1. Algebra Lineal
Unidad I
Números Complejos
M.A. Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de 2012
2. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Un número Complejo es una expresión
del tipo
z a bi
• donde a y b son números reales e i es
un símbolo que denota la parte
imaginaría
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3. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Este tipo de números, por el
momento, aparecen entre las
soluciones de ecuaciones algebraicas
con una incógnita. Por ejemplo la
ecuación
2
x x 1 0
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4. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Comenzaremos por introducir un
nuevo número o símbolo, denotado por
i, el cual sería llamado la unidad
imaginaria y que cumple con la
condición 2
i 1
• O bien
i 1
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5. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Ejemplos
z 2 3i
z 8
z 12i
Número
imaginario puro
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6. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Suma
Sean z1 a1 b1i y z2 a2 b2i
La suma seria
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i
• Ejemplo
z1 3 4i z2 3 9i
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7. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Resta
Sean z1 a1 b1i y z2 a2 b2i
La resta seria
z1 z 2 a1 a2 b1 b2 i
• Ejemplo
z1 3 4i z2 3 9i
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8. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Estas operaciones de suma y resta
satisfacen las siguientes propiedades
generales
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z + W como Z - W son complejos
2. Propiedad asociativa
Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U
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9. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
– Sean: Z, W y U números complejos
3. Propiedad conmutativa
Z+U = U+Z
4. Propiedad del elemento neutro
Z+0=Z
5. Propiedad del opuesto
Z+(-Z)=(-Z)+Z=0
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10. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Ejemplos
Sumar z1 3 2i con z2 8 4i
A z1 4 7i restarle z2 2 3i
Calcular el valor de Z en
Z 5 12 i 10 -8i 6 3i 7 2i
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11. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Ejercicios
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12. 1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Ejercicios
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13. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Producto
Sean Z a bi y W c di
El producto es
ZW ac bd ad bc i
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14. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Ejemplo
Sean Z 6 2i y W 3 5i
Encontrar ZW
Sean Z 8 y W 3 2i
Encontrar ZW
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15. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Propiedades del producto
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z W es un número complejo
2. Propiedad asociativa
Z ( W U ) = (Z W ) U
3. Propiedad conmutativa
ZU = UZ
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16. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
– Sean: Z, W y U números complejos
4. Propiedad del elemento neutro
Z1=Z
5. Propiedad del inverso
Z Z-1 = 1
6. Propiedad distributiva
Z (W +U) =ZW + ZU
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17. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Conjugado de Z
• Si Z a bi es un número
complejo, entonces el CONJUGADO
de Z, denotado por , es un número
Z
complejo definido por
Z a bi
• Ejemplos
Z 2 9i Z 7 9i
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18. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• División
• Sean: Z y W dos números complejos, y
W 0 podemos hacer la división de Z ente
W de la forma siguiente
• Z Z W ZW
2
W WW W
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19. 1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Ejemplo
Sean Z 6 2i y W 3 5i
Z
Encontrar
W
Sean Z 3 4i y W 2 3i
Z
Encontrar
W
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22. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• Representación geométrica
– Plano complejo
Eje imaginario
Eje real
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23. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• El modulo de Z
• Si Z a bi es un número
complejo, el MODULO de Z, es el
número real 2 2
Z a b
• Ejemplos
Z 3 4i Z 3 9i
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24. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• Algunas propiedades del modulo son:
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Z 0
2. Z 0 si y solo si Z 0
3. Z W Z W
4. ZW ZW
1 1
5. Z Z
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25. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• El módulo de un número complejo Z es
igual a la distancia desde el punto Z
hasta el origen
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26. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Forma polar
1 b
tan
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
a
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27. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Ejemplos
– Hallar la forma polar de:
a) En el primer cuadrante
Z 2 2i
b) En el segundo cuadrante
Z 3 4i
c) En el tercer cuadrante
Z 3 4i
d) En el cuarto cuadrante
.
Z 1 2i
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
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28. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Multiplicación y división en la forma
polar
Sean Z Z cos isen yW W cos isen
ZW Z W cos isen
Z Z
cos isen
W W
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
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29. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Ejemplo
Sean Z 2 cos 95 isen95 yW 3 cos 26 isen26
Sean Z 6 2i y W 3 5i
• Calcular la multiplicación y división en
forma polar
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
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30. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Potencias
Sea Z Z cos isen y n es un entero positivo
• Entonces
n n
Sea Z Z cos n isen n
• Ejemplo
– Sea Z 2 cos 30 isen30 calcule la
potencia de orden cinco de este
número, es decir Z5
–
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
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31. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Teorema de Moivre y raíces
Sea Z Z cos isen
• Entonces
1 1 2k 2k
Sea Z n
Z n
cos isen
n n
1 2k 2k
Wk 1 Z n
cos isen
n n
donde k 0,1,2,3...raiz buscada
• Ejemplo
– Hallar todas las ráices cúbicas de
. Z 8 cos 30 isen30
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32. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
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33. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
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34. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
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35. 1.6 Ecuaciones polinómicas
• Algunas ecuaciones que no se pueden
resolver en el conjunto de los
números reales, tiene solución ene l
conjunto complejo.
• En general, se verifica que toda
ecuación polinómica con coeficientes
reales en el conjunto de los números
complejos, pudiendo ser éstas número
reales o imaginarios.
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36. 1.6 Ecuaciones polinómicas
• Ejemplo
x2 9 0
2
x 4x 5 0
x3 x 2 6 x 16 0
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37. Tarea
• Algebra y trigonometría con
geometría analítica
– Walter Fleming/Dale Varberg
– Editorial Prentice Hall
– Pag. 45
– Sección de problemas 1-6
– Del 1 al 22
– Del 23 al 30
– Del 31 al 38
– Del 43 al 51
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