ÁLGEBRA LINEAL

Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
Algebra Lineal
Unidad I
Números Complejos

1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Un número Complejo es una expresión
del tipo
• donde a y b son números reales, i es
un símbolo que denota la parte
imaginaría
biaz 

complejos
• Este tipo de números, por el
momento, aparecen entre las
soluciones de ecuaciones algebraicas
con una incógnita. Por ejemplo la
ecuación
012
 xx

complejos
• Comenzaremos por introducir un
nuevo número o símbolo, denotado por
i, el cual sería llamado la unidad
imaginaria y que cumple con la
condición
• O bien
12
i
1i

complejos
• Ejemplos
iz 32 
8z
iz 12
Número
imaginario puro

1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Suma
• Ejemplo
ibazibaz 222111 ySean 
   
seríasumaLa
212121 ibbaazz 
iz 431  iz 932 

números complejos
• Resta
• Ejemplo
ibazibaz 222111 ySean 
   
seríarestaLa
212121 ibbaazz 
iz 431  iz 932 

números complejos
• Estas operaciones de suma y resta
satisfacen las siguientes propiedades
generales
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z + W como Z - W son complejos
2. Propiedad asociativa
Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U

números complejos
3. Propiedad conmutativa
Z + U = U + Z
4. Propiedad del elemento neutro
Z + 0 = Z
5. Propiedad del opuesto
Z + ( - Z ) = ( - Z ) + Z = 0

números complejos
• Ejemplos
iziz 48con23Sumar 21 
iziz 32restarle74A 21 
         iii-i 2736810125Z
enZdevalorelCalcular


complejos
• Ejercicios

números complejos
• Producto
dicWbiaZ  ySean
   
esproductoEl
ibcadbdacZW 

números complejos
• Ejemplo
iWiZ 53y26Sean 
ZWEncontrar
iWZ 23y8Sean 
ZWEncontrar

números complejos
• Propiedades del producto
1. Propiedad del cierre para la suma
Z W es un número complejo
2. Propiedad asociativa
Z ( W U ) = (Z W ) U
3. Propiedad conmutativa
Z U = U Z

números complejos
4. Propiedad del elemento neutro
Z 1 = Z
5. Propiedad del inverso
Z Z-1 = 1
6. Propiedad distributiva
Z ( W + U ) = Z W + Z U

números complejos
• Conjugado de Z
• Si es un número complejo,
entonces el CONJUGADO de Z,
denotado por , es un número
complejo definido por
• Ejemplos
biaZ 
Z
biaZ 
iZ 92 iZ 97

números complejos
• División
• Sean: Z y W dos números complejos, y
W0 podemos hacer la división de Z ente
W de la forma siguiente
•
2
W
WZ
W
W
W
Z
W
Z


números complejos
• Ejemplo
W
Z
Encontrar
W
Z
Encontrar

números complejos
• Ejercicios

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• Representación geométrica
– Plano complejo
Eje real
Eje imaginario

• El modulo de Z
• Si es un número complejo,
el MODULO de Z, es el número real
• Ejemplos
biaZ 
22
baZ 
iZ 43 iZ 93

• Algunas propiedades del modulo son:
11
.5
.4
.3
0sisoloysi0.2
0.1






ZZ
WZZW
WZWZ
ZZ
Z

• El módulo de un número complejo Z es
igual a la distancia desde el punto Z
hasta el origen

1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
• Forma polar
a
b1
tan

Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

número complejo
• Ejemplos
– Hallar la forma polar de:
a) En el primer cuadrante
b) En el segundo cuadrante
c) En el tercer cuadrante
d) En el cuarto cuadrante
.
iZ 22
iZ 43
iZ 43
iZ 21

número complejo
• Multiplicación y división en la forma
polar
      isenWZZW cos
   cosycosSean  isenWWisenZZ 
      isen
W
Z
W
Z
cos

número complejo
• Ejemplo
• Calcular la multiplicación y división en
forma polar
   2626cos3y9595cos2Sean  isenWisenZ

número complejo
• Potencias
• Entonces
• Ejemplo
– Sea calcule la
potencia de orden cinco de este número,
es decir Z5
–
  positivoenterounesycosSea nisenZZ  
  nisennZZ
nn
cosSea 
  3030cos2 isenZ

1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Teorema de Moivre y raíces
• Entonces
• Ejemplo
– Hallar todas las ráices cúbicas de
.
  isenZZ  cosSea
buscadaraiz...3,2,1,0donde
22
cos
22
cosSea
1
11
1












 





 












 





 


k
n
k
isen
n
k
ZW
n
k
isen
n
k
ZZ
n
nn
k


  3030cos8 isenZ

1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios

1.6 Ecuaciones polinómicas
• Algunas ecuaciones que no se pueden
resolver en el conjunto de los
números reales, tiene solución ene l
conjunto complejo.
• En general, se verifica que toda
ecuación polinómica con coeficientes
reales en el conjunto de los números
complejos, pudiendo ser éstas número
reales o imaginarios.

1.6 Ecuaciones polinómicas
• Ejemplo
0166
054
09
23
2
2



xxx
xx
x

Tarea
• Algebra y trigonometría con
geometría analítica
– Walter Fleming/Dale Varberg
– Editorial Prentice Hall
– Pag. 45
– Sección de problemas 1-6
• Del 1 al 22
• Del 23 al 30
• Del 31 al 38
• Del 43 al 51

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