Apuntes

1. MODELOS, COMPUTADORAS Y ANALISIS DE ERROR
Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible
formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando
operaciones aritmeticas.
Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una
caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos
calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de
problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos
años.
MÉTODOS SIN COMPUTADORA
Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad
creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de
manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes de
la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para la
solución de problemas.
1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos
y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión
excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones
analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos
incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también
aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En
consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la
mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos
complejos.
2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones
graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas graficas
se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no son
muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una computadora
son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas
graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando 3
dimensiones o menos.
3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de
cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas
adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban
varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.

2. Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando
se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
Formulación: leyes Formulación: exposición
fundamentales explicadas profunda de la relación
brevemente. del problema con las
leyes fundamentales
Solución: métodos muy
elaborados y con Solución: método de la
frecuencia complicados computadora fácil de usar
para hacer manejable el
problema Interpretación: la facilidad
de calcular permite
holísticamente y
Interpretación: análisis desarrollar la intuición; es
profundo limitado por factible estudiar las
una solución que sensibilidad y
consume tiempo comportamiento de los
La era antes de la computadora sistemas.
La era de las computadoras
MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de
cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por
ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja de
herramientas sea la más completa.
Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver
problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son
prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de
ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo
estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y
experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos
de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general
puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el
conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de
ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis
teórico.

3. Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen
nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse
otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios
que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en
un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones.
Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun
más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.
UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o una
ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un
proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante
una relación funcional de la forma:
Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de
fuerza)
Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo
común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se
determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las
propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias
externas que actúan sobre el sistema.
PROGRAMACIÓN Y SOFTWARE
Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para
predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso y
tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos
pueden realizarse fácilmente.
PROGRAMAS COMPUTACIONALES
Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que
dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que
escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto
nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.
Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de
capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a
una ingeniería.

4. PROGRAMACIÓN ESTRUCTURADA
En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha
importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin embargo
ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados.
ALGORITMO
Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se
nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos y
decisiones que normas a tomar para la solución del problemas
CARACTERÍSTICAS.
Finito: Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:
Definido: Las acciones deben definirse sin ambigüedad
Entrada: Puede tener una o varias entradas
Salida: Puede tener una o varias salidas
Efectividad.- Todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para
que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga
lápiz y papel.
ERROR
En los cálculos numéricos el optimista pregunta, que tan preciso son los
resultados calculados. El pesimista pregunta, que tanto error se ha introducido;
desde luego las 2 preguntas corresponden a lo mismo. Sólo que en raras
ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse
en el proceso de medida.
De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el
propio algoritmo introduce error, quizás redondeos innecesarios o inevitables y la
información de salida contendrá entonces el error generado por ambas fuentes.

5. EXACTITUD
Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se
supone representa.
PRECISIÓN
Se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto se
refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que
estemos utilizando.
DÍGITOS SIGNIFICATIVOS
Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de
izquierda a derecha; empieza con el primer dígito diferente de cero y terminan con
el tamaño que permitan las celdas que guardan la matiza.
ERRORES INHERENTES O HEREDADOS
Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, puede deberse a 2
causas, sistemáticos o accidentales:
Errores sistemáticos: Debido a la imprecisión de los aparatos de medición.
Errores accidentales: Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas
ERROR DE TRUNCAMIENTO:
Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se
toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de
truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en cuenta
los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos perdidos.
ERROR DE REDONDEO
Debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que
requieres un gran número de dígitos.
ERROR DE REDONDEO INTERIOR
Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de memoria
correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede considerarse
como un truncamiento).

6. ERROR DE REDONDEO SUPERIOR
Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular:
a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la
localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito
despreciado es mayor o igual que el 5.
b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria
se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a
5.
ERROR ABSOLUTO:
Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.
y= valor real
y*= valor aprox.
Ey = |y-y*| (valor absoluto)
ERROR RELATIVO:
Es el cociente del error absoluto entre el valor real
Ry= ey/y
Ry= y-y* Para todo y diferente a cero.
Ejemplos:
Cos x
= 0.8775825619  valor real
Aplicando la serie Taylor
n=0 1+ = 1 valor aprox.

7. Error absoluto:
ey= |y-y*|
ey= |0.877582 -1|
ey= 0.122418
Error Relativo:
ry= =
ry= = 0.324215
Para n=1
=
Ey=|y-y*|= |0.87758256 + 0.87500000 |= 0.00258256
Ry= = 0.00294281
Para n=2
=
ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00002160
ry= = = 0.00002461

8. Para n=3
=
ey= |y-y*|= |0.87758256-0.87760416|= 0.00000010
ry= = = 0.00000011
*Calcular el Cos 0.5 (Rad) Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para
las interacciones: n=1, n=2, n=3, n=4.
- calcular el error absoluto, el error relativo
NOTA: como ya se resolvió por serie de Taylor interacción 1, 2, y 3 solo tomamos
sus resultados y resolvimos la interacción 4.
n=4
1+ = = 1+ = 1-0.125+0.00260416-0.00002170+0.00000010=0.87758256
ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758256| = 0
ry= = =0
*Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor
- Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

9. -Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.
Sen (0.5) = 0.47942554
Para n=0
(-1)°
Ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446
Ry= = = 0.04291482
Para n=1
=0.5 - 0.02083333 =0.47916667
Error absoluto
Ey = ly-y*l
Ey = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=2
= 0.5 – 0.02083333 +0.00026042 =0.47942709
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155
Error relativo
Ry=
Ry=

10. Para n=3
=0.47942709- 0.00000155 =0.47942554
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=4
=0.47952554 – 0.00000001=0.47942555
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001
Error relativo
Ry=
Ry=

11. *Calcular por donde x=0.3 interaccion n=0 a n=8
*Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.
Valor real
N=0
Valor aproximado
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=1
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881
Error relativo
Ry=
Ry=

12. Para n=2
= 1.3 + 0.045 = 1.34500000
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=3
= 1.34500000 + 0.0045 = 1.3950000
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.39500000| = 0.00035881
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=4
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131
Error relativo
Ry= Ry=

13. Para n=5
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=6
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005
Error relativo
Ry=
Ry=
Para n=7
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001
Error relativo
Ry= Ry=

14. Para n=8
Error absoluto
Ey= |y-y*|
Ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001
Error relativo
Ry=
Ry=

15. *Calcular para x=0.7, n=1, n=2, n=3, n=4
*Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo
ln(x+1)=
Para n=0
ln(0.7+1)=0.53062825 valor real
Valor aprox.
Error absoluto
Ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175
Error relativo
Ry= = = 0.88455854
Para n=1
Valor aprox.
Error absoluto
Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825
Error relativo
Ry= = = 0.43463244
Para n=2
Valor aproximado
Error absoluto
Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.54500000|=0.28562825
Error relativo
Ry= = = 0.53828316

16. Para n=3
Valor aproximado
Error absoluto
Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158
Error relativo
Ry= = = 0.75375101
Para n=4
Valor aproximado
Error absoluto
Ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658
Error relativo
Ry= = = 0.64063038

17. SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
Solución o raíz de una ecuación es el valor de x el cual logra satisfacer la
ecuación. Su formula general esta expresada de la sig. Manera:
+ + + +….. x+ =0
Graficar la sig. función en un plano cartesiano y tabular con:
Inicial para x= -5
rango Final para x= 5
Step incremento= 0.5
10 +12x-5=0
x f(x)
-5 185
-4.5 143.5
-4 107
-3.5 75.5
-3 49
-2.5 27.5
-2 11
-1.5 -0.5
-1 -7
-0.5 -8.5
0 -5
0.5 3.5
1 17
1.5 35.5
2 59
2.5 87.5
3 121
3.5 159.5
4 203
4.5 251.5
5 305

18. F(x)=10x^2+12x-5=0
A=10
B=12
C=-5
X1= 0.32736184495 X2= -1.52736185
f(x)= +12(0.327)-5=0
f(x)= 1.0692+3.924-5= 0.05
f(x)= +12(0.327)-5=0
f(x)= 23.31729-18.324-5= 0.00671

19. CAMBIO DE SIGNO DE DESCARTES
El cambio de signo de descartes es el análisis que se hace para localizar las
raíces de la tabulación, es el rango.
x f
-2 11
Rango donde se encuentra la raíz
-1.5 -0.5
-1 -7
-0.5 -8.5
0 -5
0.5 3.5
1 17
1.5 35.5
2 59
*Calcular las raíces para el sig. Sistema de ecuación.
f(x)= -7x-13=0
a) Tabular de -5 a 5 de 0.3
b) Graficar
c) Realizar por formula general el cálculo
d) Determinar el cambio de signo de descartes

20. x f(x) x f(x)
-5 297 0.1 -13.59
-4.7 262.89 0.4 -14.04
-4.4 230.76 0.7 -12.51 Nota: Los números sombreados significa en
donde se encontró el cambio de signo.
-4.1 200.61 1 -9
-3.8 172.44 1.3 -3.51
-3.5 146.25 1.6 3.96
-3.2 122.04 1.9 13.41
-2.9 99.81 2.2 24.84
-2.6 79.56 2.5 38.25
-2.3 61.29 2.8 53.64
-2 45 3.1 71.01
-1.7 30.69 3.4 90.36
-1.4 18.36 3.7 111.69
-1.1 8.01 4 135
-0.8 -0.36 4.3 160.29
-0.5 -6.75 4.6 187.56
-0.2 -11.16 4.9 216.81

21. Por formula general:
f(x)= -7x-13=0
a= 11
b= -7
c=-13
=
X2=
X2= -0.8145 X1= 1.4509
f(x)= 11(1.4509)-7(1.4509)-13= 23.15621-10.1563-13= 0.00008
f(x)= 11(-0.8145)-7(-0.8145)-13= 7.29751+5.7015-13= 0.00098725

22. RELACIÓN DE NEWTON
Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su fórmula es la sig:
Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado.
Ø
Intervalo donde existen raíces positivas
*Ejemplo:
Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.
a1x a2x a3x a4x
a1 = 1
a2 = -2.0374
a3 = -15.4245
a4 = 15.6696
El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.9160

23. *Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton
F(x) =
F(x) = =0
F(x) =
F(x)=
a1 = 1 El rango de las raíces positivas 0≤x≤5.38
a2 = -5
a3 = -2
a4 = 76
F(x) = =0
a=1
a2=-25
= 17.233
a3=164
El rango de las raíces positivas 0≤x≤ 17.233
a4=-320

24. F(x) =
a1 = 1
a2 = -2
a3 = 8
a4 = -4

25. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
La regla de los signos de los signos de descartes especifica que el número de
raíces positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes o es
menor que este número en una cantidad igual a un entero par.
*Método de búsqueda.
Este método sirve para determinar el intervalo donde existe una raíz
Fórmula: donde n= subintervalo
*Calcular las raíces positivas de la función:
a1= 1
a2=-2.0374
a3=-15.4245
a4=15.6696
= =
=5.91607968 (0≤x≤5.91607968)
*Calcular los intervalos para los subintervalos de n=2
f(x)
xa 0 35.4936 Raíz
Xa+h 2.95803984 -29.29068846 2 raíces positivas
Xa+2h 5.91607968 -391.4689244 Raiz
Este valor se sustituye en la
función f(x)

26. *Calcular las raíces positivas de la sig. Función
*Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12
a1= 1
a2= -5
a3= -12
(0≤x≤7)
X f(x)
Xa 0 -79
Xa+h 0.58333333 -39.62668808
Xa+2h 1.16666666 -12.75386825
Xa+3h 1.74999999 -0.16796885
Xa+4h 2.33333332 -0.87654307
Xa+5h 2.91666665 -11.10816899
Xa+6h 3.49999998 -24.31249960
Xa+7h 4.08333331 -31.16025271
Xa+8h 4.66666664 -19.54321105 Raíz positiva
Xa+9h 5.24999997 25.42577779
Xa+10h 5.83333330 121.4128013
Xa+11h 6.41666663 288.8628822
Xa+12 6.99999996 550.9999782

27. *Calcular las raíces positivas de las sig. Funciones.
a) Calcular
b) Calcular los intervalos
c) Calcular los subintervalos para n = 12
d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de
Descartes
a1= 1
a2 =-25
a3=164
(0≤x≤17.23368794)
= 1.43614066
X f(x)
Xa 0 -320
Xa+h 1.43614066 -133.0733915
Xa+2h 2.87228132 -31.49954221
Xa+3h 4.30842198 2.49378860 Raíz positiva
Xa+4h 5.74456264 -13.32115847 Raíz positiva
Xa+5h 7.18070330 -61.17214280
Xa+6h 8.61684396 -123.2869238
Xa+7h 10.05298462 -181.8932607
Xa+8h 11.48912528 -219.2189131
Xa+9h 12.92526594 -217.4916401
Xa+10h 14.36140660 -158.9392014
Xa+11h 15.79754726 -25.78935606 Raíz positiva
Xa+12h 17.23368792 199.7301364

28. a) Calcular Xrmax
b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13
c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la
posible raíz
a1= 1
a2= -3
a3= -1
(0≤x≤3.60555128)
x f(x)
Xa 0 -5
Xa+h .27735010 -0.27232758
Xa+2h .55470020 3.84646954 Raíz positiva
Xa+3h .83205030 7.18538590
Xa+4h 1.10940040 9.71542788
Xa+5h 1.38675050 11.54961370
Xa+6h 1.66410060 12.94297339
Xa+7h 1.94145070 14.29254886
Xa+8h 2.21880080 16.13739383
Xa+9h 2.49615090 19.15857386
Xa+10h 2.77350100 24.17916636
Xa+11h 3.05085110 32.16426057
Xa+12h 3.32820120 44.22095757
Xa+13h 3.60555130 61.59837029

29. METODO DE BISECCION , METODO DEL MEDIO
INTERVALO, BÚSQUEDA BINARIA.
Para xa ≤ x ≤ xb
Xm =
+xb=xm
f (xm) * f (xb)
-xa=xm
| ≤ Ep
Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de
búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas
a la raíz localizada.
Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz
será determinada. El procedimiento es el sig.:
1) Se determina el punto medio del intervalo
Xm =
2) Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos
indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz
entre xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y
la raíz debe encontrarse entre xa y xm.
3) Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a
repetir el procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con
la precisión deseada aplicando la formula .

30. f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0
Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189
xm = |(xa+xb)/2|
xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm) funcion f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001
2.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.718
3.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221 -0.64194669 2.4937886 0.179
3.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.085
3.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.044
3.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669 -0.11612114 0.4498886 0.024
3.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.012
3.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.006
3.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.003
3.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001
Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264
xm = f (xm) |(xa+xb)/2|
xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) funcion f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001
4.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478 -13.32115847 0.35903519
4.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821 2.51534999 -0.29841478 0.1795176
4.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999 1.44552772 -0.29841478 0.0897588
4.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772 0.65565201 -0.29841478 0.0448794
4.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201 0.19887129 -0.29841478 0.0224397
4.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249 -0.29841478 0.01121985
4.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129 0.0783259 -0.04474249 0.00560993
4.99283273 4.99844266 5.00405258 0.0783259 0.01710654 0.04474249 0.00280496
4.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938 -0.04474249 0.00140248
Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796
xm = f (xm) |(xa+xb)/2|
xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) funcion f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001
15.79754726 16.51561761 17.23368796 -25.7893561 74.31342236 199.7301441 0.35903518
15.79754726 16.15658244 16.51561761 -25.7893561 21.23663587 74.31342236 0.17951759
15.79754726 15.97706485 16.15658244 -25.7893561 -3.01535338 21.23663587 0.0897588
15.97706485 16.06682365 16.15658244 -3.01535338 8.92372372 21.23663587 0.0448794
15.97706485 16.02194426 16.06682365 -3.01535338 2.90772722 8.92372372 0.0224397
15.97706485 15.99950456 16.02194426 -3.01535338 -0.06539309 2.90772722 0.01121985
15.99950456 16.01072441 16.02194426 -0.06539309 1.41826865 2.90772722 0.00560993
15.99950456 16.00511449 16.01072441 -0.06539309 0.67571379 1.41826865 0.00280496
15.99950456 16.00230953 16.00511449 -0.06539309 0.30497999 0.67571379 0.00140248

31. F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0
Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997
xm = f (xm) |(xa+xb)/2| ≤
xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) funcion f (xb) Ep ≤ 0.0001
4.66666664 4.95833331 5.24999997 -19.54321105 -2.26670882 25.42577779 0.14583333
4.95833331 5.10416664 5.24999997 -2.26670882 10.13816317 25.42577779 0.07291667
4.95833331 5.03124998 5.10416664 -2.26670882 3.59323003 10.13816317 0.03645833
4.95833331 4.99479165 5.03124998 -2.26670882 0.57983013 3.59323003 0.01822917
4.95833331 4.97656248 4.99479165 -2.26670882 -0.86402495 0.57983013 0.00911459
4.97656248 4.98567707 4.99479165 -0.86402495 -0.14727754 0.57983013 0.00455729
4.98567707 4.99023436 4.99479165 -0.14727754 0.21497737 0.57983013 0.00227865
4.98567707 4.98795572 4.99023436 -0.14727754 0.03352581 0.21497737 0.00113932
F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0
Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020
xm = f (xm) |(xa+xb)/2| ≤
xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) funcion f (xb) Ep ≤ 0.0001
0.2773501 0.41602515 0.5547002 -0.27232759 1.87719663 3.84646954 0.06933753
0.2773501 0.34668763 0.41602515 -0.27232759 0.82356062 1.87719663 0.03466876
0.2773501 0.31201887 0.34668763 -0.27232759 0.28069208 0.82356062 0.01733438
0.2773501 0.29468449 0.31201887 -0.27232759 0.00542352 0.28069208 0.00866719
0.2773501 0.2860173 0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352 0.0043336
0.2860173 0.2903509 0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352 0.0021668
0.2903509 0.2925177 0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352 0.0010834

32. MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Xn=xa+δ
E F(xb)
δ Xa ≤ x ≤ xb
XA XN
Razón T.T
C B XB
=
A F(xa) D
Xb-xa
Criterio + (positiva) xa ≤ x ≤ xn
F(xn)*f(xb)=
-(negativo) xn ≤ x ≤ xb

33. F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0
Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999 xn=xa+ɗ
xa xb f (xa) f(xb) d xn f (xn) Ep.
4.6666 5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633 0.05153591
4.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116 0.01073288
4.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779 0.00394549
4.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633 0.0108073 4.91163628 -5.67583669 0.00173647
F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0 Ep=0.00001 ≤ x
Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000
Criterio:
F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn
F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn
xn xa xb f(xa) f(xb) d xn = xb - d f (xn) ≤ Ep≤ 0.0001
1 2.87228 4.30842 -31.49954221 2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,089
2 2.87228 4.20286746 -31.49954221 1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270 0.01841193
3 2.87228 4.12688355 -31.49954221 1.31535227 0.05028955 4.076594 0.84331102 0.01233617
4 2.87228 4.076594 -31.49954221 0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257 0.00776265
5 2.87228 4.04519259 -31.49954221 0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684 0.00469383
6 2.87228 4.02629387 -31.49954221 0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493 0.00277018
7 2.87228 4.01517113 -31.49954221 0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479 0.00161155

34. *Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa
posición, calcule las interacciones cuando n = 12
F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2
a1=-0.1
a2=-0.15
a3=-0.5
X F(x)
-5 -53.80000000
-4.5 -35.13750000
-4 -21.80000000
-3.5 -12.62500000
-3 -6.60000000
-2.5 -2.86250000 Cambio
-2 -0.70000000
de signo
-1.5 0.45000000
-1 1.00000000
-0.5 1.21250000
0 1.20000000
0.5 0.92500000
1 0.20000000 Cambio
1.5 -1.31250000 de signo
2 -4.10000000
2.5 -8.80000000
3 -16.20000000
3.5 -27.23750000
4 -43
4.5 -64.72500000
5 -93.80000000

35. F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2
intervalo = -2 < x < -1.5
n xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep
1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------
2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.02021321
3 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.01811123
4 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997

36. MÉTODO NEWTON – RAPHSON
f(xb)
f(x) xa ≤ x ≤ xb
xa xb
xn+1
m
f(xa)
Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si
dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn interceptarán el eje x en un valor
xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la
tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto
n xn - xn + 1
Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la
siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con
d f´(xn)
Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos
hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor
que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.

37. F (x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0
F (x) =3x2 - 50x + 164 = 0
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.15696381
2 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.05646766
3 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.01262333
4 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.00069120
5 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.00000207
6 4.00000000 0 12 0 4 0
F(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2
F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0
Intervalo = -2 < x < 1.5
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 -2 -0.700000000 3.15000000 -0.22222222 -1.77777778 0.12500000
2 -1.77777778 -0.09187624 2.35301784 -0.03904613 -1.73873165 0.02245667
3 -1.73873165 -0.00240055 2.23090205 -0.00107604 -1.73765561 0.00061925
4 -1.73765561 -0.00000170 2.22760807 -0.00000080 -1.73765481 0.00000046
5 -1.73765481 0 2.22760562 0 -1.73765481 0
F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2
F´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0
Intervalo = 1< x < 1.5
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 1 0.20000000 -2.10000000 -0.09523810 1.09523810 0.08695653
2 1.09523810 -0.01454231 -2.41054963 0.00603278 1.08920532 0.00553870
3 1.08920532 -0.00006219 -2.38995046 0.00002602 1.08917930 0.00002389
4 1.08917930 0 -2.38986189 0 1.08917930 0

38. *Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson
F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0
F´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0
x F(x)
-5 -5293
-4.5 -3275.34375000
-4 -1919
-3.5 -1047.53125000
-3 -519
-2.5 -222.21875000
-2 -73
-1.5 -10.40625000 Raíz positiva (-1.5≤x≤-1)
-1 7
-0.5 4.90625000
Raíz positiva (-0.5≤x≤0)
0 -3
0.5 -11.28125000
1 -19
1.5 -25.96875000
2 -29
2.5 -18.15625000
Raíz positiva (2.5≤x≤3)
3 27
3.5 141.15625000
4 377
4.5 808.96875000
5 1537
Intervalo = -1.5≤x≤-1
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 -1.5 -10.40625000 69.06225000 -0.15067873 -1.34932127 0.11167002
2 -1.34932127 -1.84880357 45.44015974 -0.04068656 -1.30863471 0.03109085
3 -1.30863471 -0.11252868 39.96926207 -0.00281538 -1.30581933 0.0215603
4 -1.30581933 -0.00051455 39.60403579 -0.00001299 -1.30580634 0.00000995
5 -1.30580634 -0.00000010 39.60235460 0 -1.30580634 0

39. Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0
xn+1=xn- |(xn+1 - xn)/xn+1|
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) (f(xn)/f'(xn)) ≤ Ep≤0.00001
1 -0.5 4.90625 -12.9375 -0.37922705 -0.12077295 3.14
2 -0.12077295 -0.95280868 -16.846522 0.05655818 -0.17733113 0.31894109
3 -0.17733113 -0.005242 -16.6451217 0.00031493 -0.17764606 0.00177278
4 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232 0.0000001 -0.17764607 0.00000007
5 -0.17764607 0 -16.6437232 0 -0.17764607 0
Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3
xn+1=xn- |(xn+1 - xn)/xn+1|
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) (f(xn)/f'(xn)) ≤ Ep≤0.00001
1 2.5 -18.15625 47.0625 -0.38579017 2.88579017 0.13368615
2 2.88579017 12.11760658 116.323194 0.10417189 2.78161829 0.0374501
3 2.78161829 1.20603414 93.7034892 0.01287075 2.76874754 0.00464858
4 2.76874754 0.01662911 91.1272124 0.00018248 2.76856505 0.00006591
5 2.76856505 0.0000033 91.0910189 0.00000004 2.76856502 0.00000001
6 2.76856502 0 91.0910117 0 2.76856502 0

40. MÉTODO DE LA SECANTE
xa ≤ x ≤xb M=f’(x)
Xn+1
xa Xn-1
xn
F(xa)
F(xn+1)
F(xn-1)
m= =
Utilizando el método de Newton Raphson

41. F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0
Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 2.5 2.1 -3.0625 0.8231 -0.084473337 2.184473337 0.03866
2 2.1 2.184473337 0.8231 0.40744376 -0.08280432 2.267277657 0.03652147
3 2.18447334 2.26727766 0.40744376 -0.22348814 0.02933087 2.23794679 0.01310615
4 2.26727766 2.23794679 -0.22348814 0.02448622 -0.00289628 2.24084307 0.0013625
F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0
Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 4.43705998 3.944053118 10.9819303 -25.656687 -0.34523472 4.28928784 0.08048766
2 3.94405312 4.28928784 -25.656687 -3.35947823 -0.05201586 4.3413037 0.01198162
3 4.28928784 4.3413037 -3.35947823 1.33107987 0.01476099 4.32654271 0.00341173
4 4.3413037 4.32654271 1.33107987 -0.03855114 -0.00041548 4.32695819 0.00009602
Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 2.4650332 1.972026559 -13.1972309 5.91089891 -0.15250642 2.12453298 0.0717835
2 1.97202656 2.12453298 5.91089891 0.00134378 -0.00003465 2.12456763 0.0000163
F(x)=25x3-6x2+7x-88=0
Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 2 1.5 102 -6.625 -0.03049982 1.53049482 0.01992481
2 1.5 1.53049452 -6.625 -1.71469495 -0.01064889 1.54114372 0.0069097
3 1.53049482 1.54114372 -1.71469495 0.047446 0.00028672 1.54085699 0.00018608

42. *Calcular las raíces del sig. Polinomio.
F(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0 f’(xn)= -1x+2.5=0
Por el método de Newton Raphson
Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1
xn+1= xn- |xn+1-xn/xn+1|
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) (f(xn)/f'(xn)) ≤Ep≤0.00001
1 -1.5 -0.375 4 -0.09375 -1.40625 0.06666667
2 -1.40625 -0.00439453 3.906525 -0.001125 -1.405125 0.00080064
3 -1.405125 -0.0000063 3.905125 -0.00000016 -1.40512484 0.00000012
Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5
xn+1= xn- |xn+1-xn/xn+1|
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) (f(xn)/f'(xn)) ≤Ep≤0.00001
1 6 1.5 -3.5 -0.42857143 6.42857123 0.66666667
2 6.42857123 -0.09183673 -3.92857143 0.02337662 6.40519481 0.00364964
3 6.40519481 -0.00027323 -3.90519481 0.00006997 6.40512484 0.00001092

43. *Determinar las raíces de la función:
F(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0
Por el método de secante
Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 -0.5 -1 12.47812500 -60.70000000 -0.41474143 -0.58525857 0.70864649
2 -1.0 -0.58525857 -60.70000000 7.35649476 0.04483104 -0.63008961 0.07115026
3 -0.58525857 -0.63008961 7.35649476 3.59894824 0.04293881 -0.67302842 0.06379940
4 -0.63008961 -0.67302842 3.59894824 -0.73065376 -0.00724626 -0.66578216 0.01088383
5 -0.67302842 -0.66578216 -0.73065376 0.05154407 0.0004775 -0.66625967 0.00071670
6 -0.66578216 -0.66625967 0.05154407 0.00065209 0.00000612 -0.666265780 0.00000917
Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 0.5 0 -58.47812500 0 0 0 0
Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001
1 5.0 4.5 27.50000000 -170.80312500 -0.43066171 4.93066171 0.08734359
2 4.5 4.93066171 -170.80312500 -6.39204599 -0.01674345 4.94740516 0.00338429
3 4.93066171 4.94740516 -6.39204589 1.58252140 0.00332267 4.94408249 0.00067205
4 4.94740516 4.94408249 1.58252140 0.01046623 -0.00002183 4.94410432 0.00000442
5 4.94408249 4.94410432 -0.01046623 -0.00001697 -0.00000004 4.94410436 0.00000001

44. *Calcular las raíces de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa
posición
Intervalo= 0<x<0.5
n xa xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep
1 0 0.5 -2 0.375 0.0789474 0.4210526 0.01312145
2 0 0.4210526 -2 0.01312145 0.0027444 0.4183082 0.01312145 0.0065607
3 0 0.4183082 -2 0.00092207 0.0001928 0.4181155 0.00092207 0.000461
4 0 0.4181155 -2 0.00006592 1.368E-05 0.4181017 0.00006592 3.296E-05
5 0 0.4181017 -2 0.00000472 9.9E-07 0.4181007 0.00000472 2.57E-06
6 0 0.4181007 -2 0.00000034 7E-08 0.4181006 0.00000034 1.7E-07
7 0 0.4181006 -2 0.00000002 1E-08 0.4181006 0.00000002 0

45. MÉTODO DE BIRGE-VIETA
El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del
polinomio p(x). Dado un punto x(k) evalua p(xk) y p’(xk) mediante división sintética
cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división sintética y
continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite hasta
encontrar la raíz del polinomio.
Ejemplo:
P(x)= x3-2x2-5x+6 valor inicial 0.8333
División sintética
1 -2 -5 6
0.8333 0.8333 0.9722 -4.9766
1 -1.1667 -5.9722 1.0234 ≠0
0.8333 -0.2778
1 -0.3333 -6.25
X1=0.8333-(1.0234/-6.2500)=0.997044
X1=0.997044=xk
1 -2 -5 -6
0.997044 0.997044 -0.99999 -5.982254
1 -1.002956 -5.99999 0.017746 ≠0
0.997044 -0.005894
1 -0.005912 -6.005884
X1=0.99704-(0.017746/-6.00589352)=0.999999
X1=0.999998
1 -2 -5 6
0.999998 0.999998 -1 -5.999988
1 -1.000002 -6 0.000012 ≈ ᴓ si es la raíz
X=1 es la raíz

46. P(x)= x3-25x2+164x-320=0
2.8722812
Para xk: 4.3084218
15.79754
1 -25 164 -320
2.8722812 2.8722812 -63.55703071 288.500452
1 -22.1277188 100.4429693 -31.4995476 ≠0
2.8722812 -55.30703142
1 -19.2554376 44.69296858
X1=2.8722812-(-31.49954763/44.69296858)=3.577079933
X1=3.577079933=xk
1 -25 164 -320
3.57707993 3.577079933 -76.63149748 312.5241171
-21.42292007 87.36850252 -7.47588285 ≠0
3.577079933 -63.83599664
-17.84584014 23.53250588
X1=3.577079933-(-7.475882852/23.53250588)=3.894763179
X1=3.894763179=xk
1 -25 164 -320
3.894763179 3.894763179 -82.19989925 318.5920204
1 -21.10523682 81.80010075 -1.40797958 ≠0
3.894763179 -67.03071903
1 -17.21047364 14.76938172
X1=3.894763179-(-1.40797958/14.76938172)=3.990094155
X1=3.990094155=xk
1 -25 164 -320
3.990094155 3.990094155 -83.83150251 319.8798533
1 -21.00990584 80.168.49749 -0.120146741 ≠0
3.990094155 -67.91065112
1 -17.01981169 12.25784637

47. X1=3.990094155-(-.01201467408/12.25784637)=3.999895774
X1=3.999895774
1 -25 164 -320
3.999895774 3.999895774 -83.99822815 319.9987491
1 -21.00010423 80.00177185 -0.001250853 ≈ᴓ Si es
la raíz
X=4 es la raíz

48. Xk=4.3084218
1 -25 164 -320
4.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878
1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783 ≠0
4.3084218 -70.58554819
1 -16.3831564 4.266405223
X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461
X1=3.7239004461=xk
1 -25 164 -320
3.723900446 3.723900446 -79.23014709 315.6748334
1 -21.27609554 84.7698529 -4.32516659 ≠0
3.723904461 -65.36268266
1 -17.55219108 19.40717025
X1=3.7239004461-(-4.325166598/19.40717025)=3.946768822
X1=3.946768822=xk
1 -25 164 -320
3.946768822 3.946768822 -83.09223642 319.3242388
1 -2105323118 80.90776358 -0.675761227≠0
3.946768822 -67.51525229
1 -17.10646236 13.39251129
X1=3.946768822-(-0.6757612266/13.38251129)=3.997226963
X1= 3.997226963=xk
1 -25 164 -320
3.997226963 3.997226963 -83.95285068 319.9666236
1 -21.00277304 80.04714932 -0.033376428≠0
3.997226963 -67.9750273
1 -17.00554608 12.07212202
X1=3.997226963-(-0.03337642759/12.07212202)=3.999991715
X1=3.999991715=xk

49. 1 -25 164 -320
3.999991715 3.999991715 -83.99985915 319.9999006
1 -21.00000829 80.0014085 -0.000994209 ≈ᴓSi
es la
raíz
X=4 es la raíz

50. Xk= 15.79754
1 -25 164 -320
15.79754 15.79754 -145.3762299 294.2097523
≠0
1 -9.20246 18.62377005 -25.79024766
15.79754 104.1860401
1 6.59508 122.8098102
Xi= 15.79754-(-25.79024766/122.8098102)=16.00754153
Xi=16.00754153=xk
1 -25 164 -320
16.0075415 16.00754153 -143.9471525 320.9967897
≠0
1 -8.992458473 20.05284754 0.996789712
16.00754153 112.2942334
1 7.015083057 132.3270809
Xi=16.00754153-(0.9967897115/132.3470809=16.0000099
1 -25 164 -320
16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305
1 -8.99999 20.000008 0.001305 ≈ᴓ
si es la raíz
X=16 es la raíz

51. *Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio
P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10
a) Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a
6 de .6 en .6
x f(x)
-4 414
-3.4 204.1536
-2.8 77.6256
-2.2 11.8656 Xk=-2.2
-1.6 -12.5664
-1 -12 Xk=-1
-0.4 0.3456
0.2 14.3616
0.8 23.0496
1.4 22.5216
2 12 Xk=2
2.6 -6.1824
3.2 -26.5824
3.8 -40.6464
4.4 -36.7104
5 0 Xk=5
5.6 87.3696
b) Encontrar las raíces xi utilizando ando el método de Birge-Vieta

52. Xk=-2.2
1 -5 -5 23 10
-2.2 2.2 15.84 -23.834 1.8656
1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656≠0
-2.2 20.68 -69.344
1 -9.4 31.52 -70.192
Xi=-2.2-(11.8656/-10.192)=-2.030955095
Xi=-2.030955095=xk
1 -5 -5 23 10
-2.03096 -2.03096 14.27955 -8.4358 -8.43588
1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138≠0
-2.03096 18.40443 -56.2249
1 -9.05191 27.68389 -52.071
Xi=-2.030955095-(1.564138841/-52.07108844)=-2.000916567
Xi= -2.0009
1 -5 -5 23 10
-2.0009 -2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955
1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449≠0
-2.0009 14.0082 -54.0641
1 -9.0018 27.0199 -49.0888
Xi= -2.0009-(0.0449/-49.0888)=-1.9999
1 -5 -5 23 10
-1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042
1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042
≈ᴓ si es la
raíz

53. X=-2 es la raíz
Xk=-1
1 -5 -5 23 10
-1 -1 6 -1 -22
1 -6 1 22 -12≠0
-1 7 -8
1 -7 8 14
Xi=-1-(-12/14)=-0.1428
Xi=-0.1428=xk
1 -5 -5 23 10
-0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713
1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286 ≠0
-0.1428 0.7547 0.5013
1 -5.2856 -3.5108 24.1104
Xi= -0.1428-(6.6286/24.1104)=-0.4177
Xi=-0.4177=xk
1 -5 -5 23 10
-0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846
1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846 ≠0

54. -0.4177 2.4372 0.1251
1 -5.8354 -0.2995 24.2683
Xi=-0.4177-(-0.0846/24.2683)=-0.4142
Xi= -0.4142=xk
1 -5 -5 23 10
-0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997
1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093 ≠0
X=-0.4142 es la raíz
Xk=2
1 -5 -5 23 10
2 2 -6 -22 2
1 -3 -11 1 12≠0
2 -2 -26
1 -1 -13 -25
Xi=2-(12/-25)=2.48=xk
1 -5 -5 23 10
2.48 2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495
1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495≠0
2.48 -0.0992 -28.145
1 -0.04 -11.3488 -33.044
Xi=2.48-(-2.1495/-33.0440)=2.4149= xk
1 -5 -5 23 10
2.4149 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214
1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214≠0
2.4149 -0.4107 -28.1417

55. 1 -0.1701 -11.6533 -32.2915
Xi= 2.4149-(-0.0214/-32.2915)= 2.4142 =xk
1 -5 -5 23 10
2.4142 2.4142 -6.2425 -27.1417 -9.999
1 -2.5857 -11.2425 -4.1417 0.0009
≈ᴓ si es la raíz
X=2.4142 es la raíz.
Función p(x)=
x f(x)
-4 -495
-3.4 -99.3485 Xk=-3.4
-2.8 21.1766
-2.2 27.2794
-1.6 8.1245
-1 0
-0.4 4.9795
0.2 9.5846
Xk=0.8
0.8 3.4474
1.4 -2.0275 Xk=1.4
2 45
2 5 -8 -14 6 9
-3.4 -6.8 6.12 6.392 25.8672 -108.348
2 -1.8 -1.88 -7.608 31.8672 -99.3484≠0
-6.8 29.24 -93.024 342.1488

56. 2 -8.6 27.36 -100.632 374.016
Xi=-3.4-(-99.3484/374.016)=-3.1343=xk
2 5 -8 -14 6 9
-3.1343 -6.2687 3.9766 12.6104 4.3553 -32.4567
2 -1.2687 -4.0233 -1.3895 10.3553 -23.4567≠0
-6.2687 23.6244 -61.4359 196.9138
2 -7.5374 19.6011 -62.8254 207.2691
Xi= -3.1343-(-23.4567/207.2691)=-3.0211=xk
2 5 -8 -14 6 9
-3.0211 -6.0422 3.1487 14.656 -1.9819 -12.1387
2 -1.0422 -4.8512 0.656 4.018 -3.1387≠0
-6.0422 21.4026 -50.0036 149.0842
2 -7.0844 16.5514 -49.3476 153.1022
Xi= -3.0211-(-3.1387/153.1022)=-3.0416=xk
2 5 -8 -14 6 9
-3.0416 -6.0832 3.2946 114.3117 -0.9482 -15.3655
2 -1.0832 -4.7053 0.3117 5.0517 -6.3655≠0
-6.0832 21.7973 -51.987 157.1758
2 -7.1664 17.092 -51.6753 162.2275
Xi= -3.0416-(-6.3655/162.2275)=-3.0023=xk
2 5 -8 -14 6 9
-3.0023 -6.0046 3.0161 14.9631 -2.8916 -9.3323
2 -1.0046 -4.9839 0.9631 3.1083 -0.3323≠0
-6.0046 21.0437 -48.2166 141.8692
2 -7.0092 16.0599 -47.2535 144.9775
Xi= -3.0023-(0.3323/144.9775)=-3=xk
2 5 -8 -14 6 9
-3 -6 3 15 -3 -9

57. 2 -1 -5 1 3 0
X= -3 es la raíz
Xk= 0.8
2 5 -8 -14 6 9
0.8 1.6 5.28 -2.176 -12.9408 -5.5526
2 6.6 -2.72 -16.176 -6.9408 3.4473≠0
1.6 6.56 3.072 -10.4832
2 8.2 3.84 -13.104 -17.424
Xi= 0.8-(3.4473/-17.424)=0.9978=xk
2 5 -8 -14 6 9
0.9978 1.9956 6.9803 -1.0174 -14.9844 -8.9646
2 6.9956 -1.0196 -15.0174 -8.9844 0.0354≠0
1.9956 8.9714 7.9343 -7.0674
2 8.9912 7.9518 -7.083 -16.0518
Xi= 0.9978-(0.0354/-16.0515)=1=xk

58. 2 5 -8 -14 6 9
1 2 7 -1 -15 -9
2 7 -1 -15 -9 0
X=1 es la raíz
Xk= 1.4
2 5 -8 -14 6 9
1.4 2.8 10.92 4.088 -13.8768 -11.0275
2 7.8 2.92 -9.912 -7.8768 -2.0275≠0
2.8 14.84 24.864 20.9328
2 10.6 17.76 14.952 13.056
Xi= 1.4-(-2.0275/13.056)=1.2447=xk
2 5 -8 -14 6 9
1.2447 2.4894 9.322 1.6455 -15.3775 -11.6722
2 7.4894 1.322 -12.3544 -9.3775 2.6722≠0
2.4894 12.4206 17.1054 5.9136
2 9.9788 13.7426 4.751 -3.4638
Xi= 1.2447-(2.6722/-3.4638)=2.0161=xk

59. 2 5 -8 -14 6 9
2.0161 4.0323 18.21 20.5844 13.2748 38.86
2 9.0323 10.21 6.5844 19.2748 47.86
*Calcular las raíces del sig. Polinomio por el método de Birge-Vieta
P(x)= 5x3-x2-5x+1
a)Calcular las posibles raíces por el cambio de signo de Descartes a partir de -3 a
2 de 0.4 en 0.4
b)Calcular las raíces por método de Div. Sintética por el método de Birge-Vieta.
x f(x)
-3 -128.00
-2.6 -80.64
-2.2 -46.08
-1.8 -22.40
-1.4 -7.68
-1 0.00
-0.6 2.56
-0.2 1.92
0.2 0.00

60. 0.6 -1.28
1 0.00
1.4 5.76
1.8 17.92
Raíz=-1
Raíz= 0.2
Raíz=1
*Calcular las raíces del siguiente polinomio:
P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12
a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes
para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5
b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta
c) Realizar la grafica del polinomios
X F(x)
-5 28028
-4.7 18325.49857
-4.4 11441.73363
-4.1 6706.626212
-3.8 3573.483008
-3.5 1603.25
-3.2 449.815808
-2.9 -153.635188

61. -2.6 -407.219968
-2.3 -455.904232
-2 -400
-1.7 -304.613452
-1.4 -218.043008
-1.1 -129.127648
-0.8 -73.545472
-0.5 -39.0625 -3.2
-0.2 -19.731712
0.1 -9.042328
0.4 -2.019328
0.7 3.726788
1 8
1.3 9.068528
1.6 5.764352
1.9 0.632492
2.2 4.130048
2.5 39.875
2.8 150.944768
3.1 407.224532
3.4 913.805312 0.4
3.7 1820.431808
4 3332
4.3 5720.104508
4.6 9335.635712
4.9 14622.42663
2 -3 -13 29 -27 32 -12
-3.2 -6.4 30.08 -54.656 82.0992 -176.3174 461.8158
2 -9.4 17.08 -681 55.0992 -144.3174 449.8185≠0
-6.4 50.56 -216.448 774.7328 -2655.462
2 -15.8 67.64 -242.104 829.832 -2799.78
Xi= -3.2 – (449.8158/-2799.7798) = -3.0393 = xk
2 -3 -13 29 -27 32 -12
-3.0393 -6.0786 27.5928 -44.3519 46.6592 -59.7503 84.3416
2 -9.0786 14.5928 -15.3519 19.6592 -27.7503 72.3416≠0
-6.0786 46.0672 -184.3641 606.997 -1904.596

62. 2 -15.1572 60.66 -199.716 626.6562 -1932.347
Xi= -3.0393 – (72.3416/-1932.3466) = -3.0018 =xk
2 -3 -13 29 -27 32 -12
-3.0018 -6.0037 27.0273 -42.1074 39.3457 -633 15.1879
2 -9.0037 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879≠0
-6.0037 45.0492 -177.3358 571.6726 -1753.106
2 -15.0074 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.166
Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk
2 -3 -13 29 -27 32 -12
-2.9999 -5.9999 26.999 -41.9956 38.9856 -35.9558 11.8672
2 -8.9999 13.999 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327≠0
-5.9999 44.9979 -176.9898 569.9222 -1745.665
2 -14.9998 58.9996 -189.9804 581-9078 -1749.621
Xi= -3-0393 – (3.1879/-1758.1658) = - 2.9999 = xk
X= -3 es la raíz
Xk= 0.4
2 -3 -13 29 -27 32 -12
0.4 -0.8 -0.88 -5.552 9.3792 -7.04832 9.9806
2 -2.2 -13.88 23.448 -17.6208 24.95168 -2.0193≠0
-0.8 -1.2 -6.032 6.9664 -4.2617
2 -3 -15.08 17.416 -10.5644 20.6898
Xi= 0.4 – (-2.0193/20.6898) = 0.4975 = xk
2 -3 -13 29 -27 32 -12
0.4975 -0.995 -0.9974 -6.9637 10.963 -7.9783 11.9507
2 -2.005 -13.9974 22.0362 -16.0369 24.0216 -0.0492≠0
-0.995 -0.5024 -7.2136 7.3741 -4.3096
2 -1.01 -14.4998 14.8225 -8.6627 19.7119

63. Xi= 0.4975 – (-0.0492/19.7119) = 0.4999 = xk
2 -3 -13 29 -27 32 -12
0.4999 -0.9999 -0.9998 -6.9985 10.9985 -7.9991 11.998
2 -2 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019≠0
X= 0.5 es la raíz
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (ALGEBRAICAS)
a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2+ a33 x3 + ... a3n xn = b3
.
. . .
. . . .
. . . .
am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm
Ax= B
Donde:
A = es la matriz de coeficiente
b = es el vector del coeficiente

64. X = es el vector de solución
Determinados (solución única)
Consistentes
Solución de Indeterminados (familia de soluciones)
Sistemas de
Ecuaciones
Lineales
Inconsistentes (no tiene solución)
x y y
x + y = 10
-10 20 -13
x–y=3
0 10 -3
10 0 7
y= 10 – x
x=3+y
(-10, -20)
20
18
16
14
12

65. 10
(0, 10) 8 (10, 7)
6
4 (10, 0)
2
-2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-4
-6 (0, -3)
-8
-10
-12
-14
(-10, -13)
x=3+y x = 3 + 3.5
y = 10 – (3 + y ) x = 6.5
y= 10 – 3 – y
2y = 7
Y = 7/2 = 3.5
MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales
transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el triángulo
inferior “ceros”.
Matriz Identidad:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo Superior
Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de
proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices.
1) Intercambiar filas.

66. 2) Dividir entre un escalar.
3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.
Ejemplo:
*Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2
3x + 4y = 3
x + 5y = 7
= = =
F2 F1 F1(-3)+F2 F2(-1/11)
y = 18/11 verificación:
x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7
x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7
x = -13/11 77/11 = 7
7=7
3x1 + 6x2 – 2x3 = 11
x1 + 0x2 + 4x3 = 9
4x1 + 3x2 – 5x3 = -5
= = =
F1 F2 F1(-3)+F2 F2(1/6)
F1(-4)+F3
= =
F2(-3)+F3 F3(-1/14)

67. x3 = 33/14
x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42
x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7
Verificación:
x1 + 0x2 + 4x3 = 9
-3/7 + 132/14 = 9
-3/7 + 66/7 = 9
63/7 = 9
9=9
Sistema de Ecuaciones 4 x 4:
20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30
-x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40
x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40
-x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50
20 1 -4 1 30 1 1 -32 -1 40
-1 -30 3 -1 40 = -1 -30 3 -1 40
1 1 -32 -1 40 20 1 -4 1 30
-1 -1 -2 -25 50 -1 -1 -2 -25 50
F1 <-> F3 F1 (1) + F2
F1 (-20) + F3
F1 (1) + F4
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40

68. 0 -29 -31 -2 80 = 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 -21 636 21 -770 0 -21 636 21 -770
0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90
F2 (-1/29) F2 (21) + F3
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40
0 1 31/29 2/29 -80/29 = 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 0 19095/29 651/29 -24010/29 0 0 1 217/6365 -4802/3819
0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90
F3(29/19095) F3(34)+F4
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40
0 1 31/29 2/29 -80/29 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 0 1 217/6365 -4802/3819 = 0 0 1 217/6365 -4802/3819
0 0 0 -26 90 0 0 0 1 -90/26
F4(-6365/158112)
-158112/6365 506978/3819
x4 = 1267445/237168 x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40
x3 = -770 -97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40
x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58 -5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 –
x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4 42050/232 = 40
9280/232 = 40
40 = 40
Verificación:
*Otro ejemplo:
X1 + 10X2 - X3 = 10
X1 - 2X2 + 10X3 = 12
10X1 + 3X2 + X3 = 14
= = =
F1(-1)+F2 F2(-1/12) F2(97)+F3
F1(-10)+F3

69. =
F3(-12/935)
X3 = 1226/935
X2 – 11/12 X3 = -1/6
X1 + 10X2 – 1X3 = 10
X2 – 11/12(1226/935) = -2/12 X1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
X2 – 613/510 = -2/12 X1 + 176/17 – 1226/935 = 10
X2 = -1/6 + 613/510 X1 = 10 – 176/17 + 1226/935
X2 = 88/85 X1 = 896/935
896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
PROBLEMA CORRECTO
2X1 + 3X2 – 5X3 = -3
4X1 – X2 – 2X3 = -12
-3X1 + 10X2 - 5X3 = 11
= = =
F1(1/2) F1(-4)+F2 F2(-1/7)
F1(3)+F3

70. F2(-29/2)+F3 F3(14/57)
X3= -83/57
X2 - 8/7X3 = 6/7
X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2
X2 – 8/7(-83/57) = 6/7 X1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
X2 + 664/399 = 6/7 X1 – 23/19 + 415/114 = -3/2
X2 = 6/7 – 664/399 X1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57
X2 = -46/57
-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
-224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2
PROBLEMA CORRECTO
MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (MATRIZ AUMENTADA)
X1 + 2X2 – X3 = 10
X1 – X2 + 3X3 = 5
3X1 + X2 – 4X3 = 3
1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0
1 -1 3 5 0 1 0 = 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =
3 1 -4 3 0 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1
F1(-1) + F2 F2(-1/3) F2(-2) + F1
F1(-3) + F3 F2(5) + F3

71. 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0
= 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 =
0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/3 1 0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23
F3(-3/23) F3(-2/3) + F1
F3(4/3) + F2
1 0 0 60/23 1/23 7/23 5/23
= 0 1 0 113/23 13/23 -1/23 -4/23
0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23
X1 = 60/23
X2 = 113/23
X3 = 56/23
PROBLEMA CORRECTO
PROBLEMAS DE LAS HOJAS:
4x1 – 8x2 = -24
X1 + 6x2 = 34
4 -8 -24 1 0 1 6 34 0 1
1 6 34 0 1 = 4 -8 -24 1 0 =
F1 F2 F1 (-4)+ F2
1 6 34 0 1 1 6 34 0 1
0 -32 -160 1 -4 = 0 1 160/32 -1/32 4/32 =

72. F2 (-1/32) F2 (-6) + F1
1 0 4 -6/32 -24/32
0 1 5 -1/32 4/32
X1 = 4
X2 = 5
-1.1X1 + 10X2 = 120
-2X1 + 17.4X2 = 174
-1.1 10 120 1 0 = 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =
-2 17.4 174 0 1 -2 17.4 174 0 1
F1 (-1/1.1) F1 (2) + F2
1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 =
0 -0.7818 -44.1818 -1.8181 1

73. F2 (-1/.7818)
1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 = 1 0 404.6623 20.2309 -11.627
0 1 56.5129 2.3254 -1.279 0 1 56.5129 2.3254 -1.279
F2 (9.0909) + F1
X1 = 404.6623
X2 = 56.5129
0.5X1 – X2 = -9.5
1.02X1 – 2X2 = -18.8
0.5 -1 -9.5 0 1 1 -2 -19 2 0
1.02 0.04 -18.8 0 1 = 1.02 -2 -18.8 0 2 =
F1 (2) F1 (-1.02) + F2
1 -2 - 19 2 0 1 -2 -19 2 0
0 0.04 0.58 2.04 2 = 0 1 14.5 51 50 =

74. F2 (1/0.04) F2 (2) + F1
1 0 10 104 100
0 1 14.5 51 50
X1 = 10
X2 = 14.5
10X1 + 2X2 – X3 =27
-3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5
X1 + X2 + 5X3 = -21.5
10 2 -1 27 1 0 0 1 1 5 -21.5 0 0 1
-3 -6 2 -61.5 0 1 0 = -3 -6 2 -61.5 0 1 0 =
1 1 5 -21.5 0 0 1 10 2 -1 27 1 0 0
F1 F3 F1 (3) + F2 F1 (-10) + F3

75. 1 1 5 - 21.5 0 0 1 1 1 5 -21.5 0 0 1
0 -3 17 -126 0 1 3 = 0 1 -17/3 42 0 -1/3 1 =
0 -8 -51 242 1 0 0 0 -8 -51 242 1 0 0
F2 (-1/3) F2 (-1) + F1 F2 (8) + F3
1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2 1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2
0 1 -17/3 42 0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42 0 -1/3 -1
0 0 -289/3 578 1 -8/3 -8 0 0 1 -6 -3/289 8/289 24/289
F3 (-3/289) F3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F1
1 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289 X1 = 0.5
0 1 0 8 -1/17 -3/17 - 9/17 X2 = 8
0 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289 X3 = -6
8x1+2x2-2x3=-2
10x1+2x2+4x3=4
12x1+2x2+2x3=6
8 2 -2 -2 1 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
10 2 4 4 0 1 0 = 10 2 4 4 0 1 0 =
12 2 2 6 0 0 1 12 2 2 6 0 0 1
F1(1/8) F1(-10)+F2
F1(-12)+F3

76. 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1
F2(2/1) F2(1/4)+F1
F2(1)+F3
1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0
0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8
F3(-1/8) F3(-3)+F1
F3(13)+F2
1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 3/2 x2=-13/2 x3 = 1/2
0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8
0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8
2x1-6x2-x3=-38
-3x1+x2+7x3=-34
-8x1+x2-2x3=-20
2 -6 -1 -38 1 0 0 1 -3 -1/2 -19 1/2 0 0
-3 -1 7 -34 0 1 0 = -3 -1 7 34 0 1 0 =
-8 1 - 2 20 0 0 1 8 1 -2 -20 0 0 1
F1(1/2) F1(3)+F2
F1(8)+F3

77. 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0
0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1
F2(2/1) F2(1/4)+F1
F3(1)+F3
1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0
0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 ½ 1/8 1/4 -1/8
F3(-1/8) F3(-3)+F1
F3(13)+f2
1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 4 x2=8 x3 = -2
0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8
0 0 1 1/2 -1/8 1/4 -1/8

78. METODO DE GAUSS SEIDEL
2x1 – 6x2 + x3 = 12 x1 = (12 + 6x2 - x3)/2
-x1 + 7x2- x3 = -8 x2 = (-8 + x1 + x3)/7
x1- 3x2 + 2x3 = 16 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2
{0, 0, 0}
x1 = (12 + (6*0) -0)/2
x1 = 6

79. x2 = (-8+6+0)/7 x3 = (16-6+(3*-0.28))/2
x2 = -0.28 x3 = 4.58
{6, -0.28, 4.58}
x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2
x1 = 2.87
x2 = (-8+2.87+4.58)/7 x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2
x2 = -0.07 x3 = 6.46
Ep = | (6-2.87)/6 | Ep = 0.521
{2.87, -0.07, 6.46}
x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2
x1 = 2.56
x2 = (-8+2.56+6.46)/7 x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2
x2 = 0.14 x3 = 6.93
Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 | Ep = 0.121
{2.56, 0.14, 6.93}
x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2
x1 = 2.95
x2 = (-8+2.95+6.93)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2
x2 = 0.26 x3 = 6.91
Ep = | (2.95-2.56)/2.95 | Ep = 0.13

80. {2.95, 0.26, 6.91}
x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2
x1 = 3.32
x2 = (-8+3.32+6.9)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2
x2 = 0.31 x3 = 6.97
Ep = | (3.32-2.95)/3.32 | Ep = 0.111
{3.32, 0.31, 6.97}
x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2
x1 = 3.44
x2 = (-8+3.44+6.97)/7 x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2
x2 = 0.34 x3 = 6.7
Ep = | (3.44-3.32)/3.44 | Ep = 0.03
{3.44, 0.34, 6.7}
x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2
x1 = 3.67
x2 = (-8+3.67+6.7)/7 x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2
x2 = 0.33 x3 = 6.66
Ep = | (3.67-3.44)/3.67 | Ep = 0.05
{3.67, 0.33, 6.66}
x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2

81. x1 = 3.66
x2 = (-8+3.66+6.66)/7 x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2
x2 = 0.33 x3 = 6.66
Ep = | (3.66-3.67)/3.66 | Ep = 0.001
X1 = 3.66
x2 = 0.33
x3 = 6.66
PROBLEMA CORRECTO
POR MEDIO DE GAUSS
2x1-6x2+x3=12
-x1+7x2-x3=-8
X1-3x2+2x3=16
2 -6 1 12 1 -3 2 16
-1 7 -1 -8 -1 7 -1 -8
1 -3 2 16 2 -6 1 12

82. F1-- F3 F1(1)+F2
F1(-2)+F3
1 -3 2 16 1 -3 2 16
0 4 1 8 0 1 ¼ 2
0 0 -3 -20 0 0 -3 -20
F2(1/4) F3(-1/3)
1 -3 2 16
0 1 ¼ 2
0 0 1 20/3
X3=20/3 x2=2-1/4(20/3) X1=11/3
X2+1/4+3=2 x2= 2 -20/12->5/3 X2=1/3
X1-3x2+2x3=16 x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 X3=20/3
Por Metodo De Gauss – Seidel
X1=12x+6x2-x3 0, 0, 0
2
X2= -8+x1+x3
7
X3=16-x1+3x2
2
X1=(12+6(0)-0)/2= 12/2=6 X2=(-8+6+0)/7=2/7 =-0.2857

83. X3=(16-6+3(-0.2857))/2=9/2=4 X1=(12+6(0.2857)-(4))/2= 6/2=3
X2=-(8+3+4)/7=1/7 =-0.1428 X3=(16-3+3(-0.1428))/2=13/2=7
3-6 =1
3
X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2 X2=(-8+2+4)/7=1/7 =0.1428
X3=(16-2+3(0.1428))/2=14/2=7
X1=(12+6(0.1428)-(7))/2= 5/2=2.5 X2=(-8+2.5+7)/7=1.5/7 =0.2142
X3=(16-2.5+3(0.2142))/2=15/2=7.5
2.5-2 =0.25
2.5
X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857
X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7
X1=(12+6(0.2142)-(7))/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857
X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7
3-3 =0
3

84. X1+X2+6X3=8
X1+5X2-X3=5
4X1+2X2-2X3=4
1 1 6 8 1 1 6 8
1 5 -1 5 0 4 -7 -3
4 2 -2 4 0 -2 -26 -28
F1(-1)+F2 F2(1/4)
F1(-4)+F3

85. 1 1 6 8 1 0 31/4 35/4
0 1 -7/4 -3/4 0 1 -7/4 -3/4
0 -2 -26 -28 0 0 -59/2 -59/2
F2(-1)+F1 F3(-2/59)
F2(2)+F3
1 0 31/4 35/4 1 0 0 1
0 1 -7/4 -3/4 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
F3 (-31/4)+F1 x1=1
F3 (7/4)+F2 x2=1
X3=1
ESCUELA PREPARATORIA
“JOSÉ DE ESCANDÓN”
NOMBRE: HANNELORE GOVELA CONTRERAS
MATERIA: CÁLCULO NUMÉRICO

86. MAESTRO: ING. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA
APUNTES DEL CUADERNO
6°SEMESTRE “B”
29 DE MAYO DEL 2012