calculo numerico y manejo de errores

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Porlamar
Análisis numéricos
Cálculo numérico y manejo de errores
Angel Mata
C.I: 26.586.585
Sección: 3C
Porlamar, junio 2016

2. INTRODUCCIÓN
Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en resultados de
medidas experimentales, por lo tanto es muy importante expresar dichos
resultados con claridad y precisión. De acuerdo a nuestra investigación errores se
define como la diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor,
también hay diferentes tipos de errores. Es en el mundo de las matemáticas
computacionales donde entenderemos la importancia que estas tienen para las
ingenierías en general; además de comprender la necesidad de optimizar los
cálculos, reducir los márgenes de errores y lo más importante reducir el costo
computacional.
Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una
alternativa para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener
soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a
suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis
numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que
resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de
los métodos es su valoración (es decir, decidir cuál método es superior para una
tarea dada). Aunque hay muchos métodos numéricos, comparten una
característica común: No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de
problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los últimos
años. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a
técnicas lentas.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está
un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos
numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan
los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con
el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas.

3. OBJETIVO TERMINAL
Analizar la diferencia entre valor exacto y aproximado, los distintos tipos de
errores que se pueden cometer cuando se programa en un computador.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Definir análisis numéricos.
2. Indicar la importancia de utilizar métodos numéricos.
3. Definir números de decimales y de máquinas.
4. Encontrar números decimales a partir de números de máquinas decimales
en bits.
5. Definir error absoluto y error relativo.
6. Calcular errores absolutos y errores relativos.
7. Calcular cotas de errores absolutos y relativos.
8. Definir fuentes básicas de errores.
9. Encontrar errores de redondeo y truncamiento.

4. Análisis Numérico
Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos
puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la
ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar
alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos"
Los métodos Numéricos han jugado un papel fundamental en el desarrollo
tecnológico actual. Su aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial.
En esta materia vamos a introducirlos al estudio y aplicación de las técnicas de
esta interesante disciplina. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos
proporcionan una alternativa para cálculos complicados.
También es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo
precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de
describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver
problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con
una precisión determinada. En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es
un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema
mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En
algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos
numéricos. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios
y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el análisis numérico
proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los
procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su
simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Importancia de utilizar métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una
manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El
objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.
Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen
la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser
aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas,
Integrales, Ecuaciones, diferenciales, Operaciones con matrices, Interpolaciones,
Ajuste de curvas, Polinomios. Los métodos numéricos se aplican en áreas como:

5. Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica, entre otros.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a
fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una
computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y
resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los principios
científicos básicos.
Números de decimales y de máquina.
Número Máquina: Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros
(0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación
binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de
representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal
exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica
primaria de las computadoras digitales usa componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada.
Número Máquina Decimal: Son aquellos números cuya representación viene
dada de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
Para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes)
tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Encontrar números decimales a partir de números de máquinas
decimales en bits.
Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios, aquí
solo se analizara uno. Naturalmente es mucho más fácil una conversión con una
calculadora científica pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente
conocer por lo menos una forma manual para hacerlo.
El método que explicara utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el
residuo como digito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.
Tomemos como ejemplo el número 43 decimales:
43/2= 21 y su residuo es 1

6. 21/2= 10 y su residuo es 1
10/2= 5 y su residuo es 0
5/2= 2 y su residuo es 1
2/2= 1 y su residuo es 0
1/2= 0 y su residuo es 1
Armando el número de abajo hacia arriba tenemos que el resultado binario es
101011.
Error absoluto y error relativo.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado
como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al
valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas
que las de la medida.
El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la
misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al
medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual
que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto)
porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.
Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las
siguientes:
Una medida se debería repetir tres o cuatro veces para intentar neutralizar el error
accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética
simple de los resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas
y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el
valor tomado como exacto (la media aritmética).
Ej: En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km, 300 m.
¿Qué error relativo es mayor?. Respuesta: son iguales

7. Cálculos de errores absolutos y errores relativos.
Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes
alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
Valor que se considera exacto:
Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Ejemplo 2. Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:
a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.
b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.
a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %
b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %
Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error
relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la
aproximación es menos precisa.
Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:
Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.
Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013. Es decir, el 0,13%.
Cota de errores absolutos y relativos

8. Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error
absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende
encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeña sean esas cotas
superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de
la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a,
b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta,
conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en
la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en función de cómo
satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera
entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn
no se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.
Cotas de error:
1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplo nº 1.-
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer
las siguientes aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125

9. Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en
que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro
de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en
la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante
que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar
un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una
serie).
Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de
los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:
errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de
representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación
entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor
aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev
= valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.
La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos
términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión
de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación
con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la
conexión: Aritmética de Punto Flotante
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de
máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.
Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto
significa que todos los números en un intervalo local están representados por un
solo número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n
.

10. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para
que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³
5, se agrega uno (1) a d k para obtener a flyes; esto es, redondeamos hacia arriba.
Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se
redondea así hacia abajo
Para que obtengas información, esta es la conexión:
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y,
que se representará por fl yes, se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras
decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es
simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de
pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error
involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie
infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende
directamente del sistema numérico que se emplee.