El documento describe los métodos numéricos y su evolución con la llegada de las computadoras. Antes de las computadoras, los ingenieros solo podían usar métodos analíticos, soluciones gráficas o cálculos manuales para resolver problemas, los cuales tenían limitaciones. Con las computadoras, se pueden implementar métodos numéricos de forma más efectiva usando programación. Los programas dirigen a la computadora para realizar tareas numéricas como modelar sistemas mediante ecuaciones y series de Taylor y calcular errores.
1. Modelos, computadoras y analisis de error
Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible
formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando
operaciones aritmeticas.
Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una
caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos
calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de
problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos
años.
Métodos sin computadora
Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad
creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de
manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes
de la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para
la solución de problemas.
1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos
y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión
excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones
analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos
incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también
aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En
consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la
mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos
complejos.
2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones
graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas
graficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no
son muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una
computadora son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las
técnicas graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando
3 dimensiones o menos.
3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de
cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas
adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban
varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
2. Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando
se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
La era antes de las computadoras La era de las computadoras
Formulación: leyes Formulación: exposición
fundamentales profunda de la relación
explicadas brevemente. del problema con las
leyes fundamentales
Solución: métodos muy
elaborados y con Solución: método de la
frecuencia complicados computadora fácil de
para hacer manejable el usar
problema
Interpretación: la facilidad
Interpretación: análisis de calcular permite
profundo limitado por una olisticamente y desarrollo.
solución que consume La intuición; es factible
tiempo estudiar la sensibilidad y
comportamiento de los
sistemas.
Modelo matemático y solución de problemas
El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de
cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por
ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja
de herramientas sea la más completa.
Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver
problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son
prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de
ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo
estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y
experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos
de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general
puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el
conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de
3. ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis
teórico.
Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen
nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse
otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios que
se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un
sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones.
Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun
más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.
Un modelo matemático simple
Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o
una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de
un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa
mediante una relación funcional de la forma:
Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de
fuerza)
Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo
común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se
determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las
propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias
externas que actúan sobre el sistema.
Programación y software
Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para
predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso
y tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos
pueden realizarse fácilmente.
Programas computacionales
Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que
dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que
escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto
nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.
4. Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de
capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a
una ingeniería.
Programación estructurada
En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha
importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin
embargo ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados.
Algoritmo
Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se
nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos
y decisiones que normas a tomar para la solución del problema característicos.
Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:
Las acciones deben definirse sin ambigüedad
Puede tener entrada.- una o varias entradas
Salida: puede tener una o varias salidas
Efectividad.- todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para
que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga
lápiz y papel.
Errores accidentales
Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas
Error de truncamiento
Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se
toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de
truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en
cuenta los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos
perdidos.
Error de redondeo interior
5. Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de
memoria correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede
considerarse como un truncamiento).
Este caso tiene dos alternativas
a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la
localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito
despreciado es mayor o igual que el 5.
b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria
se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a
5.
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.
y= valor real
y*= valor aprox.
ly = 1y-y*1
Error Relativo
Es el cociente del error absoluto entre el valor real
Ry= ey error absoluto /y
Ry= y-y*
Para todo y diferente a cero.
Ejemplos numero 1, serie de Taylor
cos x
= 0.8775825619 valor real
Aplicando la serie Taylor
n=0 = 1 valor aprox.
7. Calcular el cos 0.5 Rad. Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para las
interacciones:
n=1
n=2
n=3
n=4
Calcular el error absoluto, el error relativo
- serie de Taylor cos x =
- = -0.125
0.5 = 0.87500000 valor aproximado
ey= |y-y*|= |0.87758256- 0.87500000|= 0.00258256 error absoluto
Erry = = 0.00294281
Cos x= |-0.125 + 0.00260416= 0.87760416 + (-0.00002170) = 0.87758246
Cos (0.5) = 0.87758256
n=2 = = = = 0.00260416
ey= |y-y*|
ey= |0.87758256 – 0.87760416|
ey= 0.00002160
ry= | |=
ry= = = 0.00002462
8. n=3
Valor real = .87758256
n=3 = = = -0.00002170
ey= |y-y*|
ey=|0.87758256 - 0.87758246|
ey= 0.00000010
ry= | |=
ry= = 0.00000011
n=4
x=0.5
y=0.87758256
y*= = = = 0.0000009
ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758255 = 0.00000001
ry= = = 0.00000001
- Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor
- Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
14. Calcular para x=0.7 n=1, n=2, n=3, n=4
Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo
ln(x+1)=(-1)^n-1 ^n
para n=0
ln(0.7+1)=0.53062825 valor real
Valor aprox. (-1)^0-1 ^ 0 =(-1)^-1 = ^1 = -1
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175
Error relativo ry= = = 0.88455854
para n=1
Valor aproximado ^1= = -1 + 0.7 = -0.30000000
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825
Error relativo ry= = = 0.43463244
para n=2
Valor aproximado (-1) ^2-1 ^2= = -0.245-0.30000000=-0.54500000
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-
Error relativo ry= = = 0.53828316
para n=3
Valor aproximado (-1) ^3-1 ^3= = -0.11433333-0.245= -0.13066667
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158
15. Error relativo ry= = = 0.75375101
para n=4
Valor aproximado (-1) ^4-1 ^4 = = -0.060025-0.13066667= -0.019069167
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658
Error relativo ry= = = 0.64063038
Relación de Newton
Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su formula es la sig:
Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado.
Ø
Intervalo donde existen raíces positivas
*Ejemplo:
Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.
Para f(x) =
a1 = 1
a2 = -2.0374
a3 = -15.4245
a4 = 15.6696
16. Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton
f(x) =
f(x) =
f(x)=
f(x)=
a1 = 1
a2 = -5
a3 = -2
a4=76
a=1
a2=-25
a3=164
a4=-320
17. a1 = 1
a2 = -2
a3 = 8
a4 = -4
Calcular las raíces positivas de la sig. Función
Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12
a1= 1
a2= -5
a3= -12
= = 0. 58333333
18. X f(x)
Xa 0 -79
Xa+h 0.58333333 -39.62668808
Xa+2h 1.16666666 -12.75386825
Xa+3h 1.74999999 -0.16796885
Xa+4h 2.33333332 -0.87654307
Xa+5h 2.91666665 -11.10816899
Xa+6h 3.49999998 -24.31249960
Xa+7h 4.08333331 -31.16025271
Xa+8h 4.66666664 -19.54321105 >Raíz positiva
Xa+9h 5.24999997 25.42577779
Xa+10h 5.83333330 121.4128013
Xa+11h 6.41666663 288.8628822
Xa+12 6.99999996 550.9999782
Calcular las raíces positivas de las sig. funciones.
f(x) =
a) Calcular
b) Calcular los intervalos
c) Calcular los subintervalos para n = 12
d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de
Descartes
=17.23368784
a1= 1
a2 =-25
a3=164
19. X f(x)
Xa 0 -320
Xa+h 1.43614066 -133.0733915
Xa+2h 2.87228132 -31.49954221 >Raíz positiva
Xa+3h 4.30842198 2.49378860 >Raíz positiva
Xa+4h 5.74456264 -13.32115847
Xa+5h 7.18070330 -61.17214280
Xa+6h 8.61684396 -123.2869238
Xa+7h 10.05298462 -181.8932607
Xa+8h 11.48912528 -219.2189131
Xa+9h 12.92526594 -217.4916401
Xa+10h 14.36140660 -158.9392014
Xa+11h 15.79754726 -25.78935606
>Raíz positiva
Xa+12h 17.23368792 199.7301364
a) Calcular Xrmax
b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13
c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la
posible raíz
a1= 1
a2= -3
a3= -1
20. x f(x)
Xa 0 -5
Xa+h .27735010 -0.27232758
>Raíz positiva
Xa+2h .55470020 3.84646954
Xa+3h .83205030 7.18538590
Xa+4h 1.10940040 9.71542788
Xa+5h 1.38675050 11.54961370
Xa+6h 1.66410060 12.94297339
Xa+7h 1.94145070 14.29254886
Xa+8h 2.21880080 16.13739383
Xa+9h 2.49615090 19.15857386
Xa+10h 2.77350100 24.17916636
Xa+11h 3.05085110 32.16426057
Xa+12h 3.32820120 44.22095757
Xa+13h 3.60555130 61.59837029
Método de bisección, método del medio intervalo, búsqueda binaria.
Para xa ≤ x ≤ xb
Xm =
f (xm) * f (xb)
| ≤ Ep
Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de
búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun
mas a la raíz localizada.
Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz
será determinada, El procedimiento es el sig.:
21. 1.-Se determina el punto medio del intervalo
Xm =
2.-Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos
indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz entre
xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y la raíz debe
encontrarse entre xa y xm.
3.-Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a repetir el
procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con la precisión
deseada aplicando la formula .
f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0
Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189
xm = |(xa+xb)/2|
xa (xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001
2.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.718
-
3.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221 0.64194669 2.4937886 0.179
3.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.085
3.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.044
-
3.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669 0.11612114 0.4498886 0.024
3.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.012
3.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.006
3.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.003
3.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001
24. MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Xn=xa+δ
E F(xb)
δ Xa ≤ x ≤ xb
XA XN
Razón T.T
C B XB
=
A F(xa) D
Xb-xa
Criterio + (positiva) xa ≤ x ≤ xn
F(xn)*f(xb)=
-(negativo) xn ≤ x ≤ xb
26. Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa
posición, calcule las interacciones cuando n = 12
F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 a1=-0.1 a2=-0.15 a3=-0.5
Xrmax (a2/a1)2- 2 (a3/a1) Xrmax (-0.15/-0.1)2- 2 (-0.5/-0.1) =
x f(x)
-5 -53.80000000
-4.5 -35.13750000
-4 -21.80000000
-3.5 -12.62500000
-3 -6.60000000
-2.5 -2.86250000
-2 -0.70000000
-1.5 0.45000000
-1 1.00000000
-0.5 1.21250000
0 1.20000000
0.5 0.92500000
1 0.20000000
1.5 -1.31250000
2 -4.10000000
2.5 -8.80000000
3 -16.20000000
3.5 -27.23750000
4 -43
4.5 -64.72500000
5 -93.80000000
27. F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 intervalos = -2 < x < -1.5
d = f (xb)*(xa-xb) ep = xn – (xn - 1)
f (xa)- f (xb) xn
n xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep
1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------
2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.02021321
3 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.01811123
4 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997
Método Newton – Raphson
M = y2 – y1 -xn+1 = f (xn) - xn
X2 – x1 f ´ (xn)
M = f (xn)- f (xn + 1) xn + 1 = xn - f (xn)
xn – xn +1 f ´ (xn)
f ´(x) = f (xn) ep = xn+1 – xn
xn - xn+1 xn + 1
xn – xn+1 = f (xn)
f ´(xn)
28. f(xb)
f(x) xa < x < xb
xa xb
xn+1
m
f(xa)
Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si
dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn intersectaran el eje x en un valor
xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la
tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto
n xn - xn + 1
Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la
siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con
d f´(xn)
Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos
hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor
que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.
f(x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0
f(x) =3x2 - 50x + 164 = 0
n Xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.15696381
2 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.05646766
3 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.01262333
4 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.00069120
5 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.00000207
6 4.00000000 0 12 0 4 0
35. 2. Calcular las raices de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa
posición
Intervalo= 0<x<0.5
n xa Xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep
1 0 0.5 -2 0.375 0.07894737 0.42105263 0.01312145
2 0 0.42105263 -2 0.01312145 0.0027444 0.41830823 0.01312145 0.00656071
3 0 0.41830823 -2 0.00092207 0.00019277 0.41811546 0.00092207 0.00046104
4 0 0.41811546 -2 0.00006592 0.00001368 0.41810168 0.00006592 0.00003296
5 0 0.41810168 -2 0.00000472 0.00000099 0.41810069 0.00000472 0.00000257
6 0 0.41810069 -2 0.00000034 0.00000007 0.41810062 0.00000034 0.00000017
7 0 0.41810062 -2 0.00000002 0.00000001 0.41810062 0.00000002 0
El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del
polinomio p(x). Dado un punto xdk evalúa p(xk) y p’(xk) mediante división
sintética cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división
sintética y continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite
hasta encontrar la raíz del polinomio.
Ejemplo:
P(x)= x3-2x3-5x+6 valor inicial 0.8333
X1=xk- p(xk)/p’(xk)
División sintética
1 -2 -5 6
0.8333 0.8333 0.9722 -4.9766
1 -1.1667 -5.9722 1.0234
0.8333 -0.2778
1 -0.3333 -6.25
X1=0.8333-1.0234/(-6.2500)=0.997044
X1=0.997044=xk
44. 1 -25 164 -320
16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305
1 -8.99999 20.000008 0.001305
Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio
P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10
-Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6
de .6 en .6
-Encontrar las raíces utilizando el método de Birge-vieta
x f(x)
-4 414
-3.4 204.15
-2.8 77.62
-2.2 11.86
-1.6 -12.56
-1 -12
-0.4 0.34
0.2 14.36
0.8 23.04
1.4 22.52
2 12
2.6 -6.21
3.2 26.48
3.8 40.64
4.4 36.52
5 0
5.6 87.2
48. Calcular las raíces del siguiente polinomio:
P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12
a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes
para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5
b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta
c) Realizar la grafica del polinomios
X F(x)
-5 28028
-4.7 18325.49857
-4.4 11441.73363
-4.1 6706.626212
-3.8 3573.483008
-3.5 1603.25
-3.2 449.815808 -3.2
-2.9 -153.635188
-2.6 -407.219968
-2.3 -455.904232
-2 -400
-1.7 -304.613452
-1.4 -218.043008
-1.1 -129.127648
-0.8 -73.545472
-0.5 -39.0625
-0.2 -19.731712
0.1 -9.042328
0.4 -2.019328 0.4
0.7 3.726788
1 8
1.3 9.068528
1.6 5.764352
1.9 0.632492
2.2 4.130048
2.5 39.875
2.8 150.944768
3.1 407.224532
3.4 913.805312
3.7 1820.431808
4 3332
4.3 5720.104508
4.6 9335.635712
4.9 14622.42663
51. 2 -3 -13 29 -27 32 -12
0.4999 -0.9999 -0.9998 -6.9985 10.9985 -7.9991 11.9980
2 -2.0000 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019
X= -0.5 es la raíz
Sistema de Ecuaciones lineales (Algebraicas)
a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2+ .a33 x3 + ... a3n xn = b3
. . .
. . . .
. . . .
am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm
Ax= B
Donde:
A = es la matriz de coeficiente
b = es el vector del coeficiente
X = es el vector de solución
Determinados (solución única)
Consistentes
Solución de Indeterminados (familia de soluciones)
Sistemas de
Ecuaciones
Lineales
Inconsistentes (no tiene solución)
52. l2
l1
l1
l2
Solución Familia de soluciones
y l1
Única (x, y)
Linea Paralela
l2
x
No solucion
x y y
x + y = 10
-10 20 -13
x–y=3
0 10 -3
10 0 7
y= 10 – x
x=3+y
(-10, 20)
54. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales
transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el
triángulo inferior “ceros”.
Matriz Identidad:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo Superior
Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de
proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices.
1) Intercambiar filas.
2) Dividir entre un escalar.
3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.
Ejemplo:
Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. 2
3x + 4y = 3
x + 5y = 7
3 4 3 1 5 7 1 5 7
-> ->
1 5 7 3 4 3 0 -11 -18
F2 <-> F1 F1(-3) + F2 F2(-1/11)
1 5 7
0 1 1 7/11
y = 18/11 verificación:
x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7
x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7
x = -13/11 77/11 = 7
7=7
3x1 + 6x2 – 2x3 = 11
x1 + 0x2 + 4x3 = 9
4x1 + 3x2 – 5x3 = -5