El documento describe cómo obtener la ecuación de una recta a partir de un punto P0 y un vector u paralelo a la recta. Se explica que para cualquier punto P en la recta, el vector P0P es paralelo a u. Esto permite escribir la ecuación vectorial P0P = ku y derivar las ecuaciones paramétricas de la recta x = x0 + ku1, y = y0 + ku2. Finalmente, se analizan los casos donde uno de los componentes de u es cero para obtener las ecuaciones cartesias de la recta.

2.  Sea la recta r , el punto 𝑃0 y el vector no nulo
𝑢 tales que:
 𝑢 // r
 𝑃0 ϵ r

3.  Sea la recta r , el punto 𝑃0 y el vector no nulo
𝑢 tales que:
 𝑢 // r
 𝑃0 ϵ r
 Observemos que todos
los puntos de r distintos de
𝑃0 forman con este un vector
paralelo a r

4.  En símbolos: ∀ P ϵ r, 𝑃0 𝑃 // 𝑢

5.  En símbolos: ∀ P ϵ r, 𝑃0 𝑃 // 𝑢
Por lo tanto
como 𝑃0 𝑃 // 𝑢  ∃ 𝑘 𝜖 ℝ / 𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢

6.  En símbolos: ∀ P ϵ r, 𝑃0 𝑃 // 𝑢
Por lo tanto
como 𝑃0 𝑃 // 𝑢  ∃ 𝑘 𝜖 ℝ / 𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢
Ecuación vectorial de la recta

7.  En símbolos: ∀ P ϵ r, 𝑃0 𝑃 // 𝑢
Por lo tanto
como 𝑃0 𝑃 // 𝑢  ∃ 𝑘 𝜖 ℝ / 𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢
Podemos decir entonces que dados un punto 𝑃0
y un vector no nulo 𝑢 , 𝑙𝑎 recta r que pasa por
𝑃0 y es paralela a 𝑢 es el lugar geométrico de los
puntos P tales que 𝑃0 𝑃 // 𝑢 o 𝑃0 𝑃 = 0
Ecuación vectorial de la recta

8. Si 𝑃0( 𝑥0; 𝑦0) , P ( x; y), 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2)
La ecuación vectorial que obtuvimos es
𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢 ,

9. Si 𝑃0( 𝑥0; 𝑦0) , P ( x; y), 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2)
La ecuación vectorial que obtuvimos es
𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢 , analíticamente
(𝑥 − 𝑥0; 𝑦 − 𝑦0) = (𝑘𝑢1; 𝑘𝑢2)

10. Si 𝑃0( 𝑥0; 𝑦0) , P ( x; y), 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2)
La ecuación vectorial que obtuvimos es
𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢 , analíticamente
(𝑥 − 𝑥0; 𝑦 − 𝑦0) = (𝑘𝑢1; 𝑘𝑢2)
Para que dos vectores sean iguales sus
respectivas componentes deben ser iguales.
Por lo que
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

11. Si 𝑃0( 𝑥0; 𝑦0) , P ( x; y), 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2)
La ecuación vectorial que obtuvimos es
𝑃0 𝑃 = 𝑘 𝑢 , analíticamente
(𝑥 − 𝑥0; 𝑦 − 𝑦0) = (𝑘𝑢1; 𝑘𝑢2)
Para que dos vectores sean iguales sus
respectivas componentes deben ser iguales.
Por lo que
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘𝑢2

12. 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘 𝑢2 Ecuaciones paramétricas de la recta

13. 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘 𝑢2 Ecuaciones paramétricas de la recta
Coordenadas de los puntos de la recta

14. 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘 𝑢2 Ecuaciones paramétricas de la recta
Coordenadas de un punto de paso de la recta
Coordenadas de los puntos de la recta

15. 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘 𝑢2 Ecuaciones paramétricas de la recta
Parámetro, k real
Coordenadas de un punto de paso de la recta
Coordenadas de los puntos de la recta

16. 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 𝑢1
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘 𝑢2 Ecuaciones paramétricas de la recta
Componentes de un vector
paralelo a la recta
Parámetro, k real
Coordenadas de un punto de paso de la recta
Coordenadas de los puntos de la recta

17.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0

18.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)

19.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)
entonces (0; 𝑢2) // (0;1) // eje y

20.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)
entonces (0; 𝑢2) // (0;1) // eje y
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘𝑢2

21.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)
entonces (0; 𝑢2) // (0;1) // eje y
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘𝑢2
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya abscisa
es igual a 𝑥0.

22.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)
entonces (0; 𝑢2) // (0;1) // eje y
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘𝑢2
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya abscisa
es igual a 𝑥0. Su ecuación
cartesiana es 𝑥 = 𝑥0

23.  Si 𝑢1 = 0 y 𝑢2 ≠ 0, (0; 𝑢2) = 𝑢2 (0;1)
entonces (0; 𝑢2) // (0;1) // eje y
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0+ 𝑘𝑢2
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya abscisa
es igual a 𝑥0. Su ecuación
cartesiana es 𝑥 = 𝑥0

24.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0,

25.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)

26.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)
Entonces (𝑢1 ; 0) // (1; 0) // eje x

27.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)
Entonces (𝑢1 ; 0) // (1; 0) // eje x
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑢1
𝑦 = 𝑦0

28.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)
Entonces (𝑢1 ; 0) // (1; 0) // eje x
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑢1
𝑦 = 𝑦0
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya ordenada
es igual a 𝑦0.

29.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)
Entonces (𝑢1 ; 0) // (1; 0) // eje x
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑢1
𝑦 = 𝑦0
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya ordenada
es igual a 𝑦0. Su ecuación
cartesiana es 𝑦 = 𝑦0

30.  Si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 = 0, (𝑢1 ; 0) = 𝑢1 (1; 0)
Entonces (𝑢1 ; 0) // (1; 0) // eje x
Sus ecuaciones paramétricas serán:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑢1
𝑦 = 𝑦0
Entonces r es el lugar
geométrico de los puntos
del plano cuya ordenada
es igual a 𝑥0. Su ecuación
cartesiana es 𝑦 = 𝑦0

31.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0

32.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

33.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

34.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

35.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2
Ecuación canónica
o simétrica

36.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0) Ecuación canónica
o simétrica

37.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
Ecuación canónica
o simétrica

38.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
𝑢2 𝑥 − 𝑢1 𝑦 − 𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0= 0
Ecuación canónica
o simétrica

39.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
𝑢2 𝑥 − 𝑢1 𝑦 − 𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0= 0
𝑢2 𝑥 + (−𝑢1) 𝑦 + (−𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0)= 0
Ecuación canónica
o simétrica

40.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
𝑢2 𝑥 − 𝑢1 𝑦 − 𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0= 0
𝑢2 𝑥 + (−𝑢1) 𝑦 + (−𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0)= 0
a
Ecuación canónica
o simétrica

41.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
𝑢2 𝑥 − 𝑢1 𝑦 − 𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0= 0
𝑢2 𝑥 + (−𝑢1) 𝑦 + (−𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0)= 0
a
b
Ecuación canónica
o simétrica

42.  Retomemos, si 𝑢1 ≠ 0 y 𝑢2 ≠ 0
𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑢1
𝑦 − 𝑦0= 𝑘𝑢2

𝑥−𝑥0
𝑢1
= 𝑘
𝑦−𝑦0
𝑢2
= 𝑘

𝑥−𝑥0
𝑢1
=
𝑦−𝑦0
𝑢2

 𝑢2(𝑥 − 𝑥0) = 𝑢1 ( 𝑦 − 𝑦0)
𝑢2 𝑥 − 𝑢2 𝑥0 = 𝑢1 𝑦 − 𝑢1 𝑦0
𝑢2 𝑥 − 𝑢1 𝑦 − 𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0= 0
𝑢2 𝑥 + (−𝑢1) 𝑦 + (−𝑢2 𝑥0 + 𝑢1 𝑦0)= 0
a
b c
Ecuación canónica
o simétrica

43.  Si a y b no son simultáneamente nulos
𝑎 x + b y + c = 0

44.  Si a y b no son simultáneamente nulos
𝑎 x + b y + c = 0 Ecuación cartesiana

45.  Si a y b no son simultáneamente nulos
𝑎 x + b y + c = 0
Hemos reemplazado 𝑢2 por a y (-𝑢1) por b.
Ecuación cartesiana

46.  Si a y b no son simultáneamente nulos
𝑎 x + b y + c = 0
Hemos reemplazado 𝑢2 por a y (-𝑢1) por b.
Como 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2) con r // 𝑃0 𝑃 // 𝑢 podemos
decir que el vector de componentes (-b;a) // r
Ecuación cartesiana

47.  Si a y b no son simultáneamente nulos
𝑎 x + b y + c = 0
Hemos reemplazado 𝑢2 por a y (-𝑢1) por b.
Como 𝑢 = (𝑢1; 𝑢2) con r // 𝑃0 𝑃 // 𝑢 podemos
decir que el vector de componentes (-b;a) // r
Ecuación cartesiana

48. Ahora bien si hacemos el producto escalar:
(-b;a) . (a;b) = -ba + ab = 0

49. Ahora bien si hacemos el producto escalar:
(-b;a) . (a;b) = -ba + ab = 0 Recordando que si
el producto escalar entre dos vectores distintos
del nulo da cero dichos vectores son
perpendiculares podemos afirmar que
(a;b) ⊥ (−𝑏; 𝑎)

50. Ahora bien si hacemos el producto escalar:
(-b;a) . (a;b) = -ba + ab = 0 Recordando que si
el producto escalar entre dos vectores distintos
del nulo da cero dichos vectores son
perpendiculares podemos afirmar que
(a;b) ⊥ (−𝑏; 𝑎)
o sea (a;b) ⊥ r

51. Ahora bien si hacemos el producto escalar:
(-b;a) . (a;b) = -ba + ab = 0 Recordando que si
el producto escalar entre dos vectores distintos
del nulo da cero dichos vectores son
perpendiculares podemos afirmar que
(a;b) ⊥ (−𝑏; 𝑎)
o sea (a;b) ⊥ r

52. Rectas paralelas
Sean r y s tales que r//s , r) 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
s) 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0

53. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)

54. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)

55. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)  (-𝑏1; 𝑎1) = (- 𝑘𝑏2 ; 𝑘𝑎2)

56. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)  (-𝑏1; 𝑎1) = (- 𝑘𝑏2 ; 𝑘𝑎2)
Entonces
−𝑏1 = − 𝑘𝑏2
𝑎1 = 𝑘𝑎2

57. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)  (-𝑏1; 𝑎1) = (- 𝑘𝑏2 ; 𝑘𝑎2)
Entonces
−𝑏1 = − 𝑘𝑏2
𝑎1 = 𝑘𝑎2

𝑏1
𝑏2
= 𝑘
𝑎1
𝑎2
= 𝑘

58. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)  (-𝑏1; 𝑎1) = (- 𝑘𝑏2 ; 𝑘𝑎2)
Entonces
−𝑏1 = − 𝑘𝑏2
𝑎1 = 𝑘𝑎2

𝑏1
𝑏2
= 𝑘
𝑎1
𝑎2
= 𝑘

𝑏1
𝑏2
=
𝑎1
𝑎2
con 𝑎2 ≠ 0 y 𝑏2 ≠ 0

59. r//s  (-𝑏1; 𝑎1) // (- 𝑏2 ; 𝑎2)  ∃ k ϵ ℝ/
(-𝑏1; 𝑎1) = k (- 𝑏2 ; 𝑎2)  (-𝑏1; 𝑎1) = (- 𝑘𝑏2 ; 𝑘𝑎2)
Entonces
−𝑏1 = − 𝑘𝑏2
𝑎1 = 𝑘𝑎2

𝑏1
𝑏2
= 𝑘
𝑎1
𝑎2
= 𝑘

𝑏1
𝑏2
=
𝑎1
𝑎2
con 𝑎2 ≠ 0 y 𝑏2 ≠ 0
Los coeficientes de x e y de dos rectas paralelas
son directamente proporcionales.

60. Analicemos la ecuación: ax+by+c=0

61. Analicemos la ecuación: ax+by+c=0
*Si a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación queda by+c=0,
o sea y = -
𝑐
𝑏

62. Analicemos la ecuación: ax+by+c=0
*Si a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación queda by+c=0,
o sea y = -
𝑐
𝑏
, lugar geométrico de los puntos
cuya ordenada es -
𝑐
𝑏
.

63. Analicemos la ecuación: ax+by+c=0
*Si a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación queda by+c=0,
o sea y = -
𝑐
𝑏
, lugar geométrico de los puntos
cuya ordenada es -
𝑐
𝑏
. Por lo tanto es una recta
paralela al eje x.

64. Analicemos la ecuación: ax+by+c=0
*Si a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación queda by+c=0,
o sea y = -
𝑐
𝑏
, lugar geométrico de los puntos
cuya ordenada es -
𝑐
𝑏
. Por lo tanto es una recta
paralela al eje x.

65. *Si b = 0, a ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación de la recta es
ax+c=0, o sea x= -
𝑐
𝑎

66. *Si b = 0, a ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación de la recta es
ax+c=0, o sea x= -
𝑐
𝑎
, lugar geométrico de los
puntos cuya abscisa es -
𝑐
𝑎
.

67. *Si b = 0, a ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación de la recta es
ax+c=0, o sea x= -
𝑐
𝑎
, lugar geométrico de los
puntos cuya abscisa es -
𝑐
𝑎
. Por lo tanto es
una recta paralela al eje y.

68. *Si b = 0, a ≠ 0, c ≠ 0 la ecuación de la recta es
ax+c=0, o sea x= -
𝑐
𝑎
, lugar geométrico de los
puntos cuya abscisa es -
𝑐
𝑎
. Por lo tanto es
una recta paralela al eje y.

69. *Si c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0 la ecuación queda
ax+by=0

70. *Si c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0 la ecuación queda
ax+by=0, lugar geométrico de los puntos que
pasan por el origen de coordenadas.

71. *Si c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0 la ecuación queda
ax+by=0, lugar geométrico de los puntos que
pasan por el origen de coordenadas.

72.  Ángulo entre rectas
 El ángulo entre dos rectas coincide con el
ángulo que forman los vectores paralelos a
ellas.

73.  Ángulo entre rectas
 El ángulo entre dos rectas coincide con el
ángulo que forman los vectores paralelos a
ellas.
 Como s//𝑢 y t //𝑣,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑠; 𝑡) = (𝑢; 𝑣)

74.  Ángulo entre rectas
 El ángulo entre dos rectas coincide con el
ángulo que forman los vectores paralelos a
ellas.
 Como s//𝑢 y t //𝑣,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑠; 𝑡) = (𝑢; 𝑣)
para calcularlo
cos (𝑢 ; 𝑣) =
𝑢 . 𝑣
| 𝑢 |.| 𝑣|

75.  Ángulo entre rectas
 El ángulo entre dos rectas coincide con el
ángulo que forman los vectores paralelos a
ellas.
 Como s//𝑢 y t //𝑣,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑠; 𝑡) = (𝑢; 𝑣)
para calcularlo
cos (𝑢 ; 𝑣) =
𝑢 . 𝑣
| 𝑢 |.| 𝑣|
(𝑠; 𝑡) = (𝑢; 𝑣) = arc cos
𝑢 . 𝑣
| 𝑢 |.| 𝑣|

76.  Ecuación explícita
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0
r ∦ eje y  b ≠ 0

77.  Ecuación explícita
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0
r ∦ eje y  b ≠ 0
Entonces si despejamos y de la ecuación
ax+by+c=0 nos queda y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
) ①

78.  Como el vector es paralelo a la recta ambos
forman con el eje x el mismo ángulo, entonces
la pendiente
de los dos será la
misma.

79.  Como el vector es paralelo a la recta ambos
forman con el eje x el mismo ángulo, entonces
la pendiente
de los dos será la
misma.
m=tg ∝ = -
𝑎
𝑏
②

80.  Como el vector es paralelo a la recta ambos
forman con el eje x el mismo ángulo, entonces
la pendiente
de los dos será la
misma.
m=tg ∝ = -
𝑎
𝑏
②
Además sabemos
que r es secante
al eje y,

81.  El punto de intersección será (0;h)

82.  El punto de intersección será (0;h)
 Las coordenadas de este punto debe verificar
la ecuación ①
y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
),

83.  El punto de intersección será (0;h)
 Las coordenadas de este punto debe verificar
la ecuación ①
y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
), si x=0 tenemos
h = (-
𝑐
𝑏
) ③ (h es llamada ordenada al origen)

84.  El punto de intersección será (0;h)
 Las coordenadas de este punto debe verificar
la ecuación ①
y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
), si x=0 tenemos
h = (-
𝑐
𝑏
) ③ (h es llamada ordenada al origen)
 Por lo tanto el punto de intersección tendrá
coordenadas (0; -
𝑐
𝑏
)

85.  El punto de intersección será (0;h)
 Las coordenadas de este punto debe verificar
la ecuación ①
y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
), si x=0 tenemos
h = (-
𝑐
𝑏
) ③ (h es llamada ordenada al origen)
 Por lo tanto el punto de intersección tendrá
coordenadas (0; -
𝑐
𝑏
)
 Reemplazando ② y ③ en ① nos queda
y = mx+h

86.  El punto de intersección será (0;h)
 Las coordenadas de este punto debe verificar
la ecuación ①
y = -
𝑎
𝑏
x + (-
𝑐
𝑏
), si x=0 tenemos
h = (-
𝑐
𝑏
) ③ (h es llamada ordenada al origen)
 Por lo tanto el punto de intersección tendrá
coordenadas (0; -
𝑐
𝑏
)
 Reemplazando ② y ③ en ① nos queda
y = mx+h Ecuación explícita

89.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.

90.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’

91.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a)

92.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a) = dir (-
1
𝑏
) (-b;a)

93.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a) = dir (-
1
𝑏
) (-b;a) = dir (1; -
𝑎
𝑏
)

94.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a) = dir (-
1
𝑏
) (-b;a) = dir (1; -
𝑎
𝑏
) =
= dir (1;m)

95.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a) = dir (-
1
𝑏
) (-b;a) = dir (1; -
𝑎
𝑏
) =
= dir (1;m)  r // (1;m)

96.  Obviamente, si dos rectas son paralelas
tendrán la misma pendiente.
 Analicemos el caso de dos rectas
perpendiculares. Sean r y s de ecuaciones
r) ax+by+c=0
r) y=mx+h y s) y=m’x+h’
dir r = dir (-b;a) = dir (-
1
𝑏
) (-b;a) = dir (1; -
𝑎
𝑏
) =
= dir (1;m)  r // (1;m)
Análogamente se obtiene s// (1,m’)

97.  Si hacemos el producto escalar entre ambos
(1;m) . (1;m’) = 1+mm’ = 0
Por lo tanto m = -
1
𝑚′

98.  Ecuación segmentaria
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0, r ∦ eje x, r ∦ eje y, O ∉ 𝑟

99.  Ecuación segmentaria
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0, r ∦ eje x, r ∦ eje y, O ∉ 𝑟
Por lo anteriormente visto
r ∦ eje x  a ≠ 0

100.  Ecuación segmentaria
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0, r ∦ eje x, r ∦ eje y, O ∉ 𝑟
Por lo anteriormente visto
r ∦ eje x  a ≠ 0
r ∦ eje y  b ≠ 0

101.  Ecuación segmentaria
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0, r ∦ eje x, r ∦ eje y, O ∉ 𝑟
Por lo anteriormente visto
r ∦ eje x  a ≠ 0
r ∦ eje y  b ≠ 0
O ∉ 𝑟  c ≠ 0

102.  Ecuación segmentaria
 Sea r una recta del plano tal que:
r) ax+by+c=0, r ∦ eje x, r ∦ eje y, O ∉ 𝑟
Por lo anteriormente visto
r ∦ eje x  a ≠ 0
r ∦ eje y  b ≠ 0
O ∉ 𝑟  c ≠ 0
Entonces si despejamos en ax+by+c=0 nos
queda

103. 𝑥
−𝑏/𝑎
+
𝑦
−𝑏/𝑐
= 1 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1 Ecuación segmentaria

104. 𝑥
−𝑏/𝑎
+
𝑦
−𝑏/𝑐
= 1 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1
Si x=0  y=q, q es la ordenada al origen
Ecuación segmentaria

105. 𝑥
−𝑏/𝑎
+
𝑦
−𝑏/𝑐
= 1 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1
Si x=0  y=q, q es la ordenada al origen
Si y=0  x=p, p es la abscisa al origen
Ecuación segmentaria

106. 𝑥
−𝑏/𝑎
+
𝑦
−𝑏/𝑐
= 1 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1
Si x=0  y=q, q es la ordenada al origen
Si y=0  x=p, q es la abscisa al origen
Ecuación segmentaria