resumen de metodos numericos y errores

2. Es el conjunto de técnicas que sirven para
resolver, mediante el uso de cálculos
mecánicos (o algoritmos), problemas
matemáticos bien determinados. Cabe
aclarar que en el Cálculo Numérico no sólo
interesa saber que existe una solución para un
problema, sino que se buscan métodos para
resolver los problemas de manera efectiva y
concreta, aunque en general la solución que
se obtiene sea aproximada

3. Son técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos de tal forma
que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. Hay muchos tipos de métodos
numéricos, y comparten una característica
común: invariablemente se deben realizar un
buen número de tediosos cálculos aritméticos.

4. Pueden manejar sistemas de ecuaciones
grandes, no linealidades y geometrías
complicadas, comunes en la ingeniería.
También es posible que se utilice software
disponible comercialmente que contenga
métodos numéricos

5. Es la diferencia entre el valor de la medida y el
valor tomado como exacto. Puede ser positivo
o negativo, según si la medida es superior al
valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las
de la medida.
EA = | P* - P |

6. Es el cociente (la división) entre el error
absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por
100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.
Al igual que el error absoluto puede ser
positivo o negativo (según lo sea el error
absoluto) porque puede ser por exceso o por
defecto. no tiene unidades.
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0

8. Los errores numéricos se generan con el uso de
aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. Esto
incluye errores de truncamiento que resultan
de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los
errores de redondeo, que resultan de
presentar aproximadamente números exactos.

9. Los errores de redondeo se deben a que las
computadoras solo guardan un numero finito
de cifras significativas durante un calculo. Las
computadoras realizan esta función de
maneras diferentes; esta técnica de retener
solo los primeros siete términos se llamó
“truncamiento” en el ambiente de
computación. De preferencia se llamara de
corte, para distinguirlo de los errores de
truncamiento. Un corte ignora los términos
restantes de la representación decimal
completa.

10. Son aquellos que resultan al usar una
aproximación en lugar de un procedimiento
matemático exacto.
Estos tipos de errores son evaluados con una
formulación matemática: la serie de Taylor.
Taylor es una formulación para predecir el
valor de la función en Xi+1 en términos de la
función y de sus derivadas en una vecindad
del punto Xi.
Siendo el termino final:
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1

11. El análisis que presentamos generaliza al problema
del cálculo de productos interiores. En la práctica
muchas computadoras realizarán operaciones
aritméticas en registros especiales que más bits
que los números de máquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que
los números existan temporalmente con una
precisión adicional. Se deben evitar situaciones en
las que la exactitud se puede ver comprometida
al restar cantidades casi iguales o la división de un
número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias
valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.

12. La condición de un problema matemático
relaciona a su sensibilidad los cambios en los
datos de entrada. Puede decirse que un
cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es inestable
cuando los pequeños errores que se producen
en alguna de sus etapas, se agrandan en
etapas posteriores y degradan seriamente la
exactitud del cálculo en su conjunto.

13. El que un proceso sea numéricamente estable
o inestable debería decidirse con base en los
errores relativos, es decir investigar la
inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual
significa que un cambio relativamente
pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente grande en
la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula
puede ser inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos.

14. Un problema está mal condicionado si
pequeños cambios en los datos pueden dar
lugar a grandes cambios en las respuestas.
Para ciertos tipos de problemas se puede
definir un número de condición: "Un número
condicionado puede definirse como la razón
de los errores relativos".