Este documento presenta información sobre conjuntos. Define qué es un conjunto y cómo se pueden clasificar los conjuntos en finitos e infinitos. Explica las relaciones entre conjuntos como subconjuntos, conjuntos disjuntos e intersección. También describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce brevemente los números reales y algunas de sus propiedades.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Estado-Lara
PNF TURISMO
PARTICIPANTE:
Cinthia E Valente M
CI: 27.198.848
Unidad curricular:
Matemática
Sección: T0102
Enero de 2021.
Conjuntos

2. introducción
El presente trabajo se realizara con el propósito de conocer sobre los conjuntos,
clasificación de los conjuntos, relación entre conjuntos y las operaciones que se aplican a este,
teniendo en cuenta que la formación matemática básica se inicia con el aprendizaje de los
conceptos de conjunto y número. La idea de conjunto se establece como un ``concepto
primitivo'' que debe entenderse con la idea intuitiva de grupo , colección , agrupación, etc. El
concepto de número se asocia con la idea de cantidad de elementos de un conjunto. Se indica
que todo conjunto tiene una cantidad dada de elementos y recíprocamente, para cualquier
número natural n existe al menos un conjunto con n elementos.
También podríamos decir que la Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia
básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos
denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

3. Conjuntos
Un conjunto o colección lo forman
unos elementos de la misma naturaleza,
es decir, elementos diferenciados entre
sí pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y que
pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas
relaciones.
Un conjunto puede tener un número
finito o infinito de elementos, en
matemáticas es común denotar a los
elementos mediante letras minúsculas y
a los conjuntos por letras mayúsculas.
Concepto
ejemplo
Los conjuntos pueden tener elementos de
cualquier tipo: números, letras, objetos,
personas… Por ejemplo, este conjunto
contiene frutas:
clasificación
Pueden calificarse en función de su numero de
elementos, en:
Finitos: si tiene una colección que se pueda contar
aunque sea difícil, por ejemplo: el conjunto de frutas
incluye todos los tipos de frutas que hay en el mundo y
aunque se difícil se puede contar
Infinitos: si se tiene una colección que no se pueda
terminar de contar nunca, por ejemplo: los números pares
que son infinitos .
Relaciones entre conjuntos
Conjuntos disjuntos: son aquellos que no tienen
ningún elemento en común , por ejemplo: el conjunto de
frutas y el conjuntos de animales , son disjuntos porque no
hay ninguna fruta que parezca un animal y viceversa.
Conjuntos subconjuntos: se da cuando todos los
elementos de un conjunto pertenecen a otro , por ejemplo:
el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas
son subconjuntos del conjunto de frutas.
Conjuntos intersección: a veces varios conjuntos son
distintos pero comparten algunos elementos comunes, por
ejemplo : un conjunto de niñas y otro grupo de personas
con gafas , como hay niñas que tienen gafas forman parte
de esa intersección entre conjuntos.

4. Subconjuntos de un
conjunto
Dado un conjunto C y una propiedad P de un
elemento genérico de C, los elementos de C
que poseen esa propiedad forman un nuevo
conjunto S llamado subconjunto de C, y se
expresa:
Por ejemplo, para el conjunto de los números
reales, R, podemos fijarnos en la propiedad
siguiente:
x = [x]
La propiedad de que un número coincida con
su parte entera, dicha propiedad sólo la
cumplen los números enteros, por eso
podemos expresar:
Todo conjunto C es subconjunto de sí mismo,
por otra parte el conjunto vacío (el que no
posee ningún elemento), expresado por F, es
subconjunto de cualquier otro conjunto. Así
podemos expresar:
A un subconjunto de C también se le
llama parte de C.
Unión e intersección de
conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se define unión de los
conjuntos A y B, , al conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A ó a B.
Dados dos conjuntos A y B, se
define intersección de los conjuntos A y B, , al
conjunto formado por los elementos que pertenecen a
la vez a A y a B.
Si la intersección de dos conjuntos es el
conjunto vacío, entonces se dice que estos dos
conjuntos son disjuntos (también llamados,
quizás más apropiadamente, "disyuntos")

5. Aplicación entre dos
conjuntos
Sean dados dos conjuntos A = {a, b, c, d, e, ...} y B
= {a, b, d, g, e, ...}. Se llama correspondencia del
conjunto A en el B a un subconjunto de A×B.
Se expresan los elementos de A a la izquierda,
los de B a la derecha, y para cada pareja (a, b) se
traza una flecha que parte del elemento de A y
finaliza en el elemento de B.
La correspondencia viene entonces
representada por un conglomerado de flechas
que van desde los elementos de A hacia los
elementos de B. Pero obsérvese cómo de los
elementos de A pueden salir varias flechas hacia
B, por ejemplo, al elemento "a" se le hacen
corresponder los b y d de B.
Pues bien, en Matemáticas es conveniente que a
cada elemento de A le corresponda un
único elemento de B, es decir, que sólo salga una
flecha (o ninguna) de cada elemento del conjunto
de la izquierda. En este caso la correspondencia se
llama aplicación (también llamada "función" cuando
los conjuntos son numéricos).
A los elementos de B donde una flecha finaliza se
les llama "imágenes", y a los elementos de A de los
que parte una flecha se les llama "anti-imágenes".
En Matemáticas es muy corriente expresar las
aplicaciones mediante y = f(x), siendo y los
elementos de B, x los elementos de A, y
siendo f(x) una cierta expresión matemática.
Un ejemplo podía ser y = x2 + 1.
Una aplicación f : A ----> B se dice subreyectiva,
cuando todo elemento de B es imagen de al menos
un elemento de A. En otras palabras, el conjunto B
queda recubierto por completo por las flechas
procedentes de A, no quedando ningún elemento
"libre", sin su correspondiente flecha, en B.
Aplicación sobreyectiva
Matemáticamente se expresa indicando
que la ecuación:
y = f(x)
tiene al menos una solución para x.

6. Aplicación inyectiva
Una aplicación f : A ----> B se dice inyectiva,
cuando todo elemento de B es la imagen de un
elemento de A como máximo. (En este caso
puede haber elementos de B que no sean
imágenes de elementos de A).
Matemáticamente f es inyectiva si para
cualquier par de elementos de A, , que
sean distintos, entonces sus imágenes son
también distintas, es decir:
Aplicación biyectiva
Una aplicación f : A ----> B se dice biyectiva, si
es al mismo tiempo suprayectiva e inyectiva .
En este caso a cada elemento de A le corresponde
uno, y sólo uno, elemento de B.
Es decir, para cada valor de "y" sólo existe un
valor de "x" que sea solución de la ecuación y =
f(x).
Por ejemplo, en la expresión y = 2 x + 1 , para un
valor determinado de "y" sólo existe un valor de x,
en concreto x = ½ (y-1).

7. Operaciones entre conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento
Unión de conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más
conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a
todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la
unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado
por todos los elementos de A, con todos los elementos
de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la
unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se
unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera
la operación de unión. Ejemplo :
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Intersección de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo
con los elementos comunes involucrados en la operación.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no
comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será
A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

8. Diferencia de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero
no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por
todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El
símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción.
Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-
B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente
Diferencia simétrica de
conjuntos
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo
que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo: dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos
será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Complemento de un conjunto
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en
el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los
elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A.
En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que
se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de
complemento.
Ejemplo: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A'
estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente

9. Números reales
Los números reales son el conjunto que
incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la
letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos
números del número imaginario i, que es igual a
la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se
usa para simplificar la interpretación matemática
de efectos como los fenómenos. Todos los
números reales tienen el siguiente orden:
propiedades
°La suma de dos números reales es cerrada,
es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
°La suma de dos números reales es
conmutativa, entonces a+b=b+a.
°La suma de números es asociativa, es decir,
(a+b)+c= a+(b+c).
°La suma de un número real y cero es el
mismo número; a+0=a.
°Para cada número real existe otro número
real simétrico, tal que su suma es igual a 0:
a+(-a)=0
°La multiplicación de dos números reales es
cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
°La multiplicación de dos números es
conmutativa, entonces a . b= b. a.
°El producto de números reales es
asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
°En la multiplicación, el elemento neutro es el
1: entonces, a . 1= a.
°Para cada número real a diferente de cero,
existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
°Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a
. c)

10. Clasificaciones
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los
números naturales. Estos son los números con los que
estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el
infinito. El conjunto de los números naturales se
designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez
símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el
nombre de dígitos.
Ejemplo
Los números naturales nos sirven para decir cuántos
compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores
que hay en un ramo y el número de libros que hay en
una biblioteca.
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los
números naturales y sus números simétricos. Esto incluye
los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los
números negativos se denotan con un signo "menos" (-).
Se designa por la letra mayúscula Z y se representa
como:
Ejemplo
En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC
durante casi todo el año, entre -43 ºC y -15ºC en invierno.
Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero
solo tiene 3.000 pesos.
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.
Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la
necesidad de medir cantidades continuas y las
divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas
tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó
al hombre a introducir las fracciones. El conjunto
de números racionales se designa con la letra Q:
Ejemplo
Un pastel dividido entre tres personas se
representa como 1/3 un tercio para cada persona;
una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los
números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es
distinto de cero. Se representa por la letra
mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden
expresarse en forma entera o como fracción que
son inconmensurables son también irracionales.
Ejemplo
la relación de la circunferencia al diámetro el
número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse
exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales:

11. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de
relación de orden existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los signos:
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o
igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en
una expresión de esta índole, se emplea para
denotar que dos objetos matemáticos expresan
valores desiguales. Algo a notar en las expresiones
de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Valor absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el
terreno de las matemátaticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su
signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es
positivo o negativo . Ejemplo: tomemos el caso del
valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto
de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo).
Desigualdades Valor
absoluto
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia
entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor
absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones
de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números
reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > -
b .

12. Ejercicios

14. Conclusión
Se puede concluir que el tema de conjuntos es un tema más que cobra
relevancia por la aplicación que tiene en la vida diaria. Es un tema que trasciende
por la forma en que se desarrollan, los conjuntos pueden ser expresados por
comprensión o extensión.
A los conjuntos también podemos estudiarlos por los tipos: finitos, infinitos,
nulo o unitario. Con ellos también podemos desarrollar operaciones como:
intersección, unión, diferencia simétrica, complemento del conjunto, etc.
Trabajar el tema resulto muy entretenido, fue bueno desarrollar ejercicios
referentes al tema, ya que nos permiten comprender mejor y de ese modo
cambiemos nuestra perspectiva de ver las matemáticas ya que este tema es de
gran relevancia por que se aplica en diferentes aspectos de la vida cotidiana.

15. Referencias electrónicas
https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/conjuntos-
subconjuntos/
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/conjuntos.htm
https://matematica.laguia2000.com/general/algebra-de-conjuntos