1. Unidad 3
Matemáticas Para Computadoras
TEMA
CONJUNTOS
Alumno: José Manuel Bautista Santiago.
Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales.
Oaxaca de Juárez, Oax. A 4 de noviembre del 2010
2. 1.- CONJUNTOS.
1.1.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE CONJUNTOS.
1.1.1.- Un conjuntoeslareuniónenuntodo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar,
bien determinados y diferenciables los unos de los otros.
El conceptode conjuntoesde fundamental importanciaenlas matemáticas modernas.Lamayoría
de los matemáticos creen que es posible expresar todas las matemáticas en el lenguaje de la
teoría de conjuntos.Nuestro interés en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en
las matemáticas como a su utilidad en la modelización e investigación de problemas en la
informática.
Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor
Después de que la teoría de conjuntos se estableciera como un área bien definida de las
matemáticas,aparecieroncontradiccionesoparadojasenlamisma.Para eliminartales paradojas,
s e des arrollaron aproximaciones más sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento
introductoriode lateoríade conjuntosse ocupa,generalmente,de la teoría elemental, la cual es
bastante similar al trabajo original de Cantor. Utilizaremos esta aproximación más simple y
desarrollaremos una teoría de conjuntos de la cual es posible
Georg Cantor. Matemáticoalemán de origenruso(SanPetesburgo1845 -Halle 1 918). Después de
estudia r en Alemania, fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribió numerosas
memorias, pero es especialmente conocido por ser el creador de la Teoría de los conjuntos
Conjuntos y Elementos
Intuitivamente, un con junto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una
entidad. A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.
A losconjuntoslosdesignaremoscon letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas.
La afirmación “el elemento a pertenecer al conjunto A” se escribe
a ∈ A
y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A),se escribe
a /∈ A
La definiciónde unconjuntonodebe serambiguaene l sentidode que puedadecidirsecuandoun
objeto particular pertenece, o no, aun conjunto.
3. 1.1.2.- TIPOS DE CONJUNTOS.
1.1.2.1 Conjunto Universal
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en
consideraciónpertenecenaungran conjuntofijollamadoconjuntouniversal.Lonotaremospor U.
1.1.2.2 Conjunto Vacío
Al conjunto únicoque no contiene elementos,lollamaremos conjunto vacío. Lo notaremos con el
símbolo Ø que proviene del alfabeto noruego.
1.1.2.2a Axioma de Extensión
Dos conjuntosA y B son igualessi,ysolosi tienenlosmismoselementos. Es decir, cada elemento
del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.
Su expresión formal en notación lógica es:
A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B ) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
o bien, A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B )
Nota.- El axiomade extensiónaseguraque si dosconjuntostienen los mismos elementos, ambos
son iguales, independientemente de cómo estén definidos.
1.2 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Asociativa:
Conmutativa:
Distributiva:
4. Identidad:
Complementariedad:
Involutiva:
Ley de Morgan:
Para cualquier conjunto A y B
1.3 OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen tanto a A como a B.
En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los
subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de
conjuntos A yB de U sele asocia otro conjunto: de U.
Si A y B son dos de ellos entonces su intersección se simboliza y se define como:
5. La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y
que, x pertenezca a B.
Esta operación es conmutativa, asociativa, tiene neutro y tiene inverso:
donde:
es el complemento de A.
Por lo tanto el conjunto potencia de nuestro universo U y la operación forman una estructura
algebraica tipo grupo abeliano.
UNIÓNDE CONJUNTOS:La uniónde 2 conjuntosA y B es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A, a B o a ambos.
En la teoría de conjuntos, la unión de conjuntos es una operación binaria en el conjunto de todos los
subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Mediante la cual a cada par de
conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: de U.
Si A y B son dos conjuntos, entonces su unión es:
La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca
a B.
Esta operación es conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro.
6. donde:
es el complemento de A.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO: La diferencia de A y B, es el conjunto
de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia
de A y B, y se representa por A-B o por AB, al conjunto formado por todos los elementos que
están en A, pero no están en B, y que representaremos A - B.
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es:
Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A − B son aquellos elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B.
COMPLEMENTO DE UNCONJUNTO:Es el conjuntoformadopor loselementosque nopertenecen
a A.
Llamamos conjunto complementario de un conjunto y lo representamos por al conjunto
diferencia: siendo U elconjunto universal. Esto es:
El conjunto complemento de A es el conjunto los elementos x, que cumplen
que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A.
Por ejemplo, si tenemos que:
entonces:
