Explicación de la transformada rápida de Fourier

1. Motivación
Implementación Matricial
LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
(FFT)
Andrey Mauricio Montoya Jurado
Maestría
Biomatemáticas
Metodos numéricos II
Universidad del Quindío
Exposición FFT segundo semestre del 2013
Andrey Mauricio Montoya Jurado Fast Fourier Transformation

2. Motivación
Implementación Matricial
Contenido
1 Motivación
Introducción
2 Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Andrey Mauricio Montoya Jurado Fast Fourier Transformation

3. Motivación
Implementación Matricial Introducción
Contenido
1 Motivación
Introducción
2 Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Andrey Mauricio Montoya Jurado Fast Fourier Transformation

4. Motivación
Implementación Matricial Introducción
Introducción
Existen diversas formas de implementar la transformada discreta de
Fourier (DFT). Para estudiar algunas de ellas, considere una DFT
de N puntos XN (k), la cual llamaremos también XN (k) por
notación y donde k = 0; :::;N 1:
XN (k) = XN (k) =
N1
å
n=0
x (n)ei2pkn=N (1)
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5. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Contenido
1 Motivación
Introducción
2 Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Andrey Mauricio Montoya Jurado Fast Fourier Transformation

6. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Implementación Matricial
Es posible representar la ecuación 1 como un producto entre una
matriz y un vector, de modo que X =WNx donde X y x son
vectores columna N 1 y A es una matriz cuadrada de N N.
Este producto es equivalente a X (k) = åNn
=1Wkn
N xn, donde Wkn es
N = ei2pkn=N.
el elemento (k;n) de la matriz dado por Wkn
Es posible demostrar que Wk+N
N =WkN
y que Wk+N=2
N = WkN
, lo
cual implica la simetría de la matriz WN.
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7. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Implementación Matricial
Es posible representar la ecuación 1 como un producto entre una
matriz y un vector, de modo que X =WNx donde X y x son
vectores columna N 1 y A es una matriz cuadrada de N N.
Este producto es equivalente a X (k) = åNn
=1Wkn
N xn, donde Wkn es
N = ei2pkn=N.
el elemento (k;n) de la matriz dado por Wkn
Es posible demostrar que Wk+N
N =WkN
y que Wk+N=2
N = WkN
, lo
cual implica la simetría de la matriz WN.
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8. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Implementación Matricial
Es posible representar la ecuación 1 como un producto entre una
matriz y un vector, de modo que X =WNx donde X y x son
vectores columna N 1 y A es una matriz cuadrada de N N.
Este producto es equivalente a X (k) = åNn
=1Wkn
N xn, donde Wkn es
N = ei2pkn=N.
el elemento (k;n) de la matriz dado por Wkn
Es posible demostrar que Wk+N
N =WkN
y que Wk+N=2
N = WkN
, lo
cual implica la simetría de la matriz WN.
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9. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Implementación Matricial
2
6664
X(0)
X(1)
...
3
7775
X(N 1)
=
2
66664
W00
N
W10
N... W(N1)0
N
W01
N
W11
N...
W(N1)1
N
. . .
W0(N1)
N
W1(N1)
N ...
W(N1)(N1)
N
3
77775
2
6664
x(0)
x(1)
...
3
7775
x(N 1)
X =WNx
x =W1
N X =
1
N
W?N
X
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10. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Contenido
1 Motivación
Introducción
2 Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
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11. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Divide y Conquista
X(N)(k) =
N1
å
n=0
x(n)ei2pkn=N +
N1
å
n=0
x(n)ei2pkn=N
n par n impar
X(N)(k) =
N=21
å
m=0
x(2m)ei2pk2m=N +
N=21
å
m=0
x(2m+1)ei2pk(2m+1)=N
X(N)(k)=
N=21
å
m=0
x(2m)ei2pk2m=(N=2)+ei2pk=N
N=21
å
m=0
x(2m+1)ei2pkm=(N=2)
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12. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Divide y Conquista
Si llamamos a la serie de muestras par x0 = x(2m) y a la impar
x1 = x(2m+1) entonces:
X(N)(k) =
N=21
å
m=0
x0(m)ei2pkm=(N=2)+ei2pk=N
N=21
å
m=0
x1(m)ei2pkm=(N=2)
X(N)(k) = X(N=2)
0 (k)+ei2pk=NX(N=2)
1 (k); k = 0; :::;N 1
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13. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Contenido
1 Motivación
Introducción
2 Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Andrey Mauricio Montoya Jurado Fast Fourier Transformation

14. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Método
Es posible simplificar esta expresión observando las simetrías del sistema,
donde X(N=2)
0 y X(N=2)
1 son periódicas cada N=2. Si llamamos a los
coeficientes WN = ei2p=N y notando ademas para cada DFT de N=2
puntos y que Wk+N=2
N = Wk
N, se puede obtener que
X(N)(k) = X(N=2)
0 (k)+WkN
X(N=2)
1 (k)
X(N)(k +N=2) = X(N=2)
0 (k)WkN
X(N=2)
1 (k)
para k = 0; :::; (N=2)1. Esta transformación reduce la complejidad
numérica de la DFT de N2 a NlogN
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15. Motivación
Implementación Matricial
Implementación Matricial
Divide y Conquista
Método
Diagrama de reducción de orden
Figura : La DFT de N puntos X(k) se obtiene mediante dos N/2 DFTs
X0(k) y X1(k).
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16. Bibliografia Lecturas Complementarias
Lecturas Complementarias I
Matías Zañartu, PhD
Procesamiento Digital de Señales con Aplicaciones.
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