metodo grafico para hallar la confiabilidad

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CARRERA: INGENIERÍA MECÁNICA
DOCENTE: Ing. Rene Rosado Pacheco.
ALUMNOS: Cahuana Pucho, Mijaíl 090100
Riveros Olivera, Irvin 083119
Semestre académico 2014-I
Cusco-Perú
DETERMINACION DE LOS PARAMETROS DE WEIBULL
CON EL METODO GRAFICO

2. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
Ing. Mecánica Página 2
Introducción
El método grafico para hallar los parámetros haciendo uso del weibull es el método
más sencillo para hallar los parámetros de confiabilidad como son Gamma, Beta,
Eta.
Gamma es el parámetro de posición define el punto de partida u origen de la
distribución
Eta parámetro de escala, parámetro de extensión o vida útil. Su valor viene dado por
la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas
correspondiente al % de fallos acumulados.
Beta parámetro de forma, refleja la dispersión de los datos y determina la forma que
toma la distribución.
El método grafico consiste primeramente en ubicar los puntos , en el eje x los
tiempos, en el eje Y los valores de porcentaje de fallas acumuladas, inicialmente
tomamos un valor de gamma igual a 0 si los puntos ubicados no se asemejan a una
recta debemos buscar otro valor de gamma hasta lograr que los puntos sean
próximos una recta. Enseguida hallamos los demás valores leyendo el valor de Eta
en el eje X y Beta en el eje Y en la parte derecha del papel de Weibull, en el
desarrollo de la forma como hacer los trazos para obtener los parámetros
mencionados serán desarrollados más profundamente en este resumen.
Una vez obtenidas los valores de los parámetros de Weibull ya podremos
representar gráficamente la confiabilidad, infiabilidad, tasa de fallos y densidad de
fallos, para su posterior interpretación y tomar acciones para garntizar que cualquier
maquina no falle dentro de su vida útil.

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1. Objetivos
 Hacer uso del método grafico para calcular los parámetros de
confiabilidad haciendo uso de la hoja de Weibull.
 Dar a conocer los valores aproximados de los parámetros de
confiabilidad gamma, beta y eta como punto de partida para métodos
más exactos como son el método Matlab, Reliasoft, solver Excel.
 Encontrar el grafico de confiabilidad, no confiabilidad y tasa de fallas
en función del tiempo entre fallas.
2. Aspectos teóricos
Análisis mediante el método de weibull
La distribución de Weibull es usada en el estudio de las fallas de
componentes mecánicos a través del tiempo, pero a diferencia de la
distribución exponencial, que también es usada en el campo de la
confiabilidad, la distribución de Weibull ofrece las siguientes características
de estudio que nos ha llevado a su elección:
La distribución de Weibull puede cubrir propiedades de otras
distribuciones, es decir, si los parámetros (β, η y 𝛾) toman valores
particulares puede utilizarse como una aproximación a la
distribución Exponencial, Normal, etc.
Parámetros de Weibull
 Gamma es (ϒ) Es el parámetro de posición (unidad de tiempos) varia
de 0 ≤ ϒ < 𝑇𝑀𝐸𝐹 , 0 vida mínima y define el punto de partida u origen
de la distribución
 Beta (ß) es el parámetro de forma y representa la pendiente de la
recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos.
(cuando β<1 toma forma de la función hiperbólica, β=1 toma la forma
de función exponencial, etc.).
De acuerdo a los valores que tome el parámetro β la tasa de riesgo
tendrá diferentes comportamientos (Curva de la Bañera).

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Tabla
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝛽 𝑇𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 ℎ(𝑡)
𝛽 < 1 ℎ(𝑡)𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑓𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙
𝛽 ≃ 1 ℎ(𝑡)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠
𝛽 ≃ 1 𝐹𝑒𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎
3 < 𝛽 < 1 𝐹𝑒𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒
 Eta (ɳ) Parámetro de escala, la forma de la extensión de la
distribución es proporcional a este valor.
2.1. Confiabilidad (Rt)
Es la probabilidad de un elemento falle después del instante t, la función
Rt es adimensional.
𝑅(𝑡) = exp (− (
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 0 ≤ 𝛾 ≤ 𝑡 𝑦 ɳ, 𝛽 > 0
2.2. Infiabilidad (Ft)
También llamado función acumulada de fallos, es la probabilidad de un
que un elemento falle antes del instante t, la función Ft también es
adimensional
𝐹(𝑡) = 1 − exp (− (
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
)

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2.3. Densidad de fallos (ft)
Es la probabilidad de fallo del elemento por unidad de tiempo, en cada
instante del tiempo es decir será el cociente de la probalidad deque un
elemento falle en el intervalo comprendido entre tiempo y tiempo + su dt
dividida por la magnitud de dt del intevalo.
 Tendrá que cumplirse∫ ∫ 𝑓𝑡 ∗ 𝑑𝑡 = 1
∞
0
 La función ft tiene dimensión 1/tiempo
𝑓(𝑡) =
𝛽
𝜂
(
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽−1
∗ exp (− (
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
)
2.4. Tasa de fallos (Zt)
Es la problidad por unidad de elementos superviviente en t de que se
produzca un fallo por unidad de tiempo en dicho instante t, es decir sera el
cociente de (ft) y (Rt). Lo que nos permite en un conjunto de elementos
idénticos poder evaluar la posibilidad de que existan fallos en un instante
t.

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 Para un único elemento la tasa de fallos (Zt) mide la posibilidad de
que falle en instante t, sin haber fallado hasta ese instante.
 La función (Zt) también tiene unidades 1/tiempo.
𝑍(𝑡) =
𝛽
𝜂
(
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽−1
3.5. Resolución gráfica
 El papel de Weibull ( está graduado a escala funcional de la
siguiente forma:
 En el eje de ordenadas se tiene: In In [ 1 / 1 - F (t) ] (Doble
logaritmo neperiano)
 En el eje de abscisas, tenemos: In (t - ϒ)
Donde gamma toma valores de 0 ≤ ϒ < 𝑇𝑀𝐸𝐹
1° Paso ordenar los tiempos en forma creciente y hallar el porcentaje de
frecuencia acumulada de fallas, esto depende del número de datos
Para datos menores a 100 y mayores a 20 usaremos la siguiente formula
𝐹(𝑖) =
𝑖 − 0.3
𝑛 + 0.4
Donde 𝑖 = 1,2,3 … … … . . , 𝑛
𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
2° Paso ubicación de los puntos en el papel de Weibull
Colocar los valores eje x los tiempos y en el eje Y los porcentajes de
frecuencia de fallas acumulados.
3°Paso determinación de parámetro gamma

7. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
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Para iniciar el cálculo asumimos un gamma ϒ=0 y si los puntos ubicados
se acerca a una recta pasas al paso 4° de no ser así se debe de buscar
otro valor de gamma y reemplazarlos en (t-ϒ), hasta que los puntos sean
cercanos a un recta claro que el valor de gamma están entre 0 ≤ ϒ <
𝑇𝑀𝐸𝐹
El anterior procedimiento para determinar el gamma cuando este no es 0,
es bastante tedioso hay otra forma de hacerlo más rápido que es
Método de estimación o de los rangos medianos el método se inicia,
una vez dibujada la curva, seleccionando un punto arbitrario Y2
aproximadamente en la mitad de la curva, y otros dos puntos Y1 e Y3
equidistantes del primero una distancia d según el eje de las Y.
Y luego usar la siguiente formula
Lógicamente se cumplirá la igualdad: Y2 - Y1 = Y3 - Y2
De la ecuación anterior y silos tres puntos son colineales tendremos por otra
parte: X2 - X1 = X3 - X2
Donde t1=x1; t2=x2 y t3=x3
y como X = In (t - t0) tendremos: gamma=t0
ϒ =
𝑡22
− (𝑡1𝑥𝑡3)
(2 ∗ 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑡3)

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4° Paso determinación del parámetro eta
 Una vez trazada la recta procedemos a intersecar con la línea
horizontal que le corresponde al punto 63.2% del eje Y.
 Y del punto de intersección trazamos una recta vertical hacia el eje x
donde están los valores del tiempo.
 Damos lectura de valor de eta
5° Paso determinación del parámetro beta
 Se traza una recta paralela a la inicial que interseque con el valor de 0
de papel de Weibull como se ve en el gráfico.
 Luego ubicamos el punto -1 en la parte horizontal superior y trazamos
una vertical, y en el punto de intersección con la recta, trazamos un
horizontal hacia los valores de beta (β) que están en la derecha del
papel en la primera columna
Papel de Weibull que se usara el tipo horizontal

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4. Método grafico (ejemplo para de una faja transportadora)
1° Paso (ordenar los datos y hallar la frecuencia acumulada de fallas F (i))
Como los datos que se tiene son menores a 100 se usara la siguiente formula.
𝐹(𝑖) =
𝑖 − 0.3
𝑛 + 0.4
Donde 𝑖 = 1,2,3 … … … . . ,21
𝑛 = 21

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N° de ítem (i)
Tiempo entre
fallas
Frecuencia
acumulada F(i) %
1 16.58 3.271%
2 17.8 7.944%
3 18 12.617%
4 18.98 17.290%
5 22.66 21.963%
6 24.45 26.636%
7 24.67 31.308%
8 32.34 35.981%
9 47.4 40.654%
10 67.34 45.327%
11 72 50.000%
12 79.7 54.673%
13 88.93 59.346%
14 116.95 64.019%
15 152.4 68.692%
16 182.57 73.364%
17 238.18 78.037%
18 290.3 82.710%
19 402.63 87.383%
20 646.41 92.056%
21 781.3 96.729%
2° Paso (Ubicación de los puntos en el papel Weibull)
Ubicar en el papel de Weibull los puntos para un gamma igual 0 de la siguiente
forma:
Eje de las abscisas o eje X los tiempos entre fallas
Eje de las ordenadas o eje Y los porcentajes de fallas
Como se puede ver los puntos no se acerca a una recta

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3° Paso (determinación del parámetro gamma ϒ)
Como se ve en la figura anterior los puntos no se acerca a una recta, y para que
estos puntos se aproxime mas una recta debemos de cambiar el valor de gamma.
El máximo valor de gamma es menor al tiempo mínimo entre fallas en este caso
sería:
𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝛾) < 16.58
N° de
ítem
(i)
Frecuencia
acumulada F(i) %
Tiempo entre
fallas ϒ=0
TMEF
para un
ϒ=10
TMEF
para un
ϒ=15
1 3.271% 16.58 6.58 1.58
2 7.944% 17.8 7.8 2.8
3 12.617% 18 8 3
4 17.290% 18.98 8.98 3.98
5 21.963% 22.66 12.66 7.66
6 26.636% 24.45 14.45 9.45
7 31.308% 24.67 14.67 9.67
8 35.981% 32.34 22.34 17.34
9 40.654% 47.4 37.4 32.4

12. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
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10 45.327% 67.34 57.34 52.34
11 50.000% 72 62 57
12 54.673% 79.7 69.7 64.7
13 59.346% 88.93 78.93 73.93
14 64.019% 116.95 106.95 101.95
15 68.692% 152.4 142.4 137.4
16 73.364% 182.57 172.57 167.57
17 78.037% 238.18 228.18 223.18
18 82.710% 290.3 280.3 275.3
19 87.383% 402.63 392.63 387.63
20 92.056% 646.41 636.41 631.41
21 96.729% 781.3 771.3 766.3
Como se puede apreciar en la gráfica para un gamma = 10 los puntos a un no
están cerca de una recta.
Pero en la gráfica para un gamma = 15 como se ve en los puntos son cercanos a
una recta.
Por lo cual usaremos los puntos para un gamma 15 trazaremos una recta más
próxima a los puntos.

13. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
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Otra forma más directa de hallar gamma es con los rangos medianos
ϒ =
𝑡22
− (𝑡1𝑥𝑡3)
(2 ∗ 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑡3)
De grafico podemos hallar los valores de
𝑡1 = 23.5
𝑡2 = 75
𝑡3 = 440
ϒ =
𝟕𝟓 𝟐
− (𝟐𝟑. 𝟓 ∗ 𝟒𝟒𝟎)
(𝟐 ∗ 𝟕𝟓 − 𝟐𝟑. 𝟓 − 𝟒𝟒𝟎)
= 𝟏𝟓.
4° Paso (determinación del parámetro eta ɳ)
Después de trazar la recta la intersecamos con la línea horizontal que corresponde
al punto 63.2% del eje Y, en el punto de intersección trazamos una línea vertical
hacia el eje X donde están los valores de los tiempos.
Posteriormente leemos el valor de eta ɳ=110 ver grafico posterior.

14. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
Ing. Mecánica Página 14
5° Paso (determinación del parámetro beta β)
Para hallar beta debemos de trazar una recta paralela a recta inicial y hacer que
se interseque con la línea vertical que contenga al punto 0.
Enseguida de haber trazado la recta paralela, trazamos una recta vertical que
parte del punto -1.
y en el punto de intersección con la recta paralela trazamos una horizontal que
parte del punto de intersección hacia la parte derecha de la hoja donde se
encuentran los valores de beta.
Después damos lectura del valor de beta que tiene un valor de.
𝛃 = 𝟎. 𝟓𝟕
Ver valores en el grafico
5. Obtención de las graficas
Una vez obtenido los parámetros de Weibull podemos graficar;
 Confiablidad
 Infiabilidad
 Tasa de fallos
 Densidad de fallos

15. INGENIERÍA DEL MANTENIMIENTO I
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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Confiabilidad
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Infiabilidad

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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Tasa de fallos
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Densidad de fallos

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6. Conclusión
 El cálculo de los parámetros de la distribución de Weibull puede ser hallada por
varios métodos, pero el método grafico es el mas sencillo pero menos preciso en
la obtención de los parámetros de weibull.
 Para hallar el valor de Gamma se puede hallar por dos métodos : el método de los
rangos medianos y asumiendo valores de gamma.
 El método grafico usando el papel de weibull resulta una buena herramienta en
lugares donde no se cuenta con programas de computadora como el Excel o
Matlab o Reliasoft’s, pero se produce un error considerable si no se traza bien la
recta.
 Un sistema basado en confiabilidad optimiza los esfuerzos de mantenimiento y los
costos
 Con los parámetros determinados se podrá ubicar la faja transportadora en una de
las regiones de la curva de la bañera. El parámetro β < 1; muestra que las fallas
que se presentan son prematuras.