2. SSi
Si el sistema no tienen ninguna fuerza
externa entonces:
=
+ = 0
+ = 0
Para obtener un solución de la ecuación
diferencia de segundo orden se procede
directamente tomando las soluciones de la
forma:
= ( ) = ( )
A y B son constantes que dependen de las condiciones
iniciales de movimiento y “P” representa las características
físicas del sistema
Si se deriva con respecto al tiempo tenemos :
= ( ) = ( )
= − ( )
= − ( )
= ( )
= − ( )
Si se sustituye en la ecuación + = 0 :
m −Ap cos pt + k(Acos pt = 0
− + = 0
3. − + = 0
=
= 0
− + = 0
− + = 0
=
Como es lineal la suma de sus podemos decir que:
= + ( )
= = − + ( )
= = − − ( )
Los valores de A y B se obtienen de las condiciones iniciales
del sistema
4. = 0 =
= 0 =
Sustituyendo los valores en las ecuaciones anteriores
obtenemos:
= =
( ) = cos + ( )
( ) = − + ( )
( ) = − cos − ( )
Mediante esta ecuación para valores de x en función
del tiempo podemos calcular los valores de cortante
y momento en cualquier instante de tiempo :
= ∗ ( )
= ∗ ( )
Ejemplo:
Para una columna de un marco el momento y el
cortante se pueden expresar de la siguiente forma:
=
6
∗ ( )
=
12
∗ ( )
5. Si sustituimos los valores de x(t) en la ecuación de
momento y cortante se obtiene:
=
6
∗ ( cos + )
=
12
∗ ( )
=
6
∗ ( )
=
12
∗ ( cos + ( ))
Si graficamos para Xo>0 y Vo=0 Obtenemos :
( ) = cos ( ) = −
( ) = − cos
=
=
6. ( ) = − cos
=
Si graficamos para Xo=0 y Vo>0 Obtenemos :
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) = − ( )
=
=
=
7. SSi ≠ 0 ≠ 0
( ) = cos
( ) = ( )
Si tomamos las condiciones de Vo=0, Xo>0 y Xo=0
Vo>0
Donde los desplazamientos para cualquier “pt” se
obtiene sumando las coordenadas de las dos
graficas
AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD,
ACELERACION Y ANGULO DE FASE:
a Angulo de fase
A Amplitud
8. AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD,
ACELERACION Y ANGULO DE FASE:
La ecuación x(t) describe el desplazamiento de
una oscilación no amortiguada en vibración libre
en cualquier instante “t”
( ) = cos + ( )
Dicha ecuación mediante la transformación
trigonométrica y usando condiciones generales:
= +
= = tan =
= (cos cos + ( )
Aplicando Identidades trigonométricas :
cos − = cos cos + ( )
= cos( − )
= − ( − )
= − ( − )
9. Al Graficar y desplazar una magnitud a la derecha, se obtiene el desplazamiento en función de pt
0 = 0 =
