1.  WEIBULL
La densidad de probabilidades Weibull es ampliamente utilizada en estudios de confiabilidad: comporta-
miento de las fallas en muy diversos tipos de equipos y dispositivos. Su regla funcional es
para valores no negativos de la variable ( x>= 0)
en esta expresión, se dice que  es el parámetro de escala y  el de forma. La función de distribución (función
de probabilidades acumuladas) está dada por:
Más información y algunos detalles sobre esta variable aleatoria se encuentran en el documento Den-
sidades de Probabilidad.pdf.
Ejemplo 96) Por Transformación Inversa, determinar un simulador de una variable aleatoria con densidad de
probabilidades Weibull.
Solución. Para el aleatorio r:
Como F(x) = r  x = [-ln(1-r)]1/
O, de manera equivalente
x = [-ln( r )]1/ .
ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE ESCALA () Y DE FORMA ()
Si se dispone de una muestra sobre un comportamiento azaroso que se sospeche que pudiera modelarse
mediante un patrón probabilístico Weibull, la siguiente transformación de la función de distribución resulta útil
para estimar sus dos parámetros.
Como ya se dio al principio, la función de distribución Weibull tiene la regla
La idea es realizar una serie de transformaciones de F(x) de manera que se llegue a la expresión de
una línea recta, es decir, a la forma Y = a + bX. He aquí cómo:
Como estamos ante cantidades no negativas, podemos tomar sus logaritmos:
El último resultado ya tiene la forma buscada: Y es el lado izquierdo; en el lado derecho, a es el se-
gundo término y bX el primero. El estimador del parámetro de forma es la pendiente de la regresión:  = b; en
tanto que, de a = –  ln(), obtenemos la estimación del parámetro de escala:  = e-a/.

)/(
1)( x
exF 





 )/(
1
)( x
e
x
xf 









)/(
1)( x
exF 


)/(
)(1 x
exF 

  )ln()(1ln )/( 
x
exF 
   
)/()(1ln xxF    
)/()(1ln xxF 

)/(
)(1
1
ln x
xF







)ln()ln(
)(1
1
lnln  














x
xF

2. Las frecuencias relativas acumuladas de la muestra disponible (ordenada ascendentemente) son una
estimación de la función de distribución F(x). Si la muestra ordenada es x1, x2, x3, ..., xn-1, xn, según se acos-
tumbra sus frecuencias relativas acumuladas son F(x1) = 1/n, F(x2) = 2/n, ..., F(xn) = 1. En caso de volver a
muestrear, sería posible observar un valor menor que x1; F(x1) = 1/n > 0 explícitamente admite esta posibili-
dad. También sería posible observar un valor mayor que xn pero F(xn) = 1 no lo admite. Para resolver esta
contrariedad, en la estimación de F(x) podemos “desplazar” las frecuencias relativas acumuladas “hacia aba-
jo”: acercar más a cero F(x1), sin anularla, a fin de que F(xn) < 1. Un procedimiento convencional sería partir a
la mitad el “hueco” entre 0 y F(x1) quedando F(xj) = (2j-1)/2n. Sin embargo, en el área de la confiabilidad (en el
que es muy utilizada la densidad Weibull), la aproximación más frecuentemente utilizada de F(x) es la de los
rangos mediana de Bernard (Bernard’s Median Ranks): F(xj) = (j-0.3)/(n+0.4).
Ejemplo 97) De vez en cuando, la comunicación con un satélite comercial de señales de televisión se inte-
rrumpe por muy diversos motivos. El Cuadro 1 contiene los tiempos de interrupción registrados durante los
últimos meses.
Cuadro 1) Duración dela interrupción dela señal satelital,en minutos.
6.75 5.84 6.98 6.74 6.92 5.78
7.09 6.51 7.52 7.08 7.34 6.24
6.46 6.28 4.47 7.56 7.00 6.88
6.73 7.98 5.28 6.76 6.41 6.96
Si la duración de la interrupción de la señal tuviera un comportamiento aleatorio Weibull, ¿cuánto val-
drían sus parámetros?
Solución: el Cuadro 2 de la hoja de cálculo muestra de manera secuencial (en las columnas) el proceso de
estimación. En el pequeño recuadro a la derecha están las fórmulas que, introducidas en las casillas especifi-
cadas, son “copiadas por relleno” hasta la fila 37.
La primera noción de si es correcto el ajuste del patrón aleatorio Weibull al tiempo de interrupción de
la señal del satélite, la da la Gráfica de Dispersión de los pares de datos de las dos últimas columnas del
Cuadro 2: se espera que los puntos parezcan agruparse alrededor de una línea recta (Fig 1).

3. Fig 1 Diagrama de Dispersión, con ajuste recto de Mínimos Cuadrados
Al menos visualmente el ajuste parece altamente adecuado y el coeficiente de determinación (R2)
también es alto. De la ecuación de mínimos cuadrados Y = 9.3569X – 18.21 obtenemos los estimadores de la
Weibull.
Más formalmente, podemos utilizar el módulo “Regresión” de la herramienta “Análisis de Datos” de
Excel o la función ESTIMACION.LINEAL, también de Excel, para obtener mayor precisión en los estimadores
de la pendiente y la intersección, además de otras estimaciones. La ejecución de ESTIMACION.LINEAL c o-
mo fórmula matricial en un rango de 5 filas y 2 columnas rinde los resultados de las dos columnas centrales
del Cuadro 3. En la primera y última columnas se han puesto símbolos identificadores de los estimadores.
Cuadro 3) Resultados de la función ESTIMACION.LINEAL
b= 9.356861 -18.209585 = a
Sb = 0.460550 0.871057 = Sa
R2 = 0.949398 0.272263 = Sy
F = 412.7683 22 = gl
SSR = 30.597394 1.630800 =SSE
Los parámetros estimados de Weibull son ahora  = 9.356861 y  = e– (-18.209585/9.356861) = 7.00148.
Además, el estadígrafo de la significancia de la regresión es muy grande F = 412.7683 como para intuir que sí
hay regresión de Y sobre X sin necesidad de comparar con el valor crítico F5%; 1, 22 = 4.301.
CONCLUSIÓN: El tiempo de interrupción de la señal es una variable aleatoria Weibull con parámetro de for-
ma  = 9.4 y de escala  = 7.
De la pendiente de la regre-
sión:
 = 9.3569
Del término constante
 = e– (-18.21/9.3569)

 = 7.0017