulo θ desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) demuestre que la rapidez
del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es
( ) 2
)cos1(
2 2
++
−
=
R
r
m
M
gR
v
θ
y que su periodo es:
Rgm
rmRmM
T
2
)(
2
22
++
= π
Solución: (a) Aplicando conservación de energía entre los puntos extremo y medio, se tiene:
Ec = Ep = E:
0)cos1(
2
1
2
1
2
1
2
1 22222
=−−





+





+ θωω RgmRMRmrm
( ) 0)cos1(
4
1
2
4
1
2
2
2
2
2
22
=−−++ θRgm
R
v
RM
R
v
Rmrm , despejando v:
m
M
R
r
R
Mm
R
r
m
Rgm
v
++
−
=
++
−
=
2
2
2
2
2
)cos1(2
2
2
)cos1(4 θθ
(b) Aplicando la dinámica de Newton al sólido, tenemos:
θατ senRgmI −== luego, 02
2
=+ θ
θ
I
Rgm
td
d
Donde el momento de inercia, de acuerdo con el teorema de Steiner es






++= 222
2
1
2
1
mRrmRMI ; y al reemplazar en la expresión anterior, tenemos
41
v
θ

42. 2
222
2 2
2
2






=
++
=
TRmrmRM
Rgm π
ω
por tanto:
Rgm
rmRmM
T
2
)2(
2
22
++
= π que era lo que queríamos demostrar.
Ejemplo 2.12. Un cilindro macizo de densidad uniforme
y masa total M rueda sin deslizar sobre una superficie
circular cuyo radio es R. Si el radio del cilindro es r,
demuestre que su movimiento es oscilatorio y que para
pequeñas amplitudes el movimiento es
aproximadamente armónico, con frecuencia
)(3
2
rR
g
−
=ω
Solución: Planteamos la solución del problema por conservación de energía. Sea θo la posición
angular a partir de la cual se inicia la rodadura del cilindro. Luego de la figura determinamos:
θ
θ
cos)(
cos)(
rRh
rRh oo
−=
−=
Hallemos la energía potencial que posee el sistema con respecto a la
posición inicial
Mg (h - ho) = Mg (R – r)(cos θ - cosθo)
Y aplicando el principio de conservación de la energía, tenemos:
)cos)(cos('
2
1
2
1 22
orRMgIMv θθω −−=+
Pero )(' rRrv −== ωω , es decir, la velocidad tangencial es la misma, luego:
)cos)(cos('
2
1
)'(
2
1 22
orRMgIrM θθωω −−=+
)cos)(cos()(
2
1
2
1
)(
2
1
2
222
orRMgrR
r
MrrRM θθ
ω
ω −−=





−





+−
)cos)(cos(2)(
2
1
)( 2222
orRgrRrR θθωω −−=−+− ,
Derivando la expresión con respecto al tiempo, tenemos:
42

43. 





−−=−+−
td
d
senrRg
td
d
rR
td
d
rR
θ
θ
ω
ω
ω
ω )(2)()(2 22
Simplificando:
[ ] θ
ω
seng
td
d
rRrR 2)()(2 −=−+−
)(3
2
2
2
rR
seng
td
d
−
−
=
θθ
Considerando que θ es muy pequeño, entonces:
)(3
2
0
)(3
2
2
2
rR
g
rR
g
td
d
−
=⇒=





−
− ωθ
θ
2.7. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y FRECUENCIA
Consideremos la superposición ó interferencia
de dos MAS bajo la siguiente hipótesis: la
resultante de dos ó más oscilaciones armónicas
es simplemente la suma de las oscilaciones
aisladas.
Supongamos dos MAS superpuestos de igual
frecuencia y diferente fase que producen el
desplazamiento de la partícula a lo largo de la
misma línea
x1 = A1 cos (ωt + ϕ1)
x2 = A2 cos(ωt + ϕ2)
El desplazamiento resultante de la partícula está dado por la combinación lineal:
x = A1 cos (ωt + ϕ1) + A2 cos(ωt + ϕ2) [2.31]
y es periódico, con periodo T = 2π/ω, ya que ambas expresiones tienen el mismo periodo. La
representación gráfica de esta composición es mostrada por la figura 2.10 mediante vectores
rotantes o fasores. Para determinar la amplitud resultante, aplicamos la ley de los cosenos a los
vectores rotantes de la figura 2.10 y obtenemos:
)(cos2 2121
2
2
2
1 ϕϕ −++= AAAAA [2.32]
43
Figura 2.10. Composición de dos MAS de
la misma frecuencia y diferencia de fase α

44. y la constante de fase la obtenemos a partir de las proyecciones sobre los ejes de modo que
2211
2211
coscos ϕϕ
ϕϕ
ϕ
AA
senAsenA
tg
+
+
= [2.33]
de modo que el movimiento resultante es dado por la expresión:
x = A cos (ωt + ϕ)
Consideremos dos casos especiales:
(a) Si ϕ = 0, esto es, ϕ2 - ϕ1 = 0, decimos que los dos movimientos están en fase, lo cual significa
que los vectores rotantes son paralelos. Luego el movimiento resultante es
x = (A1 + A2) cos ωt
y muestra que el movimiento resultante también es un MAS con la misma frecuencia angular y con
amplitud
A = A1 + A2 y tg ϕ = tg ϕ 1,
es decir, los movimientos interfieren constructivamente ya que las amplitudes se suman tal como se
observa en la figura 2.11(a) muestra la representación gráfica de los dos movimientos componentes
dados por los vectores rotantes OP1, OP2 y su resultante OP.
(b) Cuando ϕ = ϕ1 - ϕ2 = π, tenemos que
x2 = A2 cos(ωt + (ϕ1 - π)) = - A2 cos (ωt + ϕ1)
se dice que los dos movimientos están en oposición, sus vectores rotantes son antiparalelos de
modo que el movimiento resultante es:
x = (A1 - A2) cos (ωt + ϕ1)
44

45. que nos muestra que el movimiento resultante es también armónico simple, de la misma frecuencia
cuya amplitud es
A = A1 - A2
y tg ϕ = tg ϕ1
La figura 2.11(b)
representa gráficamente
este tipo de composición.
(c) Cuando ϕ = ϕ1 - ϕ2
= π/2, es decir, si ϕ2 = ϕ1
- π/2, entonces se dice
que los dos movimientos
están en cuadratura
obteniéndose el
movimiento armónico
simple representado en la
figura 2.11(c) y al aplicar
la ecuación 2.32 y la 2.33
se obtiene
2
2
2
1 AAA += y





+= −
1
21
1 A
Atgϕϕ
2.8. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y DIFERENTE
FRECUENCIA
Supongamos 2 MAS de igual dirección y diferente frecuencia descritos por las ecuaciones
x1 = A1 cos ω1t y x2 = A2 cos ω2t
donde por simplicidad se ha considerado que las fases iniciales son cero. El ángulo entre los
vectores rotantes OP1 y OP2 en la figura 2.10(a) es ahora ω1 t - ω2t = (ω1 - ω2)t y depende del
tiempo, por tanto el vector resultante OP no tiene longitud constante y no gira con velocidad
45

46. angular constante. Esto implica que el movimiento resultante x1 + x2 no es armónico simple. En la
figura 2.12(a) que representa los vectores rotantes, vemos que la amplitud del movimiento es:
tAAAAA )(cos2 2121
2
2
2
1 ωω −++= [2.34]
que depende del tiempo, por lo que la amplitud oscila entre los valores
A = A1 + A2 cuando (ω1 –ω2)t = 2nπ
y A = |A1 – A2| cuando (ω1 – ω2)t = (2n+1)π
con lo cual se dice que la amplitud está modulada. La frecuencia de la oscilación de la amplitud
está expresada por
21
21
2
fff −=
−
=
π
ωω
[2.35]
y es igual a la diferencia de las frecuencias de los dos movimientos en interferencia. La figura
2.12(b) muestra la variación de A con respecto a t.
Un ejemplo de este comportamiento lo constituyen dos diapasones de frecuencias cercanas
pero diferentes que vibran simultáneamente en lugares cercanos. Se escucha una nota pero con una
fluctuación en la intensidad del sonido llamada pulsación. Una situación interesante ocurre cuando
las dos amplitudes son iguales A1 = A2 que al reemplazarlos en la ecuación 2.34
])cos(1[2 211 tAA ωω −+=
y usando la identidad trigonométrica 1 + cos θ = 2 cos2
(θ/2), obtenemos la amplitud total
tAA
2
cos2 21
1
ωω −
= [2.36]
que oscila entre cero y 2A1. El movimiento resultante cuando las amplitudes son iguales es:
x = x1 + x2 = A1 cos ω1t + A2 cos ω2t
= A1 (cos ω1t + cos ω2t)
que también puede expresarse como
( ) ( ) ( )tAttAx 2121211
2
1
cos
2
1
cos
2
1
cos2 ωωωωωω +=+−=
donde A está dado por la ecuación 2.36 El movimiento se puede interpretar, como un movimiento
armónico con frecuencia ω = (ω1 + ω2 )/2 y con una amplitud modulada de acuerdo con la
46

47. ecuación 2.36 y representada en la figura 2.12(c), donde la línea segmentada representa la
modulación de la amplitud.
Figura 2.12 (a) Composición de dos MAS de igual dirección y diferente frecuencia, (b) Amplitud modulada
del movimiento resultante. (c) Modulación cuando las amplitudes son iguales
2.9. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS CON DIRECCIONES PERPENDICULARES
Consideremos ahora el caso de una partícula que se mueve en un plano de tal modo que sus
coordenadas x e y oscilan con MAS de igual frecuencia. El movimiento a lo largo del eje X está
dado por
x = A cos (ωt + α1) [2.37]
y el movimiento a lo largo del eje Y es descrito por:
y = B cos(ωt + α2) [2.38]
Desarrollando las expresiones de los movimientos a lo largo de cada uno de los ejes, tenemos:
x = A[ cos ωt cos α1 - sen α1 sen ωt] [2.39]
y = B[cos ωt cos α2 - sen ωt sen α1] [2.40]
Multiplicando la expresión 2.39 por cosα2 y 2.40 por cos α1 se tiene:
(x/A) cos α2 = cos ωt cos α1 cos α2 - sen ωt sen α1 cosα2 [2.41]
(y/B) cos α1 = cos ωt cos α2 cos α1 - sen ωt sen α1 cos α1 [2.42]
restando 2.42 de 2.41 tenemos:
( )211212 coscoscoscos ααααωαα sensentsen
B
y
A
x
−=− [2.43]
47

48. Multiplicando ahora las expresiones 2.39 por sen α2 y 2.40 por sen α1 se tiene:
(x/A) sen α2 = cos ωt cos α1 sen α2 - sen ωt sen α1 sen α2 [2.44]
(y/B) sen α1 = cos ωt cos α2 sen α1 - sen ωt sen α1 sen α1 [2.45]
Restando la ecuación 2.45 de 2.44 tenemos:
( )122112 coscoscos ααααωαα sensentsen
B
y
sen
A
x
−=− [2.46]
Elevando al cuadrado y sumando las expresiones 2.43 y 2.46 se tiene:
( )
[ ] [ ])(cos)(
coscos
2
)(cos)cos(
12
22
12
22
21211
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ααωααω
αααααααα
−+−=
+−+++
sentsentsen
sensen
BA
yx
sen
B
y
sen
A
x
Reduciendo:
)()(cos
2
12
2
122
2
2
2
αααα −=−−+ sen
BA
yx
B
y
A
x
[2.47]
Consideremos ahora algunos casos especiales. Si los movimientos componentes están en fase
entonces δ = α2 - α1 = 0 y la ecuación 2.47 se reduce a:
2
2
2
2
2
2
00cos
2






−==−+
B
y
A
x
sen
BA
yx
B
y
A
x
entonces x
A
B
y =
Ésta es la ecuación de la recta PQ de la figura 2.13, y el
movimiento resultante es armónico simple con amplitud
22
BA +
Es decir, el desplazamiento a lo largo de la línea PQ es
r = 22
BA + cos ωt [2.48]
Si los movimientos están en oposición de fase δ = α2 - α1 = π y al reemplazar en la ecuación 2.47
se tiene:
x
A
B
y −=
48
Figura 2.13 Superposición de
dos MAS mutuamente
perpendiculares

49. que es la ecuación de la línea RS. El movimiento resultante es armónico simple con amplitud
22
BA + . Por tanto decimos que cuando δ = 0 ó δ = π la superposición de dos MAS
perpendiculares de la misma frecuencia tiene como resultado un movimiento armónico rectilíneo, y
da lugar a una polarización rectilínea.
b) Cuando δ = α2 - α1 = π/2 se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y están en
cuadratura; en este caso al reemplazar δ en la ecuación 2.47 se tiene:
12
2
2
2
=+
B
y
A
x
que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 2.13 La elipse es recorrida en sentido horario.
Esto puede verificarse si se calcula la velocidad de la partícula en x = +A. Así, en x = +A, partiendo
de la ecuación 2.37 se tiene que x = A cos (ωt + α1) = 1, lo que implica que (ωt + α1) = 2nπ y la
componente x de la velocidad vx = dx/dt = - Aω sen (ω t + α1) = 0 ya que la fase es múltiplo de
2nπ. La componente Y es y = B cos (ω t + α1 +π/2) = - B sen (ω t + α1) y la componente vy de la
velocidad es vy = - Bω cos (ωt + α1) = - ωB dado que (ωt + α1) = 2nπ que es paralela al eje Y.
Como es negativa el punto pasa por A, moviéndose hacia abajo, que corresponde a una rotación
horaria.
Se obtiene la misma elipse si α2 - α1 = 3π/2 ó - π/2, pero en este caso el movimiento es
antihorario. De este modo se puede afirmar que cuando la diferencia de fase α2 - α1 = ± π/2. La
superposición de dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y direcciones
perpendiculares produce un movimiento elíptico y da lugar a una polarización elíptica. Los ejes de
la elipse son paralelos a las direcciones de los dos movimientos Cuando A = B la elipse se
transforma en un círculo y tenemos una polarización circular.
c) Para un valor arbitrario de la diferencia de fase δ = α2 - α1 la trayectoria es aún una elipse pero
sus ejes están rotados respecto al eje de coordenadas tal y como se muestra en la figura 2.13 para
ciertas diferencias de fase.
Otra situación interesante es la interferencia de 2 MAS perpendiculares de frecuencias diferentes
x = A cos (ω1 t + α1)
y = B cos (ω2 t + α2) [2.49]
La trayectoria depende de la relación ω1/ω2 y de la diferencia de fase δ = α2 - α1 denominándose
estas curvas figuras de Lissajous. La figura 2.15 muestra estas trayectorias para diferentes
relaciones ω1/ω2 y diferencias de fase δ = α2 - α1.
49

50. Figura 2.14. Composición de 2 MAS perpendiculares y frecuencias iguales para ciertas diferencias
de fase δ dadas, cuando A = B
2.10. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
El estudio de las oscilaciones que hemos desarrollado se ha realizado como si no existiera
rozamiento, es decir, la fuerza que da lugar al movimiento armónico simple es Fx = - kx. Sin
embargo, si el movimiento se realiza en un medio cualquiera, éste ofrecerá cierta resistencia al
movimiento tendiendo a frenarlo. Así, dejado libremente en movimiento vibratorio un muelle ó un
péndulo, su amplitud disminuye gradualmente, hasta que deja finalmente de oscilar, lo que indica
una pérdida de la energía del mismo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio está
amortiguado.
Desde el punto de vista mecánico la disipación de energía se puede describir introduciendo una
fuerza complementaria que surge como resultado del propio movimiento y va dirigido en sentido
opuesto al movimiento. A velocidades suficientemente pequeñas, esta fuerza o fuerza de
amortiguamiento, es proporcional a la velocidad del cuerpo, y suelen representarse por la expresión
empírica
td
xd
bvbFr −=−= , donde b es una constante positiva que depende del medio y
de la forma del cuerpo. El signo negativo indica que la fuerza Fr tiene sentido contrario al de la
velocidad del objeto por lo que realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía
disminuya. Introduciendo este término en la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación
diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.
m a = Fx + Fr = - k x – b v
m a + b v + k x = 0 [2.50]
50

51. y la ecuación diferencial del movimiento es:
02
2
=++ xk
td
xd
b
td
xd
m [2.51]
que se puede expresar como:
02
2
=++ x
m
k
td
xd
m
b
td
xd
[2.52]
Esta ecuación describe el comportamiento del oscilador armónico amortiguado. Su movimiento, al
menos cuando el amortiguamiento es pequeño, consiste de una oscilación sinusoidal cuya amplitud
va decreciendo gradualmente, como se verá luego. Esta ecuación se puede simplificar:
02 2
2
2
=++ x
td
xd
td
xd
oωγ [2.53]
donde
m
k
m
b
o == 2
;2 ωγ
Dado que la ecuación diferencial contiene coeficientes constantes, existe siempre una solución de
la forma x = e r t
. Para demostrarlo hallamos las derivadas de x respecto al tiempo:
trtrtr
er
td
xd
er
td
xd
ex 2
2
2
;; ===
que al reemplazarlas en la ecuación 2.53 tenemos:
( ) 02 22
=++ tr
err ωγ
Suprimiendo e r t
nos da una ecuación algebraica de segundo grado en r cuyas raíces son:
2
4)2(2 22
o
r
ωγγ −±−
=
22
or ωγγ −±−= [2.54]
Luego, la solución a la ecuación diferencial es:
tt oo
eAeAtx
)(
2
)(
1
2222
)(
ωγγωγγ −−−−+−
+= [2.55]
Dependiendo de los valores de γ y ωo, podemos distinguir tres casos que son: (a) que
2
oω > γ2
;
(b) que
2
oω = γ2
y (c)
2
oω < γ2
51

52. Caso (a) (Oscilaciones subamortiguadas) cuando
2
oω > γ2
hacemos 22
γωω −= o , donde γ =
b/2m es el llamado coeficiente de amortiguamiento y
m
k
o =ω es la frecuencia angular natural
del oscilador no amortiguado. Por el doble signo del radical, tenemos dos soluciones en el campo
de los números complejos para r:
ωγωγγωγ ir o ±−=−±−=−−±−= 1)( 22
[2.56]
Las soluciones son: ωγ ir +−=1 y ωγ ir −−=2
que da como solución general a la ecuación diferencial, la combinación lineal de r1 y r2 , esto es:
)()( 2121
titittittit
eAeAeeAeAtx ωωγωγωγ −−−−+−
+=+= [2.57]
y dado que
e± iθ
= cos θ ± i sen θ, [2.58]
entonces, x(t) es solución compleja de la ecuación diferencial y por tanto A1 y A2 habrán de ser
también complejos para que x(t) sea la solución general. La solución de un problema físico debe ser
real, por lo que se ha de elegir A1 y A2 de modo tal que x lo sea. Esto se logra haciendo A2
conjugado complejo de A1 así:
2
1
BiA
A
+
= y
2
2
BiA
A
−
= [2.59]
Que al reemplazar en 2.57, tenemos:





 −
+
+
= −− titit
e
BiA
e
BiA
etx ωωγ
22
)(
Aplicando la ecuación 2.58. se tiene:
( ) ( )





−
−
++
+
= −
tsenit
BiA
tsenit
BiA
etx t
ωωωωγ
cos
2
cos
2
)(
[2.60]
( )tsenBtAetx t
−= −
ωγ
cos)( [2.61]
Multiplicando y dividiendo 2.61 por 22
BA + se tiene:








+
−
+
+= −
tsen
BA
B
t
BA
A
BAetx t
2222
22
cos)( ωγ
[2.62]
52

53. Que al llevar los coeficientes al plano (figura 2.16) obtenemos
22
BAC += [2.63]
22
BA
B
sen
+
=ϕ , y 22
cos
BA
A
+
=ϕ [2.64]
Reemplazando 2.63 y 2.64 en 2.62
)(cos)( ϕωγ
+= −
teCtx t
[2.65]
donde ϕ la fase inicial del movimiento, es decir, la separación de la posición de equilibrio en el
instante t = 0. Debido a la presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud
se va reduciendo a medida que transcurre el tiempo (figura 2.16). Las curvas de trazos de la figura
2.17 corresponden a x = + C y x = - C, donde C viene dado por C = Coe-γ t
y la frecuencia angular
ω del movimiento amortiguado es:
22
γωω −= o [2.66]
este es un movimiento Infra-amortiguado o
sub-amortiguado. Observamos que la
frecuencia angular del movimiento
amortiguado es menor que la del
movimiento sin amortiguamiento, o dicho de
otra manera, el periodo T del movimiento
amortiguado es mayor que el del
movimiento sin amortiguamiento.
Caso (b) (sobreamortiguamiento) las raíces son reales por tanto la solución es una función real, así:
tt oo
eAeAx




 −−−



 −+−
+=
2222
21
ωγγωγγ
Ecuación que puede expresarse como




 +=
−−−− ttt oo
eAeAex
2222
21
ωγωγγ
[2.67]
A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales xo y vo. El sistema actúa pesadamente y no vuelve
de modo tan rápido al equilibrio (x = 0); en este caso, se dice que el sistema está sobreamortiguado
y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola a lo sumo una vez.
Para unas condiciones iniciales dadas (xo,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento más tiempo
empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio.
53
Figura 2.17 Representación del movimiento sub-
amortiguado cuya amplitud varía como Ao
e-γ t
C
ϕ
A
B
Figura 2.16

54. Para el caso (c) donde ωo = γ , (amortiguamiento crítico) se tiene que r = - γ siendo la solución de
x en este caso:
t
ex γ−
=
Pero también es solución la expresión t
etx γ−
= , por tanto, la solución general para el caso
donde ωo = γ es:
t
etAAx γ−
+= )( 21 [2.68]
donde A1 y A2 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las
condiciones iniciales, esto es, de la posición xo y de la velocidad vo de la partícula en el instante
inicial t = 0. La función decrece exponencialmente con el tiempo a un ritmo comprendido entre -γ -
ω y - γ + ω; es decir, la solución [2.67] tiende mas rápidamente a cero (después de un tiempo
suficientemente largo) que la expresión [2.66], excepto en el caso A2 = 0, lo cual significa que el
sistema vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilar, y se dice que
el sistema está amortiguado críticamente.
La figura 2.18 muestra la superposición de los tres casos del movimiento oscilatorio amortiguado.
Figura 2.18 Desplazamiento vs tiempo para un movimiento (a) sub-amortiguado (ωo > γ), (b)
sobre-amortiguado (ωo < γ) y (c) críticamente amortiguado (ωo = γ)
2.11. FACTOR DE CALIDAD
En la ecuación 2.65 obtenida para una oscilación sub-amortiguada, observamos que la amplitud
decrece según la magnitud γ que determina el grado de disminución de la amplitud. Sea
b
m21
==
γ
τ [2.69]
54

55. el tiempo necesario para que la amplitud disminuya e veces. Este tiempo se denomina tiempo de
duración de las oscilaciones. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y τ se supone
grande en comparación con el periodo de las oscilaciones Infra-amortiguadas
22
22
γω
π
ω
π
−
==
o
T [2.70]
es decir, en este tiempo se produce un número n = τ /T de oscilaciones. La magnitud inversa de n,
se denomina decremento o decrecimiento logarítmico de la oscilación.
Como la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces τ es también el
tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e; el oscilador perderá una fracción muy
pequeña de energía durante una fracción de oscilación. Así, en un tiempo dt, la pérdida de energía
del cuerpo será el trabajo realizado por la fuerza de resistencia Fr es: decir, dW = Fr dx, donde el
desplazamiento en un dt es dx = v dt, por lo que
dE = - b v (v dt) = - b v2
dt [2.71]
de donde
2
2 2
2 vm
m
b
vb
td
Ed
−=−=
En nuestra suposición de que la fuerza de resistencia es pequeña, podemos aplicar esta relación a la
pérdida media de energía durante un periodo, reemplazando la energía cinética mv2
/2, por su valor
medio <Ec> = E/2. Por lo tanto
E
td
Ed
γ2−= [2.72]
De donde td
E
Ed
γ2−= , que al integrar nos da:
E = Eo e- 2 γ t
[2.73]
Donde Eo es la energía en t = 0. Así tenemos que la energía de la oscilación disminuye debido al
rozamiento, según una ley exponencial y como la energía es directamente proporcional al cuadrado
de la amplitud C = Coe- γ t
, entonces en el tiempo t = τ la energía disminuye en un factor 1/e.
En este caso, la pérdida de energía por período (t = T) viene dada por la ecuación
T
m
b
t
E
E
−=∆−=
∆
γ2 [2.74]
El amortiguamiento de un oscilador sub-amortiguado se describe normalmente mediante la
magnitud adimensional Q denominada factor de calidad o factor Q. Si la energía total es E y la
pérdida en un período es ∆Ε se define el factor Q como
E
E
Q
∆
=
π2
[2.75]
55

56. Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:
QE
E π2
=
∆
Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de
amortiguamiento y la constante de tiempo:
TTb
m
E
E
Q
τ
ππ
π
22
2
==
∆
= [2.76]
En muchas aplicaciones prácticas se usa un amortiguamiento crítico o casi crítico para evitar
oscilaciones y conseguir que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el empleo
de sistemas que absorben choques para amortiguar las oscilaciones de un automóvil sobre sus
muelles. Un sistema como éste se encuentra críticamente amortiguado o sobreamortiguado; puede
verse esto empujando la parte delantera o trasera de un coche y observando que se producen una o
dos oscilaciones antes de que el sistema quede en reposo. También es importante cuando se diseñan
ciertos mecanismos oscilantes como un galvanómetro, en el que se desea que el mecanismo regrese
suave y rápidamente a su posición de equilibrio, o el de las puertas en centros comerciales
climatizados, donde el cliente empuja la puerta y al soltarla, ésta retorna rápidamente a la posición
de equilibrio sin oscilar.
Ejemplo 2.13. Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 4 cm con un muelle de
constante k = 512 N/m. Hallar: a) El período; b) La energía inicial total. Si la energía disminuye en
2 % por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q
Solución a) La frecuencia angular
T
srad
m
k π
ω
2
/16
2
512
====
El período es: T = 0,39 s
b) La energía inicial total en el instante inicial es:
JAkEo 41,004,05125,0
2
1 22
=××==
Cuando el sistema es amortiguado, la pérdida de energía por período es
JEEEE ooo
3
102,841,002,002,098,0 −
×=×==−=∆
El factor de calidad 16,314
102,8
41,0
22 3
=
×
=
∆
= −
ππ
E
E
Q
La constante de amortiguamiento skg
TQ
m
b /103,0
39,0100
222
=
×
×
==
π
ππ
56

57. Ejemplo 2.14. Se tiene un resorte de longitud prácticamente nula cuando está descargado y cuya
constante elástica es 98 N/m. Se estira lentamente bajo la acción de una masa de 5 kg, sometida
a la acción de la gravedad (g = 9.8 m/s2
).Hallar: a) Longitud en reposo del resorte estirado por el
peso de dicha masa. b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcular la
pulsación y frecuencia de las oscilaciones. c) Se desplaza la masa 1 cm por debajo de su
posición de reposo y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s. Calcular la
energía total del movimiento armónico. d) Calcular la amplitud del movimiento en cm y la
velocidad máxima en cm/s. e) Calcular la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima
del movimiento en cm/s2
. f) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al
cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcular la constante de tiempo. g) Calcular el tanto por uno de la
energía total que el sistema pierde en cada oscilación. h) Suponiendo que el sistema se considera
detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse.
Solución:
a) La fuerza que produce el alargamiento del resorte es mg, luego okxmg =
m
k
gm
xo 50,0
98
8,95
=
×
==
b) Sabemos que srad
m
k /43,4
5
98 ===ω
y la frecuencia es: f = ω/2π = 0,70 Hz.
El período por definición es T = 1/f = 1,419 s
c) La energía total del movimiento armónico así producido es:
J
vmxk
E 3
2222
109,5
2
)02.0(5)01,0(98
22
−
×=
−×+×
=+=
d) Dado que la energía total en el MAS es E = kA2
/2, entonces
cmm
k
E
A 097,101097,0
98
109,522 3
==
××
==
−
Cuando la masa oscilante pasa por la posición de equilibrio, la velocidad es máxima, luego
2
max,
2
1
vmEE máxcT == por lo tanto
cmm
m
E
v 86,404858,0
5
109,522 3
max ==
××
==
−
e) Cuando el móvil esté en el punto de máxima elongación estará dotado de la aceleración
máxima y en ese instante la fuerza recuperadora será también máxima; por lo tanto
57

58. NAkF 075,101097,098max =×== , luego la aceleración máxima es:
22max
/5,21/215,0
5
075,1
scmsm
m
F
a ====
f) La constante de tiempo τ (tiempo de relajamiento) es el tiempo necesario para que la energía
Eo quede reducida a Eo/e. En este caso la amplitud es de la forma A = Ao e-γ t
luego
γ60
10,10,1 −
= e
s/1105475,1
60
0928526,0
60
0973,1
0,1
ln 3−
×=
−
−=⇒−= γγ
Como ( ) t
o
t
o
t
oo eEeAkeAkE γγγ 2222
2
1
2
1 −−−
===
cuando t = T = 60 s tendremos τγτγ 212
1 −−
=→== eeE
e
E
E o
o
t
tomando logaritmos de la última expresión 1 – 2γ τ = 0
s09,323
105475,12
1
2
1
3
=
××
== −
γ
τ
h) Suponiendo que el sistema se considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm
¿Cuántos minutos tardará en detenerse
h) La energía que se pierde en un ciclo es
)(
)()(
tE
TtEtE +−
que evaluando en la expresión
2.72
T
t
o
Tt
o
t
o
e
eE
eEeE γ
γ
γγ
2
2
)(22
1 −
−
+−−
−=
−
donde 2 γ T = 2×1,5475×10-3
×1,419 = 4.3918×10-3
, luego 1 – e-00043918
= 4,380×10-3
que en porcentaje corresponde al 0,438% por ciclo.
i) Hemos visto que la amplitud Aoe- γ t
en la ecuación 2.65 decrece de manera exponencial
y cuando su valor sea A = 1 mm, se verificará t
e 001589,0
097,11,0 −
=
ii) 3
10589,1
3954377,2
001589,0
973,10
1
ln −
×−
−
=→−= tt
t = 1507,127 s = 25,125 min.
58

59. 2.12. OSCILACIONES FORZADAS.
En el caso de un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza
disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía al sistema aplicando una fuerza
externa que en cualquier instante actúe en la dirección del movimiento del oscilador, que debe
hacer un trabajo positivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecerá constante si la
energía de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento es igual a la energía que se pierde por la
fricción.
Un oscilador forzado se puede obtener cuando un oscilador amortiguado es impulsado por una
fuerza externa F = Fo cos ωf t que varia armónicamente en el tiempo, donde ωf es la frecuencia
angular de la fuerza y Fo es una constante. Agregando esta fuerza a la ecuación diferencial del
oscilador amortiguado, se obtiene:
td
xd
bxktF
td
xd
m fo −−= ωcos2
2
t
m
F
x
m
k
td
xd
m
b
td
xd
f
o
ωcos2
2
=++ [2.77]
que también puede expresarse en forma compacta como
t
m
F
xxx f
o
o ωωγ cos2 2
=++  [2.78]
La solución general de esta ecuación diferencial es la combinación de una solución transitoria, que
decrece exponencialmente con el tiempo hasta que deja de ser importante, y una solución
estacionaria que permanece constante en el tiempo, y que corresponde al equilibrio entre la energía
recibida y la disipada por parte del sistema oscilante. Así, después de un tiempo suficientemente
largo, cuando la energía de entrada en cada ciclo es igual a la energía perdida en cada ciclo, se
alcanza la condición de estado estacionario, donde las oscilaciones se producen con amplitud
constante. En esas condiciones (régimen estacionario), la solución de la ecuación es estacionaria,
ya no depende de las condiciones iniciales y se puede expresar como,
)(cos δω −= tAx f [2.79]
donde ωf es la frecuencia de la fuerza impulsora y δ es la fase de la solución estacionaria,
representa el desfase existente entre la fuerza exterior y la respuesta (desplazamiento) del oscilador.
En este caso, tanto la amplitud como la fase dependen de la frecuencia ωf. Al derivar la ecuación
2.79, obtenemos:
La velocidad
59