Este documento explica las razones trigonométricas básicas (seno, coseno y tangente) y cómo calcularlas utilizando medidas de ángulos y lados de un triángulo rectángulo. Define las razones trigonométricas como razones entre los lados de un triángulo rectángulo y explica que solo dependen del tamaño del ángulo y no del tamaño del triángulo. Además, muestra ejemplos de cómo calcular el seno, coseno y tangente de ángulos dados utilizando triángulos

1. Razones
trigonometricas
Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un
triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el
coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.
Como todos los triángulos rectángulos que tienen igual medida de Є A son
semejantes, el valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida de
Є A. No depende del tamaño del triángulo.
Hallar razones trigonométricas
Para ᭝ PQR, halla el seno, el coseno y la tangente de Є P y Є Q.
Solución
La longitud de la hipotenusa es de 5.
Para Є P, la longitud del cateto Para Є Q, la longitud del cateto
opuesto es de 4, y la longitud opuesto es de 3, y la longitud
del cateto adyacente es de 3. del cateto adyacente es de 4.
sen P = = ᎏ
4
5
ᎏ sen Q = = ᎏ
3
5
ᎏ
cos P = = ᎏ
3
5
ᎏ cos Q = = ᎏ
4
5
ᎏ
tan P = = ᎏ
4
3
ᎏ tan Q = = ᎏ
3
4
ᎏ
opuesto
ᎏᎏ
adyacente
opuesto
ᎏᎏ
adyacente
adyacente
ᎏᎏ
hipotenusa
adyacente
ᎏᎏ
hipotenusa
opuesto
ᎏᎏ
hipotenusa
opuesto
ᎏᎏ
hipotenusa
546 Capítulo 11 Congruencia, semejanza y transformaciones
Ejemplo 1
11.8
Lo que debes aprender:
Cómo hallar
razones
trigonométricas
Cómo usar el
teorema de
Pitágoras para hallar razones
trigonométricas
Por qué debes saberlo:
Puedes usar razones
trigonométricas para resolver
problemas de la vida real, como
hallar la altura de un globo
aerostático de aire caliente.
HALLAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS1Objetivo
1Objetivo
2Objetivo
sen A = = ᎏ
a
c
ᎏ
cos A = = ᎏ
b
c
ᎏ
tan A = = ᎏ
b
a
ᎏ cateto aadyacente aa ЄЄ A
cateto oopuesto aa ЄЄ A

cateto aadyacente aa ЄЄ A
cateto aadyacente aa ЄЄ A

hipotenusa
cateto oopuesto aa ЄЄ A

hipotenusa
R A Z O N E S T R I G O N O M É T R I C A S
A C
B
a
b
c
hipotenusa cateto
opuesto
a ЄЄ A
3
R
P
4 Q
5

2. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Resolver con el teorema de Pitágoras
Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el
coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para
hallar la longitud, h, de la hipotenusa.
h2 = 102 + 92 UsaelteoremadePitágoras.
h = ͙18ෆ1ෆ
≈ 13.45
Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto
adyacente tiene una longitud de 10.
sen 42° = = ᎏ
13
9
.45
ᎏ ≈ 0.67
cos 42° = = ᎏ
13
1
.
0
45
ᎏ ≈ 0.74
Seno, coseno y tangente de un ángulo
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. Luego, usa el triángulo para hallar el
seno, el coseno y la tangente de 45°.
Solución
Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes, de
manera que puedes dibujar uno de cualquier tamaño. Por ejemplo,
usa catetos de longitud 1. Luego, halla la longitud de la hipotenusa.
h2 = 12 + 12 UsaelteoremadePitágoras.
h = ͙2ෆ
≈ 1.41
El cateto opuesto y el cateto adyacente tienen ambos una longitud de 1.
sen 45° = = ᎏ
1.
1
41
ᎏ ≈ 0.71
cos 45° = = ᎏ
1.
1
41
ᎏ ≈ 0.71
tan 45° = = ᎏ
1
1
ᎏ = 1
opuesto
ᎏᎏ
adyacente
adyacente
ᎏᎏ
hipotenusa
opuesto
ᎏᎏ
hipotenusa
adyacente
ᎏᎏ
hipotenusa
opuesto
ᎏᎏ
hipotenusa
54711.8 Razones trigonométricas
El teorema de
Pitágoras, página 755
10
9h 48
42
°
°
1
1h
45
4545
°
°°
T A L L E RUSAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS2Objetivo
Ejemplo 2
Ejemplo 3

3. Más práctica, página 736
En los ejercicios 1 a 3, asocia la razón trigonométrica con su definición.
A. B. C.
1. tan R 2. cos R 3. sen R
4. Usa un transportador para dibujar un triángulo con medidas de ángulo de 40°, 50°
y 90°. Mide los lados con una regla. Luego, usa tus medidas para aproximar el
seno, el coseno y la tangente de 40°.
5. Usa un transportador para dibujar un triángulo con ángulos de 40°, 50° y 90° que
sea más grande que el del ejercicio 4. Mide los lados y luego usa tus medidas para
aproximar el seno, el coseno y la tangente de 40°. ¿Obtienes los mismos
resultados que en el ejercicio 4?
En los ejercicios 6 a 11, usa la siguiente figura ᭝᭝XYZ para hallar la razón trigonométrica.
6. sen X 7. cos X
8. tan X 9. sen Y
10. cos Y 11. tan Y
En los ejercicios 12 a 17, usa ᭝᭝ DEF para hallar la razón trigonométrica.
12. sen D 13. cos D
14. tan D 15. sen E
16. cos E 17. tan E
En los ejercicios 18 a 21, resuelve el ángulo y el lado no rotulado de cada triángulo.
Luego, escribe seis razones trigonométricas que puedan formarse con cada triángulo.
18. 19. 20. 21.
En los ejercicios 22 y 23, dibuja un triángulo rectángulo, ᭝᭝ ABC, que tenga las razones
trigonométricas dadas. Rotula cada lado con su longitud.
22. tan A = , cos B = 23. sen A = , cos A =
3
ᎏ
͙1ෆ3ෆ
2
ᎏ
͙1ෆ3ෆ
15

17
15

8
cateto adyacente a ЄЄR
ᎏᎏᎏ
hipotenusa
cateto opuesto a ЄЄR
ᎏᎏᎏ
cateto adyacente a ЄЄR
cateto opuesto a ЄЄR
ᎏᎏᎏ
hipotenusa
548 Capítulo 11 Congruencia, semejanza y transformaciones
11.8Ejercicios
PRÁCTICA GUIADA
Q
P
R
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Y Z
X
13 5
12
D
F E6
3
ͱ45
A C
B
5
60° ͱ75
1
2
60°
H
J
K
R S
Q
50.2°
6
5 V W
X
2
1
63.4°