Aplicación del uso de matrices en diferentes campos del conocimiento (sumamente breve)

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
Matemática
Aplicación de Matrices y
Determinantes
Medina Hidalgo Raúl Clemente C.I. 19008216321
24 de octubre del 2014

2. Aplicación de Matrices y Determinantes
Introducción
La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan encerrándolos
dentro de un paréntesis. Las determinantes es una función exclusiva de las matrices cuadradas y
son muy útiles para estudiar más a profundidad las matrices, un determinante es un número real
asociado mediante la función determinante. Las matrices tiene una amplia gama de utilidades,
entre las que destacan está la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la propiedad de estas
de despejar incógnitas mediante razonamiento y aplicación de matemáticas elementales las ha
hecho meritorias de su ampliado uso en diferentes áreas, como economía, arquitectura,
ingeniería, construcción, etc.
Análisis
Una matriz es un conjunto de números con forma cuadrada o rectangular, con a como
valor constante, n de columnas y m de filas, cada número trae por nombre elemento de la matriz
2x2 3x3 m x n
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 A32 a33
a11 a12 … a 1 n
a21 a22 … a2n
... … … …
am1 am2 … amn
Las matrices se las emplea principalmente como método de solución para sistemas de ecuaciones
lineales, convirtiendo estos de su expresión algebraica a una matriz aumentada.
Sistema lineal Matriz aumentada
3x - 2y + z = 5
x + 3y – z = 0
-x + 4z = 11
3 -2 1 5
1 3 -1 0
-1 0 4 11
Las matrices se pueden sumar o restar siempre y cuando tengan la misma cantidad de filas y
columnas o mejor dicho, dimensión.
Si A = [a ij] B = [b ij] matrices de la misma dimensión y teniendo c como cualquier número real
Suma.- la suma A + B es la matriz m x n obtenida al sumar sus elemento correspondientes
A = 5 3 B = 4 6 A+B = 9 9
2 1 3 2 5 3
Resta.- la resta A – B es la matriz m x n obtenida al restar los elementos de las matrices
0correspondientes, tal como en el ejemplo anterior pero sustrayendo
Nota: si no hay variables
en el sistema lineal se
reemplaza con “0” en la
matriz aumentada

3. A = 5 3 B = 4 6 A-B = 1 -3
2 1 3 2 -1 -1
Producto.- el producto en las matrices se puede dar de dos maneras, sea para un número
real c o para otra matriz, siempre y cuando la cantidad de filas y columnas de esta lo permita.
A = 4 8 c = 3 Ac = 12 24
2 3 6 9
A = 3 2 B = 1 3 A*B = (3+6) (9+4) = 9 13
1 4 3 2 (1+12) (3+8) 13 11
Una determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada (2x2, 3x3, 4x4 etc.)
a b 1 4
c d = ad – bc 2 6 = 1*6 – 4*2 = 2 determinante = 2
Desarrollo
Para resolver la matriz se puede emplear el método más común conocido como método
de eliminación de “Gauss-Jordan” (el método “Gauss” solo consiste en convertir a 0 las cifras
inferiores a la forma escalonada) que consiste primero en convertir el número superior izquierdo a
1 y los números que están bajo este a 0, en la segunda fila o renglón, el número que está a la
derecha del uno se lo convierte en uno también, así mismo los números superiores e inferiores se
los convierte a 0, así sucesivamente hasta completar la forma escalonada. Para la eliminación de
Gauss se necesita conocer las reglas básicas de las operaciones en los renglones o filas, citadas a
continuación:
1.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro
2.- multiplicar un renglón por un número diferente a 0, y, si el caso requiere sumar el resultado al
renglón que lo requiera
3.- intercambiar los renglones.
En ocasiones se necesita determinar la cantidad de material a emplear y el costo del mismo, o se
necesita calcular las cantidades nutricionales que se va a aportar, a continuación, se presenta un
ejemplo de aplicación de matrices en un problema de tipo nutricional.
Ejemplo de aplicación. Método de eliminación Gauss-Jordan (tomado de: Pre cálculo Matemática
para el cálculo, James Stewart)
Análisis nutricionales usando un sistema de ecuaciones lineales
Un nutriólogo está ejecutando un experimento con estudiantes voluntarios. Desea
alimentar a uno de sus individuos con una dieta diaria que consiste en una combinación de tres
alimentos comerciales dietéticos: Minical, LiquiFast y SlimQuick. Por lo que se refiere al
experimento, es importante que la persona consuma todos los días exactamente 500 mg de

4. potasio, 75g de proteína y 1150 unidades de vitamina D. Las cantidades de estos nutrientes en una
onza de cada alimento se proporcionan en la tabla, ¿Cuántas onzas de cada alimento debe de
comer la persona todos los días para que cumpla con las cantidades exactas de los nutrientes?
MiniCal LiquiFast SlimQuick
Potasio (mg) 50 75 10
Proteína (g) 5 10 3
Vitamina D (unidades) 90 100 50
Sean x, y y z Las cantidades de los productos nutricionales a consumir, sería 50x mg de potasio del
MiniCal, 75y mg de LiquiFast y 10z mg de SlimQuick, para tener un total de 50x + 75y + 10z mg de
potasio en total, puesto que requerimos 500 mg de potasio, tenemos la primera ecuación,
hacemos lo mismo con el resto de valores dándonos:
Al dividir la primera ecuación para 5 y la tercera
para 10 obtenemos el sistema siguiente
10x + 15y + 12z = 500
5x + 10y + 3z = 75
9x + 10y +5z = 1150
50x + 75y + 10z = 500 Potasio
5x + 10y + 3z = 75 Proteína
90x + 100y +50z = 1150 Vitamina D
Mediante la eliminación Gauss-
Jordan en la matriz aumentada
obtenemos.
Matriz aumentada Resolución mediante eliminación Gauss-Jordan
10 15 2 100
5 10 3 75
9 10 5 115
Conclusiones y recomendaciones
 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices resulta interesante al
limitarse a operaciones elementales de las matemáticas y al razonamiento lógico.
 El uso de matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones resulta producente, acorta
y simplifica el proceso de despeje de variables.
 Es recomendable utilizar las matrices y determinantes para la resolución de problemas de
aplicación, incentiva al razonamiento, además de resultar, de cierta manera, desafiante,
pero algo entretenida.
Bibliografía
- Educar Editores Ltda. (1982). MemoFichas Matemática. Librería Selecciones, S.A. Quito
Ecuador.
- James Stewart, Lothar Redlin y Salem Watson. (2017). PreCalculo Matemáticas para el
cálculo. CENGAGE Learning.
- Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. (2013). Algebra Intermedia. CENGAGE
Learning.
1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 10
Por tanto…
X = 5 Y = 2 Z = 10
MiniCal: 725
LiquiFast: 370
SlimQuick: 630