revisión de algunos métodos numéricos

2. Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan
resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen
muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una
característica común: invariablemente requieren de un buen
número de tediosos cálculos aritméticos.
El Análisis Numérico es una rama de
las matemáticas que, mediante el uso
de algoritmos iterativos, obtiene
soluciones numéricas a problemas en
los cuales la matemática simbólica (o
analítica) resulta poco eficiente o no
puede ofrecer un resultado. En
particular, a estos algoritmos se les
denomina métodos numéricos

3. Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de
problemas:
1. Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o analíticos.
Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento
de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analíticas sólo pueden encontrarse para una clase
limitada de problemas. Éstos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y
también aquellos que tienen una geometría simple y de baja dimensión. En consecuencia, las
soluciones analíticas tienen un valor práctico limitado porque la mayoría de los problemas reales son
no lineales, e implican formas y procesos complejos.
2. Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los sistemas,
usualmente gráficas o monogramas, las cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas; aunque
las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son
muy precisos. Además, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo
tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a los problemas
que puedan describirse usando tres dimensiones o menos.
3. Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras y reglas de
cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para
resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los
cálculos manuales son lentos y tediosos. Además, los resultados no son consistentes, ya que surgen
equivocaciones cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.

5. Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han
llevado a una verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos.
Vale la pena mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de bajo costo ha
permitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de cómputo. Además, existen
diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos:
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de
manipular grandes sistemas de ecuaciones, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas,
comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica. Por lo
tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.
En el transcurso de su carrera, es posible que usted tenga la oportunidad de utilizar paquetes
disponibles comercialmente, o programas “en caja negra” que contengan métodos numéricos. El uso
eficiente de estos programas depende del buen entendimiento de la teoría básica en que se basan tales
métodos.

6. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas “en caja negra”. Si
usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil en la programación de
computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para
resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso.
Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras.
Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programación consiste en escribir programas
de computadora. Debido a que la mayoría de los métodos numéricos están diseñados para
implementarlos en las computadoras, son ideales para tal propósito. Además, son especialmente
adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle
en forma satisfactoria los métodos numéricos en computadora y los aplique para resolver los
problemas que de otra forma resultarían inaccesibles, usted dispondrá de una excelente
demostración de cómo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo,
aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los
cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, ya que
una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas,
de esta forma se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta
perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de comprensión y entendimiento en
la materia.

7. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
(FEM)
Es un método numérico para solucionar
problemas de ingeniería y física
matemática. Se aplica a distintas
disciplinas de la ingeniería, como
estructural, térmica y electromagnética.
Es un método numérico que pasa los
límites de los problemas que se
resuelven con soluciones analíticas,
siendo adecuado para tratar problemas
con geometrías, cargas y propiedades de
materiales complejos.

8. si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el
cálculo integral para resolver la ecuación
Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático
fijo. Aplique la ecuación para calcular la velocidad antes de que se abra el
paracaídas. Considere que el coeficiente de arrastre es igual a 12.5 kg/s.

9. Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación se obtiene
De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera
rápidamente. Se alcanza una velocidad de 44.92 m/s
después de 10 s.
Observe también que, después de un tiempo
suficientemente grande, alcanza una velocidad constante
llamada velocidad terminal o velocidad límite de 53.44 m/s.
Esta velocidad es constante porque después de un tiempo la
fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia
del aire. Entonces, la fuerza neta es cero y cesa la
aceleración.
¡¡¡solución analítica o
exacta!!!

10. Por desgracia, hay muchos modelos matemáticos que no pueden
resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la única
alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se
aproxime a la solución exacta.
los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el
problema matemático para lograr resolverlo mediante
operaciones aritméticas.

11. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo anterior, pero usando la ecuación para obtener
la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo.

13. Recuerde que la velocidad de caída del paracaidista se determinó por
métodos analíticos y numéricos.
Una aproximación es un valor cercano a uno considerado como real o
verdadero. Esta cercanía, diferencia, se conoce como error.
Aunque con la técnica
numérica se obtuvo una
aproximación a la solución
analítica exacta, hubo cierta
discrepancia o error, debido
a que los métodos numéricos
dan sólo una aproximación.

14. En realidad fuimos afortunados en este caso porque teníamos la solución analítica
que nos permitía calcular el error en forma exacta. Pero en muchos problemas de
aplicación en ingeniería no es posible obtener la solución analítica; por lo tanto, no
se pueden calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos. En
tales casos debemos usar aproximaciones o estimaciones de los errores.
Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil, si no imposible,
alcanzarla. Por ejemplo, a pesar de que el modelo obtenido mediante la segunda ley
de Newton es una aproximación excelente, en la práctica jamás predecirá con
exactitud la caída del paracaidista.
las preguntas son:
¿qué tanto error se presenta en los cálculos?, y ¿es tolerable?

15. Antes de analizar los errores asociados con los métodos numéricos, es útil repasar
algunos conceptos básicos referentes a la representación aproximada de los números
mismos.
Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que
pueda usarse con confianza.
Con un simple vistazo al velocímetro se observa
que el vehículo viaja a una velocidad comprendida
entre 48 y 49 km/h.
Sin embargo, supongamos que se desea obtener
una cifra decimal en la estimación de la velocidad.
En tal caso, alguien podría decir 48.8, mientras
que otra persona podría decir 48.9 km/h. Por lo
tanto, debido a los límites del instrumento,
únicamente se emplean con confianza los dos
primeros dígitos.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS

16. Máquinas
Materiales
Métodos
Medición
Medio Ambiente
Mentes
P
R
O
C
E
S
O
6 M’S

17. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el
estudio de los métodos numéricos.
1. Como se mencionó en el problema de la caída del paracaidista, los métodos
numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios
para especificar qué tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es
en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la
aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras
significativas.
2. Aunque ciertas cantidades como pi o e representan cantidades específicas, no se
pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. Por ejemplo,
pi = 3.141592653589793238462643...
hasta el infinito. Como las computadoras retienen sólo un número finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión
del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

18. La precisión se refiere a qué
tan cercanos se encuentran,
unos de otros, diversos
valores calculados o
medidos.
Los agujeros en cada blanco de la figura se
consideran como las predicciones con una
técnica numérica; mientras que el centro del
blanco representa la verdad.
La exactitud se refiere a qué
tan cercano está el valor
calculado o medido del valor
verdadero.

19. Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y
cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que resultan del
empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo
que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para
representar números exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto,
o verdadero, y el aproximado está dada por
Valor verdadero = valor aproximado + error
error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir
Et = valor verdadero – valor aproximado

20. Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración el orden de la
magnitud del valor que se estima.
Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un
remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las
cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es
decir
donde et denota el error relativo porcentual verdadero.

21. Planteamiento del problema.
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene
9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el
error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.
a) El error en la medición del puente es
Et = 10 000 – 9 999 = 1 cm
y en la del remache es de
Et = 10 – 9 = 1 cm

22. En las situaciones reales a veces es difícil contar con tal información. En los
métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se tengan
funciones que se resuelvan analíticamente.
Éste comúnmente será el caso cuando se estudie el comportamiento teórico
de una técnica específica para sistemas simples. Sin embargo, en muchas
aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verdadera. Entonces
en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor
estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación
misma, como en

23. Uno de los retos que enfrentan los métodos numéricos es el de determinar
estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores
verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo
para calcular los resultados. En tales métodos se hace una aproximación
considerando la aproximación anterior. Este proceso se efectúa varias veces, o
de forma iterativa, para calcular en forma sucesiva, esperando cada vez
mejores aproximaciones. En tales casos, el error a menudo se calcula como la
diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error
relativo porcentual está dado por
En tales casos, los cálculos se repiten hasta que

24. expansión en series de Maclaurin.

26. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para
representar las operaciones y cantidades matemáticas.
Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores
de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números
exactos.
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta
(utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de
medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los
cálculos:

28. Se quiere medir el voltaje de una fuente de alimentación y se obtiene un
valor de 123.4V, si se sabe que el valor verdadero es de 125V, se tiene:

29. Cuando una computadora no puede representar
cantidades específicas se presenta un Error de Redondeo
Esto ocurre especialmente cuando se tienen valores con
una cantidad de cifras significativas que van hasta el
infinito

30. Por ejemplo al calcular el valor de 1/3, tenemos que
quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que
maneje nuestro instrumento de calculo.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
• Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que
no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.
• Error de redondeo superior: este caso tiene dos
alternativas según el signo del número en particular:

31.  Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una
aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.
 Por ejemplo, la derivada de la velocidad de caída de un paracaidista
mediante una ecuación en diferencias finitas divididas de la forma
Se presentó un error de truncamiento en la solución numérica, ya que
la ecuación en diferencia sólo se aproxima al valor exacto de la
derivada. Para obtener un conocimiento sobre las características de
estos errores, debe considerar una formulación matemática que se
utiliza ampliamente en los métodos numéricos para expresar
funciones de manera aproximada: la serie de Taylor.

32.  El método de Euler es el mas simple de los métodos numéricos para
resolver un problema de valor inicial del tipo:
 El método consiste en dividir el intervalo que va de x0 a xt en n
subintervalos de ancho:

33.  De manera que se obtiene un conjunto discreto de (n+1) puntos: x0, x1, x2,…xn del
intervalo de interés [x0,xf]para cualquier de estos puntos se cumple que

42. Para obtener una exactitud razonable se utiliza
un intervalo muy pequeño, a cambio de un error
de redondeo mayor ( ya que se realizarán mas
cálculos)
El método de Euler modificado trata de evitar
este problema utilizando un valor promedio de
la derivada tomada en los dos extremos del
intervalo, en lugar de la derivada tomada en un
solo extremo.

47. Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el
cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es
fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.
El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita: