1. PRÁCTICA I
AJUSTE DE CURVAS POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
1. Objetivo:
 Uso de papeles a diferentes escalas: milimétrica, semilogarítmica,
logarítmica y polar.
 Procesamiento y avaluación de datos propuestos para cada gráfica.
 Realizar ajuste de líneas de las gráficas representadas en papeles a
diferentes escalas.
 Interpretación y comparación de las gráficas realizadas en papel
milimetrado con las gráficas realizadas en papeles a escala semilogarítmica
y logarítmica.
2. Fundamento teórico: En el área de física experimental, el uso de papeles con
diferentes escalas es muy importante debido a que nos ayudan a visualizar e
interpretar los diferentes comportamientos de los variables causa, efecto y su
evolución temporal o espacial según el fenómeno físico a estudiar. De las
gráficas se obtiene leyes o principios empíricos, los cuales dan pautas para el
trabajo teórico. Y en otras ocasiones las calibraciones de equipos de medida,
los factores de corrección se expresan mediante relaciones empíricas en casos
de que su representación analítica es complicada.
 Estimación lineal: La ecuación matemática que representa a una resta
(pendiente ordenada) es = +y bx a en el que lleva dos constantes: " "b es la
constante “1” que representa a la pendiente, " "a es la constante “2” y
representa la intersección de la recta con el eje vertical cuando = 0x . La
determinación de una pendiente se realiza a partir de dos puntos conocidos
sobre la recta,
−
=
−
2 1
2 1
y y
b
x x
esta expresión es la cociente entre la variación de
dos valores en el eje vertical " "y (ordenada) y la variación de dos valores en
el eje horizontal" "x abscisa. Para determinar las contantes b y a por el
método de mínimos cuadrados o estimación lineal se usan las siguientes
expresiones:

2. ( )= = =
= =
⋅ − ⋅
=
 
⋅ − 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 1 1
2
2
1 1
.......... 1,1
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n x y x y
b
n x x
( )= =
− ⋅
=
∑ ∑1 1
.......... 1,2
n n
i i
i i
y b x
a
n
( )= = =
= = = =
⋅ − ⋅
=
      
   ⋅ − ⋅ ⋅ −            
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
1 1 1
2 2
2 2
1 1 1 1
.......... 1,3
n n n
i i i i
i i i
n n n n
i i i i
i i i i
n x y x y
r
n x x n y y
( )= + .......... 1,4ˆ iy bx a
Donde: :r Coeficiente de correlación y debe ser aproximadamente “1” ≈1r
ˆy : Es “y” ajustada.
 Estimación semilogarítmica (exponencial): Para graficar en papel
semilogarítmica se considera la ecuación (1,5) sin ninguna modificación, la
gráfica obtenida es una recta y para realizar gráfica en un papel a escala
milimétrica, calcular las constantes b Ay , en la ecuación exponencial
= bx
y ae se aplica logaritmo a ambos miembros, al primer miembro y al
segundo miembro, considerando cambios de variables ( ) ( )ln , lny Y a A= =
se obtiene una ecuación que representa a una recta.
Donde: ( )....... . ,5ˆ . . 1bx
y ae= ( )
( )
( )..ln ........ 1,6
Y A
y ln a bx= +
( ).......... 1,7Y A bx= +
( )= = =
= =
⋅ ⋅ − ⋅
=
 
⋅ − 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 1 1
2
2
1 1
..... 1,8
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n x Y x Y
b
n x x
( )= =
− ⋅
=
∑ ∑1 1
..... 1,9
n n
i i
i i
Y b x
A
n
( )..... 1,10A
a e=
 Estimación logarítmica (potencial): De la misma forma para realizar
gráfica en papel logarítmica se considera la ecuación (1,11). Para graficar
esta misma ecuación en papel milimétrica se aplica el logaritmo natural a

3. ambos miembros de b
y ax= entonces ( ) ( ) ( )ln lny ln a b x= + y con cambios
de variables ( ) ( ) ( )ln , , lny Y ln a A x X= = = se obtiene:
( )......... 1ˆ . ,11b
y ax= ( )
( )
( )
( )........l .n ln . 1,12
Y A X
y ln a b x= + ( ).......... 1,13Y A bX= +
( )= = =
= =
⋅ ⋅ − ⋅
=
 
⋅ − 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 1 1
2
2
1 1
..... 1,14
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n X Y X Y
b
n X X
( )= =
− ⋅
=
∑ ∑1 1
..... 1,9
n n
i i
i i
Y b X
A
n
( )..... 1,10A
a e=
 Gráfica mediante el uso del papel polar: los datos de un par ordenado que
tengan radio y ángulo, se grafican en papel de coordenadas polares que está
formado por circunferencias concéntricas y radios que salen del centro
común. Mediante registradores se puede trazar curvas continuas, cada
punto de las cuales representa una distancia a un punto dado y su dirección
o ángulo correspondiente expresado en grados o radianes.
3. Obtención y procesamiento de datos:
Tabla-1: graficar en papel semilogarítmica:
N° x y 2
x ( )ln y Y= x Y⋅ ˆy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10n = ix =∑ iy =∑ 2
ix =∑ iY =∑ i ix Y⋅ =∑
Completar los espacios vacíos con los datos calculados de acuerdo a las
ecuaciones correspondientes.

4. Tabla-2: Graficar en papel logarítmica
N° x y 2
x ( )ln i ix X= ( )ln iy Y= i ix Y⋅ ˆy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10n = ix =∑ iy =∑ 2
ix =∑ iX =∑ iY =∑ i ix Y⋅ =∑
Completar los espacios vacíos con los datos calculados de acuerdo a las
ecuaciones correspondientes.
Tabla-3: graficar en papel polar los siguientes valores de (R,Ɵ).
N° ( ).iR div ( )iθ ° N° ( ).iR div ( )iθ ° N° ( ).iR div ( )iθ °
1 8 240 13 4,2 120 24 5,6 30
2 7 239 14 4,4 100 25 5 20
3 6 235 15 4,6 90 26 4,6 10
4 5 230 16 4,8 80 27 4,2 0
5 4,4 220 17 5,2 70 28 4 340
6 4,4 210 18 5,8 60 29 3,8 310
7 4,2 200 19 7 50 30 3,8 290
8 4,2 190 20 8 47 31 3,8 270
9 4,2 180 21 9 44 32 3,8 260
10 4,2 160 22 8 43 33 3,8 250
12 4,2 140 23 7 40 34 4 240
4. Tareas:
1) Graficar los dato de la tabla-1 “y” en función de “x” en papel milimetrado y
papel semilogarítmica, llenar la tabla-1 con datos de acuerdo a las formulas
propuesta en cada columna.
2) Graficar los dato de la tabla-2 “y” en función de “x” en papel milimetrado y
papel semilogarítmica, llenar la tabla-2 con datos de acuerdo a las formulas
propuesta en cada columna.

5. 3) Escribir las ecuaciones ajustadas (1,5) y (1,11) calculando sus constantes
a y b, por el método de mínimos cuadrados.
4) Graficar los datos de la tabla-3 en papel polar.
5) Calcular los valores de ˆy estimados en las tablas-1 y 2.
5. Cuestionario:
1) Indique ejemplos de fenómenos físicos o técnicos en que las variables
pudieran tener una representación en papel polar.
2) Explique cuando es recomendable utilizar, papel a escala logarítmica.
3) Cuáles son las diferencia entre las gráficas en papel milimétrica en
comparación con las gráficas en papel semilogarítmica y logarítmica?

6. PAPEL POLAR (R,ϴ)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 - 360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100